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Full text of "L'Enseignement mathématique"

;e^^v 



L'ENSEIGNEMENT 



MAÏHÉMATIQIE 



L'Enseignement niathéni.. \2' année; 1910. 



r. E N E V E 
IMPRIMERIE ALBERT KÛNDIG 



>^ 



L'ENSEIGNEMENT 



MATHÉMATIQUE 

MÉIHODOI.OGIE El' OIUÎANISATION DE LENSEir.XE.MK.N I 

PHILOSOPHIE ET HISTOIRE DES MATHÉMATIQIKS 

C H 11 () M Q U E SCIENTIFIQUE MELANGES lil lU. I () (; Il A l> Il I E . 



REVUE INTERNATIONALE 



PARAISSANT TOUS L£S UEUX MOIS 



DIRIGEE PAR 



C.-A. LAISANT 



Docteur es sciences, 

Eiaminateur d'admissioD à l'Ecole 

polytechnique de Pans. 



H. FEHR 

Docteur es sciences, 

Professeur à ^TUniversité 

de Genë\e. 



AVKC LA COLLABOKATION DE 



A. BUHL 

Docteur es sciencfg 
Professeur à la Faculté des Sciences de Toulouse. 



COMITE DE PATRONAGE 



P. APPELL (Paris). — Mon. CANTOR (Heidelbergi. — E. CZUBER (Vienne . — W.-PERMAKOF (Kief) 

A.-R. FORSYTH, (Cambridge). —J. FRANEL (Zurich). — Z.-S. de GALDEANO (Saragossei. 

A.-G. GREENHILL(Woolwichi. — F. KLEIN (Gotlingeo). — G. LORIA (Gênes). 

P. MANSION (Gand). — MITTAG-LEFFLER fSlockhoIm). — Jdlics PETERSEN (Copenhague). 

E. PICARD (Parisi. — H. POINCARÉ (Paris). — P. -H. SCHODTE (Groningue). 

Dav.-Bugr. SMITH (Xew-York). — C. STEPHANOS (.Athènes). — F. Gomes TEIXEIRA (Porto). 

A. VASSILIEF iKasan). — A. ZIWET (Ann Arbor, Michigan. U. S. A.). 



Organe officiel de la Commission internationale de l'Enseignement mathématique. 



D O U Z 1 M M E A X N E E 

1910 




PARIS 
GAUTHIER -VILLARS, ÉDIT'^"'' 

55, QUAI DES GRANDS-AUGUSTINS 



GENÈVE \^ 

GEORG & O', ÉDITEURS 

10. CORRATERIE, 10 



1910 



// 



-/ , -, 



NOTE SUR LES USAGES DU PAPIER QUADRILLÉ 



SI.— Applications classiques. 

Le papier quadrillé est formé comme on le sait par le 
tracé de 2 réseaux orlhogoiiaux de parallèles équidistantes. 
Si Ton prend 2 d'entre elles comme axes de coordonnées et 
le côté d'un des carrés du quadrillage comme unité de lon- 
gueur, on peut aisément placer à l'œil un point dont les 2 
coordonnées sont connues et cela avec une approximation de 
un dixième. La plupart des applications du paj)ier quadrillé 
sont basées sur ce l'ait. Ce sont donc simplement des cons- 
tructions de géométrie analytique à 2 dimensions '. 

De ce nombre sont les constructions classiques de courbes 
données par leurs équations. On a par exemple tracé ci-contre 
la parabole y =■ .r^ (fig. 1), en construisant certains points de 
coordonnées simples. Les constructions de graphiques ou 
d'abaques'^ sont également facilitées par rem|)loi du papier 
quadrillé, principalement les constructions de graphiques 
dans lesquelles une des variables ne prend que des valeurs 
entières. (Statistiques annuelles, mensuelles, etc..) 

Dans la construction des courbes algébriques, il est sou- 
vent avantageux, au lieu de chercher les coordonnées exactes 
des points de la courbe, de chercher à placer par rapport à 
la courbe des points voisins et dont les 2 coordonnées soient 
entières de façon à avoir des calculs simples. Si, par exemple^. 



' Les dimensions les plus habituelles du i)apier quadrillé sont voisines de Vs c'»- On trouve 
suivant les marques : 0,491 cm., 0,493 cm., 0,496 cm., 0,'i99 cm., 0,535 cm., etc. Il y a d'ailleurs 
des quadrillages plus serrés : 0,396 cm., etc., ou plus larges, 0,789 cm. Il existe enfin pour les 
constructions plus précises du papier dit millimétrique bien connu des physiciens et dont 
nous n'aurons pas l'occasion de |)arliM- ci-dessus. 

yotc de la Rédaction. — L'usage du papier millimclrique s'est également répandu dans les 
sections scientifiques des établissements secondaires. 11 est indispensable à la résolution 
graphique des équations. 

* yoinographic de M, M. d'OcAONK. 

3 Le lecteur est prié ici, comme dans toute la suite de la Note, de vouloir bien refairi! au fur 
et à mesure les diverses figures sur du papier quadrillé. 



6 A. SAI.YTE LA GUÉ 

on veut constiuire le folium de Descartes .r^ + ?/^— 15.r^ = 
il sera commode de remarquer (fig. 2) que les points A et B 
sont à l'intérieur de la boucle et CDEFGH sont à Textérieur, 
tous ces points étant d'ailleurs très voisins de la courbe. Ce 
dernier procédé, apj)liqué avec un peu d'habileté, est certai- 
nement le plus rapide pour la construction des courbes. 























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Fis. 1. 



Fig. 2. 



La résolution des équations par des intersections de cour- 
bes est une application bien connue des tracés graphiques. 
Par exemple, pour résoudre une équation de la forme 
x^ + px -|- çr =: 0, on construira une fois pour toutes la para- 
bole y = x^ avec grand soin, et on la fera couper par la 
droite ^ + /?.r + ^ = 0. Les abscisses des points d'intersec- 
tion seront les racines cherchées. De même, on résoudra une 
équation du 3™" degré: x^ + px + g = par le tracé d'une 
parabole cubique 3/ = x^ et d'une droite: y -\- px -^ q =^0. 
Sans vouloir insister davantage sur ces exemples classiques, 
citons cependant comme dernière application à des équations 
algébriques la résolution de l'équation : 

.»^ + p.x' + qi"^ + r.r -j- s = 

par l'intersection de la même parabole cubique y = x^ et de 

i' + pxy + f/y + 7-.»* + SX = . 



la conique : 



Le papier quadrillé sert de façon simple à l'évaluation des 
aires limitées par un contour quelconque. Reprenons par 



USAGE nu PAPIER QU ADR If. I.É 7 

exemple la boucle du folium de Descartes construit précédem- 
ment (fig. 3) et prenons pour unité de longueur le double du 
côté du quadrillage, pour avoir une approximation sufHsante, 
ce qui donne une aire 4 fois plus grande que Taii-e demandée. 
Traçons 2 contours polygonaux utilisant uniquement des 
lignes du quadrillage et aussi voisins que possiblede la courbe 
donnée et comptons le nombre des carrés contenus dans 
chaque polygone. Nous aurons ainsi Taire de chacun d'eux 
et il suilira d'en prendre la demi-somme pour avoir approxi- 
mativement l'aire cherchée. Ici, on pourra par exemple 



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Fig. 3. 



remarquer que le polygone recouvert de hachures a une aire 

égale à ^-^ . On trouve ainsi que Taire du polygone (|ui suit 

extérieurement la courbe est 175, Tunité d'aire étant la sur- 
face de l'un des carrés. Pour avoir la demi-somme cherchée, 
il sulïit de compter le nombre des carrés compris entre les 

2 polygones, en comptant 2 carrés pour un, de façon à avoir 

1 
la moitié de cette aire. On trouve ainsi 29^ et par suite, pour 

Taire cherchée, 145 2. Il est d'ailleurs plus avantageux de 
compter le nombre de carrés qui existent entre Tun des 2 po- 



8 A. S AI y TE r.AGUE 

lygones et la courbe même, en estimant à Tanl les fractions 
de carrés, mais ce procédé demande une certaine habitude. 
Remarcjuons que ici l'aire considérée est exactement 150. 

!^ 2. — Points entiers. 

Nous appellerons pour abréger point entier du plan tout 
point dont les deux coordonnées sont des nombres entiers, 
positifs ou négatifs, et point commensurable tout point dont 
les 2 coordonnées sont des nombres commensurables, l'unité 
de longueur étant le côté du carré qui sert de base au quadril- 
lage et les axes de coordonnées étant 2 perpendiculaires du 
quadrillage. Nous nous occuperons presque exclusivement 
des points entiers. Nous allons voir comment la considération 
de tels points facilite la construction d'un grand nombre de 
figures planes, en étudiant auparavant les propriétés les plus 
élémentaires des droites passant par des points à coordonnées 
commensurables. 

Remarquons d'abord que, étant donné // points commensu- 
rables, on peut toujours, avec un rapport d'homothétie conve- 
nable, les rentire entiers, en prenant un côté de quadrillage 
assez petit. Aussi suffira-t-il de prouver, dans certains cas, 
l'existence de points commensurables répondant à des condi- 
tions données, pour en déduire l'existence de points entiers 
répondant aux mêmes conditions. 

Au point de vue qui nous occupe les droites du plan peuvent 
être rangées en plusieurs catégories : 1° les droites c|ui ne 
contiennent aucun point commensurable. Ex. : x = I^^.H. 
2" les droites qui contiennent un point et un seul à coor- 
données commensurables. Ex. : y -- .rV\i. 3'' les droites 
qui contiennent 2 et par suite une infinité de points à coor- 
données commensurables. Nous supposerons d'ailleurs qu'il 
y ait au moins un de ces [)oints à coordonnées entières. Il est 
alors visible qu'une telle droite contient une infinité de points 
à coordonnées entières. Si, en efï'et, nous supposons que le 
point entier de cette droite soit l'origine, et le point commen- 
surable le point ^ , jle point entier ad, bc fait partie de la 
même droite et par suite les points m. ad, ni. hc en font 



US.K.E DU l>.iPli:i{ QUADRILLÉ 9 

égalenicnt partie. On venait aisément (|iril y a sur une telle 
droite 2 points tels que A,B par exemple (fig. 4j qui sont entiers 
et à la dislance minima, lout autre point entier de la droite 
étani à une distance de A représentée par m. AB [m étant un 
entier positif ou négatif]. Il est souvent commode de définir 
une droite telle que celle-ci par un point entier, A, pai-exemple, 
et par les coordonnées r/, h du point 13 voisin par rapport à A, 
pris pour origine \ cmib sont donc îles nombres premiers entre 

eux et - est le coefficient angulaire de la droite. Les droites 

(|ue nous aurons à considérer seront le plus souvent définies 
ainsi. Par exemple la droite de la ligure précédente est la 
droite A 3, I;. 

On voit (|ue 2 droites A(c/, ù) et A( — a, — b) sont iden- 
ti(pM's. Si l'on change le signe d'un des 2 nombres a ou b, 













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et d'un seulement, on obtient une droite svmétricjue de la 
premièi'e par rap[)ort à l'un des axes de coordonnées. 
Exemple : AB: AB" etc.. (lig. 5;. Il est facile de voir que 
la droite A' — />, r/j, ici AC, est perpendiculaire sur AB. 

Ce fjui précède donne immédiatement la solution des 2 
problèmes suivants: Mener par un point entier une paraUèLe 
ou une perpendiculaire à une droite donnée. On a par exem- 
ple, sur la figui-e. mené |)ar I) la pai-allèle DE à AB, et par F 
la perpendicidairc Vij à AB. 

Nous allons généraliser ((ici en considérant des (piadril- 
lages à bases différentes. Xous appelons base d'un quadril- 
lage, un quelconque des segments tels que AM (fig. 6j qui sert 
de côté à un des cai'rés du (piadrillage, et qui représente la 



10 A. SA ly TE l. A G UË 

dislance de 2 parallèles voisines. Considérons maintenant le 
quadrillage ayant pour base un segment quelconque AB, dont 
les deux extrémités sont entières, c'est-à-dire le quadrillage 
tracé en pointillé. On voit (|ue tous les points entiers, ou si 
l'on veut tous les sommets du nouveau (juadrillage, sont des 
sommets de l'ancien, mais que la récipi'oque n'est pas vraie. 
On peut montrer que tout point commensurable de l'un des 
quadrillages est un point commensurable de l'autre. Nous 
nous contenterons de l'établir sur un cas particulier en con- 
sidérant par exemple le point entier a du premier quadril- 
laire et montrant (lu'il est commensurable dans le second. 
Le lecteur généralisera sans peine cette démonstration : AB 
est partagé par les verticales du premier quadrillage en un 
nombre entier de segments égaux : ici 2 : AN et NB. Les 
coordonnées de N sont donc commensu râbles, dans le qua- 
drillage de base AB. Il en sera de même pour les coordon- 
nées de P où la verticale de a coupe BK. D'ailleurs ici 1^ est 
entier dans le nouveau quadrillage. Dans ce nouveau qua- 
drillage, a partage dans un rapport commensurable le seg- 
ment P à extrémités commensurables, 11 a donc des coor- 
données co m m en su râbles. 

Remarquons que malgré la propriété qui précède, les lon- 
gueurs AM et AB qui servent de bases aux deux quadrillages 
peuvent être incommensurables. C'est d'ailleurs le cas ici : 

AB = AM/T . 

La considération de quadrillages à bases différentes va 
nous permettre de résoudre le problème suivant: Mener par 
lin point entier une droite faisant avec une droite donnée un 
angle V, tel que tg V soit commensurable. [11 sera dans la pra- 
tique commode de définir par exemple l'angle V par l'angle 
d'une droite quelconque AP avec une horizontale AH du 
quadrillage (fig. 7)]. La direction AP est ici définie par les 
coordonnées 3, 2 du point P. Soit AB la droite donnée et M le 
point |)ar lecjuel doit être menée la droite cherchée. Cons- 
truisons le (|uadrillage de base AB et soit N le point de ce 
quadrillage de coordonnées 3, 2, On voit immédiatement que 
la droite cherchée est la parallèle MM' menée par M à AN. 



U .S' . / V. E D U I' A P I E I{ () U A D li 1 1. I. É 



11 



Un cas particulier assez intéressaul de ce qui précède est le 
siiivanl: Mener par un point une droite faisant 45° avec une 
droite donnée. Exemple. Les deux dii-cctions 2, 1 et 1, 3 font 
45°. (CD et CE). Les exemples qui })récèdent et que Ton 
pourra généraliser aisément montrent comment il est pos- 
sible d'effectuer un grand nombre de constructions sur pa|)ier 
quadrillé. La seule précaution à prendre est de profiter de 
l'arbitraire, (|ui existe habituellement sur le choix des don- 
nées, pour introduire le plus grand nombre possible de 
points entiers dans Ténoncé. On arrive ainsi à vérifier rapi- 



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Fig. e. 




dément des énoncés compliqués de géométrie. Malheureu- 
sement toutes les figures ne se prêtent pas à de pareilles 
constructions. Par exemple il est impossible de construire 
un triangle équilatéral dont les 3 sommets soient entiers (car 
si ceci avait lieu la tangente trigonométrique de l'angle de 
2 côtés serait commensurable). Les courbes quelconques 
contiennent rarement des points entiers. Signalons comme 
cas simple souvent utilisé le cercle dont le centre est un point 
entier et de rayon 5, cercle qui contient 12 points entiers'. 

Nous ne continuerons pas davantage la théorie des points 
entiers, îious contentant d'énumérer quelques résultats par- 
ticuliers faciles à établir: 



1 Lf triidijTle dont les sommets ont pour coordonnées 10, (l ; (l, 10; — li, — 8 a en particulier les 
pieds des hiiiiteurs, l'orlhocentre, le centre du cercle circonscrit el du cerdi- des 9 points, les 
milieux des côtés qui sont des points entiers. Le point de Lemoinc et le centre de «îravité 
sont conimensurablos el deviendraient entiers ])ar une honmlliétie convi'nable. 



12 A. SAINTE LAGUË 

L'aire iCun polygone dont les sommets sont des points en- 
tiers est représentée par un nombre entier ou par la moitié 
d'un nombre entiez Vumié d'aire étant Taire tlii carré de base 
du c|iiadrillage . 

Le lieu des points du plan équidistants de 2 points entiers 
ne contient des points entiers que si les 2 points donnés sont 
de même parité, c'est-à-dire si les 2 coordonnées de Tiin des 
2 points par rapport à l'autre, sont de même parité. 

Un cercle défini par 3 points commensuiribles contient une 
infinité de points commensurables. En particulier, il est 
coupé en un point commensurable, par toute droite à coeffi- 
cient angulaire commensurable, qui passe par un point com- 
mensurable de ce cercle. 

La distance dUin point commensurable à une droite, défi- 
nie par 2 points commensurables, n'est commensurable que 
s'il existe sur la droite 2 points commensurables à distance 
commensurable. Pour préciser ceci, remarquons que en géné- 
ral cela n'a |)as lieu pour une droite quelconcpie. Ceci aurait 
lieu par exemple pour une droite de direction 3, 4 car 
3^ -[- ^^ = 5^- Si maintenant on prend une di'oite quelconque, 
et par exemple 2 points entiers consécutifs A et B sur cette 
droite, à une dislance è (d étant en général incommensura- 
ble) on peut évaluer aisément la distance d'un point quelcon- 
que M (fig. 8) à AB. d étant cette distance, d . S est un nom- 
bre entier (double de l'aire ^L\B) ici 7. Donc r/ est le (|uotient 

par d de cet entier; ici d= —^ . 

y 5 

Dans tout ce qui précède, nous avons laissé systématique- 
ment de côté une notion qui se rattache simplement à celle 
des points entiers : la notion d'entiers imaginaires '. On 
appelle ainsi tout nombre a -\- bi dans lequel a et b sont des 
entiers positifs ou négatifs, « ayant la signification connue: 
(t^ = — 1;. Les afïixes de ces nombres sont tous les points 
entiers du plan. Nous ne traiterons pas cette question nous 
bornant à citer un seul théorème qui concerne les quadrilla- 
ges de bases dillerentes : 

Les affi.ces des multiples, réels ou imaginaires, d'un iiom- 



' Théorie des yombres de M. Cahkn. 



USAGE nu PAPIER Ql ADRII.l.E 



13 



bre, réel ou imaginaire^ a, sont les sommets d'un quadrillage 
ayant pour base le segment OA qui joint l'origine au point A, 
affîxe de a. 

;^ ;>. — Applications diverses des propriétés des points entiers. 

Les applications \\ rarithinéti(jiie de la théorie des points 
entiers sont très nombreuses, Nous serons obligés de faire 
un choix parmi elles, et de donner simplement quelques 
exemples de ces diverses applications. 

Etant donné la courbe /'.r, 3/) = ou plus généralement 
/"(.r , 3/, «) = représentée par une équation homogène, a 
désignant par exemple une longueur de la ligure, tout point 















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Fig. 8. 



Fig. 9. 



entier de cette courbe donnera une solution en nombres 
entiers de l'équation /(r, y ^ a) =0. Un point commensura- 



ble de coordonnées 



k ' k 



donnera une solution en nombres 



entiers de / .ï', ?/, kci) = 0. Citons un exemple de ce genre 
d'ajjplications : Prenons une droite fixe A qui sera une ligne 
verticale du quadrillage et 2 points O et F, symétriques par 
rapport à A, et entiers. Prenons un point M commensurable 
variable sur A, menons MN, perpendiculaire en M à FM, 
(fig. 9j et abaissons enfin ON perpendiculaire sur MN. Il est 
facile de voir que les coordonnées de N sont commensura- 
bles. Le lieu de ce point est d'ailleurs une slrophoïde. On 
aura donc des solutions en nombres entiers de l'équation 



a-(a' + r'i 



/ai 



y I 



14 ./. SAINT h: LAGUË 

La plupart de res applications concernent le carré de la 
distance de 2 points entiers, nombre qui est un entier, 
somme de deux carrés. Prenons par exemple la parabole 
?/2 =: 4 px^ p étant un nombre entier. On aura des points 
entiers de cette parabole en posant y = 2mp et par suite 
.r =: m^p. Soit F le foyer de cette parabole (fig. 10), A sa 
directrice, et M un point entier de cette conique. On a 
MI' =^ MN qui donne une solution en nombres entiers de 

.o 

a'^ =1 b^ -\- c^, car MF est une somme de 2 carrés. Dans le 





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Fis. 10. 



Fig. 11. 



cas de la ligure on a : y^ r= I, .c := 4, ?/ = 4 d'où Tégalité : 
52 = 32 + 42. 

Prenons 2 points M et N (fig. 11) sommets d'un quadrillage 
de base AB. Le carré de leur distance est le produit par ÂB" 
d'une somme de 2 carrés, ici 3- et 2^ car NP = 3. AB et MF 
= 2. AB. Mais d'autre part le carré de cette distance est la 

somme des carrés de MO et NQ. Si Ton remarque enfin nue 

— 2 — 2 2 . 

AB = AG + BG , on voit que Ton a démontré le théorème : 

Le produit d'une somme de 2 carrés par une somme de 2 

carrés est encore une somme de 2 carrés. 

Dans le cas de la figure on a : 7- + 4* = (2^ + Pj ^32 ^ 2^) 

La considération des points entiers, équidistants de 2 

points entiers donnés, montrerait qu'un nombre peut être 

de plusieurs façons une somme de 2 carrés. Nous allons 

étendre ceci à une somme de 4 carrés. Prenons 2 couples de 

points diamétralement opposés dans un même cercle AB et 



U s A G E ni P API K R Q L ' A I) H l A I. É 



15 



CD (fig. 12). On peut par exemple les obtenir en prenant à 
l'aide de quadrillages de base arbitraire un rectangle (|ii('l- 
conque : ici le rectangle 2,1 du quadrillage de base 3,1. Soit 
M un point entier quelconque du [)lan. L'égalité connue: 



MA^ + MB^ = MC^ + MD- 



montre cpTun nombre peut s'écrire de plusieurs laçons sous 
forme d'une somme de 4 carrés, car chaque terme, tel que 
MA , est une somme de 2 carrés. On a ici l'égalilé : P + 6^ 



\ 


^, 






\ 






, 






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_,. 






\ 








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1 


',B- 


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V 






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A 






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^, 


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\ 






' 


\ 






* 









D 




A 



M 



H 



-f- 82 + 132 == 32 + 42 + 72 + 14^ Cette représentation des 
sommes de 4 carrés permet de résoudre diverses questions. 
Par exemple si l'on veut trouver 2 sommes de 4 carrés égales 
et portant sur 8 entiers consécutifs on voit qu'il suffira de 
partir du carré ABCD (fig. 13). Les points M, N, P, etc.. 
répondent à la question. On a pour le point M : 2^ + 5" + 7^ 
+ 8'^ = 3'^ + 4' + 6'^ + 9^ Si l'on prend un point tel que Q 
pour lequel un même carré se retrouve dans les deux mem- 
bres on aura des égalités concernant les sommes de 3 carrés. 
Ici : T 4- 6-^ + 7' = 3' + ^^ + 8'' K 



1 On obtiendrait de pareilles égalités en considérant le quadrillage «cubique., des points 
entiers de l'espace : le plan, lieu des points équidistants de 2 points donnés, contient parfois 
des points entiers pour lesquels on a des sommes de 3 carrés. On peut étendre certaines des 
propriétés du plan h de tels points entiers mais non toutes. En particulier la représentation 
par imaginaires du plan ne se retrouve pas dans l'espace. i?ignalons encore l'impossibilité 
d'obtenir des quadrillages « cubiques .. à bases dillérentes, si l'on veut que les 3 directions 
d'un tel quadrillage soient distinctes de celles du premier. 



16 



SAI\Tf: /.A GUÉ 



^ U — 



Applications diverses du papier quadrillé. 



On peut employer le papier (jiuulrillé pour étudier commo- 
dément ceitaines questions. Quelques dessins industriels 
(canevas, dallages, carrelages...^ utilisent le carré du qua- 
drillage comme point, pour tracer de façon grossière certai- 
nes courbes. En géographie on peut citer la méthode « des 
carreaux » pour l'agrandissement des cartes (Un procédé ana- 
logue permettrait de tracer des projections homographiques 
d'une figure donnée. Par exemple, une amplification d'or- 
donnée dans le rapport 2, fera correspondre à un carré de 
la première figure 2 carrés superposés de la seconde, etc.). 
On peut encore se servir du papier quadrillé pour étudier 



1 M Ll 


— i i — 

— i— 1— 





A 






B 




















'" . — 1 — 1 — 1 — 


A\>^l5. 
















J L 






'5;x:3: 


.3ixi,3 




C 


: 1 i i 




D 



A 


B 






C 










A 


+i 






A 





Fi», le 



Fig. 16. 



les propriétés des déterminants, des carrés magiques, du 
triangle arithmétique de Pascal, les mouvements des pièces 
d'un échiquier, etc.. ou encore pour établir certains théorè- 
mes d'arithmétique : Exemple : La somme des n premiers 
nombres impairs est n^ Dans la figure ('fig. 14) les polygones 
successifs contiennent un nombre impair de carrés et l'on 
voit ainsi que la somme des 5 premiers impairs est 5^. 

Le carré de la somme de '2 nombres entiers a et h' est égal à 
la somme des carrés des 2 nombres augmentée du double 
produit de ces nombres. On voit (fig. 15) que si l'on prend 
a=b et ^ = 3 le carré ABCD est formé de 4 parties qui 
contiennent respectivement 5x5; 3x5; 5x3; 3x3 
carrés, ce qui donne la propi'iété. 

Donnons un exemple plus compliqué de ces démonstra- 



U s A CE DU P A P I K li Q l ' A I) /.' / /. I. K 1 7 

lions fif^iirées. Siijoposons (|iio toutes les cases (11111 quadril- 
lage eonliennenl des entiers tels, que la somme des nombres 
de eas<;s liori/ontales donne le nombre situé au-dessous de 
la secontle : les 3 nonibies A, 13, C fig. 16) donnent 
A + B — C = O (Le lecteur fera sans peine des applications 
de ceci au cas du triangle arithmétique de Pascal). Représen- 
tons encore ceci par les coefïicients 1, 1 et — 1 mis sur les 
3 cases considérées (Sur la figure on a pris 3 nouvelles 







*1 


vl 










-\ 












\ 



^îUt 



-1 



3+3 



A 



A 



Fig. 17. 



cases au-dessous des premières). Ceci posé, en n'introduisant 
ainsi que des totaux nuls on pourra affecter certaines cases 
de coefficients, toutes les cases marquées donnant un total 
égal à 0. Par exemple, sur la figure 17, les diverses parties 
de la figure répondent à cette condition et Ton voit aisément 
apparaître les coefficients du binôme. Ne voulant pas allon- 
ger outre mesure cette Note nous laissons au lecteur le soin 
d'énoncer le théorème correspondant et d'en déduire des 
propriétés du triangle de Pascal *. 

A. Sainte Laguë (Douai). 



* Le lecteur trouvera un très grand nombre de ces démonstrations figurées dans la Théorie 
de.< yombres de Llcas. 



I. 'Enseignement mathém., 12» année ; 1910 



SIH Li:S SI.NC.rL. MUTÉS 
DES FONCTIONS ANAI.YTIQUES IMTORMES 



Dans ma thèse Sa/- la contiimilé des fonctions de variables 
complexes [Annales de Toulouse, 2""' série, tome ^TI), j'ai 
montré, par des exemples, ((ue Yétendue de rensemble des 
points singuliers joue un rôle essentiel dans la l'acon dont se 
comporte une l'onction analytique uniforme iiux environs 
des points singuliers. 

Une conséquence inattendue et très imporlante, c'est (|ue 
la continuité ou la discontinuité de rensemljle des points 
singuliers n'a pas l'influence (|u'on voulait lui attribuer : 
deux ensembles, l'un continu d'un seul tenant, d'aj)rès la 
terminologie de M. Jordan), l'autre partout discontinu pure- 
ment ponctuel, d'après M. Painlkvk , ayant même étendue, 
donnent lieu aux mêmes circonstances. 

Il est bien entendu que nous excluons de nos considéra- 
tions les fonctions à espaces lacunaires et prenons le mot 
point singulier dans un sens restreint défini dans ma thèse, 
deuxième partie). 

Dans cette note, je me propose de l'aire voir (ju'en se don- 
nant a priori la façon de se comporter d'une fonction ana- 
lytique uniforme aux environs des points singuliers, il s'en- 
suit, pour Yétendue de l'ensemble des points singuliers, des 
conditions précises. 

§ 1. — I. Supposons qu'on impose à une fonction analy- 
tique uniforme f{z) les deux conditions suivantes : 

1" La fonction fz) est partout continue (donc; continue 
aussi sur l'ensemble des points singuliers); 

2" La dérivée /"'(s) est bornée. 

On démontre, avec ces hypothèses voir, par exemple, 
dans ma thèse, le chap. III de la deuxième partie), que l'en- 



/■' () y (■ T I O N s ANAL Y T I Q [] Il S U N I FO H M E S 1 '.t 

semble des |)()iiils singiiliei'S a nécessairement une ((ire non 
nulle, ou d'une façon plus j)récise encoi-e : Taii-e de Tensemble 
est parloiiL non nulle. 

II. Su|)|)()sons mainlenanl (|u'on impose à la lonclion f[z) 
seulement la condition (Vèive pditoiil coiiliiiuc. 

On dcmonli-e, dans ce cas (thèse: chap. 111 de la pre- 
mière partie) que la ioiigtieuf de rensemble des points sin- 
o-uliers est parloiil infinie. 

III. Supposons, en troisième lieu, (pTon im.pose à la fonc- 
tion / r.i la condition d'être bornée dans le voisinage des 
points singuliers. 

On démontre (thèse : premier chapitre de la seconde 
partie (|ue la longueur de Tensemble des points singidiers 
esl pa/tont non nulle. 

IV. F^nfin, pour être certain cpTune l'onction analyti(|ue 
uniforme devient infinie dans le voisinage de tout [)oint sin- 
gulier, il suffit que Tensemble des points singuliers ait une 
tongiteiir nnlle ihèse : chap. I de la deuxième partie . 

,^ 2. — Un autre résultat remarquable est relatif aux inté- 
grales 

c 

prises suivant les contours fermés C, ne passant que [)ar des 
points réguliers 3, mais contenant des points singuliers dans 
la réo-ion enfermée. Dans les cas où Tintéorale J a un sens, 
le contour C peut passer même par des points singuliers. 

On démontre poui- les cas 1 et II, au moyen d'un théo- 
rème de iMorera\ pour le cas III voir une note des Co/np/es 
Rendus, 12 juillet 11)09' que les intégrales .] ne peuvent pas 
être toutes nulles: en d'autres termes, elles caractérisent les 
singularités contenues dans (]. 

Il semble que cette proposition souffre une exce[)lion dans 
le cas l\'. Mais cela tient au lait cju'en imposant à la fonction 



' l.'i'st le llir'iiii'ine ilciiioiitif dans la première ])arlie «le ma thèse ; chapitre 1 Lorstpie jai 
donné ce théorème, dans ma thèse, je le croyais nouveau. Grâce à une obligeante communica- 
tion de M. le prof. K. La.miau. j'ai appris qu'il avait été donné bien avant moi par .Moid'RA 
{Ihiidiconti del li. /sliCiitn I.niiibarUo, série 2, I. 19, 188GI. 



20 ./. liOSE 

la coiulilioii ilôtro iiitiiiie. on ne lui impose, au fond, (luune 
condition purement négative : /(/ fonction n'est pas bornée. 
En j)réeisant le genre d inlinitude qu'on impose à / r. , la 
proposition ei-dessus devient applicable. Par exemple, on 
peut imposer à f\z la condition de devenir, dans le voisi- 
nage de tout point singulier, infinie comme 



pour z z^ Cl . Dans ce cas on démontre (|ue les intégiales 

c 

ne peuvent pas être toutes nulles. 

1). PoMi'EiL" (Jassy. Roumanie). 



SrH LE.NSEUÎNEMEXT DES MATHEMATIQUES 
EX BELGIQUE 



L'iînseiiinement mathématique ayant publié, dans le cours de 
ces derniers temps, plusieurs articles sur lOrganisation de ren- 
seignement matbeniatique dans divers pays, il ma paru intéres- 
sant de donner également une rapide esquisse de cette question 
pour la Belgique, .le me bornerai toutefois aux enseignements 
moyen et supérieur. 

I. ~ L'enseignement moyen. — Degré inférieur. 

l/enseignement moyen comprend lui-même deu.v degrés: le 
degré inférieur et le degré supérieur. 

De nombreuses écoles moyennes de 1 Etat sont cbargées du 
degré inférieur. .< Le législateur, en créant ces écoles moyennes, a 
eu principalement en vue de fournir aux jeunes gens qui se des- 
tinent aux carrières commerciales, industrielles et agricoles d'or- 
dre moven ou aux arts et métiers, une éducation et une instruc- 



I. E y s /■: I (; .\ e m e y t e y n e l a i o c e n 

lion plus ('(»mpl(;t('s (jiie celles de l'écolf primaire, mais moins 
dévclopprcs que celles des couis dliiimanités modernes, avec 
orientation bien mai(inée vers les nf'cessitc's |)rati(|nes de leur 
situation probable dans l'avenir. Donner une instruction franche- 
ment pratique et directement utilisable : voilà la |)rincipale mis- 
sion qu'imposent à ces écoles, aujourd'hui plus (jiie par le passé, 
les conditions de la vie économique et surtout l'âpre concurrence 
que font à notre pays ses voisins, sur le terrain commercial, indus- 
triel et agricole. » C'est dans ce but é<ralement (pie certains de ces 
établissements, outre les cours d'intérêt général, ont été dotés de 
sections spéciales: commerciale, industrielle ef agricole. Beau- 
coup comportent également une section préparatoire dont le 
programme est le même que celui des écoles primaires. L'enseigne- 
ment c(»mprend trois an/u'es ; en ce qui concerne les mathi-mati- 
ques, on consacre à leiii' ('tudc icgulièrement 4, 4, ."> heiiics pai" 
semaine. 

L'ÉTUDE DE l'arith.mktiqik se répaitit sur les finis années. Klle 
comprend d'abord une partie théorique ayant pour objet les ma- 
tières suivantes : Xuméiation décimale. — Opérations fondamen- 
tales (avec; raisonnement sur les nombres entieis, les fraclions, 
les noml)res décimaux. — Piincipes et caractères de divisibilité 
élémentaires. — Nombres |)remiers. — P. g. e. d. et p. p. c. m. 
par les deux méthodes. 

Pour ce qui est de la pr/rtie p/atif/tte, elle se rapporte aux objets 
ci-après : étude détaillée du système métiique — règle de trois 
— intérêt sim|ile — tant pour cent et pour mille : applications : 
tare, gain, perte — escompte en dehors et en dedans — pai'tages 
proportionnels et règle de société — moyennes, mélanges et allia- 
ges — méthode des parties aliquotes, monnaies étrangères et leur 
conversion — problèmes variés sur les objets suivants : intérêts 
ccmiposés (usage des tables), éché'ance moyenne, rentes sui' l'Ktat, 
obligations et actions de société, (baisse d Epargne et de Retraite 
sous la garantie de I Ltat, notions très sommaires sur les annui- 
tés (usage des tables), les assurances et les mutualités. — Carré 
et racine carrée — cube et racine cubique. H est recommande'' 
au professeur de choisir des démonstrations simples, mais 
l'igoureiises ; il évitera soigneusement de remplacer par de sim- 
ples vérifications les véritables démonstrations (pii doivent décou- 
ler des définitions et des principes. Il adoptera la voie de l'induc- 
tion pour amener les élèves à comprendre les définitions, les 
principes et les règles, et à les découvrii- par eux-mêmes lorsque 
la matière ne présente pas fi'op de dilîicnltés. 11 procédera donc 
au moyen d'exem[)les et passeia du ((mcret, du paiticulier, à 
l'abstrait et au général. Les exercices du calcul mental, les pr(»- 
blèmes et autres exercices d'apj)licalions, marcheront constam- 
ment de pair avec l'enseignement théorique. Le j)i(>fesseur alfa- 



22 ./ ROSE 

chera la plus liante iinporlance aux a])plications prali<pi<'s ; il ne 
perdra jamais de vue (pic si le cours darilhmétiqiie doit être une 
vérilahle y) ninastiipie des facultés de jutfeiiient et de raisonne- 
ment, il importe surtout que ce C(Hirs prépare, dune manière efli- 
cace, les élèves à appliquer le calcul aux nombreux usasses de la 
vie, c'est-à-dire aux besoins des arts et métiers, de l'économie 
domestique, du commerce, de l'industrie, de l'agriculture, etc. Le 
professeur j)roj)osera fiécpiemment des problèmes dans lesquels 
interviennent, à ccUé de données iK'cessilaiit l'emploi du calcul 
chinVé, d'ajilres données qui conduisent à des exercices de calcul 
mental présentant des combinaisons ingénieuses et d'heureuses 
simplilications basées sur des principes d'arithmétique. F. es don- 
nées des problèmes seront prises dans les limites de la réalité et 
fourniiont aux élèves des notions prati([ues d'une grande utilité. 
Il va sans dire que les |)roblèmes dont la solution exigerait d'as- 
sez longues explications, scientifiques ou techniques, ne rentient 
pas dans le cadre des études de l'école moyenne. » 

L'ÉTUDE DE l'algèbre sc répartit sur les deux dernières années; 
elle se rapporte aux objets ci-après: transformation des égalités 

— foi-mules générales des problèmes d'intérêt, d'escompte, de 
société, de mélange — rapports et proportions ; applications — 
résolution de l'équation du premier degré à une inconnue; pro- 
blèmes — opérations fondamentales sur les quantités algébiiques 

— fractions algébriques simples — résolution des systèmes d'équa- 
tions du premier dqgré à deux et jîlusieurs inconnues; problèmes 

— intei-prétations des valeurs négatives, infinies, indéterminées. 
Quant à .I'enseicnemext de la (jéométiue, il s'étend aux trois 

années: Définitions et notions préliminaires — divers cas d'éga- 
lité des triangles — théorie des perpendiculaires, des obliques et 
des parallèles ; somme des angles d'un triangle et d'un polygone 
quelconque — propriétés principales desquadrilatères — propriétés 
principales du cercle et des figures qui résultent de sa combinai- 
son avec la ligne droite — mesure des angles — problèmes sur les 
tracés des divers éléments des figures — mesure des surfaces des 
polygones — carré d'un côté d'un triangle — longueurs propor- 
tionnelles — figures semblables — calcul numérique des éléments 
d un triangle — problèmes — polygones réguliers — mesures de 
la circonférence, du cercle, du secteur (d'une manière pratique) 

— applications — arpentage — description et emploi des instru- 
ments : chaîne d'arpenteur, jalons et fiches, équerre d'arpenteur, 
giaphomèf re. — Mesui-e de la superficie des terrains — lever des 
plans à la chaîne, à l'équeri'e, au graphomètre, à la planchette et 
à la boussole — dessin des plans — exercices sur le terrain. 

Nivellement : Desciiption et eir.ploi du niveau d'eau, du niveau 
à bulle d'air, du niveau Lenoir et de la mire — opérations sui- le 
terrain. 



/. E N S E I C. N E M E .V T E A' /i E f. C I Q U E 1?, 

Mesure* de la surtacc el chi volume des polyèdres cl drs trois 
coips l'ouds (enseignement exelusivement prati(iue) — applications. 

Telle est la matière <>éom(''liique «'tudiée ])ai' les élèves au cours 
de leurs éludes moyennes. 

'( La [)aitie tliéoi'i(iue du cours compicnd ess(!ntiellemeiil les 
propositions de géométrie plane dont on l'ait de Iréquenles ap|)ii- 
cations dans la vie pratique et celles qui servent de hases aux 
premières. Les questions théoriques pures ont été écartées. 

Il ne s'agit pas de procéder, comme à l'école primaiie, par voie 
intuitive, expérimentale; les propositions seront (lé;iiontrées 
rigoureusement et solidem.ent enchaînées. 

On j)ropose fV('queninient aux élèves comme applications, des 
théorèmes à démontrer, des prohlèmes généraux à résoudre, des 
lieux géométri(iues à trouver. Sans s'interdire ahsolument ce 
genre de questions qui aiguisent l'esprit de recherche et l'ont naî- 
tre le goût des études théoriques, le professeur choisiia surtout 
des exercices d'applications à la vie usuelle, aux arts et métiers, 
à la mesure des surfaces et des volumes, aux travaux industriels, 
à l'arpentage, etc. Les problèmes numériques, les constructions 
graphiques (règle et compas seront les applications les plus nom- 
breuses. 

C'est en associant intimement la théoi-ie et la pratique, c'est en 
s'efToi'çant de rendre celle-ci la plus féconde possible que le pro- 
fesseur parviendra à faire du cours de géométrie un puissant 
moyen d'éducation intellectuelh; et une préparation à un grand 
nombre de professions. 

Le professeur aura soin de ne pas employer exclusivement la 
forme expositive. Il s'efforcera, par une interrogation logiquement 
coiuluite, d associer largement les élèves à son enseignement. La 
connaissance pratique des formes géométriques, acquise dans les. 
cours j)rimaires, les aidera à saisir la portée des questions du 
maître, et lorsqu'ils aurcml pris l'habitude de la réflexion, il leur 
ari'ivera fréquemment de trouver le genre de démonstration à 
appliquer, de déduire du théorème nouvellement étudié les corol- 
laires <(u"il comporte, de luontrer comment il se lie aux proposi- 
tions précédemment démontrées. » Comme on le voit par ce raj)ide 
aperçu, la Belgique a déjà réalisé depuis quehjues années, au 
moins dans les écoles moyennes, une partie assez notable des 
réformes préconisées par cette revue. 

IL — Enseignement moyen. — Degré supérieur. 

L'enseignement moyen du degré supérieur est donné dans les 
athénées rof/an.r r\ cof/èffcs co/n/nii/ifin.v d'une part et dans les <o/- 
leges libres d'autir j)art. Parmi ceux-ci on distingue tout d'aboid 



24 J. ROSE 

quelques institutions laupies des oriandes villes qui préparent 
spécialement les élèves à llù'ole militaire et aux diverses Facul- 
tés. Généralement leurs professeurs, au moins ceux des cours 
principaux, sont pourvus de diplômes légaux; le programme des 
études ne s'écarte pas sensiblement de celui des athénées; mais, 
dans la plupart des cas, on n'y donne aux élèves que les connais- 
sances strictement nécessaires pourTentrée aux écoles auxquelles 
ils se destinent. 

Les autres établissements libres ont un personnel prescpic en- 
tièrement ecclésiastique. Plusieurs congrégations religieuses pos- 
sèdent quelques collèges très peuplés où, en général, il y a deux 
sections sans subdivisions : les humanités anciennes et les huma- 
nités modernes. Les autres collèges, dits épiscopaux, ne sont 
soumis qu'à l'autorité des évèchés;huit d'entre eux seulement 
subissent l'inspection de l'Etat et de ce fait participent au con- 
cours général et ont droit à des subsides. A part ces'derniers, tous 
les établissements suivent, dans ses grandes lignes, le programme 
des écoles oflicielles, ce qui leur confère le di-oit de décerner à 
leurs élèves le certificat fin d'études exigé pour l'admission aux 
diverses universités. Vax général, les professeurs de ces écoles 
n'ont pas reçu de préparation spéciale; ce sont des prêtres qui 
enseignent la branche pour laquelle ils ont le plus d'aptitude et 
qui ont reçu au séminaire des notions de pédagogie et de métho- 
dologie. Les éludes littéraires y sont très développées et très soi- 
gnées ; pour ce qui est des études scientifiques, on y apportait 
moins de soin jadis. Mais, dans ces dernières années, de sérieux 
efforts ont été faits, pour les relever et ils ont été couronnés de 
succès. Certains collèges se sont adjoints des spécialistes civils; 
de plus, beauc()up déjeunes prêtres vont compléter leurs études 
à l'Université catholique de Louvain. 

L'enseignement officiel se répartit entre vingt athénées royaux, 
et neuf collèges communaux. Ces derniers ne diffèrent en rien des 
autres établissements officiels quant au programme et au recrute- 
ment de leur personnel ; ils sont soumis à l'inspection de l'Etat, 
jouissent de subsides financiers cl pai-ticipent au concours général. 
Mais leurs professeurs sont nommés par les administrations com- 
munales des villes où ils sont établis, tandis que ceux des athé- 
nées sont nommés par le Roi. Nul ne peut être admis à ces fonc- 
tions s'il n'est porteur d'un diplôme de docteur en philosophie cl 
lettres ^classique, romane, germanique ou historique), en sciences 
natui'elles. en sciences commerciales, en sciences physiques et 
mathématiques. 

Les alhènées roijaii.i sont divisés en deux seclioiis : les huma- 
nités anciennes et les humanités modernes ou section profession- 
nelle. Chacune de ces deux sections comprend sept classes ou 
années d'études. 



/. I-: N s /, / (; y E .»/ 1: y i e s h e i. <: i o u e 25 

[,es futiuaiu'li's a/uic/mes foinprcnnent : l" la section des luinia- 
iiités j^reeques-latinos coiiduisaiit aux doctorats en droit, en mé- 
decine, en pharmacie, en phil«»sophie et lettres, en sciences natu- 
relles; 2" la section des humanités latines conduisant au notariat. 
au doctoiat en sciences mathématiques, aux écoles techniques et 
à IKcole militaire. I/étude du grec y est remplacée par une étude 
plus appi'ofondie des mathématiques et des sciences naturelles. 

Les hunuinilès modernes comprennent : 1" La section commer- 
ciale et industrielle préparant les élèves aux diverses administra- 
tions, au commerce, à la hanque, à lindustrie, aux écoles com- 
merciales supéiieuics ; '1" la section scientifique conduisant à 
rKcole militaire, aux facultés techniques, au doctorat en sciences 
mathématiques. Les quatre classes inférieures des humanités mo- 
dernes sont communes aux deux secti^)ns; la division ne com- 
mence (juen troisième. 

Comme on le voit, cette distribution en sections correspond à 
peu j)rès à celle des lycées français. En ce qui concerne les lan- 
gues modernes, une seule est obligatoire dans la section des hu- 
manités anciennes : le ilamand car le pays est bilinguei; deux 
dans la section scientifuiue : le flamand et l'allemand : trois dans 
la section commerciale : le flamand, lallemand et l'anglais. Dans 
les collèges libres il n'existe que les deux gi-andes sections sans 
subdivisions. Le baccalauréat est remplacé par un certificat fin 
d'études délivré aux élèves (pii (»nt obtenu la moyenne générale 
en rhétoiique; ce certificat leur permet lentrée, sans examen, aux 
diverses universités. 

Rn ce qui concerne plus particulièrement l'enseignement ma- 
thémati([ue, voici |)ai' classe et par section le programme suivi : 

« lllMANn i:S tiHFXOlKS-I.ATINES. I) 

Sei'Tik.mk. — Exposition de la numération décimale des nombres 
entiers. Addition et soustraction raisonnées. Définitions et lègles 
sans démonstration de la multiplication et de la division des 
nombres entiers. Petits problèmes sur les nombres entiers. Ca- 
ractères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, G, 9 et 11 (sans démonstra- 
tion . Infractions ordinaires, transformations (|ui n'altèrent pas la 
valeur d'une fraction. Simplification et réduction au même déno- 
minateui'. Di-finition et règles fsans démonstration des opératiojis 
fondamentales sui' les fractions. Problèmes faciles. Nombres déci- 
maux. Numération. Règles (sans démonstration des opérations 
fondamentales sur les nombres décimaux. Première ('Mude du sys- 
tème métrique, .\pplicalions .5 h. . 

Sixii:.Mi:. — Demonsli-ation des règles relatives à la multiplica- 
tion des nombres entiei-s; à la multiplication et à la division des 
fVaclions (trdinaires et des nombres décimaux rn mettant ceux-ci 



26 ./ . n f) s E 

sous forme de fractions ordinaires . Le sens et les règles des opé- 
rations sei'ont expli<iiiés d'abord au moyen de prol)lèmes concrets. 
Démonstration des caractères de divisibilité par 2, 4, 5, 8, 3, 9. 
Problèmes sur l'intérêt simple, rescompte commercial, les mélan- 
ges et les alliaji^es. Hèi>le de trois. Ktude détaillée du système mé- 
trique 3 h. pai- semaine'. 

CiNQiiKMK. — Interversion des fadeurs d un produit. C,onsé- 
quences de ce principe. Clliangenients (pi'éj)rouvent le cpiotient et 
le reste d'une tlivision <piand le dividende et le diviseur ou Tun 
d'eux sont rendus un certain nombre de fois plus grands ou plus 
petits. Division par un produit de facteurs. Démonstration du 
caractère de divisibilité par 11. Preuves par 9 et par 11 de la mul- ' 
tiplicalion et de la division. Problèmes sur l'intéièt simj)le, sur 
les deux escomptes, sur la rente, la lare, les mélanges, les alliages, 
l'échéance commune, règle de société (applications du tant pour 
100 ou pour 1000'. Théorie des fractions généralise'cs. Formules 
générales relatives aux problèmes d'intérêt, de mélanges. Rap- 
ports et proportions (préliminaires). (Calcul des surfaces et des 
volumes (cas les plus simples . Calcul du poids d'un corps (3 h.). 
Quatrième. — Arithmétique. Démonstration de la règle de divi- 
sion des nombres entiers. Recherche du p. g. c. d. de deux nom- 
bres ])ar divisions successives. Un nombre qui divise un produit 
de deux facteurs et qui est premier avec l'un d'eux divise l'autre 
facteur. Conséquences de ce principe. Un nombre n'est décompo- 
sable qu'en un produit de facteurs premiers. Recherche des divi- 
seurs d'un nombi'e. Recherche du p. g. c. d. et du |). p. c. m. par 
décomposition en facteurs premiers. 

AIghbre. Transformation des égalités. Rtude complète des proT 
portions. Partages projxyrtionnels. Kquations. Piésolution d'équa- 
tions et de problèmes numériques du 1"^^'' degré à une inconnue, 
problèmes littéraux. On choisira notamment les problèmes sur 
rintérèt, les alliages; on tirera de la formule fondamentale la 
valeui- de l'une quelcontjue des quantités qui y entrent et on 
exercera les élèves à formuler l'énoncé des problèmes dont cette 
valeur est la solution. 

(jéoinctrie. Le premier livre. Construction, à laide de la règle 
et du compas, de figures d'après des données numériques (3 h,), 
TnoisiKME. — Aigebre. Résolution des systèmes d'équations du 
pi-emier degré ii deux et ;i plusieurs inconnues. Résolution tie 
fpiehpies problèmes généraux assez simples. Applications des 
formules à des exenqjles uunK'riques. Interprétation des valeurs 
négatives, indéterminées, infinies. Cette paitie du programme est 
destinée à préparer les élèves au caleul algébricjue et à leur faire 
comprendre la généralité des résultats. 

Calcul alg('bri(|ue. Opérations fondamentales. Carré et cube 
d'un binôme. Divisibilité d'un polynôme entier en .r par .r — a; 



/. i: N .s K I c N i: M i: .\ r e x h i: i. <. kj ( i: -i : 

appliration à la division de .i ± (' [mw .r ziz i^' '• lornu' du ((iio- 
fient. Fractions algébriqnes : oj)éi'alions. simplifications dos frac- 
tions dans les cas les pins simple^-. 

(iconiétrii'. Projiiicti's dn cercle et des (igiires qni résnltenl de 
sa combinaison avec la ligne di'oite. Mesnre des angles. 

Problèmes : tracé des pei'pendiculaires, des parallèles; cons- 
truction des triangles et des cil-conférences d'après les conditions 
indi(|iiees. l'valiiat ion des aires planes. Lignes p!oporti(»iiiielles. 
Figures sein])lai)les. propriétés des sécantes, détermination des 
éléments d'un triani^lc hauteurs, médianes, rayons des cercles 
inscrit et circonscrit), surface en fonction des côtés; applications 
numéri(iues. Problèmes sur les longueurs proportionnelles, les 
figures semblables et écpiivalentes ; construction d'un rectangle 
connaissant la surface et la somme ou la dilférence des côtés; j)ar- 
tage d'une droite en moyenne et extrême raison. — Arpentage : 
mesure et division des terrains faire quelques épures soignées 
avec règle et compas). (3 h.) 

Skcoxoe. — Algèbre. Carré et racine carrée des nombres et des 
p(dynôines. Calcul des radicaux du second degré, lîésoliition de 
léquation dn second degré; propriétés des racines; décomposi- 
ti<»n du trinôme du second degré en facteurs. Discussion de léqua- 
tion //./ - -j- /;.r -j- r = 0. K(( nation l)icari'(''e, résolution et discussion, 
rraiisforniation de 



V/a ± V B 

Problèmes du second degré. Résolution de quel(|ues systèmes fa- 
ciles d éf[nations dun degré supérieur à plusieurs inconnues. Maxi- 
mum d'un produit de deux facteurs ayant une somme constante. 
Minimum de la somme de deux facteurs ayant un produit constant 
(s'appuyer sur (.r -|- y- = (.r — //)- -f- ^ ■^' !/)'■> applications. Pro- 
gressions arithmétiques et gc'oniétriques ; insertion de moyens 
proportionnels; somme des termes. Théorie des logarithmes dé- 
finis par deux progressions; usage des tables; caractéristiques 
négatives. Intérêts composés et annuités. 

(jéomêLrie. Revision du 3""' Livre de Legendre. Polygones régu- 
liers. Mesures du cercle et de la circonférence. Détermination 
de n méthode des isopérimètres . ^ Dans l'espace : droites et 
plans, j)arallèles, jx-rpciidiciilaires ; mesure de 1 angle diètire, 
égalité des trièdres. 

Trigonométrie. Déhnilions des lignes trigonométri(pies ; for- 
mules relatives au triangle rectangle, l sage des tables, calculs 
numériques, apjilications. ('À h. 

RiiKToiMQiK. — A/gi'/i/e. Progressions, logaril limes, intérêts 
composés, annuités, emprunts, rentes viagères. 

(ii'ométrie. Revision du T)"" livre. Pro|)rictés fondamentales du 



28 /. no SE 

prisme, de la pyiamide, mesures des volumes et des surf'aees de 
ces corps et des troncs de prisme et de pyramide. 

Sphère. Sections planes, plans tangents, intersection de deux 
sphères, pôle d'un cercle tracé sur la sphère; triangle sphérique, 
sa mesure. — Surfaces et volumes du cylindre, du cùne, du cône 
tronqué, de la sphère. 

Trigonométrie. Formules fondamentales, résolution des trian- 
gles quelconques; exercices numériques. Applications topogra- 
phiques faciles : graphomètre, niveau. l3 h.) 

lIlMAMTÉS MODERNES. 

Septième et Sixième. — Même programme cpie pour les mêmes 
classes des humanités anciennes. 'Chacune 3 h. 

Cinquième. — Arithmétique. Revision de la numération. Dé- 
monstration des opérations fondamentales sur les nombres entiers 
(moins la division!, sur les fractions ordinaires, les nombres déci- 
mau.x en mettant ceux-ci sous forme de fractions ordinaires). 
Théorie des fractions généralisée. Principes et caractères de 
divisibilité des nombres. Proportions. Applications nombreuses 
aux questions d'intérêt simple, d'escompte, de société, de mé- 
lange ; formules générales relatives à la résolution de ces problè- 
mes. Applications numériques. 

Algèbre. Transformation des égalités. Résolution de l'équation 
du l*"" degré à une inconnue. Résolution de problèmes numéri- 
ques et littéraux. Application des formules trouvées à des exem- 
ples numériques (en particulier intéiêt, escompte, mélanges et 
alliages . 

(jéométrie. Définitions et notions préliminaires. Egalité des 
triangles. Théorie des perpendiculaires, des obliques, des paral- 
lèles ; somme des angles d'un tiiangle et d'un polygone quelcon- 
que. Quadrilatère. Applications; constructions avec données nu- 
méricpies au moyen de la règle et du compas. (4 h. 

Qi ATiiiÈME. — Arilliniéli(jiie. Révision des principes et caractères 
de divisii)ilité. Théorie du j^.g.c.d. par divisions successives. Dé- 
composition des nombres en l'acteurs premiers. Recherche de tous 
les diviseurs d'un nombre, du p.g.c.d. et du p. p. cm. de plusieurs 
nombres. Déteiniination du p. p. cm. à l'aide du p.g.c.d. Démons- 
tration de la règle de division des nombi-es entiers. 

Algèbre. Iiésolution des systèmes d'équations du 1"" degré à deux 
et à plusieurs inconnues. Résolution de problèmes généiaux. Ap- 
plication des formules à des exemples numériques. Interprétation 
«les valeurs négatives, infinies, indéterminées. Opérations fonda- 
mentales sur les (piantitf's algébriques ; carié et cube d'un l)inôme. 
Divisibilité d'un polynôme entier en .r par .r — «; application à 
a division de .r ± ''/ par v ± a. rorme du quotient. 



r/llN s K I a N E M E y T E N It E I. G IQUE 29 

Fractions algohriqiics : ojx'iations et simplification. Carré cl 
racine carrée des nombres et des polynônies ali^ébriqnes. Calcul 
des radicaux du second degré. Résolution de l'écpiation du second 
degré. Problèmes. 

Géométrie. Revision du cours précédent. Propriétés principales 
du cercle et des ligures qui résultent de sa cotnbinaison avec la 
ligne droite. Mesure des angles. Problèmes. Mesures des aires 
planes. Relations entre les éléments d'un triangle. Longueui's pro- 
portionnelles. Figures semblables. Calcul numérique des éléments 
des triangles. Problèmes. (4 h.) • 

TitorsiKME. — Section scientifique. Revision du cours de qua- 
trième. 

Arithmétique, l'héorie générale*de la divisibilité des nombres, 
du p. g. c. d. Théorie des nombres premiers. Théorèmes de Fer- 
mat et de Wilson. Conversion des fractions ordinaires en frac- 
tions décimales et réciproquement. Approximations numériques. 
Principales mesures anciennes en usage dans le pays. Principales 
mesures étrangères; leur réduction en mesures décimales. Opéra- 
tions sur les nombres complexes. Racine cubique. 

Algèbre. Discussion des systèmes d'équations générales du pre- 
mier degré à une et deux inconnues. Discussion complète de 
l'équation générale du second degré. Equations réductibles au 
second degré. Réduction des expressions de la forme 



\/a -I- V /•» - ^a -I- /> V — 1 . 

Propriétés des trinômes du second degré. Questions de maximum 
dépendant du trinôme du second degré. Progressions ; problèmes. 
Théorie des logarithmes par les progressions. Usage des tables. 
Application aux questions d'intéi'èts composés et aux annuités. 

Géométrie. Polygones réguliers. Mesure du cercle. Détermina- 
tion de Tt. Problèmes. Notions sur la théorie des transversales. 

Trigonométrie rectiligne. Relations entre les lignes trigonomé- 
triques. Arcs multiples qui correspondent à une ligne trigono- 
métrique donnée. Formules fondamentales. Discussion et trans- 
formation de ces formules, ("onstruction et usage des tables 
trigonométriques. Résolution des triangles. Calculs numériques. 
Application des formules à la résolution de divers problèmes. 

Arpentage. Nivellement. Lever des plans à l'équerre, au gra- 
phomètre et à la planchette. (6 h.) 

Section commerciale et industrielle. Revision de ce qui a été vu 
en quatrième en algèbre; et géométrie. 

Algèbre. Propriétés des racines de l'équation du second degré. 
Discussion des racines. Résolution de quelques systèmes symé- 
tritpies d'équations tels que jc -\- y = a , .vy = b ; .r^ -\- y^ ^ a, 
.ry = b : .r^ -\- y^ = a, r -\- y = b. Notions sommaii'es sur les 



30 



.1 . n <) s /■; 



exposants riaclioiinaiics ol iH-i;ali("s. Pion icssicms ; inserlioii de 
moyens cnlrc drnx nombres dcMun-s, somme des termes. Lo<>;a- 
rithmes délinis par i\i^\\\ pioj^ressions. Lo<;aril limes d'un prodnit, 
d'un (piotient, d'une puissaïK'e, d'une racine. Logarithmes à hase 
10: propric'lés spt'ciah's. ht^arithmes à caraelerist i(|ue nenaiive ; 
usajfe des tables. 

Opérations (inaneieres à lon^ h inie. Inieii-ls composés, 
taux e(|uivah'n!s, taux propoilionnels. l'iscomple. Helations entre 
l'escomple et rinl»''rèl. Inlcièts anlicip(''s. lù'hc'ance commune. 
Echéance moyenne. A nmiili's conslanles et certaines. Problèmes 
fondamentaux. \ ah'ur aci uelle. Annuité anticipée. Annuile dille- 
ree. Perpétuité'. Nond>reu\ e\emph's numé-ricpies. Usa^c- des labiés 
d'intérêt compost'-. 

(îconu'lrie. Poly<^()nes ré'ouliers; i^c'neraliii-s. Inscrire a une cir- 
conférence les poiyifones ré<(uliei's (U* 'i, (>, <S, 10. ."> c('»les; calculer 
le côté, l'apcdhème et la surface en l'onction du raytîn. Lon^ucni- 
d«' la circonférence et aire du cercle; aire du secleiir circulaire. 

Arpcnldi^c. Levei' des plans à l'é-cpierre, à la planchette, au 
«Ci'aj)honiétie, ii la boussole. Nivell(;meut . hlxcrcices sui' le leirain. 

Seconde. — Section scientifique, lîevision du cours de I roisième 
avec de nombreuses applic-al ions. 

.\iitlinu'ti<juc . Théorie des di Ifererits sysièmes (!<• ninneral ion. 
des opc'rations fondaujeniales sur les nombres enliers dans un 
système (pielcorupie. (laraclère de dixisibiiile par un di\iseni' de 
B -\- I. \l(''thodes abreti'l'es pour elleeliier la m il II ipl ica I i(»n, la 
division, rexlraclion de la racine carrée. 

Al'^elire. l'!mploi des coenicieiils i iidelermi nés. Application de 
la nu'lhode des coelHcieiiLs iiidelermiiH's à la théorie de la divi- 
sion, à la recherche (b- la racine d'un polynôme, à la rechei<he 
des rcda lions (pii doiv(;nt exister eut re les coellicienl s dune expres- 
sion al^«'|)ri(pie pour cpi ClIe sal isfasse à eerlaines coud i I ions ; à 
1(1 r(''S(dulion des e(pialioiis du preni ier dej^if'. Maximum d'un pro- 
dnit a?'"//" (piand (i.v -\- In/ es! constant. Maximum on minimum 
d'une foiicti<»n du secoml dej^re à deux variables, b^actions con- 
tinues; |)ropri<''t(''s des réduites, fractions coiil iniies periodicpies. 
Analyse indéterminée du |)remier de^re. Iheorie des arrange- 
ments, permutations, combinaisons avec et sans [('pétition. Binô- 
me de Xewton. b'ormation des puissances d'un polynôme, etc. 
Puissances (;t racines des monômes, supérieures à celles du second 
dejri'c. (lalciil (b's ladicaux, exposants l'racl ioiiiiaires ou iH'oalifs, 
éfpialions exponenl iel les. l'Iu-oiie des lo^a ri I 11 mes par ICtpialion 
exponentielle. ( loiieoi<laiice des deux deli ii il i(»iis, module. I.oya- 
l'ithmes iH-periens. 

i'iî'.onii'trie j)l(ine. Divisions et laisceaiix liarmoni<pies et aiihar- 
moniques. Pôles et polaires. riK'orèmes de Pascal cl <le nriaiichon 
pour le <'ercle. .Nombreux exercices sur la <;(''om(''trie. 



/. ■ I-: N s i: I c N i: m i: \ i i: .\ n i: i. c i o r i: w i 

Ijéoniéliic dans l'espace. Du plan et des li^m-s droites considé- 
rées dans respace. Mesure de laiiiiN^ dièdre, piopric'tés |)iiiieipales 
de l'anole solide, tiiédres supplémentaires, l'ropi'iétés principales 
des |)olyèdres, leur volume et leui- surface convexe. Théorie de la 
similitude et de la symétrie : |)lans, axes et centres de symétrie. 
Triangles sphéiiques. Proiiriétés piincipales du cylindre, du e(')ne, 
de la splièie; suifaee convexe et volume de ces corps et des seg- 
ments. l*olyèdres réouliers. 6 h. 

Section coninierciale et industrielle. Revision du cours de troi- 
sième. — Algèbre. Nombre de peiniutations de n lettres. Nombre 
des arrangements et nombre des combinaisons simples de ni lettres 
n à n. Formule du binôme de Newton pour un exposant entier 
positif" avec démonstration) et pour un exposant fractionnaire ou 
négatif ^sans démonstration .Opérations financières à long ternie. 
Problèmes généraux relatifs aux emprunts remboursables par an- 
nuités constantes. Théorie de Famortissement de ces emprunts 
et lentes sur 1 Etat. Caisse d amortissement. Système ordinaire de 
laniortissement progressif. 

(jéomctrie. Théorie des plans; droites perpendiculaires, obli- 
ques jîarallèles à des plans; plans parallèles; angles dièdres; 
plans perpendiculaires; angles trièdres et leurs propriétés (sauf 
tricdres supplémentaires ; somme des faces d'un angle solide con- 
vexe. Piismes. parallélipi|)ède : propriétés, volume. Pyramide : 
section parallèle à la base, volume. \ olume du tronc de pyramide 
et du tronc de prisme triangulaire. Exercices numériques sur le 
calcul des volumes. Polyèdres semblables : définition, rapport des 
surfaces et rapport des volumes (sans démonstration). Descrip- 
tion sommaire des polyèdres réguliers convexes. 

Trigonométrie. Pi'incipales f(H'mules de la géométrie non étu- 
diées en troisième. Relations fondamentales entre les éléments des 
triangles rectilignes quelconques; résolution de ces triangles. 
Applications numéiiques et to])ographiques. 3 h. 

Rhétorique. — Section scientifique. Revision approfondie des 
théories princii)ales de raritliméti({ue. de l'algèbre et de la trigo- 
nométrie avec de nouvelles applications d<^ ces théories. Théorie 
élémentaiie des déterminants à deux et trois lignes. Définitions. 
Déterminants de divers ordres, théorèmes et propriétés élémen- 
taires du calcul des déterminants. Application à la résolution diin 
système de n équations du premier degré. 

Trigonométrie sphériqne. f.es formules relatives aux triangles. 
Résolution des triangles déterminés par des côtés et des angles 
donnés et quehiues autres cas plus simples. Excès sphéritpie. 
Rayons sphériques des cercles inscrits et circonscrits. Distance 
de deux points sur la sphère terrestre. Réduction dun angle à 
l'horizon. Volume du parallélipipède et du tétraèdre en fonction 
des arêtes et des angles. Ex<>rcices. 



32 ./ . n (> s /:' 

(jéoniètrie anali/tiqiie. l^iincipos de riR)nio»>éiioilé. Construc- 
tion (les expi'essions ali>ébriquos. Problèmes déterminés. Coordon- 
nées rectili<rnes, leurs transformations, coordonnées polaii-es. 
Diverses formes de léquation de la dioite, intersection de deux 
droites, angles de deux droites, équations des bissectrices des 
angles de deux droites. Construction et discussion des équations 
du second degré à deux variables. Invariant et discriminant. 
Théorie générale des tangentes, du centre, des diamètres, des 
axes, des asymptotes, des foyers, des pôles et polaires. Simplifi- 
cation de l'équation généi-ale du deuxième degré à deux variables. 
Formes particulières de l'équation lorsque la courbe est assujettie 
à certaines conditions. Notations abrégées. Propriétés particu- 
lières des courbes du second degré, démonstrations analytiques 
et géométriques. (Construction et discussion des lieux géométri- 
ques représentés par des équations en coordonnées polaires. Pro- 
blèmes. Sections du cône. Théorèmes généraux sur les coniques. 
Intersection et similitude de deux coniques. 

Géométrie descriptwe. Notions préliminaires. Théorèmes et pro- 
blèmes relatifs au point, à la ligne droite et au plan. Rabattements 
et rotations dans les cas les plus simples. Polyèdres les plus sim- 
ples; sections et développement. 8 h. j 

Section industrielle et commerciale. Revision du cours de se- 
conde. — Algèbre. Opérations financières à long tei-nie. Emprunts 
par obligations. Tableaux d'amortissement et formules relatives à 
ces emprunts. Complicaticnis dans le service des titres. Emprunts 
avec lots. Emissions publiques d'obligations. Amortissement des 
emprunts dont le service est fait pai- annuités variant en progres- 
sion. Opérations viagères sur une seule tête. Symboles de com- 
mutation et usage des tables numéiiques pour le calcul des pri- 
mes. Notation universelle. 

Géométrie. La sphère et les figures qui y sont tracées, sauf la 
théorie des triangles polaires. Surfaces et volumes du cylindre, 
du cùne et du tronc de cône de révolution. Surface de la sphère 
et de la zone sphérique. Volume de la sphère. Exercices numéri- 
ques. (2 h.j 

Pour la section des humanités latines, le programme est le 
même ({ue pour la section scientifique. 

A signaler tout particulièrement l'étude détaillée des principales 
questions d'algèbre financière, des opérations viagères, d'assu- 
rances et de rentes daîis un pays essentiellment industriel, où les 
(piestions de mutualité et de retraite sont à l'ordre du jour et se 
développent avec une ra])idité remarcjuable. Pour les élèves de la 
rhétori({n<', des humanités anciennes surtout, l'attrait est d'autant 
plus grand que la plupart d'entre eux, au moins les magistrats et 
les avocats, devront s'occuper ultérieurement de ces questions. 
Mais l'intérêt est bien plus attachant encore pour les élèves de la 



A /•; .^■ .V /■; / <: .\ i: m /•; a' r /•; s ii r: i. c i o v /•; :;:! 

S('(li(tii foniincicialc. au moment ou les lîc^locs. j^iiidcs par li'iir 
lloi, (liri^ciil If'uis regards v<'rs la riur. et où la iialioii \iciit 
ilV'lrc dott'e d une ina<>nilH|u<' eolonic, h; C^oiigo belj^c, dont on 
peut tirer le plus ii^rand es|)()ir pour l'avenir. Aussi, cette section, 
désert<''e jadis, se peuple de plus en plus ef Ix'aucoup de nos jeu- 
nes ifens renoncent aux éludes techniques, pour suivre les cours 
des nombreuses sections coinmei-ciales supérieures. Sous peu, 
grâce à l'initiative d un souverain éclairé et tenace, notre pays sera 
doté d'une école coloniale mondiale. 

La réforme des études dans cette section est toute récente; elle 
date de 1904; on peut attendre de son auteur, M. Klompei's, actuel- 
lement directeur oénéral de rcnseiniienient moyen, d'autres réfor- 
mes non moins impoitantes. Sous l'impulsion de M. Klompers 
encore et de M. Ploumen, inspecteur do l'enseignement scienti- 
fique, l'étude des mathé-matiques dans la section scientifique a 
pris dans ces dernièi-es années une autre direction et s'inspire 
ties idées modernes. Les méthodes actuelles se raj)prochent, (piant 
au fond, des procédés en usage dans les lycées français ; les ques- 
tions du concours général ont quelques analogies avec celles du 
baccalauréat et de l'Ecole Centrale. Les représentations graphi- 
ques s'allient aux discussions minutieuses dans des questions où 
interviennent les diverses matières étudiées et la théorie de l'équa- 
tion du second degré, toujours si neuve dans ses multiples appli- 
cations, est mise largement à contribution. Du reste, les profes- 
seurs ont soin de donner à linterprétation du programme son 
extension la plus large, et la longue énumération ci-dessus ne 
peut donner qu'une idée assez vague de son étendue. L'étude de 
la géométrie gagnerait certainement beaucoup à puiser aux mêmes 
sources, en sinspirant des princi])es modernes, et il n'est pas 
douteux qu'avec de tels promoteurs cette réforme ne devienne 
bientôt un fait accompli. D'ailleurs, dans beaucoup d'athénées, 
on enseigne déjà les éléments de la théorie de l'homothétie, de 
l'inversion, des formes projectives et perspectives, de l'involution, 
de la géométrie des triangles, des imaginaires, etc. 

D'un autre côté, une commission spéciale, ayant à sa ttMc 
M. Mansion, professeur à l'Université de Gand, est chargée d'c'la- 
borer un nouveau plan d'études ; on attend avec impatience les 
résultats de ses délibérations. L'année dernière, le corps' profes- 
soral a été consulté au sujet de l'opportunité de l'introduction des 
éléments de la théorie des déiivées dans l'enseignement moyen; 
cette idi'e a été favorablement accueillie pai' la grande majorit(* du 
personnel, et on peut espérer sa prochaine réalisation. De plus, 
M. Mansion et plusieurs de ses disciples sont partisans de la créa- 
tion d'une rhétoric[ue supérieure qui, pour les mathématiques, 
serait analogue à l'annc-e de mathémati^pies spéciales des lycées 
français, et qui permettrait de donner à l'enseignement universi- 

L'EnseigriPiiiont m.TtlK'm., I2«ann(''o; l'.llO. 3 



34 J. nosE 

taire une ampleur beaucoup plus giande que celle C[uc lui confère 
sa situation actuelle. 

Comme on le voit, l'enseignement belge n'aura bientôt plus 
rien à envier à celui des autres nations, du moins au point de 
vue mathématique ; dans certains domaines même, notre pays a 
devancé les autres peuples en réalisant des réformes importantes. 
Singulière coïncidence! C'est au moment où, grâce aux efforts 
persévérants de quelques hommes de valeur et sous Tégide de 
YKnseiiinenienl nuithématiqiie, le monde savant est saisi d'un pro- 
jet d'entente internationale à ce sujet, que Ton voit chaque pays 
réaliser dans sa sphère d'action quelques-unes des réformes pré- 
conisées. Et je salue l'aurore du jour tout proche où, sur le ter- 
rain mathématique, renseignement ne connaîtra plus de frontiè- 
res, chaque pays conservant son caractère distinctif, mais puisant 
aux mêmes sources vivifiantes les idées directrices et les principes 
généraux. Et si à cela on pouvait ajouter un idiome -mathématique 
unique par l'emploi d'une langue scientifique universelle, judi- 
cieusement choisie, quel beau rêve on aurait réalisé! Mais ce n'est 
qu'un rêve ! L'avenir se chargera peut-être de son exécution ? 



m. — Enseignement supérieur. 

L'enseignement supérieur est confié aux Universités de Gand, 
Liège, Bruxelles et Louvain. Les deux dernières sont des établis- 
sements libres, l'une catholique, l'autre libérale ; les deux autres 
sont des établissements de l'Etat. Le programme est le même 
pour les quatre Universités, et elles ont le droit de conférer des 
diplômes légaux. Elles comprennent quatre facultés : philosophie 
et lettres, droit, médecine, sciences ; à cette dernière sont ratta- 
chées les écoles spéciales ou faculté technique. Nul ne peut suivre 
les cours d'une faculté s'il ne présente le certificat lin d'études 
délivré par l'un des établissements d'instruction moyenne dont il 
a été question ci-dessus ou s'il ne subit, devant la faculté, un exa- 
men équivalent. Toutefois, les élèves des écoles spéciales doivent 
subir un examen portant sur le programme des trois années de la 
section scientificpie et le certificat mentionné ne peut les en dis- 
penser. Chacune des Universités de l'Etat a une faculté technique 
ayant un caractère spécial ; à Gand, c'est l'école du génie civil 
(ponts et chaussées), à Liège, l'école des Mines et l'Institut élec- 
trotechnique Montefiore. Toutes deux ont en. outre une section 
des Arts et Manufactures délivrant des diplômes d'ingénieur-mé- 
canicien, ingénieur-chimiste, ingénieur industriel. Les deux 
autres Universités délivrent des diplômes analogues et possèdent 
les deux genres d'études.^ 

En ce qui concerne le doctoral en sciences physiques et mathè- 



A i: y s i: i <; .v i: .y /: n r e s h e l c i o r e .•{.-, 

/)ia//(//ies, (|ui nous inlriesso plus parliciiliriciiicnt, son pid- 
t;rainme se rt'paitit sur (jualre années: 

Candidat tire. Preiniôre épreuve : Géoinélric aualyti(|ue plane cl 
de respaco. Géométrie tiescriptive. Alf>èbre supérieure et éléments 
de la théorie des déterminants, ('alcid dillerentiel et calcul infé- 
gvi\\ (1''' partie'. Slati(]iie analyti<|ne. Physique expérimcnfale. 
Travaux pialitpies de |)hysi(iue. 

Deuxième épreuve : Loyique, psycholoj^ie, philosophie morale, 
(iéométrie projective. Calcul intégral (2'"'' partie), éléments du 
calcul des variations et des difTéi-ences. Cinématique pure. Astro- 
nomie physique. Eh'Miients de chimie minérah\ Cristallographie 
<'l travaux prati((ues. 

Ductoidl. l'reniière éj)reuve : ^Analyse supérieure. Dynamique. 
Physique mathématicjue générale. Astronomie sphérique et élé- 
ments d'astronomie mathématique. Eléments du calcul des proba- 
bilités avec théorie des moincb'es carrés. 

Deuxième épreuve: Méthodologie mathématique et éléments de 
l'histoire des sciences physiques et mathématiques. Lue épreuve 
approfondie sur les matières comprises dans l'un des cinq i^roiipes 
siiÏK'unls au choix du candidat : A. Analyse supérieure. B. Géomé- 
trie supérieure. C. Compléments de mécaniciue analytique et mé- 
i'anique céleste. D. Astronomie mathématique et géodésie. E. 
Physique expérimentale et physique mathématique. 

Ces candidats doivent présenter et défendre publiquement une 
dissertation, manuscrite ou imprimée, sur une ou plusieuis ques- 
tions se rapportant au groupe de matières choisi pour l'examen 
approfondi. Les aspirants qui se destinent à l'enseignement 
moyen devront faire deux leçons publiques, l'une sur les mathé- 
matiques, l'autre sur la physique expérimentale. Les sujets de 
ces leçons sont désign(>s d avance par le jury et choisis dans le 
programme des athénées. 

Les deux épreuves de la candidature d'ingénieur ^ grade légal 
oompoitent le même programme cjue celui cle la candidature en 
sciences physi(|ues et mathématiques, sauf la logique, psycholo- 
gie et morale, la géométrie projective et la cristallographie; mais 
il y figure en plus : la géométrie descriptive appli(piée fcoupe des 
pierresi, la chimie organique, la graphostatique et la dynamique. 
Les trois autres épreuves se rapportent à des matières d'ordre 
technique. 

Ce qui est à remarquer dans le programme de doctoi'at, c'est 
lintioduction des ('h'Muents de l'histoire des math(Mnatiques et de 
la méthodologie mathématique. Et dans ce dernier cours, à lUni- 
versité de Gand du moins, on traite une foule de questions non 
développées dans les autres cours: les éléments de rarithmélicjue 
supérieure, la géonu-lrie non euclidienne, etc. Mais, d'un autre côté, 
pas de séminaires comme dans les Lniversités allemandes ; les 



36 ./ . no s E 

élèves sont saturés de théorie, mais de piatiqiie point ou presque 
pas. Cela tient beaucoup à ce que les cours de la candidature sont 
les mêmes que ceux des candidats in<i^cnieurs ; de plus, le nombre 
restreint d'athénées exigeant peu de professeurs, la faculté ma- 
thématique ne compte que très peu d'élèves. De même, la spé- 
cialisation ne se produit en réalité que la dernière année; les 
futurs docteurs ont donc très peu de matériaux pour la rédaction 
de leur thèse; c'est ce qui explique le petit nombre de thèses re- 
marcjuables écrites par les jeunes professeurs belges. Sans doute, 
ils ont lès éléments pour produire ultérieurement; mais, beaucoup 
sollicités par leurs fonctions absorbantes, éloignés des centi'es 
universitaires dans des milieux i)eu favorables à leur développe- 
ment scientifique, se voient faute de loisirs et de moyens, obligés 
d'abandonner des études parfois si heureusement commencées. 
La création d'une rhétorique supérieure, préconisée par M. Man- 
sion, remédierait à cet état de choses; en débarrassant la candida- 
ture de certains cours, on pourrait donner aux autres branches 
plus d'ampleur et les études du doctorat pourraient être plus éten- 
dues et plus approfondies. Encore une fois, j'ai la plus entière 
confiance dans la réalisation prochaine de ces réformes. On aura 
bientôt le plaisir de les voir porter leurs fruits. 

J'espère que ce rapide aperçu permettra au lecteur de se for- 
mer une idée de l'enseignement mathématique belge. Pour être 
complet, il y aurait lieu de citer encore l'Ecole des Mines de Mons, 
qui fournit à la riche et industrielle province de Hainaut un grand 
nombre d'ingénieurs distingués. C'est une école provinciale sub- 
sidiée par le haut commerce et la grande industrie. Mentionnons, 
pour mémoire, le magnifique essor qua pris dans ces dernières 
années l'enseignement professionnel donné aux ouvriers dans de 
nombreuses écoles industrielles du dimanche. Nos braves travail- 
leurs y complètent leur instruction technique et fournissent à 
notre industrie d'excellents ouvriers et chefs d'atelier. C'est un 
spectacle réellement édifiant cjuc de voir ces figures mâles et éner- 
giques sacrifier une bonne partie de leurs loisirs hebdomadaires 
et ces mains calleuses délaisser les grossiers outils pour le tire- 
lignes du dessinateur. N'est-ce pas là l'explication de la renom- 
mée universelle dont jouissent l'industi'ie et le commerce de ma 
patrie ? 

.1. RosK (Chiniay). 



MELANGES ET CORRESPONDANCE 



Sur les opérations entre nombres décimaux approchés. 

1. — Dans la Note que Y Enseignement malhéniatique fp. G6, 
tome X, 1908) a consacrée à une page élémentaire de Lagrange, on 
recommande un procédé pour la multiplication de deux nombres 
décimaux approchés, que moi-même j'ai recommandé et justifié 
en 1904 dans le Periodico di Maleniatica). 

J'ai aussi donné, par la même occasion, un critérium pour ob- 
tenir le quotient de deux nombres décimaux approchés, sans une 
approximation illusoire; et ce critérium, que je justifie, consiste 
précisément à arrêter le diviseur quand le quotient a un chiffre de 
plus que celui des deux nombres (sur lesquels on opère) qui en a 
le moins. Cependant, à propos de la multiplication, il est néces- 
saire d'observer que la rèii^le donnée par \ arithmétique élémen- 
taire ordinaire, pour placer la virgule dans le produit, ne peut 
plus servir et quil faut donc une règle différente. 

2. — Supposant connus les éléments de Yalgëbre, j'ai trouvé 
plus opportun 'Periodico di Matematica, 1895) d'appeler ordre 
d'un chilFre décimal « le nombre donnant le rang qn'il occupe en 
u comptant à partir du chiffre qui suit Funités et attribuant à ce 
nombre « le signe + ou 1^ signe — . suivant que l'on compte vers 
la gauche ou vers la droite. » 

L'ordre d'un chiffre sera ainsi l'exposant de la puissance de 10 
par laquelle le chiffre lui-même devrait être multiplié pour passer 
de sa valeur ai>solue au sens de rarithmétique élémentaire) à sa 
valeur relative. De cette détinition, qui nest peut-être pas nou- 
velle, dérivent d'importantes simplifications pour le calcul des 
nombres décimaux. 

3. — Pour la régie en question iSj 1 , il suffit d'observer que le 
dernier chiffre du premier produit partiel qui correspond au pre- 
mier chiffre, à gauche, du multiplicateur a pour ordre la somme 
des ordres du dernier chiffre du multiplicande et du premier 
chiffie du multiplicateur. 



38 MKI.ANdES ET C H li E S P O N D A N C K 

0.(^82 Ainsi, clans l'exemple ci-contre, 

57.893/8i Ips ordres du premier chifTre du 

3i,10 niiiltiplicalour et du dernier chillVe 

4774 du multiplicande étant -\- 1 et — 3, 

^456 Tordre du dernier chiUre du pre- 



6138 
2046 



mier produit partiel sera 1 + ' — 3) 



•) 



39.48 



4. — Pour placer la viriiule dans le quotient, arrêté oràce au 
critérium indiqué .5; i . il ne s'en suivra aucune rè^le nouvelle, 
mais de la définition précédente ij^ 2t il résulte une rèij^le beaucoup 
plus simple que celle de V arithmétique élémentaire et qui peut 
s'appliquer plus opportunément, même quand la division est ef- 
fectuée par le procédé' ordinaire. 

En cftet, il suHit dObserver cpie l'ordre du premier chilfre du 
quotient doit être éoal à loidre connuj du dernier chilfre du pre- 
mier produit paitiel diminué de l'ordre du dernier chiffre du di- 
viseur. 

(II) 0,067 : 612.3 



7,25738 


: 0.34 


68 
45 


21,3 


34 
117 




102 
15 





'^^23 0,000109 
577 
55107 
2593 



Ainsi, dans lexemple ci-dessus (T), — 2 étant l'ordre du der- 
nier chiffre du diviseur et — 1 l'ordre du dernier chiffre du pre- 
mier jjroduit partiel, l'ordre du premier chilfre du quotient sera 

— 1 — i — 2 = -|- 1. De même, dans l'exemple (11], on aura 

— 5 — ( — l] = — 'i par l'ordre du même premier chiffre du 
quotient. 

5. — Un autre exemple des simplifications susmentionnées (§2) 
est donné par la recherche de la caractéristique du log^arithme 
d'un nombre plus grand ou plus petit que l'unité, puisqu'elle est 
évidemment toujours égale à l'ordre du premier chilfre significatif 
du nombre lui-même. Ceci est, en substance, la règle donnée par 
Caillkt Tables des logarithmes et co-Iogarithmes des nombres et 
des lignes trigonométriques, Vannes, 1890). 

On a encore d'autres simplifications notables dans l'usage de la 
règle à calcul et dans l'exposition de toute la théorie des approxi- 
mations numériques. 

Livourne. avril 1909. G. Pesci. 



.V f: I. A A' G K S ET CORB A SPONDAN C E .'59 

Notations rationnelles pour le système vectoriel*. 
9. — lieniiir(iiu's de M. Caijrill-C'.. Knott (Kdimbourg). 

MM. Burali-Forti et Mai-colongo estiment avoir établi \q sysll-mc 
niiniinani d'analyse vectorielle, applicable à une classe étendue de 
prol)lèmes physiques. La meilleure manière de juger de la valeur 
de leur assertion est l'examen de leurs ouvrages, Elcinenti di cal- 
colo vi'ttorialc et Onioi^rafie <>'('ltoriaIi récemment parus. Le pre- 
mier de ces ouvrages est étroitement lié au projet présenté dans 
V Enscignei7ient mathématique. VÀOino^rafie vettoriali introduit un 
certain nombre de fonctions et opérateurs nouveaux qui ne se 
trouvent pas dans le système appelé Système minimum. Au reste, 
cette Omaarafic n'est pas autre chose que la fonction vectorielle 
linéaire d llamilton. sans laquelle aucun progrès ne peut s'accom- 
plir dans les api)lications physiques. Les auteurs introduisent 
dans leur Elementi une fonction K^ qui appartient à V Omografie 
et n'a pas de place dans leur système minimum; ils prouvent ainsi 
rinsufïisance de ce système pour leur propre usage élémentaire. 

11 n'est réellement pas facile de comprendre exactement ce 
qu'ils entendent par un système minimum. Est-ce un système 
basé sur le plus petit nombre possible d'axiomes, postulats ou 
définitions? Ou bien le terme minimum s'applique-t-il au nombre 
de symboles d'opérations et de symboles de fonctions distincts 
qui doivent être introduits en plus de ceux généralement acceptés 
en mathématiques? Pour trouver une réponse à ces questions, 
comparons leur système, tel qu'il se présente dans leur projet, 
avec les systèmes d'HAMii.TOx et de Gibbs. 

Les vecteurs et les scalaires sont théoriquement communs à 
tous; mais le vecteur d'Hamilton a une signification plus étendue, 
comprenant le « quadrantal versor», parce que les « quadrantal 
versoi's » se composent, suivant la loi du parallélogramme qui est 
la loi fondamentale distinguant les vecteurs des autres quantités 
orientées ou non orientées. 

Le produit complet de vecteurs, ab , abc, etc., n'est admis que 
par llamilton. 

Les fonctions Vab , Sab ; a.b,axb:axb. a/\b; sont prati- 
quement identiques. 

11 me semble que, sous ce rapport, la distinction faite par MM. 
Burali-Forti et Marcolongo entre les « symboles d'opérations » et 
les « symboles de fonctions » est purement artilicielle. Par exemple, 
ils emploient sin ab poui- indic[uer le sinus de l'angle compris 
entre a et b , symbole de fonction; mais alors même ([ue cette 
quantité est une j)arlie tout aussi importante de Vab que toute 

* Voir VEns. math.. XI' anni'-e, 1909, n» du lô janvier, p. 41-45; n° du 15 mars, p. 124-134; 
n» du 15 mai, p. 211-21" ; n» du 15 juillet, p. 381 ; n" du 15 novembre, p. 453-466. 



40 Mi:rA.\GES ET C O lili E S /' O N D A N C E 

autre quanlitc comprise, ils utilisent jiour cette fonction irénéra- 
lisëe le >< symbole d'opération » a /\ b . 

I/opérateur tlillérentiel vectoriel V, que Tait a si puissamment 
développé avec la méthode de calcul dHamilton, n'est que par- 
tiellement représenté, dans le système de Gibbs, par v, V. , Vx et 
dans le projet de » système minimum » |)ar g/'ad, dà', roi. De plus, 
ces expressions doivent èti-e déterminées comme opérateurs ou 
fonctions, tandis que dans le système d'IIamilton la seule déiini- 
tion V embiasse le tout. 

L(> /et le e''* que MM. Burali-Forti et Marcolongo introduisent 
pour les rotations dans un plan sont des cas particuliers du ^>er- 
seur dHamilton, ce dernier étant un élément important de son 
système. Ces expressions n'ont aucune relation logique avec la 
méthode vectorielle des analystes italiens et leur introduction est 
une confession implicite de faiblesse inhérente à leur système. 

La fonction vectorielle linéaire $ de Hamilton est utilisée par 
Gibbs, mais ne se trouve pas dans le « système minimum ». Les 
auteurs se rendent compte de cette omission en développant la 
théorie dans leur volume supplémentaire Oniografie vcUoriali. A 
part des changements superficiels de notations et la particulari- 
sation de ceitaines fonctions, il n'y a rien d'essentiel dans ce livre 
qui ne se trouve déjii dans les traités dHamilton et de Tait. Leurs 

notations ^ et -jp sont simplement S )r.// et S( v.u et sont par 

conséquent complètement'traités dans le système d'Hamilton sans 
qu'il soit nécessaire d'introduire ou de définir de nouveaux opé- 
rateurs. 

Nous voyons donc (pie, en ce qui concerne l'économie de défi- 
nition ou de symbolisme, le projet présenté par MM. Burali-Forli 
et Marcolongo n'est en rien supérieur à celui de Gibbs. Nous 
voyons également (jue ce qui, dans le système d'Hamilton, s'ob- 
tient au moyen des symboles caractéristicjues S, V, V, * exige dans 
le « système minimum » 11 ou tout au moins 9) symboles d'opé- 
rations et de fonctions, savoir: x, /\ , grad, rot, div, A, A', «, 

«rad a, -r^ . -,-r ■ Pour prouver cette assertion, je donne ici les 

expressions ('(jui\ alentes : 

Sab = - a X b ab ) 

( seuHMiH'iil (laiis HainillOM. 

Vab = a A b vu ! 

v» = i^i-aci u * ^ a 

VVU ^ rot U <t>V := Lfi-ad a 

SVU = <liv u ,.^ dw. 



V" '< = — A" 

^'^-^-^'^ stv.« = -St 



dV 
du_ 
dP 



M E L A y G E S El' C O II II E S p () \ 1) A .\ C E \ 1 

A ot A' peuvent (Mre supprimi's puisqu'ils peuvoni rfrc oxpiiuiés 
au moyen de ^rad. roi et di\>. 

= — div grad u . 

v-'u = vvu = vi^vu + VvVvu 

= — i^rad (liv U + roi roi U . 

Dans le calcul dllainilton, ce sont des identités obtenues par des 
liansforinalions cvitlentes. 

Toutes ces complications de grad, rot et diK> proviennent de ce 
que bien des auteurs d'analys*e vectorielle négligent le produit 
complet de vecteurs. C'est ce fait que je me propose d'examiner 
avec quelques détails. 

I/introduction dun vecteur comme symbole d'une quantité sus- 
ceptible des opérations généralisées de multiplication et de divi- 
sion est due à Hamilton. Avant le développement de son calcul, 
la seule loi reconnue pour les vecteurs était la loi intitulée : loi du 
parallélogramme, loi de la composition et décomposition des vi- 
tesses et des forces. Ayant défini le vecteur comme une quantité 
satisfaisant à la loi du parallélogiamme, l'analyste doit examiner 
la signification qu'il faut attacher à un produit ou à un quotient 
de vecteurs. Cette signification doit être obtenue par le moyen 
géométrique le plus simple, tenant compte de l'interprétation 
analytique des procédés généralisés de multiplication et de divi- 
sion. Comme un produit de deux longueurs n'est pas une lon- 
gueur, il n'y a pas de raison pour admettre a priori que le produit 
de deux vecteurs est un vecteur. Cela donne évidemment une 
(piantité d'une certaine espèce. Ecrivons-la ab ^ p. Si ces expres- 
sions doivent obéir aux lois admises pour les opérations algé- 
briques, on pourra écrire a = ph~\ b = dr^p et donner une inter- 
prétation du résultat. Il est géométriquement évident que le 
'< bivecteur », le « produit vectoriel » appelé « extérieur » et le 
« produit scalaire » ou « intérieur » ne sont pas des produits dans 
le sens analytique complet. Les analystes qui considèrent l'une de 
ces trois notionscomme produit fondamental, font une restriction 
dès le début, ils limitent ainsi arbitrairement le procédé même 
dont ils veulent faire usage. 

il peut sembler, à première vue, que l'omission du j)r(>(luit 
complet, le vrai produit aie peu d'importance puisqu'on peut, en 
considérant les applications simples, faire un grand nombre 
d'opérations en se limitant aux fonctions qui se rencontrent très 
fré(|uemment Vab . Sab , Va\bc, etc., dans lesquelles les vecteurs 
ne sont que par groupes de deux. Mais à mesure ([ue nous avan- 
çons vers des applications plus compliquées, nous sommes ame- 



42 M E L A N G E S E T C li H E S POND A X C E 

nés à ronsidérer dos conibiiiaisons de plus en plus complexes. De 
tels développements sont possibles et ne le sont que si nous ad- 
mettons dès le début le produit complet de deux ou plusieurs 
vecteurs ainsi que la loi associativ<'. Mais si nous limitons arbi- 
trairement nos procédés et nos opérations comm<» le font MM. 
Burali-Forti et Mai'colont;() et bien dauties, Texpérience nous 
prouve ((uil faut introduire de nouvelles fonctions et de nouveaux 
opéiateurs par des définitions intlépendantes. 

Considérons par exemple l'opérateur différentiel vectoriel V. 
Toute sa puissance ne peut être complètement développée dans 
un système d'analyse vectorielle qui ne tient pas compte de la no 
tion de produit complet de deux ou plusieurs vecteurs. MM. Bu- 
rali-Forti et Marcolongo le reconnaissent lorsqu'ils disent : « Le 
symbole v qui est bien approprié aux quaternions n'est pas appli- 
cable dans le système minimum ». c'est-à-dire nullement leur sys- 
tème minimum. Mais il faut introduire les notions géométriques 
et physiques importantes qui y sont rattachées; d'où la nécessité 
de l'introduction par des définitions de trois nouvelles fonctions 
grad, rot, di^\ et d'une discussion compliquée de leurs rapports et 
propriétés. Dans le système d'Hamilton, ces propriétés sont la 
conséquence naturelle du fait que v est un opérateur vectoriel se 
comportant exactement comme un vecteur. Dans bien des cas ce 
sont de pures identités obtenues par les transformations les plus 
simples. 

Une fois que l'existence du produit complet de vecteurs est ad- 
mise, il est évidemment possible de multiplier la différentielle 
d'un vecteur par un autre vecteui-. Si nous utilisons la forme tri- 
nôme de V. c'est-à-dire i^d^ -\- i.^dç, -\- i,^d^ où d^ d^ d^ sont des 
différentielles dans l'espace prises suivant les vecteurs unités per- 
pendiculaires /, /., /.j . il est facile de comprendre l'eflet de v sur 
une fonction scalaire. C est le gradient ou grad. Mais v est un 
opérateur ('e<^-^o/7e/ et doit avoir une action sur un vecteur. Dans 
la forme développée 

VU = /if/iU + 'WaU + 'sf/jU 

chaque terme est le |)roduit de deux vecteurs et n'introduit rien 
de nouveau dans l'anal ijse vectorielle cowpll'te. 

Nous pouvons ('galemeni considérer la notation de lait, Cjui dé- 
finit V par l'équation du ■=z — Stfçv. u , où du est la variation de // 
amenée par la variation de ç, variable vectorielle dont // est une 
fonction scalaire. Multipliant par un vecteur unité quelconque et 
formant trois ex|)i'essions semblables, nous obtenons pai' addition 
l éfpiation correspondante poui- une fonction vectoi'ielle da = 
— S6/(>V.o'. l/interprétation complète de v se déduira facilement 
de ces ('(piations. Aucune dé/inition supplémentaire n'est néces- 



MÉLANGE S E T C O R lî E S POND A N C E 't 3 

.s<^?i;-e; tout se déduit naliirellomcnl des principes fixes du calcid. 
I>"()péi'ateui' V entre dans les expif.'ssions, analytiquenient, comme 
nii vecteur, sa partie diMV'ientielle scalaire af»-issant sur la (juantité 
variable in situ, que celte (juantilé soit scalaire ou vectorielle. 
Vil. Nvd, Sv<ï, notations concises, parfaites, pour grad, rot, div, 
s'en déduisent immédiatement ainsi que leur interprétation. Elles 
n'ont pas besoin d'être définies. La loi associative nous permet 
d'écrire v^ pour VV» lors(|u'on opère sur un vecteur aussi bien (jue 
sur une fonction scalaire; et V* est un opérateur scalaire, parce que 
le carré d'un vecteur est une quantité scalaire. Voir les transfor- 
mations pour v'w et v^u données ci-dessus. 

Les formes généralisées grad- rot- div équivalentes à A et A' que 
MM. Burali-Forti et Marcolongo présentent comme fondamen- 
tales, sont des formes plus compliquées pour exprimer v'' , à pro- 
pos duquel ils disent: «11 n'est pas permis d'indifjuer avec un 
même symbole ic'est-à-dire x'^] deux fonctions qui diffèrent non 
seulement par le champ d'application, mais aussi par leurs pro- 
priétés. )) Cependant v""* n'est ni plus ni moins que l'opérateur de 
Laplace changé de signe. Si nous prenons le vecteur 

U = ii.Ui -\- iitii + iatiz ■ 

OÙ //, 11.^ 11^ sont les composantes de u et que nous lui appliquons V*, 
nous aurons immédiatement 

Dire que l'opérateur de gauche diffère par ses propriétés des opé- 
rateurs de droite est un non sens ; nous pourrions tout aussi bien 
dire que dans la différentielle ordinaire 

dn = iidiii + liditt + iîdui , 

le d de gauche a des propriétés différentes des d de droite. Les 
divers résultats obtenus sont dûs non à l'opérateur, mais aux 
quantités sur lesquelles on opère. De même que d agit conformé- 
ment à ses lois scalaires, que la quantité sur laquelle il opère 
soit scalaire ou vectorielle; de même v agit conformément à ses 
propres lois vectorielles quelque soit le caractère de la quantité 
sur laquelle il opère. 

Comme exemple probant de la concision et de la simplicité de 
l'emjjloi de v dans le calcul d'IIamilton, nous pouvons piendie la 
transformation de v'Vctt où a et t sont 2 fonctions vectorielles du 
vecteur q, par rapport auxquelles v est l'opération du différentiel 
vectoriel 

V-Vor = ViVi^ffiT + V2^'a"f2l , 

= — Vrv^ff + 2SviV2 • V(TiT2 + Vrrv^T . 



44 MÉLANGES ET C O R li E S P O N I) A .\ C E 

Dans ces expressions, lindice indique sur (|uel vecteur Topé- 
rateur agit monientanénicnt. I>e teinie du milieu, à droite, est 
susceptible de bien des transformations et peut facilement ètie 
mis sous la forme semi-cartésienne 

2V I |S/iV)ff|S/,v)T + etc. { . 

Comparons les formules uSi et (H'i de la page {VI de \Omogiap,e 
VetloriaU. Xous y trouvons également d'autres résultats qui, étant 
de simples identités lorsque le vrai v est convenal)lement utilise, 
ne nécessitent aucune (h'monstration. 

Je crois c[ue la confusion actuelle de pensée et de notation est 
due, en jiartie, à un usage imj^ropre des termes : Produit vec- 
toriel, Produit scalaire, Produit interne, etc. ; car ces fonctions 
ne sont pas des produits dans le sens analytique complet du terme. 
Hamilton appelait VkS la partie vectorielle du j)rotluit «p et il 
l'écrivait tel qu'il la concevait. Sa notation est, en fait, une nota- 
tion abrégée du même génie que sin 9, tang 9. log .i\ cos 9, etc. ; 
et l'expérience prouve que les notations naissant spontanément 
dune méthode sont parmi les meilleures. Le principe à la base 
de notre notation mathématique est la contraction de mots et de 
phrases — /'et F pour lonction, d pour différentielle. 2. /pour 
sommation intégration;, et ainsi de suite. Un des grands mérites 
de la notation d'Ilamilton est sa formation systéniatifjue suivant 
un plan unique simple. Le v lui-même, qui est simplement A 
retourné pour le distinguer du A des difféi-ences linies, est une 
forme correcte pour le symbole de difï'érentiation vectorielle 
d'une méthode de calcul qui emploie systémati(|ucment les lettres 
grecques jjour désigner les vecteurs. De même *, (jui est le F giec, 
est un symbole plus approprié pour représenter une fonction vec- 
torielle, que le a par lequel les analystes italiens le remplacent. 

Dans le système d'analyse vectorielle présenté par MM. Burali- 
Forti et Mai-colongo, je ne trouve pas la même unité de méthode. 
Leurs notations sont d'origines divei'ses et dans bien des cas 
manquent de force d'expression. Les auteurs excluent arbitraire- 
ment la conception de produit complet de 2 vecteurs et se privent 
ainsi de l'usage du symbole de difterentiation vectorielle dans 
lespace. Us comblent partiellement cette lacune par l'introduction 
ingénieuse d au moins v'\n(\ opérateurs fonctionnels, grad, rot, div, 

tf; ' "TT. < opérateurs dont la forme n indique en aucune façon la 

relation étroite qui les lie. 

Les trois premiers sont sans doute formés d aj)i'ès les principes 
de la notation d'Ilamilton, mais avec v, ^ ^ S déjà en usage ils sont 
superflus. De même \ Oniu^rajie avec «. Va. I,(a), L^la), l..,!»), est 
identique à la fonction linéaire vectoiielle d'Ilamilton et à ses 



.)/ /; /. . / y (. /: s i: t c o h h e s p o y n .i nc /•; \ n 

invariants vecloiiels et scalaires, l'^n réalilt', la prétention qunn 
tel système est un syslènie minimum dans un sens aeceplahle 
quelconque du mot n est pas soutenahle. 11 n "y a aucune preuve 
cjue l'on j)uisse faire plus avec ce système qu avec celui d'Ilamilton 
et ce dernier est visiblement plus systématique dans ses nota- 
tions, plus sobre dans son symbolisme et plus maniable dans ses 
opérations. 

Ilamillon appelait son système Quaten^ions ; un f^i'and nombr*- 
de matliemaliciens entraînés par la conception diin quaternion 
comme d'un n<)mbi'c complexe de 4 termes unitaires ont protesté 
contre sa présence dans l'analyse vectorielle. Je ne connais aucune 
analyse vectorielle pratiijue qui n utilise les relations haniil- 
toniennes 

avec 3 vecteurs unitaires perpendiculaires et qui ne fasse du cai'ré 
d'un vecteur une quantité scalaire. Le produit efï'ectué de 2 vec- 
teurs ai -\- l)/ -\- c/i , pi -{- fj -\- ii^^' ' donne une quantité comprenant 
4 termes unitaires. 

Un système cjui atlmet la notion du produit de 2 vecteurs per- 
pendiculaires, mais nie la possibilité du produit de 2 vecteurs 
non perpendiculaires, est illogique à la base et n'a aucun droit au 
nom de rationnel. 



10. — Opinion de M. Alex. Maciari.axe ' Clhatham, (".anada . 

Mon opinion personnelle est que les propositions de M.M. Burali- 
Forti et Marcolongo ne paraissent pas devoir contribuer beaucoup 
à la solution du problème de l'uniiication des notations; de plus, 
ces propositions, si peu nombreuses soient-elles, contiennent plu- 
sieurs points défectueux, tels que l'introduction d'un nouveau sym- 
bole f\. Pourquoi augmenter encore l'anarchie existant déjà dans 
les notations au lien de les diminuer. Si l'idée de généralisation 
était toujours présente à l'esprit, le raisonnement permettrait de 
se servir, dans un sens généralisé, des symboles qui existent en 
Analyse. Lorsque de tels symboles existent, l'introduction d'un 
symbole complètement nouveau est une entrave plut(U (piune aide. 

A mon avis, il faut obtenir l'unification ou la conciliation des 
principes des quaternion s avec l'analyse vectorielle avant de pou- 
voir fixer la notation. Ceux-ci sont à la base du calcul géomé- 
trique ((ui est plus spécialement étudié par l'étudiant praticien. 



1 Voir le nippoi-t présidentiel annuel do V International Association for Promoting titc Stiiili/ 
{>f Quaternions and alUed Systems of Matkematics, juin 1909, p. 13-14. 



46 MELANGES ET CORRESPONDANCE 

PoiH lui, il faut avoir une méthode uniforme qui soit en accord 
parfait avec l'analyse scalaire à laquelle il est déjà accoutumé et 
qui renferme toutes les armes puissantes composant l'arsenal des 
quaternions et de l'analyse vectorielle. Il me semble donc que le 
premier pas doit être unification logique des cjuaternions et de 
l'analyse vectorielle enti-e eux et avec l'analyse scalaire. 

Profitons de lexpérience de nos amis les électriciens. Ils ont 
discuté les piincijjes et les définitions de leur science, puis ils ont 
fixé toutes les définitions dans une série de congrès; mais mal- 
heureusement, même pour leur science si fouillée, ils se sont trop 
pressés, comme Ileaviside l'a montré, le système des unités élec- 
triques et magnétiques ne repose pas sur une base parfaitement 
rationnelle, d'où il s en suit que les équations de cette science 
sont embarrassées par l'introduction, d'apparence arbitraire, du 
symbole II. La circonspection et la discussion ne sont-elles pas 
bien plus nécessaires pour un sujet aussi vaste et aussi nouveau 
que celui du calcul géométrique? 

11. — Réponse de MM. Burali-Forti et Marcolonco 

à MM. Cars'allo (Paris), CargHl-G. Knott (Edimbourg) et 
A. Macfarlane (Chathain). 

I. — Réponse a M. (^arvallo*. 

Le changement de sujet n'implique pas le changement des no- 
tations, car les vecteurs et leurs opérations ne changent pas la 
nature et l'algorithme avec le changement de sujet. [Voir la ré- 
ponse à M. Wilson. 

« Si une loi inéluctable m'imposait une notation, j'adopterais 
celle de Grassniann, parce que cet auteur me parait avoir compris 
le premier toute l'étendue du domaine de son calcul. » Voir notre 
Note V « Per lunificatione délie notazioni vettoriali », fin du § X 
et le !:i XL où nous proclamions la xkcrssité d'adopter le système 
complet de Grassmann. 

« Je ne suis donc pas partisan d'un système minimum qu'il faut 
abandonner quand on s'élève dans la généralité. » Voir notre 
Note V, >5 XL n- ^fi, où les formations géométriques de Grass- 
mann sont déduites, par abstraction, au moyen du système mini- 
mum. 

Pour saisir d'une manière complète nos propositions, il est in- 
dispensable d'examiner non seulement le tableau de notations 
placé à la fin de notre Note IV et leproduit par VEns. math., mais 
aussi les Notes elles-mêmes publiées dans les Rendiconti de! Cire, 
mat. di Palermo. 



' Voir VEns. math., W' dnn(5c. ii» 5, p. 381, 1909. 



.)/ 1: i.A y a /: s /: i c o n ii i: s p o \ d . / .\ c e 



II. — Si'ii ij:s iti;.MAi!oui:.s ni; M. (i. Knoi i. 

« Los veoleurs et scalaires soiif th('oii(jiienieiit oomiiuins w tous ; 
mais le vecteiii' d llamillon a une sitjnilication plus étnidue ». 
Nous avons adopté, moins la forme, la délinition de vecteur que 
Hamilton même donne dans le Livre I ; néanmoins, selon M. Knott, 
nous avons donné au vecteur une signification moins étendue c[ue 
celle (["Hamilton'.'! Mais M. Knott continue: -'...comprenant le 
qundrantal \'ersor, parce cpie les c/iKidrantal i>erso/:s se composent, 
suivant la loi du parallélogramme qui est la loi fondamentale distin- 
gnant les vecteurs des autres quantités orientées ou non orientées. » 
Ia's forces appliquées à un poi'nt, par exemple, se composent ainsi 
suivant la loi du parallélogramme : alors, par l'argumentation de 
M. Knott, on déduit que les vecteurs comprennent aussi les forces. 
M. Knott a-t-il quelque autre entité à identifier aux vecteurs! Les 
bivecteurs de Grassmann, par exemple ! 

M. Knott trouve que la distinction entre les « symboles d'opé- 
ration » et les «symboles de fonctions» est purement artificielle. 
Malheureusement cette distinction est si répandue chez les ma- 
thématiciens que nous ne pouvons pas personnellement la sacri- 
fier en hommage aux remarques de M. Knott. Mais nous pouvons 
bien lui faire une concession. Nous voulons utiliser « le symbole 
d'opération a/\b » (en réalité le symbole d'opération est simple- 
ment /\) en proposant d'écrire 

mod fa Abi 



inofi a . iiKifi b 



au lieu de sinia, b . Prendra-t-on en considération notre propo- 
sition ? ! 

Nous aussi nous avons remarqué' que /et e"'' sont des versors 
de Hamilton; M. Knott veut bien nous le rappeler. « Ces expres- 
sions n'ont aucune relation logique avec la méthode des analystes 
italiens et leur introduction est une confession implicite de fai- 
blesse inhérente à leur système. » Ceci est simplement étonnant! 
Nous déduisons / et e"? par notre système et les fils de celui-ci 
n'ont plus rien de commun avec leur père! tils ingrats! Notre 
système peut donner / et e'f et il est faible, impuissant?! M. Knott 
semble ne pas connaître la grande diiFérence qui passe entre l'al- 
i^orithme général des quftternions et celui des qttaternions coa.iiau.r ! 

La correspondance entn- nos symboles X , /\ , grad, l'ot, div. 
J. J\ et les symboles S, V, f de Hamilton nous est bien connue. 



' l'er l'uiiificatione délie notazioni vettoriali iHciuticnnti Circolo Matem. di l'atermo, T. XXIII- 
XXVI. Note I-V), Note III, § V. 



48 MELANGES ET CORRESPONDANCE 

Do plus, nous avons donné cette correspondance en faisant nsaf>;e 
des symboles I, 1~' do llaïuilton'. car on obtient ainsi des nota- 
tions avec les(iuelles des équivoques ou des déductions incor- 
rectes ne sont pas possibles. M. Knott est-il bien certain que la 
correspondance pour nos symboles a loinogrofia) grad « soit celle 
qu'il allirme? La réduction avec les symboles I et 1~' sera très 
instructive pour M. Knott '^. 

« i outes ces complications (?!i de grad, rot et div proviennent 
de ce que bien des auteurs d'analyse vectorielle négligent le pro- 
duit complet des vecteurs. C'est ce fait que je me propose d'exa- 
miner avec quelques détails.» Nous avons déjà exposé^ tout ce 
qu'il est nécessaire pour reconnaître que l'examen de M. Knott 
est loin d'être concluant, car il se réfère à des vecteurs qui ne sont 
pas les vrais vecteurs do llamilton. Mais la question est, en géné- 
ral, de telle importance que nous croyons nécessaire de l'épéter 
quelques-unes des considérations déjà faites. 

Dans le Livre 1, llamilton considère le vecteur non «comme 
symbole d'une quantité susceptible dos opérations généralisées 
de multiplication et de division », mais comme une entité géomé- 
trique B — A, D — C, ... telle que 

B — A = D — C 

seulement dans le cas que (moins la forme) 

B -^ C _ A + D 

2 ~ 2 ' 

c'est-à-dire comme une entité géoinélrique caractérisée par (jrax- 

DEUli et DIUECTIOX {et SEXS . 



' l'cr l'iinificazionc , Note III, n»' 15, 16, 17. 

* La terne orthogonale-destrogira des vecteurs i, j, k soit fixée une fois pour toutes. Les 
vecteurs u, V, W étant donnés, l'homographie générale a. telle que, quoi que soit le vecteur x, 

(1) «x= (uxxii + (vxxij + (W Xx)k 

est déterminée. Réciproquement, (/_ étant donné, les vecteurs u. V. W qui paraissent dans (1) 
sont détenninés, car 

U = Kai , V — Kaj , w = Kak . 

Donc, par l'intermédiaire de i, j, k on peut établir une correspondance univoque et réciproque 
parmi « les homographies générales a >< et u, V, W- En variant i, j, k, cette correspondance 
varie. Par conséquent une homographie générale a n'est pas une fonction des trois vecteurs 
U, V. W : mais elle est Jonction d'une terne fixe i. j, k et d'une autre terne variable u, V, W- 
C'est-a-dire la (1) donne bien toutes les homographies, mais liées invariablement à une terne 
fixe \, y k; en d'autres ternies, (1) donne les homographies comme des tachigraphes. (^e l'ait 
est fondamental pour établir la correspondance entre la fonction <J> de Hamilton et nos homo- 
graphies. 

Nous avons obtenu (Oniografie vettoriali, n»' C, 10) des homographies fonction d'un seul 
vecteur u ou des deux vect"urs u, V; les homographies uAi H 'Ui VI . Par ces homographies on 
peut obtenir des homogra|)hies fonctions des trois vecteurs u- V, W mais non toutes les homo- 
graphies. 

2 J'cr l'uuificazione , Note III. — Bui ali-KoKti, / quatcrnioni di Uaniilton e il caUolo 

vettoriale {Atti Ace. Torino, 1908^. 



.)/ 1: r.AN <: e s et co ii n e .s p o n d a nce ',9 

U, V étanl des veclems (u ijzf U), llaniilloii représente avec les 
symboles composés 

V 

- . vu 
u 

des operateurs vec/o/'icls (//li, </pp/iqiiés à ii;aiiclie a/i.r veclciirs 
d'une certaine classe (iioii à Ions les vecteurs , donnent an vecteur 

bien déterminé. Par exem|)le : — est ropéraleiir tel que, x étant un 

vecteur copi.ax.viiîi: avkc u i:t v, 

V 

' u 

est h vecteur qui, avec x, forme un triangle directement sem- 
blable au triangle Ibrmé avec v et u. Voilà le point de départ 
choisi par Hamilton pour définir les quaternions comme opéra- 
teurs vectoriels de la forme symbolique 

vecteur 



vecteur nou nul 



De la définition d'Hamilton il s'ensuit que : si a est un quater- 
nion, a est un opérateur pour les vecteurs x perpendiculaires au 
vecteur de « (indiqué par Va) et seulement pour ces vecteurs. On 
a, en employant nos symboles X /\ 

«X r= (Sa)x + lVal/\x 

S (vul = — V X u . V (vui = V A u 

v_vxu \^ — ^ A" 

M u- u ~~ U^ 

Avec une précision admirable, Hamilton développe plusieurs 
propriétés de ralgorithme quaternionnel, et c'est en hommage à 
la précision des concepts et des notations que Hamilton trouve 
nécessaire d'introduire les opérateui-s I, I~'. 

n applique (à gauche) le premier à un quaternion droit a ou 
(juadrantal versor) pour obtenir le vecteur u de a. 11 applique I~' 
à un vecteur u pour obtenir le quaternion droit dont le vecteur 
est u. Les deux conditions 

la = u . 1~ u = a 

ont la même signification, 
11 résulte que 

(I~'vi il~'ui ^ vu . 

L'Enseignement niiitlicm., 12'' année ; lOKt. 



, — 1 

I V V 



50 MELANGES ET CORRESPONDANCE 

c'est-à-dire que les symboles vu. - employés pour mettre en évi- 
dence les deii.f vecteurs qui dkterminent l'opérateur, coïncident 

I~'v 

avec les quaternions (l~'v) (l"'u) , -^r— . 

I u 

A ces faits-ci est due la « symbolical identification » hamil- 
tonienne de l« et l~'u à a et u ; c'est-à-dire \ identification symbo- 
lique des vecteurs aux quaternions droits. Mais il y a un abîme 
entre « identification symbolique » et « identification absolue ». 
On peut identifier deux symboles différents pour abréger récri- 
ture; cela peut conduire à des erreurs, mais ce n'est point une 
erreur logique. Au contraire, l'identification absolue de deux en- 
tités différentes est une faute logique que rien ne peut justifier. 

Ilamilton répète toujours le mot « symbolical identification » 
qui semble dire « prenez garde ». Précaution inutile! Les vulgari- 
sateurs de la magistrale œuvre de Hamilton, à la « suppression 
symbolique » de 1 et 1~', ont substitué la « suppression absolue » 
des opérateurs l, l~^ ; à la «symbolical identification» des vec- 
teurs aux quaternions droits ont remplacé leur « identification 
absolue ». 

Les vulgarisateurs de Hamilton (et c'est à eux seulement qu'est 
due la confusion actuellej ont montré bien peu de déférence à 
leur maître, avec la suppression absolue, des symboles 1, I~M 
Ne point les comprendre n'est pas une raison sutlisante pour les 
supprimera 

Revenons aux remarques de JNI. Knott. 

« Ayant défini le vecteur comme une quantité satisfaisant à la 
loi du parallélogramme, l'analyste doit examiner la signification 
qu'il faut attacher à un produit ou à un quotient de vecteurs. 
Cette signification doit être obtenue par le moyen géométrique le 
plus simple, tenant compte de l'interprétation analytique des pro- 
cédés généralisés de multiplication et de division. » Les vecteurs, 
les hivecteurs de Grassmann, les forces appliquées à un même 
point, les quaternions droits, ont en commun la loi du parallélo- 
gramme. Les analystes qui définissent un vecteur comme une 
(juantité satisfaisant à la loi du parallélogramme se trompent. 
Leur faute est démontrée par Hamilton qui donne une exacte et 
simple définition de vecteur sans avoir recours à la loi du paral- 
lélogramme. De même Grassmann n'a point recours à cette loi 
pour introduire les vecteurs. L'analyste, qui n'aspire point au 
titre d'algébriste, doit examiner quelles sont les opérations géo- 
métriques qui se rattachent aux vecteurs et suivre l'algorithme 
algébrique tant (|u'il lui est possible sans détruire la géométrie. 
Grassmann a bien renoncé ii la division, car les entités géomé- 



^ Voir pour d'autres écLiircissemenls / quatcniioni di /lamiUon... 



M i: LA NC E s ET C O H H E S p O .\ D A .\ C E ôl 

triques iiiti-oduiles j)ai' lui n'admollonf pas la division; au con- 
traire, il a l'ait un usa«>e maijj-istral du produit, bien que, pour 
M. Knolt, le produit de Grassnianu ne soit pas la multiplication 
(et le produit (jualeinionnel est-il une multiplication?!^ Ilamilton 

préfère la notation jîa~' multiplication) à la notation - (division) 

• V 

<[ui présente une ambiguïté' ; avec les notations vu,- . il indique, 

au commencement, non des produits des vecteurs, mais des opé- 
rateurs (pii sont fonctions de la couple u, v; ces opérateuis ont la 
signification absolue des produits et des quotients quaternionnels 

I V > V 

(I~'v l~'u , ^^T— , pour se représenter sous la fornu' vu . - , de- 

I u '^ 

puis la « symbolical identification ». 

M. Knott veut bien nous rappeler cjuelle est la puissance du 
symbole f'. Il n'y a là rien de nouveau pour nous. Notre formule - 

V7 = — div(V/y| 4- I~' I rotiW/i + gradiS^l | , 
ou bien 

V = — div V + I"' I rot V + grad S \ , 

qui peut être choisie pour donner une définition absolue de f en 
opposition à la définition ordinaire t a chy graphique 

.0 .0 ,0 

dit bien cjue^ peut donner grad, div, rot, c'est-à-dire />e/// donner 
toutes les fonctions qu'il contient. Qu'y a-t-il là de merveilleux .' 
M. Knott peut accomplir une chose bien merveilleuse en démon- 
trant mais — bien entendu — en faisant usage de la notation 
complète de Hamilton, avec I et I~') comment les quaternions, qui 
ne sont pas des homographies dans l'espace^ et qui ont 4 dimen- 
sions, peuvent donner les homographies, dans l'espace, à 9 di- 
mensions et leurs dérivées à 27 dimensions; comment f7 peut 
donner une entité qu'il ne contient pas, c'est-à-dire le gradient 
d'une homographie; comment on peut définir^ de manière abso- 
lue sans avoir recours aux fonctions grad, div, rot; etc. 



' Pour les entités a, b, c,... soit défini la multiplication. On peut définir la division ooninic 
opération à résultat unique dans le seul cas on 

(1) ab = ha 

(2) de ac =^ hc et c :±. (l on tire a ^ b . 

conditions qui ne sont pas satislaisantes pour les formations de Grassinann ((Il et (2)) et pour 
les quaternions ( lll i. 

' Per l'unificazione , Note III, n"> 17, formules (7) (7'|. 

' I quaternioni di Hamilton 



52 Mlir.J.XGES ET C O R R E S P O N D A X C E 

.. Je crois que la confusion actuelle de pensée et tle notation est 
due principalement à un usa<>^e improj)ie des termes : Produit 
vectoriel, produit scalaire, produit interne, etc. ; car ces fonctions 
ne sont pas des produits dans le sens analytique complet du 
terme. « La confusion existe pour les algébristes, mais non pour 
les analystes (|ui posent l'analyse au service de la o-éométrie, de 
la mécanicpie et de la physique. Nous, nous comptons, avec bien 
d'autres, au nombre des admirateurs de Mobius, Hamilton, Grass- 
mann. Et nous ne voulons point oublier Gibbs auquel nous devons 
notre système minimum. Les algébristes, les vrais pères de tous 
les systèmes hermapluodlles, sont des inconnus pour nous. 

« Les auteurs excluent arbitrairement la concepti(Mî de produit 
complet de deux vecteurs et se privent ainsi de l'usage du sym- 
bole de dilTérentiation vectorielle dans l'espace. Ils comblent par- 
tiellement cette lacune par l'introduction ingénieuse d'au moins 

n • 1 , ^ .. du dVi , . 

cinq operateurs fonctionnels, grad, rot, div, ^ > ^ > operateurs 

dont la forme n'indique en aucune façon la relation étroite qui 

les lie. » Nous ne faisons pas usage d'un opérateur à 4 dimensions, 

car il nous faut des opérateurs à 9 dimensions. Nous nintrodui- 

„ . , , ■., du d\x. 

sons pas 5 opérateurs fonctionnels grad, rot, div, ^ ^ , mais un 

seul opérateur -ttt , défini en forme absolue, et duquel les autres 

sont des fonctions. 

«Il n'y a aucune preuve que Ion puisse faire plus avec ce sys- 
tème qu'avec celui d'Hamilton, et ce dernier est visiblement plus 
systématique dans ses notations, plus sobre dans son symbolisme 
et plus maniable dans ses opérations. » M. Knott a le devoir de 
donner la preuve de son assertion. Peut-il, sans avoir recours aux 
coordonnées x, /y, z du point P, développer tout ce qui est con- 
tenu dans notre Omogra/ie, pp. 67-97 ? Avec les quaternions peut-il 
donner la rotation à un vecteur au moyen d'un seul opérateur li- 
néaire? Peut-il aborder avec M. Boggio', et sans coordonnées, les 
problèmes les plus élémentaires sur les liquides visqueux ? Sau- 
rait-il donner, sans avoir recours aux coordonnées, tout au moins, 
la partie fondamentale de la géométrie dilïerentielle d'une sur- 
face, et de la géométrie différentielle des complexes et des con- 
gruences^? Etc., etc. 



1 Siil moto stazioiuirio lento di una sfera in un liquida viscoso. \Hendiconti di PaUrmo, 1910.) 
Snl prohUina del moto stazionario lente di un liquido viscoso. [Rendieonti Ace. Lincei, 1910.) 

2 C. BuRAi.i-FoHTi. Alcune nuove esprcssioni assolute délie curvaturc in un punto di una super- 
ficie. — Vna dimostrazione assolnta del teorema di Gauss relativo all'invariabiUtà delta curva- 
tuia totale nella flessione. (Rendieonti Ace. Lincei, 1909.) 

.Sulla (feometria differenziale assolnta délie congruenze e dei e.imple.isi rettilinei. (Atti Ace. 
Torino, 1909.) 

Omografic vettnriali. Appendice, § 4. 



M /■: I. A N V. E S E T C O li H E S POND A N C E 53 

« Un systènu' (jui admet la uotitm du produit de deux vecteurs 
perpendiculaires, mais nie la possibilité du produit de deux vec- 
teurs non perpendiculaires, est illo<i^ique à la base, et n'a aucun 
droit au nom de rationnel. » Kt cela parce que nous faisons usaLfe 
des quafeiiiions coaxiaux (nombres inia<:'inaiies qui ont un calcul 
identique à celui de ral<^èbre, et que nous n'employons pas, en 
irénéral, de qualernions ! 

I.oi'squ'on veut juirer des travaux faits avec conscience, sinon 
avec science, il est nécessaire de connaître amplement dans leur 
esprit et dans leur substance tous les arguments analogues. Il n'est 
pas sulîisant, par exemple, d'avoir étudié les quateinions \>til<j;a- 
risés, on de les avoir étudiés *dans l'original sans en avoir saisi 
tout l'esprit et la j)ortée. 



III. — Réponse a INI. A. Macfarlaxe. 

Dans notre système nous taisons usage des entités et des opé- 
UATiONs, coniiHKnes à tous, 

(1| iKjinbre, point, vecteur ; + , — , produit par un nombi'C , 

et des OPÉRATIONS communes à tous, sauf les symboles) 

(2) X Iproduit interne, scalaire) , /\ produit vectoriel)' 

(pii peuvent être définis avec les seuls éléments li sous forme 
géométrique très élémentaire. Nous avons aussi démontré qu'à 
l'aide de (1) et (2) seulement on peut obtenir : les formes géomé- 
triques de Grassmann, leurs transformations linéaires comprises 
(nécessaires et suflisantes pour traiter sous forme absolue toute 
question géométrique et mécanique); les homographies i>ecto- 
rielles ; les quaternions (insufïisants pour traiter sous forme ab- 
solue plusieurs questions) ; c'est-à-dire tous les calculs géomé- 
triques connus. 

En suivant lavis de M. jNIacfarlane, il faut joindre aux élé- 
ments (1) 

(3) quaternions , leurs opérations, S , V , I . 1~ 

(c'est-à-dire la théorie hamillonienne pres([ne complète) pour ar- 
river aux (2) avec les formules (notation complète) 

a X b = — S(I~'bi . l~'a) , a A b = V|I~'a . l~'bi . 

Les opérations X, f\ une fois obtenues, le calcul géoméîri(pi(' 
n'est pas complet (voir notre réponse à M. Knott). 



CIIROM nUK 



Le point de départ (1) et (2) n'est-il pas plus simple que (1) 
et (3) ? « L'unification logique des quaternions et de l'analyse vec- 
torielle entre eux et avec V anal y se scalaire » n 'est-elle pas accom- 
plie, et fort simplement, avec (1) et (2)'.' 

Faire des quaternions pour les quaternions est œuvre inutile. 
Hamilton, dont nous sommes des ardents admirateurs, a apporté 
à la science bien d'autres contributions que des opérateurs vec- 
toriels. Ceux-ci, comme tous les produits du génie humain, sont 
susceptibles d'être transformés et perfectionnés. 

C. BuRALi-Foini et \\. Marcolongo. 



CHRONIQUE 



Commission internationale de l'Enseignement mathématique. 

Le Comité central, composé de MM. Klein (Gœttingue), Green- 
HiLL (Londres) et Fehr (Genève), s'est réuni à Baie le 28 dé- 
cembre 1009. 11 a tenu deux séances, l'une le matin de 9 h. à midi, 
l'autre laprès-midi de 4 à 8 h. Le Comité a tout d'abord piis con- 
naissance du rapport sur l'organisation et l'état actuel des travaux 
dans les dix-huit pays participants. C'est avec une vive satisfac- 
tion qu'il a constaté que dans un grand nombre de pays les tra- 
vaux sont en bonne voie et donneront lieu à d'intéressants rap- 
ports. Les renseignements recueillis feront l'objet <rune Circulaire 
N° 2, qui sera publiée dans le prochain numéro deV Enseignement 
.mathématique. 

L'enquête se poursuit activement dans tous les pays avec la col- 
laboration active et dévouée d'un grand nombre de mathémati- 
ciens. On peut prévoir, dès 'vinaintenant, que d'ici à la (in de cet 
hiver, toute une série de rapports préparatoires seront terminés. 

Tandis que les délégués ont rencontré le meilleur accueil et 
beaucoup de bonne volonté chez les mathématiciens, il n'en a pas 
été partout de même dans leurs démarches auprès de leur Gou- 
vernement. Dans plusieurs pays la (juestion de l'appui financier 
n'est pas encore réglée. Les autorités scolaires ont cependant un 
intérêt évident à soutenir une œuvre aussi vaste qui ne manquera 
pas de contribuer au progrès de l'enseignement en général. Il 
faut donc espérer que, mis au courant des travaux en préparation, 



ClinONIOLE 55 

les rfoiivernements qui n'ont pas enroro donné leur adhésion, ne 
tarderont pas à If faire. 

Le Comité central se réunira à Brii.velles, vers le milieu du mois 
daoùt lUlO. Il compte, en outre, saisir loccasion de 1 Kxposition 
universelle de Bruxelles, pour organiser une réunion, tout au 
moins partielle, de la Commission internationale. Seraient con- 
voqués à ces séances, les délégués de Belgique et des pays voi- 
sins, rAUemagne, lAiigleterre, la France et la Hollande. Mais il 
est bien entendu que tous les membres de la Commission qui 
pourraient y prendre part, seront les bienvenus. Il est même 
question de faire suivre ces séances d une série de conférences 
organisées dans la section d'enseignement de l'Exposition et aux- 
quelles seraient invitées toutes les personnes qui s'intéressent au 
progrès de l'enseignement scientifique. Nous reviendrons sur ce 
projet dan^ le prochain numéro. II. Fehr. 

La publication des œuvres d'Euler. 

On sait que dans sa dernière réunion annuelle la Société lielvé- 
ti((ue des Sciences naturelles a décidé d'entreprendre la publica- 
tion des Œuvres d'Euler. La Commission d'Euler, dont nous 
avons indiqué la composition dans un précédent numéro (sept. 
1909 , vient de constituer le Comité de rédaction comme suit : 

M. F. RuDio Zurich, président; MM. Krazeis et St.eckel 
(Carlsruhe). 

La Commission elle-même sera présidée par M. K. ^ on der 
MiJHLL (Bàle). 

Le premier volume sera consacré à V Algèbre d'Euler; il sera 
publié sous la direction de M. H. Weber (Strasbourg). 



Les portraits d'Euler. 

M. Enestrom (Stockholm) a établi la liste des portraits d'Euler' 
et des différentes reproductions qui en ont été faites; celles-ci se 
rapportent aux trois tableaux originaux ci-après : 

a) Tableau h l'huile de E. IIandmaxx, .|jeint en 1736. (Universi- 
tâtskunstsammlung, Basel.) 

b) Un pastel de E. IIandmaxx, peint en 1753, «[ui se trouve dans 
la même collection, à Bàle. 

cl Portrait à l'huile, cité par P. -H. Frss dans sa collection nia- 
tlicninlicjtie et phi/sique ( St-Pétersbourg, 1843), et qui serait peint, 
d'après lui, par Klttner, mais que l'on attribue généralement à 
Darbès. 



* Ueber Bildnisse von Léonard F.uler [Bibliiitheca mathcmatica, t. 7, p. :{T2-374, 19llTi 



56 CHRONIQUE 

Ce dernier portrait est bien de Darl)ès. Il a été peint à St-Pé- 
tersbourg vers 1782. Légué à la Société des Arts de Genève par 
un contemporain d'Kuler, le publiciste Etienne Dumoxt, ce por- 
trait appartient anjonrdluii au Musée des Beaux-Arts de Genève. 
Il ligurcra dans les collections du nouveau Musée des Beaux-Arts 
qui va être ouvert en lUlO. 

De naissance danoise (1747), .loseph-1' lédéiic-Augustc Darbès 
était professeur h. l'Académie de Berlin et mourut dans cette ville 
en I.SIO. II. Fehr. 

Académie des Sciences de Paris. 

Fiiix oKCKiîNiis. — Dans la séance du (> tlécembre, 1 Académie a 
décerné les prix suivants : 

Fondation Leconte (2000 fr.) — M. Brrz, pour ses travaux de 
physique mathématique et de mécanique. 

(2000 fr.i M. Lebeik, directeur de l'Observatoire de Besançon, 
pour ses travaux chrononiétriques et astronomiques, et, en parti- 
culier, pour sa ])articipation à la publication des œuvres de La- 
place. 

Prix Laplace (les œuvres de Laplace). — M. André-Victor- 
Etienne Vaucheret, sorti premier de l'Ecole polytechnique est 
entré, en qualité d'élève ingénieur, à l'Ecole des mines. 

Prix. Félix Ris>ot (2,500 fr.) — Partagé entre MM. André-Victor- 
Etienne Vaucheiîet et Albert-Théodore Hentschel, entrés les 
deux premiers en qualité d'élèves ingénieuis à l'Ecole des mines, 
et M^I. Beiijamen Messiah et Olivier Coi inAc.NE, entrés les deux 
premiers au mcMue titre à l'Ecole nationale des ponts et chaussées. 



Nouvelles diverses. — Nominations et distinctions. 

Allcmag'iie. — Centenaire de Kuniiner. La Société mathé- 
matique de Berlin a décidé de commémorer le centième anniver- 
saire de la naissance de Kummer (29 janvier 1810-1910) en une 
séance solennelle, fixée au samedi 8 janvier et comprenant une 
conféi'ence de M. le professeur K. IIexsee, de l'Université de Mar- 
bourg. 

Fondation \Volfsl;ehl. — Nous avons déjà attiré l'attention de 
nos lecteurs sur le dernier théorème de Fermât et le critérium de 
M. Wieferich (Note de M. Miiumanofe, VEnseign. Math, du 15 nov. 
1909. p. 455-459). Les recherches de ce jeune mathématicien ap- 
portant une premièi'e contiibution importante dans ce domaine, 
depuis les travaux de Kummer. la Société i-oyale des Sciences de 
Gœltinguc ;i décide d'accorder <à M. AVikiericm (iraudenz], à titre 



CHRONIQUI-: 57 

crencouraf>cmciit, luio somme de 1000 Mk. pour son mémoire 
inséré dans le Journal fur reine ii . uniiew. Malheninlik t. I30j. 

i'nn'ersilè de (iœttiniiue. — Des cours de vacances destinés aux 
professeurs de mathématiques et de physique des écoles moyennes 
seront organisés pendant les vacances de Pâques 1910. Les confé- 
rences sur les mathématiques seront faites par MM. Kr.Kix, Lan- 
dau, Phantl, Rlnce, Bkhhkxdskx. 

— M. Dkdkkixi) Braunschwii»-, ancien professeur de IKcole Po- 
lytechni(|ue de Zurich, a été nommé Docteur honoraire de cette 
haute Ecole. 

M. Krazeiî (Carlsruhe), est nommé membre associé de la Société 
des Sciences de Strasbourg- et membre extraordinaire de l'xVcadé- 
mie des Sciences de Ilcidelbcro-. 

Pr/\'a(-Docenfs. — Ont été admis en qualité de privat-docenls : 
^L Th. Kalusa, p«)ur les mathématiques pures et appliquées, à 
l'Université de Kœnigsberg; M. A. Timpe, pour la mécanique, à 
l'Ecole technicjue supérieure d'Aix-la-Chapelle. 

Aiig-lcterre. — ^L W. de Moiujax a fait tlon à la Biblio- 
thèque de l'Université de Londres d'une collection de livres, mé- 
moires et manuscrits jadis dans la possession de son père Auguste 
De Morgan, qui a professé les mathématiques à cette Université 
pendant trente ans. 

Sir .loseph Lahmor et Sir J.-J. Thorxsox ont été nommés Doc- 
teurs honoraires de l'Université de Birmingham. 

M""" E. GiîEEXE a été nommée Mathematical Tiitor au Bedford 
Collège de l'Université de Londres. 

^L A.-.L Kexxy a été nommé Assistant Lectnrer à l'Université 
de Birmingham. 

M. J.-II. Sleemax a été nommé Lectnrer à l'Université de 
Sheffield. 

M. H.-C. M'Weexy a été nommé Professeur de ^Mathématiques 
à YUniversitij Collège de Dublin. 

M. A.-\V. CoxwAY, D' Se. est nommé Professeur de Mathéma- 
tiques appliquées à l'Université de Dublin. 

M. M.-J. CoxuAX a été nommé Lectnrer paur la Physique mathé- 
matique à VUniversity Collège de Cork. 

M. J. Milleu, D'Sc, a été nommé Professeur de Mathématiques 
au (jlasgoiv and ]\'est of Scotland Technical Collège. 

Société roi/ale de Londres. — La médaille Copleij a été attribuée 
i» M. G.-W. IIiLL, pour ses travaux d'astronomie matliématique, et 
\». médaille royale au professeur Love, pour ses recherches sur la 
théorie de l'élasticité. 

Autriche. — MM. Dexizot et Khygowski, piofesseurs extraor- 
dinaires, sont nommés professeurs ordinaires à l'Ecole polytech- 
nique supérieure de Lembcrg. 



58 (IIRONIOUE 

M, C. Phey, privat-docent, a été nomme professeur extraordi- 
naire d'astronomie et de géodésie à l'Université de Vienne. 

M. R. Saligeh, de l'Ecole technique supérieure allemande de 
Prague, a été nommé professeur de mécani<|ue à l'Ecole technique 
supérieure de Vienne. 

Bclg-ic|ue. — i'n/\'crsité de Brii.velles. De grandes fêtes ont 
été célébrées à Bruxelles, du 18 au 21 novembre 1909, à l'occasion 
du 75'""= anniversaire de la fondation de l'Université libre. Au 
cours de ces festivités des conférences ont été faites par d'illustres 
savants, une entre autres, par M. II. Poixcahé; elle avait pour objet : 
Le libre examen en matière scientifique. 

Académie royale de Belgique. — Dans sa séance solennelle de 
décembre 1909, la Classe des Sciences de l'Académie royale de 
Belgique a proclamé les résultats de ses concours annuels; elle a 
couronne notamment un mémoire de M. E.-.l. Wilczyxski, sur la 
géométrie infinitésimale de l'espace euclidien réglé. 

Etats-Unis. — M!M. T. Pikupoxt et E.-B. van Vlfxk ont été 
nommés docteurs honoraires de la Clark University (Worcester 
Mass). 

France. — Académie des Sciences. — Pendant l'année 1910, 
l'Académie sera présidée par M. Emile Picaud. 

Ecole polytechnique. — M. Carvallo, examinateur de sortie, est 
nommé directeur des études, en remplacement de M. Mkiîcadier, 
nommé directeur honoraire. 

Faculté des Sciences de Paris. — M. Maiîchis, professeur de 
physique générale à la Faculté des Sciences de Bordeaux, est 
nommé, à partir du P'' janvier 1910, professeur d'aviation (fonda- 
tion Basil Zaharolf). 

Monument Laplace. — Un monument sera élevé en l'honneur 
de Laplace, à Beaumont en Auge (Calvados), où l'illustre mathé- 
maticien naquit en 1740. 

— M. Ernest Lebox a été nommé membre correspondant de la 
Société Royale des Sciences de Liège. 

Hongrie. — M. G. Kowalewski, de l'Université de Bonn, a 
été appelé à l'Ecole technique supéiieurc allemande de Prague, 
en qualité de professeur ordinaire. 

Italie. — M. M. Abhaham a été nommé professeur de Méca- 
nique rationnelle à l'Institut technique supérieur de jMilan. 

M. G. BoccAitDi, professeur extraordinaire d'Astronomie à l'Uni- 
versité de Turin, a été nommé professeur ordinaire. 

M. T. Bo(;(;io, de Messine, qui avait été provisoirement attaché 
à l'Institut des Hautes études de Florence, a été nommé profes- 
seur extraordinaire de Mécanicpic rationnelle à l'Université de 
Turin. 



NOTES ET DOCUMENTS 59 

M. C. Seveiiim, professeur extraordinaire de Géométrie analy- 
tique à l'Université de Calaiie, a (*té iioinnié professeur ordinaire. 

M. K. SoLi-u (de Messine) a été nommé professeur oïdinairc de 
Géodésie théorique à l'Université de l*adoue. 

Privat-docents. — Ont été admis en qualité de privat-docents : 
M. E. Lauha, pour la Mécanique rationnelle, à l'Université de Tu- 
rin ; M. U. ScAiuMs, pour l'Analyse algébrique, à l'Université de 
Bologne; M. F. Sihiham, pour l'Analyse infinitésimale, à l'Uni- 
versité de Bologne. 



NOTES ET DOCUMENTS 



LA RÉORGANISATION DE L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE 
DANS LES ÉCOLES SUPÉRIEURES DE JEUNES FILLES EN PRUSSE 

D après des rapports récents. 

Les écoles supérieures de jeunes filles en Prusse subissent en ce moment 
de sérieuses transformations, qui marr/uent une étape importante dans l'his- 
toire de l enseignement allemand. Les prescriptions nous'eUes introduites par 
le décret du IS août 190S pré\'oient en effet un plan d'études permettant aux 
jeunes filles d aborder les études unii'ersitaires. Nous croyons intéresser les 
lecteurs de /'Enseignement mathématique en résumant, sous le titre ci-dessus, 
quelques documents qui montrent sur quelles bases la réorganisation a été 
opérée. Une jeune mathématicienne. M"» Renée Masson, a bien voulu se 
charger de ce travail. Nous tenons à lui présenter ici l'e.rpression de nos 
vifs remerciements. La Rédaction. 

î. — Les mathématiques dans le plan d'études des écoles supérieures 

de jeunes filles avant et après la réorganisation des écoles supérieures 

prussiennes de jeunes filles. 

Résumé du rapport de M. le D"" Gustav Noodt, professeur 
à la « Vikloi'ia Scliule » à Bei-lin. 

Le travail de M. Noodt fait partie des rapports préparatoires dûs à l'ini- 
tiative de la délégation allemande de la Commission internationale de 1 en- 
seignement mathématique. Il a été publié sous le titre : Ueber die Stellung 
der Matheniatik ini Lehrplan der hoheren Miïdcltenschule vor und nach der 
Neuordnung des hùheren MddchenschuUvesens in Prenssen. I Berichte u. Mit- 
teilungen. veranlasst durch die Intern. Maihem. Unterrichtskommission, II.) 

Afin que le lecteur soit bien oiienlé, M. IN'oodt donne d'abord le plan 
d'ensemble ci-après de la nouvelle organisation des écoles supérieures de 
jeunes filles. 

Jusqu'ici les études des jeunes filles étaient d une trop courte durée pour 
toutes les branches, et principalement pour les mathématiques. D'après la 
nouvelle organisation, la durée minimum de fréquentation des écoles supé- 



60 yOTES ET DO Ci' ME XTS 

Lycée. Ecole secondaire supérieure. 



(Instruction gi'uérale rémininc 
et préparation à 1 onseiguoiiient.) 

,p 1 />y Ecole normale supérieure : 
examen de professorat, âge 



ménagère. 



iniiiiinum 20 ans. 

Année de 
pratique. 



Age ni 11 
16 ans. 



III 



Ecole super, de jeunes filles. 



^ z ■' 

7 J3 '5c < 

• :, x H 

:. 3 - 



c ic ;; 



m 



IV 



M 



Age min. 13 ans. 



iMatuiité j)our l'université.) 



a) Lcole , , ^ 

. . h Gymnase , ,, 
supérieure _;,^, c) dymnase. 

réale. 



:-al. 



Age miuinuun pour 1 examen de sortie, 
19 ans. 



I -_ — 


i 


11 


.^~ 




III 


— 



— I — 



III 



m 



IV 



Commencement de l'anglais. 
Asre min. 12 ans. 



IV 



IV 



Commen- 
cement 
du grec. 



VI 



Commence ment 
(lu latin. 



o — 



= ^ VIII 



u m '- 

C2 ï o 



VII 



IX 



Commencement du fi-ançais. 
Age min. 9 ans. 



lùilrée à I Age de 6 ans. 



t 



ReinartjHt' : Les traits ||| indiquent la promotion dune classe dans une classe 
supérieure ou la mutation dans une autre classe ou école. Les accolades {■ — ~- — - ) 
indiquent la j)ossibilité d une instruction en commun pour les branches similaires. 



.V O T i: s E T l) O C U M E X T S 



Gl 



riciircs a été élevée à dix années d'études. Pour la préparai ion à des éludes 
universitaires, le niininuim est de V.\ années d études, de 12 pour les jeunes 
gens. 

M. Noodt. avant de donner des indications sur la manière de procéder à 
la réforme, donne un aperçu de la place (/n'occupaient jusr/u ici lea mathé- 
matiques et les sciences naturelles dans le plan d'étude des écoles supé- 
rieures de jeunes filles en Prusse, écoles qui ne comptaient généralemcnl 
que neuf années d'études. (Les écoles secondaires supérieures préparant à 
l'université n'existaient pas.| L'instruction des jeunes filles, et particulière- 
ment leur instruction matliématique, laissait fort à désirer, ainsi que le 
montre le règlement du 31 mai 1894 concernant, les écoles de jeunes filles, la 
préparation des maîtresses et lexamen de professorat féminin. Le temps 
consacré à cet enseignement n'était que de 15 h. par semaine pour 6 classes, 
alors que les langues allemaude»ct française disposaient cliacune de 27 h. 
Au point de vue des mathématiques, les jeunes filles sortant de ces écoles 
auraient à peine été capables de suivre renseignement de la 3'"<= des écoles 
supérieures de jeunes gens. Le but de l'enseignement mathématique sem- 
blait, non pas le développement de l'esprit, 1 éducation de la réflexion, mais 
uniquement de l'ordre, de la clarté dans la résolution de problèmes expli- 
qués et préparés en classe pour éviter tout effort de l'esprit. Les calculs 
algébriques étaient rigoureusement exclus. Les sciences naturelles étaient 
un peu mieux partagées, le programme laissant une plus grande liberté. 

Heureusement, malgré la situation inférieure faite aux maîtres des écoles 
de jeunes filles, il s'est trouvé des maîtres, principalement parmi les mathé- 
maticiens, qui ont accepté de se charger de cet enseignement et qui v ont 
apporté toutes les améliorations compatibles avec les prescriptions du 
31 mai 1894. Les connaissances exigées du personnel enseignant féminin 
étaient également trop rudimentaires. 

Passant ensuite à la question des maîtresses supérieures prussiennes, 
M. rs'oodt montre comment, peu à peu, les exigences augmentèrent et ame- 
nèrent la création de cours pour maîtresses supérieures, cours dont la ma- 
jorité préparent à certains cours universitaires. Il donne un tableau compa- 
ratif de l'instruction des candidats aux cours universitaires pour les deux 
sexes. 



Sexe masculin. 

6 classes inférieures et moyennes 
dans les écoles supérieures en 9 
classes pour jeunes gens (classes 
préparatoires non comprises). 



3 classes supérieures dans les écoles 
supérieures en 9 classes pour 
jeunes gens. 



.Sexe féminin. 

6 (7l classes moyennes et supérieures 
dans les écoles supérieures en 6 
ou 7 classes pour jeunes filles 
(classes préparatoires non com- 
prises). 



3 (actuellement 4) années de sémi- 
naire. 



Plusieurs années de pratique dans 
renseignement. 



Etu des un i^'crs ita ires . 



62 .VOTES ET DOCUMENTS 

Les connaissances exigées pour l'examen de maîtresse supérieure ne cor- 
respondent, pour les mathématiques et les sciences naturelles, qu à l'examen 
du 2"'e degré, donnant le droit d'enseigner |dans les classes mojenues des 
établissements supérieurs d instruction. Une enquête due à l'initiative de la 
« Commission allemande de l'enseignement des sciences mathématiques et 
naturelles » a été faite auprès des directeurs et directrices des cours de 
maîtresses supérieures. Il ressort de cette enquête que des cours spéciaux 
de mathématiques se donnent ou vont se donner dans plusieurs villes, Berlin, 
Bonn, Goltingue, Konigsberg, Munster, Greifswald. Les connaissances exi- 
gées pour suivre ces cours sont en moyenne celles du programme de la 3n>« su- 
périeure du gymnase réal, le nombre des heures consacrées aux mathéma- 
tiques oscille entre 4 et 12, et le nombre des semestres entre 4 et 6. A Bonn, 
Gôttingue et Konigsberg, un certain nombre des cours se font à lUniversité. 

Depuis novembre 1908, lexamen de maîtresse d'école supérieure donne 
le droit à l'immatriculation avec la « petite maturité » '. 

Les exigences des nouveaux programmes nécessiteront, de la part des 
maîtresses supérieures, des connaissances de géométrie descriptive. 

En ce qui concerne les mathématiques, les cours pour maîtresses supé- 
rieures ne devront aspirer qu'au programme du 2™e degré, le 1<='" degré 
étant réservé aux jeunes filles, porteurs de la maturité des écoles secon- 
daires supérieures, qui auront fait des études universitaires régulières. 

La séance du 6 mars 1909 de la « Commission allemande de l'enseigne- 
ment des sciences mathématiques et naturelles » s'est déclarée, à l'unanimité, 
pour le maintien provisoire des cours de maîtresses supérieures. Des cours 
de vacances pour maîtresses supérieures, analogues à ceux qui existent pour 
les maîtres supérieurs, seront nécessaires. 

M. Noodt aborde ensuite le chapitre des progrès amenés dans l'enseigne- 
ment mathématique par la réorganisation des écoles supérieures de jeunes 
filles. Il est heureux de constater que l'importance des mathématiques pour 
l'instruction des jeunes filles a enfin été reconnue, ainsi que cela se mani- 
feste dans les nouveaux règlements, tant par l'augmentation des heures qui 
sont consacrées à cette étude, que par le rang de branche principale qui est 
donné aux mathématiques dans tous les établissements d'instruction de 
jeunes filles; le nombre d'heures accordé à cet enseignement reste cepen- 
dant au-dessous de ce que Ion espérait. Le programme mathématique des 
écoles supérieures de jeunes filles et des lycées est eu majeure partie dû à 
M. Crantz, professeur au « Askanischen Gymnasium » à Berlin. 

Ce programme correspond à peu près aux connaissances exigées dans la 
classe I des écoles réaies en 6 classes de jeunes gens. Sont cependant exclus 
du programme : 1 étude des logarithmes et de la trigonométrie; en géométrie, 
les théorèmes d'égalité (l'égalité des côtés dans des triangles équiangles ex- 
cepté, à cause de ses applications fréquentes), les proportions dans le cercle, 
ainsi que les constructions à l'aide de l'analyse algébrique. 

L'étude proprement dite de l'arithmétique se termine avec la b°*^ classe, 
classe dans laquelle les lettres seront introduites pour exprimer des résul- 
tats déjà obtenus numériquement et des expressions littérales seront évaluées 
numériquement par la substitution de nombres donnés. 

L'algèbre et la planiinétrie commencent dans la classe 4 ; à la sortie de 



* La «petite maturité» se distingue de la « grande» en ce qu'elle doit cire renouvelée tous 
les deux ans et ne donne pas accès aux examens d'Etat. 



.V O r K s El DOC U M K N T S C, :; 

celle-ci les élèves doivent décider si elles veulent arriver ;i la nialiirité pour 
l'université par le gymnase ou par le gymnase réal de l'école secondaire 
supérieure, ou, à la sortie de la classe H, si elles veulent arriver à la matu- 
rité pour 1 université par 1 école réale supérieure. 

Afin de montrer les progrès accomplis avec la nouvelle organisation, l'au- 
teur donne quohjues citations des instructions méthodiques, citations des- 
quelles, il ressort qu'en mathématique, principalement au début, l'intuition 
et les applications devront jouer un rôle prépondérant. On développera l es- 
prit d'initiative et le travail personnel. La notion de fonction, bien qu'elle 
ne soit pas indiquée explicitement, sera, aulant que possible, introduite par 
l'algèbre et la géométrie. 

La scission de l'examen de l'école normale eu deux est également un avan- 
tage. Le premier examen, roulaut sur les connaissances acquises, se fait au 
bout de trois ans d études ; le (^nxième. examen d aptitude jjédagogique, 
après la quatrième année, année consacrée à la pratique et au développe- 
ment des connaissances ainsi qu'à l'acquisition de notions de géométrie ana- 
lytique, sans que celles-ci donnent lieu à un examen. 

M. Noodt passe ensuite à des considérations et reniar(/ui's générales en 
commençant par les écoles supérieures de jeunes filles. 

Lu mathématiques, plus encore que dans toute autre branche d'étude, la 
compréhension d'un sujet repose sur des connaissances antérieures ; il fau- 
drait donc que seules les élèves parfaitement préparées pour les mathéma- 
tiques soient admises dans les écoles secondaires supérieures. 

L'auteur estime que l'étude de larihmétique proprement dite ne peut être 
menée à bien, même dans des conditions favorables, avec le nombre d heures 
très restreint qui lui [est accordé. Par exemple, dans la classe 5 (3 h. par 
semaine), le programme comporte : Fractions décimales, règles de 3 simples 
et composées avec des nombres entiers et des fractions. Applications ti- 
rées de la vie civile, entre autres les calculs de pourcentage et d'intérêt. Calculs 
simples de surfaces et de volumes. Introduction de lettres dans des résul- 
tats déjà obtenus numériquement et évaluation d'expressions littérales par la 
substitution de valeurs numériques déterminées. Les élèves de cette classe 
sont précisément à un âge où le développement corporel et mental exige- 
rait un enseignement plus modéré. 

Les résultats obtenus depuis quatre ans dans le grand duché de Bade 
par l'application de nouveaux programmes sont parfaitement satisfaisants. 
Le nombre des heures consacrées à létude des mathématiques y est ofli- 
ciellement de 12 dans les 3 années d'école préparatoire et de 25 dans les 7 
autres classes ; le directeur, M. Keim, a porté \e nombre des heures à 18 dans 
les classes préparatoires, au total 43 h. dont 37 officielles, alors que les 
programmes des écoles prussiennes comportent 30 h. au total dont 9 à 
l'école préparatoire. 

M. Noodt établit un parallèle entre le programme hadois de 1903 et les 
(< instructions de Stuttgart de 1906 » dues à la Commission de l'enseignement, 
de la Société des naturalistes et médecins allemands ; commission qui, au 
moment de l'élaboration de son projet, ignoi-ait la teneur du programme 
badois. Il ressort de cette comparaison que les deux programmes concordent 
dans leurs points principaux et sont animés du même esprit de réforme. Le 
grand duché de Bade a donc Ihonneur d'avoir été le premier à élaborer un 
tel programme et à le mettre en |)ratique, cl cela de la façon la plus com- 
plète avec le temps restreint accordé à renseignement. 



6i NOTES ET DOCUMENTS 

L'auteur considère ensuite les écoles secondaires supérieures. Le fait que 
les éléments de calcul infinitésimal ne sont pas indiqués dans les plans 
d étude des écoles secondaires supérieures, n'implique évidemment aucune 
interdiction d'essais tendant à donner aux élèves les notions de dérivée et 
d'intégrale au moyen de représentations graphiques et de calcul approxi- 
matif d'aires de courbes. Les éléments du calcul infinitésimal deviennent de 
plus en plus indispensables à tous ceux qui veulent se préparer à la vie 
intellectuelle de notre époque. 

M. Noodt préconise un emploi de méthodes approximatives et graphiques 
dans le cas où la résolution générale est trop compliquée, comme par exem- 
ple dans les classes 3 et 4 pour les équations du 2"'e degré à plusieurs in- 
connues. La solution générale des équations du 'S'"" degré (formule de Car- 
dan) est réservée aux sections «le gymnase réal et d'école réale supérieure. 

L'analyse combinatoire ne fait heureusement partie que du programme 
des écoles réaies supérieures, ainsi que le binôme de Newton à exposant 
quelconque, éventuellement, seulement de celui du gymnase réal ; même 
dans l'école réale, il suffira de démontrer graphiquement la possibilité 
d'existence du binôme à exposant quelconque. 

Par contre, il est regrettable que la théorie des maxima et ininima si utile 
pour l'introduction de la notion de fonction, ne fasse pas partie du pro- 
gramme du gymnase et ne soit introduite que dans les 2 dernières classes 
des 2 autres sections. 

Il est reconnu, presque par tous, que l'enseignement de la géométrie des- 
criptive doit être confié non au maître de dessin, mais à celui de mathéma- 
tiques. 

Des dispositions analogues à celles qui existent pour les maîtres supé- 
rieurs devraient être adoptées pour les maîtres supérieurs féminins, terme 
par lequel M. Noodt indique, afin de les distinguer des maîtresses supé- 
rieures actuelles, les dames munies de la maturité des écoles secondaires 
supérieures et ayant fait des études universitaires régulières. 

Il donne ensuite uu plan d'étude élaboré par M. Rodolph Schimmach, 
à Gôttingue, pour la section supérieure réale des écoles secondaires supé- 
rieures : 

Classe V ('i h. par semaine). — 1) Fondions du !<='' degré numérique- 
ment et graphiquement. Equations du !<"' degré à 1 et plusieurs inconnues 
(principalement 2). — Carré et racine carrée, calcul numérique et graphique 
de cette dernière. — F"onctions simples du 2"^^ degré. — Equations simples 
du 2">» degré à 1 inconnue. 

2| Etude du cercle et constructions. — Eludes des aires. 

Classe IV (5 h. par semaine). — 1) Suite des fonctions et équations du 
2nie degré à 1 inconnue. — Puissances et racines à exposants réels. — Gé- 
néralisation de la notion de puissance ; fondions exponentielles et logarith- 
miques, numériquement et graphiquemenl ; application des logarithmes au 
calcul. 

2) Similitude et égalité. — Méthode d Archimède pour la mesure du cercle. 
Représentation graphique des fonctions trigonoméiriques. — Problèmes sim- 
ples de trigonométrie. 

Classe III (5 h. par semaine). — Résolution grajjhique d'équations 
simples du 2"'e degré à 2 inconnues; principales propriétés des sections 
coniques et leurs intersections par des droites. — Progressions arithmé- 
tiques et géométriques ; applications, en particulier au calcul des intérêts 



NOTE S E T I) O C UME N l' S 65 

ooiiiposôs et clos aiiniiilos. — Révision et dévcloppcincnt d<; fonctions déjà 

considérées; introduction des notions -j- , 1 >(/.r dans des cas concrets sim- 

ax ,' ■ 

pies comme x^ et x*. 

2) Problèmes de trigonométrie et formules trigonomélriques fondamenta- 
les. — Eléments de la géométrie projective (éléments harmoniques). — Elé- 
ments de stéréométrie et étude des projections, exercices simples de des- 
sin appliqué à la stéréométrie ; calcul des corps stéréomélriques avec inté- 
gration. 

Classe II et I (5 h. par semaine par classe). — Etude plus approfondie 
des fonctions et des courbes ; diflérentiation et intégration ; applications à 
1 arithmétique, la géométrie et la physique ; question deè maxima. Approxi- 
mation des fonctions au moyen des polynômes. — Eventuellement des élé- 
ments d'analyse combinatoirc en v*ue du calcul des probabilités. 

2) Revision et développement de la géométrie analytique, principalement 
de la géométrie analytique plane. — Etude analytique et synthétique des 
sections coniques. — Trigonométrie sphériquo, en vue de la cosmographie 
mathématique. — Extension des notions de géométrie descriptive. 

3) Revision et application à des problèmes plus étendus. -- Récapitulation 
générale. 

M. IS'oodt consacre quelques lignes à la section ménagère des lycées, sec- 
tion qui n a pas un programme spécial en ce qui concerne les branches 
scientifiques. Dans les lycées ayant une section normale et une section mé- 
nagère, les élèves de la section ménagère suivent comme auditrices les 
cours de la section normale. L'enseignement mathématique fait complète- 
ment défaut dans la secyon ménagère des lycées. 

L auteur termine par un coup d'ceil général rétrospectif et actuel. Il sou- 
haite que le nouvel état de chose, tendant à donner aux jeunes gens et aux 
jeunes filles une instruction équivalente, rende celles-ci toujours plus cons- 
cientes de leur propre responsabilité, influençant ainsi, non seulement le 
travail à l'école, mais la vie de tous par la participation de la femme au 
travail intellectuel intense de notre époque. 

Il regrette que le vœu de la « commission d enseignement de la société 
des naturalistes et médecins allemands « demandant un plan d'étude identi- 
que pour l'enseignement des deux sexes, n'ait pas été réalisé en ce qui 
concerne le nombre d'heures attribué à l'enseignement des mathématiques. 
L'insuffisance des heures constitue un danger pour la réforme, car elle 
pourrait causer un insuccès qui serait une arme pour les adversaires du 
mouvement féministe. 

On a souvent répété que l'instruction des jeunes gens et des jeunes 
fdles devait être équivalent, mais non semblable ; à ce sujet, M. Noodt 
fait part d observations personnelles propres à guider le maître dans son en- 
seignement. Il estime que la jeune fille cherche surtout à savoir, comment 
telle ou telle vérité géométrique peut être utilisée, tandis que le jeune gar- 
çon s'intéresse plus à la cause première et s'habitue plus faciltmenl au dé- 
veloppement logique de l'enseignement. Il sera donc rationnel d'attacher 
une plus grande importance à la méthode inductive chez les jeunes filles, 
surtout au début. 

Il faut également utiliser leur habileté manuelle à la construction de mo- 
dèles géométriques simples dont le maniement fréquent les amènera incons- 
ciemment à la notion géométritjue de fonction. 

L'Enseignement niathcm., Pi" année ; 1910. 5 



66 NOTES ET DOCUMENTS 

Pour terminer, M. Noodl exprime le vœu que la tentative d une instruc- 
tion mathématique plus développée pour les jeunes filles réussisse et que 
le sentiment du rôle des matliénialiques dans les sciences naturelles et la 
culture moderne aille en ausîmentant. 



II. — La préparation du personnel enseignant. 

d après le Rapport de la Commission allemande de i enseignement 
des Sciences matliématifjues et natuielles. 

Le second rapport que nous résumons ici, a été publié sous le titre : 

Mathematik und. Naturn-issenschaft an den neugeordneten hùheven Màd- 
chenschulen Preussens. Wie erhallen ivir die erfordevlichen l.ehrkràfte ? 
Denkschrift. verfasst vom Deutscheu Ausschuss fiir den malhematischen 
und naturwissenschaftlichen Unterrichl '. 

Dans sa séance du 6 mars 1909, tenue à Berlin, la Commission allemande 
de l'enseignement des sciences mathématiques cl naturelles, a étudié la 
question de la préparation du personnel enseignant, nécessitée par les exi- 
gences du nouveau règlement des écoles supérieures prussiennes de jeunes 
filles. Les remarques méthodiques ont rencontré 1 approbation générale, 
mais le détail des programmes a soulevé nombre de critiques. 

Ce qui importe surtout ici, c'est la constitution du personnel enseignant 
chargé de ce nouvel enseignement. Le nombre de maîtres supérieurs capa- 
bles qui s'y consacreront est très limité et celui des dames ayant reçu, 
pour les sciences, une instruction régulière de maîtresse supérieure, quoi- 
que destiné à augmenter, est pour le moment également très restreint. 

La séance du 6 mars a été, à l'unanimité, pour le maintien provisoire 
des cours pour maîtresses supérieures. 

Les causes des difficultés rencontrées dans ces cours pour renseigne- 
ment mathématique ont été étudiées par la sous-commission. Elles sont mul- 
tiples. Le but de ces cours est de donner une instiuction supérieure se dis- 
tinguant de celle du séminaire en ce qu'elle embrasse un champ moins 
étendu et, par conséquent, étudie plus complètement un sujet déterminé. 
Le fait que, grâce à la faible importance accordée aux sciences dans la pra- 
tiqi.e ultérieure de l'enseignement, les candidates à ces cours alliaient géné- 
ralement à une branche des sciences mathématiques, d'autres sujets d'en- 
seignement très différents, nuisait à l'accomplissement de ce but. La nou- 
velle organisation remédie à cet état de chose. 

Les cours universitaires supposent connues les matières enseignées au 
gymnase classique, connaissances qui, pour les mathématiques et les scien- 
ces physiques, font totalement défaut aux maîtresses ayant reçu une éduca- 
cation de séminaire, alors même que cette éducation tienne accès à l'uni- 
versité avec la petite maturité. 

Des cours préparatoires de sciences, destinés aux candidates aux études 
mathématiques et physiques sont donc nécessaires. 

L'instruction devrait être développée simultanément pour toutes les bran- 
ches des sciences et être au moins équivalente à celle du 2nie degré des 
éludes masculines de maître supérieur. Il faudrait également que l'examen 



' Voir '/.eitsch. f. Mathem. ii. Nature', l'ntcrricht, tome 40. 



N O T K S E T n () r U M E N T S 67 

tlfi raaîlresse supérieure ait lieu sur W brandies scientifiques au lier, de 2 et 
devienne de plus en plus analogu(> à celui de maître supérieur. 

Des cours de sciences Icours de vacances) d'une durée de 15 jours pour- 
raient être iuslilués pour les maîtresses supérieures, à l'instar de ce qui se 
t'ait depuis environ 15 ans pour les maîtres supérieurs. Ces cours, dont le 
but serait nettement l'enseis^nemenl dans les nouvelles écoles de jeunes 
filles seraient donnés par des maîtres supérieurs des écoles de jeunes gens, 
de préféi-encc à des professeurs de l'enseignement universitaire. 

Selon 1 avis de la Commission, les cours actuels pour maîtresses supé- 
rieures ne peuvent être organisés de façon à préparer à, l'enseignement des 
sciences mathématiques et naturelles du l^r degré; par conséquent, l'accrois- 
sement du nombre des maiiresses supérieures ayant passé des examens de 
maturité et fait des éludes universitaires régulières, devient de plus en plus 
urgent. 

Supplément au rapport. — Après la publication du mémoire de la Com- 
mission a paru, le o avril 1909, un arrêté ministériel à efl'et rétroactif, auto- 
risant l'admission, à tous les examens d'enseignement, des personnes ayant 
reçu une instruction de séminaire et leur ouvrant ainsi l'enseignement dans 
tous les établissements d instruction supérieure de jeunes filles. 

Il est à craindre que cette admission de personnes insuffisamment prépa- 
rées n'entraîne un surmenage nuisible, tant au point de vue de la santé, du 
corps, que de 1 esprit. 11 faut aussi remarquer qu'avec la nouvelle organisa- 
tion, l'enseignement des malliématiques, et dans une certaine mesure des 
sciences naturelles, dans les écoles supérieures de jeunes filles et au sémi- 
naire, reste encore au-dessous de ce qui se fait dans le gymnase classique, 
les programmes du gymnase réal et de l'école supérieure réale étant hors 
de question. 

L'arrêté ministériel consacre donc une infériorité qui n'avait été consi- 
dérée possible que provisoirement par la Commission. Cela nécessiterait 
alors non pas un cours préparatoire provisoire, mais bien perpétuel pour les 
personnes sortant du séminaire et désirant suivre des cours à l'université. 

De plus, 1 effet rétroactif de l'arrêté du 3 avril, nécessiterait également 
la création des cours pour maîtresses supérieures actuelles, dont le mémoire 
précédent avait admis la nécessité provisoire. 

A Gottingue, de tels cours de sciences ont eu lieu du 4 au 16 octobre 
1909, pour maîtres et maîtresses supérieurs dans les établissements de 
jeunes filles. 

Il serait à désirer tjue des cours analogues d une durée semestrielle 
soient autorisés. 

IH. — Les femmes et les sciences mathématiques. 

liemarques à propos de la réforme des écoles supérieures de jeunes filles. 
D'après M. le Prof. \V. Lorky (Minden i. AV.). 

Ce sujet a été traité, dans une conférence', par M. W'ilhelm Lorey, 
prof, de gymnase, à la Société d'histoire naturelle à Gcirlilz, au mois de 
janvier 1909. 



* Die malheiii. W'issenschaftcn u. die t'rauen. Extrait rin la /.titsch. « Fraiieiihitdiiiig», l.VIII; 
en vente scparénu-nt. B. G. Teubner, Lcipzi};. 



68 NOTES ET DOCUMENTS 

M. Lorey présente d'abord un rapide aperçu historique de la réforme de 
l'enseignement scientifique en Allemagne ; il examine ensuite si les jeunes 
filles seront à la hauteur de l'enseignement mathématique qui leur est des- 
tiné. Avant de donner son opinion, il fait remarquer qu'elle sera résolue 
négativement par beaucoup d hommes qui se laissent guider par le souvenir 
de ce qu'était autrefois l'enseignement mathématique; mais l'étude des ma- 
thématiques a été cousidérablement facilitée et rendue plus attrayante par 
les méthodes modernes, ce qui fait tomber la plupart de leurs objections. 
L'auteur passe en revue les différentes raisons qui militent en faveur d'un 
enseignement mathématique dans les écoles de jeunes filles. Les carrières 
réservées jusqu alors au.\ hommes, étant maintenant ouvertes aux femmes, 
l'instruction des écoles de jeunes filles devra être équivalente à celle des 
écoles supérieures de jeunes gens. Du reste, l'instruction scientifique est 
nécessaire pour toutes les femmes cultivées, au même titre que celle des 
arts et des lettres. Toutes les connaissances fondamentales des sciences 
naturelles peuvent se ramener aux mathématiques, à la notion de nombre. 
L éducation mathématique est donc indispensable pour évi4er des erreurs 
grossières en physique ou en philosophie. Elle donne une instruction lo- 
gique, mais il ne faut pas croire que le seul but de l'instruction mathéma- 
tique soit le développement du raisonnement, car actuellement les mathé- 
matiques, même élémentaires, sont eu contact direct avec les applications 
et les progrès de la science. 

M. Lorey a la conviction que cet enseignement, inspiré de l'esprit scien- 
tifique moderne, sera reçu avec profit par les jeunes filles. A l'instar du 
physicien anglais M. J. Perry, il préconise l'emploi de la représentation 
graphique et du papier millimétrique, soit en algèbre, soit en géométrie. 
L'auteur fait ensuite un tableau comparatif des plans d'étude des diverses 
écoles, d'où il ressort que les écoles supérieures déjeunes filles et les lycées 
restent un peu en dessous des diverses écoles de jeunes gens. Cependant 
les nouveaux programmes des écoles de jeunes filles laissent suffisamment 
de latitude pour l'introduction des idées modernes. 

Après avoir examiné les conditions qu'il juge nécessaires pour faire une 
bonne maîtresse de mathématiques, M. Lorey reprend la question de l'apti- 
tude des jeunes filles pour l'étude des mathématiques et la résout par l'affir- 
mative, eu donnant comme preuve l'exemple de l'Angleterre, la Russie, 
lAmérique, où renseignement mathématique est donné aux jeunes filles 
avec succès. Il rappelle qu'en Allemagne le célèbre mathématicien suisse 
Léonard Evler n'avait pas craint d'enseigner de la géométrie, de la physicjue 
et de la philosophie à une princesse de la cour de Berlin. 

Tout en étant persuadé que les jeunes filles des écoles supérieures sont 
aptes à profiler de l'enseignement mathématique, M. Lorey ne croit pas 
qu'il y aura à l'aveuii- beaucoup plus de femmes capables de produire des 
travaux mathématiques personnels de valeur. L'histoire des mathématiques 
ne compte jusqu'ici que peu de femmes dont il rappelle les princi|)ales. La 
plus ancienne est Hypatiiie, au V"^^ siècle, qui enseignait la philosophie à" 
Alexandrie et s'occupait de mathématiques. Au XYlll'"" siècle, on trouve à 
liologne, Mari\ Cetana Agnesi, qui était extraordiiiairement douée au point 
de vue des mathématiques et des langues et qui a publié uu traité de mathé- 
matiques. Une de ses contemporaines, M'"« du Cuatelet, est désignée par 
Canlor comme élève du mathématicien Konig. La plus marquante des 
anciennes mathématiciennes fut Sophie Ger.main, née en 1776 à Paris. Son 



NOTES ET DOC UME NT S 69 

goût pour les mathoinaliqucs lifl éveillé par le récit de la mort d'Arcliimèdc 
et SOS parents dierohèreiit vainement à la détourner de cette élude. Elle 
correspondit avec Lagrange sous le pseudonyme de Le Blanc et celui-ci 
resta toute sa vie son fidèle conseiller. Avec Legendre, elle aborda l'étutlc 
de la Théorie des nombres et apprit ainsi à connaître les ouvrages de son 
contempoi'ain Gauss avec qui elle entra en correspondance sous son pseudo- 
nyme. Klle obtint à Paris une mention très honorable pour un travail sur 
la théorie des surfaces élastiques. I"]IIe s'occupait également de philosophie 
et mourut à làge de 55 ans. Une autre mathématicienne fut Sopuie Kowa- 
i.EwsKY, élève et amie de Weierslrass. Elle fut incitée à étudier les mathé- 
matiques par la tapisserie de sa chambre d'enfant formée des pages d'un 
vieux manuel de calcul différentiel. Elle étudia à Munich et à Heidelberg 
avec Konigsberger et Kirchhoff, elle travailla également avec Bunsen. En 
1870, elle Ht la connaissance de Weierstrass qui, ne pouvant obtenir pour 
elle la permission de suivre les cours, lui donna des leçons particulières qui 
furent l'origine d'une amitié qui se prolongea au delà de ses études. En 1874, 
elle obtint le grade de docteur à Goettingue. Mittag-Lefller lui procura après 
la mort (le sou mari une place de professeur de mathématiques à Stockholm. 
Elle obtint, en 1S89, le prix de 1 Académie de Paris pour un travail sur le 
mouvement d'un corps rigide. Elle mourut en 1891. 

Parmi les mathématiciennes actuelles, les 3 premières qui furent admises 
comme élèves régulières dans une université prussienne sont, en 1893 : 
M"<" M.\KY Winston, de Chicago, élève du mathématicien Maschke, M'I» 
Maltby, qui étudia principalemeul la chimie physique avec Nernst, et 
M"<' Grâce Chisholm, du Girton-College', à Cambridge (Angleterre). M"« 
Chisholm fut la première femme qui ait subi régulièrement l'examen du doc- 
toral dans uue université prussienne ; elle obtint en effet le grade de docteur 
en 1895 et cela avec la mention magna cuin lande. Elle a épousé dès lors en 
Angleterre, un mathématicien, le professeur Young, avec qui elle a publié 
en collaboration divers écrits mathématiques, entre autres, en 1906 à Cam- 
bridge, un ouvrage remarquable intitulé : The Theory ofsets of points [ainsi 
qu'un manuel d initiation : Dev kleine Geometer. (Réd.)]. 

Des dames allemandes ont suivi l'exemple donné par ces étrangères ; entre 
autres M"« Ïhekla Freitag, maîtresse supérieure au Gymnase de jeunes 
filles de Bonn. Son travail d'examen d'état concernait la théorie des fonctions 
modulaires elliptiques. 

A Bucarest, M. et M'"<^ Myller-Lebedeif publient ensemble et séparé- 
ment des travaux mathématiques sur le calcul intégral. A S'-Pétcrsbourg, 
M. et M"i« Ehren'fest-Affanazieff s occupent de physique mathématique. 
En Amérique, M"e Charlotte-A. Scott, professeur de mathématiques au 
collège de dames, Bryn Mawre Collège de Philadelphie, publie depuis plu- 
sieurs années des travaux sur les courbes algébriques. 

Dans l'est de l'Amérique, comme à Cambridge, les sexes sont séparés, 
sauf pour certains cours supérieurs, et il existe des collèges de dames, tel 
que le Vassar-CoUege, à Poughkeepsie (N.-Y.), où M'l« Madison fonctionne 
comme mathématicienne ainsi que d'autres dames traitant, par exemple : 
l'une, les déterminants et la théorie des équations, une autre, la géométrie 
projective et uue troisième, la théorie des nombres. 

Pour des motifs d'économie le système de la coéducation est eu honneur 
dans le reste de l'Amérique et la même raison fera poser la question en 
Prusse. M. Lorey n'est ni adversaire ni partisan déterminé de l'un ou 



70 NOTES ET nOC U M E N T S 

l'autre système. Il est heureux de ce que les carrières iutcllectuelles soieut 
aussi accessibles aux jeunes (îllcs ; il croit cependant qu'il faut se garder 
de pousser, par enthousiasme pour cette liberté, des jeunes filles dans une 
voie pour laquelle elles ne seraient peut-être pas faites. Mais il estime que 
la réforme de l'école supérieure préparera mieux les femmes des classes 
cultivées pour leur vocation naturelle. 

FRANCE 

Collège de France; Paris. — Cours publics du !'=•■ semestre ; à partir du 
6 décembre. — Mécanique analytique et Mécanique céleste, J. H.\damard : 
Théorie des plaques élastiques, 2. — Mathématiques, J. Jokd.\n- ; suppléant 
Hu.MBEKT : Transformation et multiplication complexe des fonctions ellip- 
tiques. — Physique générale et mathématique, Brillouin : Elasticité des 
solides et des fluides : propagation des ondes ; théorie de quelques instru- 
ments sonores. — Cours de la Fondation Pécaut. 



L'enseignement mathématique par correspondance, 
dirigé par J. Andkade, professeur à la Faculté des Sciences de Besançon. 

I. — I' y a quelques années, à propos de la création universitaire d'une 
école pratique de réglage, M. Andrade a été amené à organiser et dévelop- 
per un programme des Mathématiques de l'ingénieur assez simple et assez 
solide à la fois pour assurer aux élèves de l'école pratique de réglage une 
assimilation des méthodes de réglage des montres.. A ces mathématiques de 
l'ingénieur s'intéressèrent beaucoup d autres auditeurs que les étudiants 
horlogers. Or, il est arrivé que, par la nature même des choses, la poursuite 
de ce problème en apparence si spécial a provoqué sur bien des points un 
rajeunissement de presque toute la vieille pédagogie mathématique. 

Empruntant alors à d autres une idée qui a déjà été féconde, à savoir l'idée 
de l'enseignement par correspondance, M. le professeur Andrade a mis celte 
idée au service de l'enseignement général et simplifié des mathématiques. 

Ainsi est née l'Ecole moderne de l'enseignement ntathématique par corres- 
pondance, qui vient de s'ouvrir le !<='• janvier 1910, et dont voici le pro- 
gramme : 

II. — Programme des cours pour 1910. — Il comprend trois séries : 

/l'^ série. — Les Elé.ments des Mathématk^ues : Géométrie qualitative : 
Déplacements et Symétrie. — Géométrie quantitative : La similitude et les 
j)arallèles ; TrigonométriL", mesure des étendues, la li'ansformation des 
ligures. 

Arithmétique et Algèbre .• Grandeurs mesurables ; nombres entiers, frac- 
tionnaires, continus ; nombres orientés sur une droite. — Problèmes du 1*^'' et 
du 2'""= degré. — Le système métrique et les corrélations des mesures phy- 
siques. 

^rae série. — Géométrie appliquée : Courbes usuelles ; géométrie descrip- 
tive ; projections et perspectives. — Application des méthodes graphiques : 
Statique générale, mouvements pendulaires, courbures, planimèlres, stati- 
que graphique. — Le calcul appliqué à la géométrie : Eléments de géo- 



A' I H I. I () n H A P II l E 7 1 

mélrie aiialylitjui' à 1 et '.\ (limcnsioiis. -■ La gtjoinétrio appli(|iiéo au calcul : 
Mélliode fies Aba([n('s. 

5'mc série. — A^ALYSE des fonctions simples : Calcul des limites : vitesses, 
dérivées, quadratures. — Problème inverse du problème des vitesses. — 
Fonctions tiiia^onométric[ues, fonction exponentielle ; leurs tables, leurs usa- 
ges. — .Méthodes analytiques tra]>proxiniation. — Les méthodes d'approxi- 
mations numériques. 

III. lilxKKCICES GÉNÉKAVX ET SPECIAUX PAU COKKESPONUANCE . Soilt COm- 

muns à tous les coi'respondants les cours ci-dessus désignés et les exercices 
générau.x servant d illustration au cours. 

Par contre, les exercices spéciaux d'applications et de kechercues sont 
répartis sur trois sections parmi lesquelles les correspondants choisiront la 
plus conforme à la spécialisation de leurs elForts ; ces sections sont : I, sec- 
tion pédagogique ; II, section de* l'ingénieur ; III, section du physicien. 

IV. — Fonctionnement des cours et des exercices. — La correspondance 
normale des cours est unilatérale et impersonnelle ; elle comprend : 

a) Chaque semaine : lenvoi de deux leçons commentées et d'une suite 
d'exercices généraux et spéciaux proposés aux élèves. 

b) Chaque quinzaine : un exposé des solutions des questions proposées 
aux exercices généraux ou spéciaux. 

Les demandes de renseignements relatifs à V « Ecole moderne de l'enseigne- 
ment mathématique par correspondance», doivent être adressées à M. le 
professeur J. Andrade, à Besançon. 



BIBLIOGRAPHIE 



H. BouAssE. — Cours de physique conforme aux programmes des certificats 
et de l'Agrégation de Physique. Fascicule VL Etude des symétries. — 1 vol. 
gr. in-8o de 42'i pages : 14 fr. , Ch. Delagrave, Paris '. 

Le présent volume, qui termine le cours de M. Bouasse, éveillera, sans 
doute, bien des curiosités. Que peut être pour le physicien une étude des 
symétries? Les êtres symétriques tels les cristaux viennent d abord à l'idée 
et, dans de tels milieux symétriques, ne peuvent évidemment exister que 
des phénomènes ayant, eux aussi, une certaine symétrie. Mais la symétrie 
des phénomènes ne dépend-elle que de la symétrie des milieux.' Il suffit do 
poser cette question pour sentir combien serait étroite une réponse adirma- 
tive. Il y a des phénomène.? symétriques dans des milieux parfaitement iso- 
tropes. Provoquer de tels phénomènes dans des milieux déjà symétriques 
c est combiner des symétries dont l'étude générale dépasse de beaucoup la 
cristallographie géométrique, presque purement descriptive de formes, et 
la prolonge dans toutes les branches de la physique. 

Lo volume commence, naturellement, par les lh(''ories purement géomé- 



' Voir diins VEiiseign. math, les analyses des fascicules I iT. IX. 1907, p. 320|, II iT. X. 
1908, p. 3'ifi), III (T. X. 1908, p. 526), IV (T. XI. 1909, p. 149i, V (T. XI. 1909, p. 227). 



'2 BIBLIOGRAPHIE 

triques conduisant aux systèmes de Bravais et Milliard. Il importe bien de 
remarquer que. comme point de départ, les éléments de transformation sont 
seulement des déplacements et des symétries par rapport à un plan ou à un 
point. Il n'en faut point davantage, par exemple, pour former rapidement 
les 2i groupes polyédriques de Bravais, dont ce dernier négligeait un, non 
par ignorance, mais parce que les applications physiques semblaient n'en 
exiger que 23. Si les édifices ainsi construits ne satisfont plus aux exigences 
modernes, ils restent d'une logique si remarquable que l'auteur n'hésite pas 
à leur consacrer ses trois premiers chapitres et à en faire une théorie pré- 
liminaire, qui aura simplement besoin d'être perfectionnée et non abandon- 
née ou détruite. C'est ainsi qu'il est amené à introduire les idées plus ré- 
centes de M. Friedel. 

La loi des indices rationnels apparaît au début du chapitre IV. 
Trois faces d'un cristal forment un trièdre de référence; un plan parallèle 
à une autre face intercepte sur les arêtes du trièdre des longueurs a. h, c. 
Pour toute autre face les longueurs analogues sont ma, nh, pc\ les nombres 
m, n, p soi:l entiers ou fractionnaires et généralement très simples. Or, les 
nombres les plus compliqués sont toujours introduits dans les calculs sous 
forme rationnelle; il ne faut donc pas craindre d'attacher trop d'importance 
aux deux mots soulignés. 

fous les systèmes de plans satisfaisant à la loi précédente, nous donnent, 
pour un cristal, des faces possibles. Mais c'est surtout la théorie des grou- 
pes (Ch. \) qui va nous permettre de préciser le classement des cristaux. 
L'idée de groupe joue un rôle tellement important en géométrie qu'il est 
bien inutile de rappeler en quoi elle consiste. C'est, avant tout, un merveil- 
leux instrument de classification, mais à la condition, cependant, qu'on l'ap- 
plique à des problèmes concrets; réduite à ses concepts propres, elle s'al- 
longe souvent dans le vide et donne beaucoup de mal pour établir certains 
théorèmes négatifs. De ces derniers M. Bonasse ne s'embarrasse pas; il nous 
montre les groupes existant nécessairement, sans s'attarder à rechercher s'ils 
existeuts seuls. Les groupes huis, c'est-à-dire ceux qui, indéfiniment appli- 
qués à une figure, ne la transforment que dans une région limitée de l'espace, 
permettent d envisager les formes cristallines qu'on retrouve au chapitre 
suivant par la méthode des troncatures, due à Haûy, laquelle consiste à 
tronquer symétriquement sept types fondamentaux de polyèdres symé- 
triques. 

Quant aux groupes infinis de déplacement (Ch. YIli. qui permettent de 
remplir tout l'espace par la réitération d'une opération appliquée à une 
portion finie de cet espace, ils donnent lieu à des considérations si élégantes 
que leur étude n'est qu'un jeu. Et, d ailleurs, ceci est exact sans métaphore, 
car, le cas du plan est examiné d'abord et le plan qu'on pave entièrement de 
ligures toutes identiques, dont chacune n'a cependant aucune symétrie, rap- 
pelle certains jeux de patience que chacun a sans doute connus dans son 
enfance. De là nous passons facilement au cas de lespace, et, si les groupes 
finis peuvent servir à imaginer des cristaux, les groupes infinis peuvent servir 
maintenant à répéter ceux-ci de manière à imaginer les milieux cristallisés. 
Il est alors immédiat de remarquer que la symétrie du milieu ne dépend 
pas forcément d'une symétrie élémentaire. 

D'une première partie du volume ainsi constituée, nous passons à 1 élude 
physique des symétries qui donne lieu à onze nouveaux chapitres. Je men- 
tionne simplement les deux premiers, où sont décrites les formes cristal- 



iniii.ior. HAPHiE 7;{ 

Unes réelles et les variations (ju elles peuvent subir du fait de modifications 
apportées dans le procédé de cristallisation lui-même. 11 y a là, cependant, 
de bien jolies expériences, mais j'irai tout de suite aux cristaux soumis à 
des influences plus complexes. Le Chapitre III est consacré à leurs défor- 
mations, le point de départ étant l'idée très simple de déformation homo- 
gène dans laquelle le point x. y, z a, après la déformation, des coordonnées 
J^i.Ji. -1 linéaires et homogènes par rapport aux précédents. C'est, pour ainsi 
dire, la cinémati(|ue de la question. Voici, maintenant, la dynamique. 

Qu'un vecteur {polaire comme une attraction ou rt.r/a/ comme un couple 
maguéti([ue) vienne à agir sur un milieu. Il y aura dans celui-ci une défor- 
mation représentable par un second vecteur dont les composantes, en général 
et tout au moins en première approximation, seront liées linéairement aux 
composantes du premier. Les relations doivent dépendre de neuf coefficients 
dont certains peuvent être nuls où aflécter une certaine symétrie. Ce phéno- 
mène, en milieu homogène indéfini, peut être déjà fort curieux, tels ces cou- 
rants de chaleur qui, les surfaces isothermes étant des ellipsoïdes homo- 
thétiques, se déduisent de spirales logarithmiques pi'ojetées sur des cônes 
de révolution, mais les cristaux donneront des classifications plus curieuses 
encore, suivant les manières plus ou moins symétriques dont ils s'accomo- 
deront de tels phénomènes. Dans les chapitres IV et V sont examinées ainsi 
les propriétés électriques, magnétiques, thermiques des cristaux et, en par- 
ticulier, les polarisations électrique et magnétique, la conductibilité élec- 
trique et thermique et enfin le phénomène de Hall. 

Quant aux phénomènes dûs aux déformations mécaniques (Ch. VI) tels la 
piézoéleclricité des cristaux, leur étude est encore immédiatement rattachée 
aux idées précédentes. Le nouveau et curieux vecteur, qui apparaît alors, 
est toujours lié au vecteur excitateur de manière linéaire, mais on ne saurait 
trop remarquer cette correspondance vectorielle qui est rendue partout 
identique et de la manière la plus évidente. Qu'une déformation soit d'ori- 
gine mécanique, électrique, thermique,... on est stupéfait de l'analogie par- 
faite des raisonnements. C'est à peine si la fonction potentielle a changé 
de nom. 

Avec le chapitre VII nous abordons la symétrie du milieu quant à ses 
propriétés optiques. M. Bonasse essaye d abord de bien montrer ce qu est 
une anomalie optique ; les propriétés optiques des milieux cristallisés dé- 
pendent de leur symétrie, mais cette dernière, encore une fois, peut n'être 
qu'en relation fort lointaine avec la symétrie du cristal, affirmation qui ne 
paraît plus anormale quand on a bien compris les préliminaires géométri- 
ques. Et cette manière de voir si simple ne permet plus de considérer comme 
des anomalies les divergences entre les propriétés du cristal et celles du 
milieu. Quoi qu'il en soit, et sans tenir absolument à détruire le mot, l'au- 
teur examine, dans les chapitres terminaux, les anomalies récemment très 
étudiées, notamment la double réfraction accidentelle et la double réfraction 
électrique dans les solides, puis la double réfraction dans le quartz, la 
polarisation rotatoire, lanisotropie des fluides (cristaux liquidesi, la symétrie 
du champ magnétique. 

Cette simple cnuméralion serait bien regrettable, si la lecture de ces der- 
nières pages ne m'avait montré une nouvelle idée dont l'analyse, étant donnée 
la place restreinte dont je dispose, vaudra mieux peut-être que celle, tou- 
jours incomplète, de faits nombreux. Cette idée est la'troisième des idées 
directrices d'une œuvre où je crois, en effet, en avoir vu trois. 



74 H IBLIOGliAP HIE 

Il y a d abord 1 idée géométrique qui commence le volume. IS'ous admirons 
un vaste édifice harmonieusement divisé; chaque division a même impor- 
tance pour le géomètre mais non pour le physicien. Celui-ci apparaît en 
second lieu et classe les phénomènes dans les divisions de l'édilice, qui 
prend ainsi une réalité physique; s'il n'est pas complètement rempli, les 
pièces vides jouent, cependant, le rôle éminemment utile de faire commu- 
niquer les autres entre elles. Mais voici la troisième idée, troublante magi- 
cienne au proiil mathématique. Elle aussi se réclame de la symétrie qu'elle 
nous montre sous forme de vecteurs dont les expressions analytiques ne 
semblent demander qu'à s'agglomérer. Elle établit ainsi une foule d'équa- 
tions aux dérivées partielles, mais elle n'échappe au caractère saugrenu ou 
à l'impossibilité de leur intégration qu'en inventant des hypothèses assurant 
la symétrie même, la forme linéaire des dites équations, la possibilité de 
faire usage d onde planes, etc. C'est bien là la dernière forme de l'élude des 
symétries et M. Bonasse, loin de la dédaigner, la développe admii-ablement. 
Mais il étirialil son véritable caractère et, introduisant beau'coup de faits 
dans son analyse, montre que beaucoup de combinaisons analytiques ne 
servent qu'à retourner sur eux-mêmes ces mêmes faits. 

Pour l'œuvre entreprise, c est une grandiose conclusion, surtout à lépoque 
actuelle où le savant ne croit plus à l'unicité de la vérité, ayant appris que 
tout système impeccable entraîne I existence d'autres systèmes tout aussi 
impeccables et qui ne peuvent être considérés comme plus ou moins vrais. 

A. Blhl. (Toulouse.) 

F. G. -M. — Exercices de Géométrie descriptive, i'»'- édition. — 1 vol. gr. in-S" 
de X-1100 pages et 1145 figures. Tours, Manie et fils; Paris, Vvo Ch. 
Poussielgue. 

Ces Exercices de Géométrie Descriptive fout le plus ualurtllement suite 
aux Exercices de Géométrie parvenus, eux aussi, à leur quatrième édition, 
et dont j ai déjà parlé dans L'Enseignement Mathématique (T. X. 1908, 
p. 531). L'inspiration qui guide constamment 1 auteur est visible. Il fait de 
la géométrie dans l'espace et prolonge, de la manière la plus directe,' un 
nombre considérable de résultats élégants obtenus en géométrie plane. 

Pour beaucoup d'élèves la géométrie dans l'espace, telle qu'elle est expo- 
sée dans la seconde partie des livres classiques, est une science où toutes 
les figures se font sous forme de croquis. La géométrie descriptive est tout 
autre chose ; c'est la science des épures qui a tout l'air d exister indépen- 
damment. 

Aussi j'aime à retrouver dans ces pages le souci constant de faire sim- 
plement de la Géométrie. Les méthodes n empêchent pas de voir les résul- 
tats. Une foule de courbes planes (lemniscate de Bernoulli, lemniscale de 
Gerono, besace, versiera, etc., etc.), assez subtiles à définir dans leur plan, 
apparaissent comme projections d'intersections de surfaces excessivement 
simples (sphère, cylindres, cônes, etc.) De telles constatations engagent à 
faire f[uelques efforts pour s'assimiler le langage et les procédés, bien peu 
nombreux au fond, d une science qui permettra ensuite de recueillir îles 
fruits que l'on n'a pas dédaigné de conduire à maturité complète. 

L ouvrage commence par une centaine de pages sur les méthodes en gé- 
néral. Il y est insisté sur l'utilité de voir les problèmes dans l'espace et, à 
mon avis, avec beaucoup de raison. L'auteur résume la terminologie et les 



m liHO V. H A P U I E 75 

iiolati()ns ; il s'étend sur la rotation oilipliiiiio qui, employée par analogie 
avec la rotation circulaire, évite de jurandes longueurs. 

Los exercices proprement dits commencent par les plus simples qui se 
puissent imaginer; dans toutes ces combinaisons de droites et do plans qui 
paraissent souvent fastidieuses nous trouvons déjà d'élégantes applications 
physiques. Certains plans sont des miroirs ou dos plans réfringents, certai- 
nes droites des rayons lumineux dont il faudra déterminer les positions 
après des réfle.xions ou des réfractions successives. 

Dès que l'on peut aborder les surfaces du second degré, apparaissent une 
foule de résultats aussi simples qu'élégants. L'auteur s'en tient pendant 
longtemps aux surfaces très particulières placées intentionnellement dans 
des positions très simples. Les résultats les plus remarquables ont été ob- 
tenus d'abord dans cet ordre d'idées ; les fenêtres sphériques de Viviani en 
témoiguent suffisamment. 

Puis des résultats de celte nature sont généralisés de la manière la plus 
heureuse jusqu'au moment où l'on peut aborder les surfaces du second degré 
en général. Une place importante a été accoidée aux coniques sphériques. 

Les hélicoïdes et les hélices n'ont pas moins d'intérêt. Les propriétés de 
la simple hélice circulaire ont été généralisées de toutes les façons possibles 
sur le cône et sur la sphère. Le tore, transformé par inversion, donne la 
cyclido de Dupin dont toutes les propriétés sont rassemblées avec une faci- 
lité qui déconcei'te absolument. Beaucoup n'ont entrevu cette surface qu'au 
travers d'équations ne |)ermeltant même pas d'avoir facilement une claire 
vue de sa forme. 

Je nie borne à celle analyse de quelques points saillants, mais lii, comme 
dans les Exercices de Géométrie, on se trouve en présence de tant et tant de 
problèmes intéressants qu'on ne peut guère les analyser en détail. Los uns 
sont empruntés à un grand nombre de publications différentes et il faudrait 
pour cette raison rendre hommage d'abord à la grande érudition do l'auteur, 
mais ce ne serait pas tout, car l'auteur lui-même a manifestement créé d in- 
nombrables énoncés accompagnés de solutions non moins originales. A une 
connaissance parfaite de théories géométriques il joint un sens géomé- . 
trique propre qui lui permet de tout mettre dans la lumière la plus avanta- 
geuse. Excellentes leçons pour ses élèves et aussi pour ses collègues ; il n'y 
a d'ailleurs que de l'honneur à être compté parmi ces derniers. 

A. BuHL. (Toulouse.) 

C.-H. NooDT. — Mathemàtische Unterrichtsbûcher fur hohere Màdchen- 

SChulen. — L Teil : ]'orsiliiile, hcarix'itet von W'rauipeliiicyei'. 'I llel'le, 

34 -\- 70 Seiten; 95 Pf. — IL Teil : Ganze uiid gehrochene Zdlilen. gr. 8». 

200 Seiten; 1 M. 80. — IlL Teil : Bûrgerliche Rechnungsarten gr. 8". 

112 Seiten; 1 M. 10. — Uelmtigshuch ziir Aritlimetik und Algehra 212 S.; 

2 M. — l.eilfaden der ehenen Géométrie. Erster Teil. ((>lasse 4 u. 3). 

74 S. ; 1 M. Velhagen & Klasing, Leipzig. 

Ces manuels sont rédigés conformément aux nouveaux programmes des 
écoles de jeunes lilles de la Prusse; ces établissements viennent de subir 
d'importantes transformations on ce qui concerne le plan d études malhé- 
mali(|ues. 

lîcchenhnch. — Le cours d'aritlimélif/ue comprend 3 parties. La première 
( Vorschule), en 2 cahiers, contient fie nombioux exercices et problèmes pour 
le !'-■'■ onseignenienl des classes préj)aratoires. 



76 BIBLIOGRAPHIE 

La seconde Partie traite des nombres entiers, des mesures métriques de 
longueur, surface, volume et poids, des nombres complexes et des règles de 
trois simples; un court chapitre est également consacré aux nombres déci- 
maux, bien que ceux-ci soient déjà traités implicitement à la fin du \" cha- 
pitre. Les fractions ordinaires font 1 objet des quatrième et cinquième cha- 
pilres qui se terminent par une revision, sous forme de problèmes se rap- 
portant à la vie usuelle. 

Dès le début. M. Noodt prépare à la notion de fonction en introduisant, 
pour chaque nouvelle opération, la représentation graphique sur une droite, 
puis à l'aide de deux axes rectangulaires. Il initie également les élèves à 
l'emploi des lettres par des formules et des équations simples. Les problè- 
mes sur les sujets les plus divers sont choisis, non seulement dans le but 
d enseigner l'arithmétique, mais aussi de contribuer au développement géné- 
ral et d intéresser les élèves en leur présentant des sujets qui se rattachent 
à leur sphère d activité tout en tendant à élargir leur horizon. 

Le principe directeur de la troisième Partie est le même. L'auteur traite 
des règles de trois composées, de leur application aux calculs de pour cent 
et d'intérêt; à ce propos il consacre un paragraphe à des problèmes d'assu- 
rance maladie et accident. L arithmétique commerciale, les problèmes d'al- 
liage et mélange et de partage, occupent les 2 derniers chapitres. Cette 
troisième partie termine le cycle du cours d'arithmétique du degré moyen 
des écoles supérieures des jeunes lilles. 

Le volume Uehuiigsbuck zur Arithmetik und Algebra correspond plus spé- 
cialement à l'ensemble du nouveau programme de l'enseignement muthéma- 
tique du degré supérieur. Il comprend quatorze chapitres d'exercices et de 
problèmes. 

De même ([ue dans le cours d arithmélicjue, l'interprétation géométrique 
joue un grand l'ôle ; cependant, la notion de fonction, qui jusqu alors n'avait 
été introduite que d'une manière intuitive, se précise et est traitée expli- 
citement dans le 12'"e chapitre. Un grand nombre de problèmes se ratta- 
chent à la géométrie et à la physique. Les 8 premiers chapitres traitent des 
opérations algébriques, des polynômes, des fractions, des équations à une 
et plusieurs inconnues du 1'"' degré. Les 3 suivants des puissances et racines 
des 2"'« et 3">« degrés et des équations du 2"ie degré. Le douzième, des nom- 
bres irrationnels et de la notion de fonction et les deux derniers des puis- 
sances et racines à exposants et indices quelconques et des logarithmes. Ce 
volume est terminé par une table des carrés des nombres de 1 à 1000, des 
cubes de 1 à 100, des puissances 4'"« à 9"^* des 10 premiers nombres ainsi 
que des racines carrées des nombres de 1 à 100. 

Leitfaden der ehenen Géométrie. — Le pieniier chapitre donne les défi- 
nitions des figures et formes géométriques du plan et de 1 espace et des 
principes à la base de la géométrie, axiomes, théorèmes, etc. La suite est 
consacrée à la géonicUi-ie plane; la droite, relation des droites entre elles, 
parallèles, perpendiculaires, angles; le triangle, les quadrilatères. Le tout 
est accompagné de problèmes pratiques dont la plupart sont basés sur des 
graphiques. Le cinquième et dernier chapitre est une application des notions 
acquises, à des constructions de triangles au moyen de lieux géométriques. 
Conformément aux nouveaux programmes cet enseignement est destiné aux 
4™e et 3"»e classes; il est essentiellement intuitif ainsi qu'il convient à l'âge 
des élèves (12 et 13 ans): les figures y jouent un rôle prépondérant. 

Ces ouvrages clairement ordonnés paraissent devoir remjilir parfaitement 



li m I.IOC. KAP H I E 77 

le but (jiic so propose l'aulour, c'osl-à-dire initier- gradiiellenient les jeunes 
filles aux niatlu''iiialii|iies et les leur faii'c aimer. 

Renée Masson (Genève). 

C. Sautreaux. — Essai sur les axiomes des Mathématiques. (Etude criiique 
élémentaire.) 1 vol. in-S", SU p., ;i fr. (Iralicr cl Hcy, i(irenoble). 

Ce livre se divise en deux parties dont voici la table : 

Première partie : Origine des principes de la Cvomélrie. Chapitre I. Con- 
cept d'espace absolu. — Cfiap. II. iXouvelle définition de la droite ; mesure 
des longueurs rectilignos. — Chap. III . Principe d'inertie généralisé. — 
Chap. IV. Par deux points ne passe (ju une ligne droite. — Chap. V. Somme 
des angles d'un triangle. Théorie des parallèles. 

Seconde partie : Analyse des principes de la Dynamique et de la Statique. 
Chapitre I. Principes fondamentaux de la Dynamique. — Chapitre II. Prin- 
cipes dérivés employés en Statique. 

Pourquoi l'auteur commence-t-il son livre par un chapitre sur l'Espace 
absolu ? Je le lui ai demandé, car j'avoue que la chose me paraissait assez 
en désaccord avec la théorie régnant actuellement en mécanique où l'on fait 
table rase de la vieille notion d'Espace absolu. Voici le résumé des raisons 
qu'il m'a exposées. 

1° « Si l'on se borne à la définition du mouvement relatif de deux points 
A et B par la variation de la distance AB, comme le font les auteurs de Mé- 
canique élémentaire, on commet un cercle vicieux ou bien l'on admet comme 
première la notion de mouvement sans repère. » — En effet, comment me- 
sure-t-on celte distance AB ? En portant l'unité de longueur, UV, sur AB, 
autant de fois que possible. Or, le mouvement de ce solide VU ou bien vous 
ne le repérez pas ou bien vous le repérez à A de façon que ce mouvement 
est défini par les variations des distances UA, VA en fonction du temps, 
selon votre définition. Mais pour mesurer UA, VA vous vous servirez du 
mouvement d'une unité de longueur Ui, Vj ; même remarque, et ainsi de 
suite. C'est la régression à l'infini. 

2" Ainsi la définition du mouvement de A par rapport à B ou de B par 
rapport à A conduit à un cercle vicieux. Pour l'éviter il y a un moyen, la 
conception d'un Espace absolu et du repérage d'un mouvement par rapport 
à cet Espace. L'auteur montre dans son livre que ce repérage n'exige en rien 
la notion de ligne droite ni de distance. 

3» L'Espace géométrique, que les Mécaniciens appellent Espace absolu, 
est une abstraction, un concept ; ce n'est pas un être physique, réel. C est 
là cependant la confusion commise par beaucoup de physiciens (Newton, 
Neumann, etc.), confusion qui est la cause principale du discrédit oîi est 
tombé lEspace absolu. L'expérience nous donne seulement la notion d'éten- 
dues diverses des corps, à l'aide des sens; l'esprit, travaillant par l'abstrac- 
tion et la généralisation cette notion, en tire l'idée d'Espace géométrique 
indéfini W. Ainsi I Espace West un concept; l'esprit le construit indéfini, 
homogène, toujours identique à lui-même à travers les temps, par hypothèse 
expresse. De plus cet espace W ne saurait être qu'au repos par rapport à 
un repère quelconque, .R. Si, en effet, on constate qu'il y a mouvement rela- 
tif de \V et de R, on attribue nécessairement le mouvement à R et le repos à 
W et on rejette la supposition coniraire : cela lient à la nature spéciale que 
W tire de sa définilion. Car si W se mouvait, il sortirait de lui-même, ce 



78 fi I H I.IOr.RAPHIE 

qui est contradictoire, car dans quoi W se nionvrait-il, puis(in'il n v a point 
d espace en dehors de l'espace :' 

De ce que l'observation ne donne que des choses relatives, il ne suit pas 
du tout que l'Espace absolu soit inconcevable: l'esprit conçoit nettement 
des choses qu il n'a jamais observées, qui n'existent même pas. Personne 
n a jamais observé de ligne droite, de plan, de nombre rationnel ou irration- 
nel, etc. : ces choses-là n'existent pas dans la nature ; ce sont des créations 
de l'esprit, des concepts. 

4" Nombre de savants ne répugnent pas à employer la notion d espace 
absolu. Voir, par exemple, dans le livre intitulé « De la Méthode dans les 
Sciences « lAlcan, 1909| l'opinion de M. Emile Picard Ipages 22-23), etc. 

Dans le Chapitre U 1 auteur prend comme définition de la ligne droite : 
« La ligue droite est la trajectoire dans l'espace absolu d un point inerte sur 
lequel aucune force n agit plus. » Cette déliuition le conduit facilement à la 
géométrie ordinaire de la di'oite et à la mesure des segments rectilignes. 

Dans le troisième chapitre 1 auteur, apiès avoir fait une analyse plus com- 
plète qu'on ne le l'ail d habitude du principe d'inertie, lui donne une exten- 
sion qu'il appelle « principe d'inertie généralisé ». C est là, me semble-t-il. 
le point capital de son livre. Ce principe d'inertie généralisé lui donne en 
eCTet la clé de la géométi'ie euclidienne. Ce même principe lui permet, en 
outre, de revenir à la définition ordinaire de la ligne droite en démontrant 
que, par deux points distincts, il ne passe qu'une seule trajectoire d'effort nul. 

La seconde partie a pour but de montrer que les principes de la Dyna- 
mique et de la Statique ne sont qu'un accord de la pensée avec elle-même 
et n ont rien d'empirique. 

Rappelons ici ce que pense de ce livre ^L .T. Tanuery (Bulletin des 
Sciences Mathématiques, janvier, 1909| : 

« Je voudrais dire à propos de cet <( Essai » combien je m émerveille, et 
« depuis longtemps, de la diversité des esprits et de la clarté qui illumine 
« pour les uns des notions qui restent profondément obscures pour d autres. » 

Faute d'impression à signaler: p. 22, avant-dernière ligue, lire: la célérité 
du mouvement, et non pas \ intensité du mouvement. 

R. SuppANTscHiTscn. — Mathematisches Unterrichtswerk fur die oster- 

reichischen Mittelschulen. Ausgabe fur Realgymnasien, Unterslufe. 

Aritmmktik /. lleft. Fur die erste Klasse ; in-8", 75 p., avec 'iSl ques- 
tions et problèmes, cart. : 1 kr. 50. — //. Heft. Fiir die zweite Klasse ; in-S", 
72 p., 2 (ig., 'i50 questions et problèmes, cart. 1 kr. 50. — ///. Ileft, Fiir 
die dritle Klasse; in-8", 122 p., 61 fig., 317 questions el problèmes, cart. 
2kr. 

Geometrisciie Anschauungslehke, Fiir die erste Klasse: in-8", 42 p., 
77 lig., 221 questions et problèmes, cart. 80 h. 

Grundrisz dek GEOiMETRiE, /. Heft. Fiir die zweite Klasse : in-8", 59 p., 
117 fig., 197 questions et problèmes, cart. 1 kr. 20. — //. Heft. Fiir die 
drilte Klasse: in-8", 88 p., 153 fig., 393 questions et problèmes, cart. 1 kr. 70. 
P. Tempsky, éditeur, Vienne. 

Dans ces six volumes, l'auteur qui est professeur flans une des « Staats- 
realschule » Je Vienne, présente la première partie d'un cours de mathé- 
matiques destiné aux écoles secondaires autrichiennes, conformément aux 
nouveaux plans d'études. 



B I li I. I 0(, n A l' Il l E 79 

Lo j)fOgi';iniMK' d (irilhnn'tif/tw de ijrcniiri'e' imiii''C coiupreiid k-^; «ix'-ralions 
Fonflanienlales cfrcctiii'es sur les uoiubres ciiliers, 1 ('■liule des poids et me- 
surer, les nombres complexes et décimaux; il se termine par les premières 
uolions de la théorie des fractions ordinaires. Après létude très élémentaire 
de la dixisibilité, du plus grand commun diviseur et du plus |jctit commun 
niulliple, le programme de la deuxième année reprend en détail la théorie 
dos fractions ordinaires; il s'occupe ensuite des fractions décimales péiio- 
di(|ues et s arrête aux règles de trois et d'intéi-èt simple. 

Dans le troisième volume du cours (l'aritliniéti(jno l'auteur expose le 
calcul algébri(|ue jus(|u'à la division de deux polynômes; plus de 50 figures 
très bien choisies illustrent celte initiation à l'algèbre. Ce fait mérite d être 
relevé; il prouve combien M. Sup[)antschitsch cherche à se conformer aux 
principes des méthodes nouvelles. Le programme de troisième année con- 
tient encore la théorie des racines carrée et ciibi(|ne et, en supplément, 
les opérations abrégées. 

(conformément aux idées modernes, ce cours (j'jitilhmélicjue se distinp-ue 
par une application continuelle de l'intuilion et de la méthode heuristique; 
1 auteur part toujours d un exemple .concret pour ai'river à la règle générale. 
C est là, sans doute, la méthode la plus sûre et la plus attrayante. 

Y.' Initiation géométrique de M. Suppantschitsch commence par l'étude du 
cube et de la sphère; ainsi le jeune élève est immédiatement mis en présence 
du plan et de la cir'conférence. L'auteur fait construire un cube de carton, 
ce qui l'amène à parlei- des instruments de dessin : règle, équerre, compas. 
Le mouvement de l'équerre le long d'une règle explique la notion de droites 
parallèles. 

Les angles et les triangles, I addition des segments et des angles, l'étude 
du pai-alléiipipède rectangle, l'évaluation des surfaces et volumes les plus 
simples forment l'objet des chapitres suivants. Dans le chapitre intitulé 
li Triangle et Pyramide», l'auteur arrive au théorème de la somme des 
angles d'un triangle; il le fait vérifier d'abord à l'aide du rapporteur, puis 
en faisant découper un triangle de papier dont l'élève déchire les angles 
qu'il place les uns à côté des autres. La translation de deux des angles jus- 
qu'au troisième sommet donne enfin la démonstration proprement dite. 

Le premier volume de la n Géométrie » est destiné à la deuxième classe 
des « Reaisgymnasien y, ; il forme la suite du précédent et commence par 
l'étude détaillée de la symétrie; l'auteui- fait une application fréquente delà 
symétrie et du mouvement dans les chapitres qui suivent; ceux-ci sont con- 
sacrés aux angles, triangle et prisme droit triangulaire, -quadrilatère et 
prisme droit quadrangulaire, circonférence et cylindre droit; un dernier 
chapitre contient quelques définitions relatives à la sphère. 

Le deuxième volume delà u Géométrie » de M. Suppantschitsch traite de 
l'évalution des surfaces et des volumes; la géométrie plane et la géomé- 
trie dans l'espace continuent d'y être exposées simultanément d'une manière 
fort judicieuse. Voici les litres de quelques chapitres : Parallélogrammes et 
Parallélipipèdes ; Triangles, trapèzes, prismes et pyramides; Théorème de 
Pythagore ; Transformations des parallélogrammes, triangles et polygones. 
La théorie des polygones réguliers et du cercle est exposée ensuite d'une 
manière très simple. Signalons ici un point intéressant ; dans ce cours élé- 
mentaire de géométrie, 1 auteur se borne, avec raison du reste, à déterminer 
expérimentalement une valeur approchée de -; il fait découper ou tourner 
très soigtieusement un cercle de carton ou de bois et en fait mesurei- la cir- 



80 lilBLIOGRAPniE 

conférence au moyen d un lil. — Après I élude sommaire des corps ronds, 
un dernier chapitre est consaci'é aux premières notions relatives aux figures 
semblables. 

Cliacun des excellents volumes de M. Suppantschitscii contient, en supplé- 
ment, une intéressante collection de « Questions et problèmes » bien gradués. 

Peu de théorèmes, beaucoup d exercices, un enseignement basé sur l'expé- 
rience et l'intuition, tels sont les principes qui ont guidé Fauteur. Il convient 
de l'eu féliciter et de recommander la lecture de ces manuels à tous ceux qui 
s'intéressent à la réforme de l'enseignement des mathématiques élémentaires 
dans les divers pays. 

Aug. Lalive (La Chaux-de-Fonds). 

E. Fabry. — Problèmes et Exercices de Mathématiques générales. — 

1 vol. gr. in-S'^', i20 ]>. ; 10 Ir. ; librairie llerniann, Paris. 

Depuis quelques années la plupart des F'acultés ont organisé des cours 
d'éléments de mathématiques supérieures spécialement destinés aux étu- 
diants en sciences physiques et chimiques et aux ingénieurs. Mais ces cours 
ne peuvent réellement atteindre leur but que s'ils sont accompagnés de nom- 
breux exercices bien choisis. M. Fabry, professeur à la Faculté des Sciences 
de Montpellier, rend donc un réel service à cette catégorie d'étudiants en 
faisant suivre son excellent Traité de Mathématiques générales d'un recueil 
de Problèmes et d Exercices sur les principales parties du cours. 

Dans la première partie de l'ouvrage l'auteur donne les énoncés de près 
de 750 problèmes ou exercices, groupés de la manière suivante : 

Algèbre [n°^ 1 à 235). — Géométrie analytique (236 à 476). — Analyse 
(477 à 649). — Mécanique (650 à 738). 

Les solutions forment la seconde partie de l'ouvrage. Elles sont accom- 
pagnées d'explications concises permettant à l'étudiant de résoudre facile- 
ment les problèmes. 

Nous recommandons ce Recueil non seulement aux étudiants en sciences 
physiques-chimiques, mais à tous ceux qui débutent dans l'élude des élé- 
ments de mathématiques supérieures. 

Herm. Thie.me. — Die Elemente der Géométrie (Zweiter Teil, Ersier Band 

dei' Grundlehren der Mathematik fur Sludierende und Lehrer). — 1 vol. 

in-8°, relié, XII-394 p. ; 9 M. ; B. G. Teubner, Leipzig. 

Cet ouvrage fait partie d'une collection de quatre volumes destinée à pré- 
senter les Eléments de Mathématiques en tenant compte de 1 étal actuel de 
la science. Une collection de ce genre, rédigée en dehors de tout pro- 
gramme officiel, sera bien accueillie de tous les professeurs de renseigne- 
ment secondaire. 

Le présent volume, seul paru, est consacré aux éléments de Géométrie, 
envisagés à un point de vue très large. L'auteur développe successivement 
la Géométrie élémentaire, les éléments de Trigonométrie plane et sphérique, 
de la Géométrie descriptive et de la Géométrie analytique à deux et à trois 
dimensions. Réunis en moins de 400 pages, ces éléments sont présentés avec 
beaucoup de précision dans leur onchainemeut logique. M. Thieme a été 
bien inspiré en accordant une large place aux méthodes de résolution des 
pi'obièmes de Géométrie. 

Dans un second volume, également consacré à la Géométrie, M, W. Fr. 



liVI.I.ETlS li I II I.IOGRA!' Il IQVë «I 

Mkyek exposoi'ii les iiolions t'oiiihuncnliilcs relatives aux f'ornu-s géoim'-- 
triqiics ou tenant coniiilc îles notions de gi-ou[>es et d'invariants. 

I/aritl)n)(''lic|iie et r;ili;(hre coniprendi'onl deux volumes qui seront rédigés 
par MM. Kaiujeh et Xktto. 



B U L L r. T I N lî I P> L 1 G R A P 1 1 1 Q U E 



1. Pulilicatioiis périodicfuc^ : 

Acta Mathematica, dirigé par .MiTT.\<;-LEFiLr.u, T. XXXH, Sloekliolm. 

Fasc. 3 et 4. — G. Lauricki.la : Sur l'intégration de l'équation relative à 
l'équilibre des plaques élastiques- encastrées — R. de Montessus : Les 
fractions continues algébriques. — I'\ Enkiqles et Fr. Severi : Mémoire sur 
les surfaces liyporelliptiques, I. 

American Journal of Mathematics, ediied by Fr. Morlev, Baltimore. 
Vol. XXXI. 

fy^os ;j et 4. — Anna L. Van Benschoten : Tho Biralional Transformations 
of Algebraic (àii'vcs of Gcnus Four. — C. H. Sisam : On Some Loci Associa- 
ted wilh Plane Curves. — J. R. Conxer : Plane Sections of a Weddie Sur- 
face. — J. E. Wright : The Difïerential Equations Satisfîed by Abelian 
Thota Functions of Genus Three. — J. E. Wright ; Differential Equations 
Adniitting a Given Group. — P. H. Scholte : On the Angles of tlie Regular 
Polytopes of Four-dimcnsional Space. — W. Marshall : The Asymptotic 
Représentation of the Elliptic Cylinder Functions. — L. E. Dickson : A 
Theory of Invariants — A. B. Coble : Symmelric Binary Forms and Invo- 
lulions. — A. R. ScHWEiTZKR : A theory of Geometrical Relations. 

Annals of Mathematics, published under the Auspices of Harvard Univer- 
sity. Second Séries. Vol. X. — Cambridge, Mass. E. U. 

M. Bôcher : On the Small Forced Vibrations of Systems with One Degree 
of Freedom. — C. L. Bouton : Discussion of a Method for P'inding Numeri- 
cal Square Roots. — W. E. Byerly : The In-and Circiimscribed Quadrilaté- 
ral. — R. D. Car.michael ; On the Geemetric Properties of Quartic Curves 
possessig Fourtol Symmetry with Respect to a Point. — J. L. Coolidce ; 
The Gambler's Huin. — L. L Dînes : A Method of Investigating Numbers 
of the Forms c^ a + 1. — .Otto Dunkel : Sufficient Conditions for Imaginarv 
Roots of Algebraic Equations. — G. W. Hill : Application of Tchébychef s 
Principle in the Projection of Maps. — A. C. Lunn : The Foundations of 
Trigonometry. — J. C. Morehead : Extension of the Sieve of Erathosthenes 
to Arilhmetical Progressions, and Application. — H. A. Sayre : The Solu- 
tion of Algebraic Equations by Partiel Differential Equations. — Miss M. E. 
Sinclair : Concerning a Compound Discontinuons Solution in the Problem 
of the Surface of Révolution of Minimum Area. — J. H. Wedderburn : On 

L'Enseignement matliom.. 12» année; 1910. 6 



82 BULLETiy BIBLIOGRAPHIQUE 

the Diiecl Product iu the Tlieorv of Finite Groups. — \V. 1). A. Westvall : 
Existence of thc Gcneralized Green's Funclion. - J. K. Whittmoke : Two 
Priutiples of Map-Makiiig. — E. B. NYilson : Applications of Probabilil y 
to Mechauics. — 'rherniodynaniic Analogies for a Sini])le Dynamical 
System. 

Atti délia Reale Âccademia dei Lincei. Auno CCCVI. Kentliconti. — Rome. 

Janvier-Juin 1909. — E. Bertim : Sopra la teoria dei nioduli di forme 
algebriche. — L. Bi.^xciii : Sopra un caso limite délie transformazioni délie 
superficie applicabili sulle quadriche. — Id. Sui grnppi di sostituzioni lineari 
corrispondenti aile division! dello spazio noa-euclideo in letraedri e in 
ottaedri regolari. — C. Blrali-Forti : Alcune nuove espressioni assolute 
dello curvature in un punlo di una superficie. — Id. : Una dimostrazione 
assoluta dei teorema di Gauss relativo allinvariabilifà délia curvatura totale 
nella flessione. — F. Cf.ciom : Sulle equazioni fra niatrici. — U. Crvdedeli : 
Contributo alla teoria di certe equazioni funzionali. — G. Fi bim : Sulle so- 
luzioni fondamentali délie equazioni aile derivale parziali. — G. L.^lriceli.a : 
Sulla integrazione délia equazione per le aree piane. — E. Levi : Sopra una 
proprietà caratteristica délie funzioni armoniche. — O. Nicoli.tti : Sulla 
caratteristica dei déterminante d'una forma di Hermite. L. Orlando : Sulle- 
quazione di Riccati. — P. Pizzetti : Sul significalo geometrico dei seconde 
paramelro diCferenziale di una funzione sopra una superficie .qualunque. — 
P. QuiMiLi : Sulla contiuuità di un intégrale rispello ad un parametro. — 
G. San.ma : Doppi sistemi di linee délia stera immagini di assintotiche. — 
Id. : Sopra alcuni inviluppi di ce ^ sfera. — L. Toneuli : Sulla série di Di- 
richlet. — Id. : Sopra una proprietà caratteristica délie funzioni armoniche. 
— V. YoLTERRA : Sulle equazioni integro-differenziali. — Id. : Alcune osser- 
vazioni sopra proprietà atte ad individuare una funzione. — P. Blrgatti : 
Sulle equazione generali délia dinamica. — P. Pizzetti : Corpi equivalenti 
rispetlo alla attrazione newtoniana esterna. — G. -A. Crocco ; Ui un impor- 
tante coefficienle di stabilità negli aeroplaiii. — L. Orla.ndo : Sopra un bre- 
vette Crocco, relativo ail attacco délie ali di un aeroplano. — Id. : Effetto 
dellaltacco elastico sul rollio di un aeroplano. — Id. : Modo d'intensificare 
gli effelli dell'atlacco elastico in un aeroplano. — G. Zappa : Sul valore di 
una particolare legge di forza centrale. — F. Amodeo : Bonavenlura cavalieri 
e la coslruzioue lineare délie couiclie. 

Bibliotheca mathematica. Zeitschr. f. Geschichte der mathem. Wissen- 
chaften, herausgegebeii von G. Exestrôm. Band 9. Teubner, Leipzig. 
N" 4. — P. V. Schaewen : Die dreifachen Gleicliheilen Fermais. — David- 

Eugeiie S.mith : The portraits of Isaac Newton. (Mit Bildnissen von Newton 

als Titclbild). — G. Enestrôm : Uber die erste Aufnahme der Leibnizschen 

Dilferentialrechnung, in Stockholm. 

Bulletin de la Société Mathémathique de France. T. XXXVII, Paris. 

Fasc. 2 et 3. - - E. Barré ; Etude sur le déplacement d une hélice de forme 
variable. — A. Pellet : Des équations majorantes. — R. de Mo.ntessus : 
Recherche effective des racines réelles des séries hyporgéométriqucs. — 
A. BuHL : Sur la croissance des coefTiciants des séries trigonoméfriquee ana- 
lytiques. — L. Zoretti : Un théorème sur la théorie des ensembles. — 



BU I. I.ETl X H l li I.IOC.HAPUI OU E 83 

S. I)ai;tiii:vii.i-e : Sur les systi'incs noii-lioloiioiiu^s. — S. L.\tti:s : Siii- les 
imilliplicilés invariantes par une fiansforinalion do conlacl. — Ch. Biociie : 
Sur les surfaces desniiques du (|uatriiMne ordre. — Ed. Maillet : Sur les 
quanlilés eoniplexes. — Léon Attonne : Sur la fonction nionoirène d'une va- 
riable iiypercomplexe dans un groupe coiuniulalif. 

Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 1909. 

2't mai. — G. Bkatu : Sur les équations mixtes linéaires. — C. Hwsen : 
Sur la somme des n premiers coeflicients d'une série de Taylor. — L. De- 
saint : Sur les représentations générales des fonctions. — R. Birkeland : 
Sur certaines irrégularités des é([ualions différentielles. — J. Çhazy : Sur 
les équations différentielles du second ordre à points critiques fixes. 

l*"" juin. — P. KcEBE : Fonction potentielle et fonction analytique ayant un 
domaine d'existence donné à un nombre quelconque (fini ou infini) de feuillets. 

7 juin. — C. Glichard : Sur les congruences dont les deux surfaces focales 
sont des (juadriques. — A. De.moulin : Sur les surfaces telles que les cour- 
bures géodésiques des lignes de courbure soient respectivement fonctions 
des courbures principales correspondantes. — B. Hostinsky : Sur une gé- 
néralisation de la géométrie des cyclides. — H. Poincaré : Les ondes 
hertziennes et l'équation de Fredhoim. — H. Larose : Sur une représenta- 
tion physique des fonctions thêta. 

L'i juin. — E. Picard : Quelques remarques sur les équations intégrales 
de première espèce et sur certains points de Physique mathématique. — 
E. Vallier : Sur les intégrales pseudo-elliptiques ou hyper-elliptiques. — 
S. Zare.mba : Sur une note récente de M. S. Bernstein. — J. Chazy : Sur les 
équations différentielles à points critiques fixes. — E. Borel : Sur l'étude 
des variations des quantités statistiques. 

21 juin. — S. Sanielevici : Sur une question de minimum. — M. Riesz : 
Sur les séries de Dirichlet. — L. ïholveny : Le vol ramé et les formes de 
l'aile. — A. Râteau : Méthodes d'expériences pour recherches aérodyna- 
miques. 

28 juin. — E. Picard : Sur les équations intégrales. de première espèce. 

— R. de MoNTEssus : Sur le calcul des racines des équations numériques. 

— A. Chatelet : Sur une extension de la théorie des fractions continues. 

5. juillet. — M. Riesz : Sur la sommation des séries do Dirichlet. — 
B. CÎA.MBiER : Sur les intégrales singulières de certaines équations différen- 
tielles algébriques. — A. Korn : Sur les quelques inégalités jouant un rôle 
dans la théorie des vibrations électriques. 

i2 juillet.. — H. Lebesgue : Sur la suite des fonctions mesurables. — 

D. Po.MPEiu : Sur les singularités des fonctions analytiques uniformes. — 

E. Maillet : Sur les systèmes de réservoirs. 

19 juillet. — E. Maillet : Sur les systèmes d'équations différentielles. 

26 juillet. — P. Boutroux : Sur les singularités transcendantes des fonc- 
tions inverses des fonctions entières. — A. De.njoy : Sur les fonctions ana- 
lytiques uniformes à singularités discontinues. — A. Râteau : Etude de la 
poussée de l'air sur une surface. 

2 août. — Ch. Lallemand : Sur l'élasticité du globe terrestre. 

9 août. — A. Denjoy : Sur les singularités discontinues des fonctions 
analytiques uniformes. — (]h. Lallemand : Sur les marées de l'écorce et 
l'élasticité du globe terrestre. 



84 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

23 août. 1909. — Lemeray : Sur le calcul «les racines des équations numé- 
riques. — Cil. Lallemand : Sur les mouvemenls de la verlicale dus à l'al- 
Iraction de la Lune et du Soleil, la Terre étant supposée rigide. 

30 août. — Saltikow : Sur le perfeclionneiuent de la lliéorie des équations 
aux dérivées partielles du premier ordre. 

6 septembre. — Ch. Lalle.mand : Sur les marées tliéoriques du géoïde, le 
globe terrestre étant supposé absolument rigide. 

13 septembre. — M. Saltikow : Sur le problème de Sophus Lie. — Dkze- 
wiECKi : Formules pratiques pour le calcul des hélices aériennes. 

4 octobre. — V. Myi.ler-Lebedeff : Sur 1 équation hypergéométrique. — 
J. Chazy : Sur les équations dilTérentiellcs dont l'intégrale générale est une 
forme et admet des singularités essentielles mobiles. 

18 octobre. — L. Lichtenstei.n : Sur la détermination des intégrales d'une 
équation différentielle par leurs valeurs le long d un contour fermé. — H. 
PoiNCARÉ : Sur la diffraction des ondes hertziennes. 

2 novembre. — A. Denjoy : Sur les ensembles parfaits discontinus à deu.x 
dimensions. 

8 novembre. — E. Fabky : Module d'une série de Taylor. — E. Vessiot ; 
Sur les groupes de rationalité des systèmes d'équations différentielles ordi- 
naires. — Demelrius Grave : Sur uue identité dans la théorie des formes 
binaires quadratiques. 

15 novembre. — G. Darboux : Sur les cougruences de courbes et sur les 
surfaces normales aux droites d'un complexe (v. aussi séance du 22 nov.) — 
N. E. Noerlund : Sur les équations aux différences finies. — G. A. Miller : 
Sur les groupes engendrés par deux opérateurs dont chacun transforme Iç 
carré de lun en son inverse. 

22 novembre. — J. Haag : Sur certains groupes de familles de Lamé. — 
S. Carrus : Sur l'intégration des équations aux dérivées partielles. — Marcel 
RiEsz : Sur les séries de Dirichlet et les séries entières. 

Jahrbuch ùber die Fortschritte der Mathematik herausgegebcn von Emil 
La.mpe. — Band 38 : Jahrgang 1907. — G. Reimer, Berlin. 

Heft 1 (p. 1 k 496|. — Geschichte, Philosophie und Padagogik. — Algebra. 
— >'iedere und hôhere Arilhmelik. — Kombinationslehre und Wahrschein- 
lichkeitsrechnung. — Reihen. — Dilferential und lulegralrechnung. — 
Funklionentheorie. — Reine, elementare und synthetische Géométrie. 

Heft 2 (p. 497 à 704). - Reine, elementare und synthetische Géométrie, — 
Analytische Géométrie. — .Mechanik. 

Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, in Monaisheften 
herausgegebcn von A. Gl'tz.mek . B. 18, 1909 : P).-G. leubner, Leipzig. 
Nos 5 à 10. — Heinr. \V. E. Jung: Der Riemann-Rochsche Satz fur alge- 
braische Funklionen zweier Yeranderlichen (Schiuss). — J. Ple.melj : Uber 
Schlesingers « Beweis » der Existenz Riemannscher Funktionenscharen mit 
gegebener Monodromiegruppe. — Frieilrich E.ngel : llermann Grassmann. 
Festrede, gehalten, in Greifswald. — Georg Ha.mel : Uber Raum, Zeit und 
Kraft als apriorische Formen der Mechanik. — F. .Tlng : Zur vektoranaly- 
tischen Darstellung des Teusors. — P. W ekmcke : Die Zahl der ordiniiren 

KoUineationstypen. — J. Perl : Bemerkungen zur Formel i-j- i -f- ( -j- 1 i= 1 

J. V, Sz, Nagy : Bemerkung zu der Abhandlung des Herrn P. v. Schaewen, 



liVl.l.ETl N II I li II ()(i liA l> Il IQU E 85 

.lalircsbcriclil IM. IH, S. 7 II'. — Fv . Hoiin : Die oskiilioronden Kreise eines 
Kegel.-chnilles. — Spieclisaal fiii* die Kn/ykiopiidit' dei- mallicmalisclien 
Wisseiischaflcii. — Il Fiktkk : Zur Théorie dcr Modiilfunktioncn. — Paul 
l>sTEiN : Kine einfaclie Abieilung der linearen Transformation dcr ellip- 
lischen ModiiMïniklion ij (w). — E. Lampe : Hugo Herlzer. (Mit Bildiiis im 
Text). — Rudolf RoTHE .Ûber die Gcwcbe auf eincr Fliicho und ûber die 
F"lachen, deren Kriimniungslinion ein Gewebe bildcn. — H. Liebmann : Ver- 
einfacbte Behandlnng einigcr Minimalprobleine von Tschebyschefl". 

Journal fur die reine und angewandte Mathematik, herausgegeben von 
K. Hensel. Baiid (>XXXV. — Georg Rciiner, Berlin. 

Band 135. Hefl. I. — W. Ritz : Uber eine neue Méthode zur Lôsung ge- 
wisser Variationsprobleme der malhematischen Physik. — L. David : Zur 
Théorie der Schapiraschcn Itération. — E. Hae.ntschel : Uber eine von 
Hcrmile herrûhrcnde Substitution zur Reduktion des eliiptisclien Intégrais 
erster Gallung auf die Weierslrassche Normalform. 

Hcft 2. — G. Hessenberg : Keltenlheorie und Wohlordnung. — L. E. 
Dickson : On ihc congruence .r" + J" + ~" ^ (mod ^). — O. Biermann : 
Eine formale Abieilung der Laurenlschen Reihe einer Funktion ans einer 
ihrer ralional gcbrochenen Naherungsfunklionnen. — A. Friedmann und J. 
Ta.markine : Quelques formules concernant la théorie de la fonction [x] et 
des nombres de BernouUi. 

Heft 3 u. 'i. — G. Xev.man.n : Uber einige Reihen-Enlwicklungcn, die nach 
Prodncklen von KugeKunklionen fortschreiUn. — L. E. Dickson : Lower liinit 
for the numbor of sets of solutions of x« + j« -1- 3« = o (mod p). — P. Boni, : • 
Uber ein in der Théorie der siikularen Slorungcn vorkoinmendes Problem. 
— A. Thue : Uber Anniiherungswerle algebraischer Zalilen. — E. Fischer : 
Verallgemeinerung des Sylveslerschen Delerminantensalzes. 

Monatshefte fiir Mathematik und Physik, herausgegeben von G. v. Esche- 
RicH, F. Mertens u. ^\ . \N iKTi.NGER. — Eiseustcin & G", Wien. 

XX. Jahrgang |1909); 1., 2. Vierleljahr. — J. Puzyna': Geometrisches in 
der Weierslrasschen Théorie dcr algebraischeu Funktionen. — E. Œking- 
HAUS : Die Rotalionsbewcgungen (1er Langgeschosse wiihrcnd des Fluges. — 
R. ^VAG^ER : Zur Théorie der freien Schwingungen einer rechleckigen 
Membran. — H. Oppenheimer : Uber Dreiecks- und Vieleckssysteme als 
Tr;iger der Kurve dritter Ordnung. — Ph. Frank : Ein Kriterium fur die 
Slabilitiit der Beweguug eines matericllen Punktes in der Ebene und desses 
Zusatnmetihaiig mit dem Prinzip der kleinsten VVirkung. — A. Meder : Be- 
merkung zu zwei Saizen v. Staudls. — Ph. Frank : Unslelige Lôsuiigen beim 
Prinzip der kleinslen Wii'kung. 

3., 4, Vierteljahr. — J. Puzyna : Geometrisches in der Weierslrasschen 
Théorie der algebraischeu" Funktionen. — O. Dorner : Ueber Teiler von 
Formen. — L. Godeaux : Sur une coïncidence bicubicjuc. — P. Frank : Eine 
Bermerkung iiber indehnile Variationsprobleme. — H. Hahn : Ueber Bolzas 
funfto noiwendige Bedingung in der Variationsrechnung. — H. Tietze : No- 
liz zur Approximation von Potenzreihen durch ralioiiale Funktionen. — E. 
W.ELscii : Ueber Kugelfiinklionen, ihre binarcn Formen und Yielbeine. — 
O. Bier.mann : Zur naiierungsweiscn Kubalur. — L. Saalschutz : Die Dars- 
tellung: der rationalen Bruche als Potenssummen. — B. Arndt : Ueber die 



86 RULLETIX li I R L I O G R A P H I O U E 

Verallscemeinerung des KrùinnuingsbesjrifTes fiir Raumkurven. — L. Tis- 
CHF.L : Ueber eine kruinmiinige Projeklion und deren Verwendung in der 
darstellenden Géométrie. 

Monnist (The). A Quarlei-ly .Magazine devoted to the Pliilosophy of Science; 
nditor : P. C.vRLs. Vol. XI.\. — The Open Court publishing C"^, Chicago. 

X" 2 (avril 19091 — J. L. Heiberg : .\ Newly discovered Treatise of 
Archimedes. — D,tv. Eug. Smith : A Conimenlarv ol the Heiberg Manviscript 
of Archimedes. — H. Poincaré : The Choice of Facts. — Francis C. Rus- 
sEi.L : A modem Zeuo. 

Nouvelles Annales de Mathématiques, dirigées par C.-A. Laisa>t,C. Boir- 
i.tT et R Bruauli, î' st-i'ie. — Gaiithier-Villar?, Paris. 

Tome IX. janvier-mai 1909. — M. Folché : Quelques théorèmes de géo- 
métrie projective relatifs à des triangles et à des coniques. — E. Keraval : 
Sur les courbes dont les tangentes appartiennent à un compIe.\e linéaire. — 
G. FoNTENÉ : Contribution à la théorie du tétraèdre. — E. Tarkière : Sur 
certains systèmes orthogonaux du plan et sur les surfaces intégrales de 
l'équation de I^aplace. — Barré : Etudes sur les enveloppes de courbes à un 
paramètre. — M. F. Egan : ]Vote sur une propriété des quadriques homo- 
focales. — R. Bricard : Sur les quadriques circonscrites à deux sphères. — 
C. A. L. : Note au sujet d un article de M. S. Cervera. — M. Fréchet : Une 
définition fonctionnelle des polynômes. — L. Godeaux : Sur les surfaces 
possédant une droite multiple. — G. Clapier : Agrégation des sciences ma- 
thématiques (1908). — Solution de la composition sur le calcul difféientiel 
et intégral. — Hadamard : Notions élémentaires sur la géométrie descriptive 
de situation. — R. de .Mo.ntesscs : De l'usage pratique du théorème de 
Sturm. — Correspondance. — Certificats d'astronomie. — Certificats de 
mathématiques générales. — Solutions de questions proposées. 

Proceedings of the London Mathematical Society. Série 2. vol. 7. 

N"* 1 et 2. — \V. BuRNSiDE : Ou the Theory of Group of Finite Order 
(Presidential Adressl. — W. Blrnside : On the Arithmelical Nature of the 
Coefficients in a Group of l.incar Substitutions. — E. W. Hobso.n : On the 
Second Mean-value Theorem of the Intégral Calculus. — E. W. Hobso>' : 
On the Représentation of a Function by a Séries ofLegendre's Funclions. — 
G. H. Hardy : .\ Noie on the Continuily of a Function defined by an Infinité 
Product. — A L. Dixo.N : The Eliminant of Three Quantics in Two Inde- 
pcndent Variables. — H. Bateman : The Conformai Transformations of a 
Space of Four Dimensions and their Applications lo Geomelrical Optics. — 
F. B. PiDDicK : The Energy and Momentnm of an ellipsoïdal Electron. — 
T. .1. I. A. Bromwich • An Asymptotic Formula for the Generalised Hyper- 
geometric Séries. — W. J. Harrison : The Influence of Viscosity and 
Capillarity «ju Waves of Finite Amplitude. — H. Lamb : On the Theory of 
Waves propagated Vertically in the Atmosphère. — H. M. Macdonald : 
Note on the Evaluation of a Certain Intégral containing Bessel's Functions. 

— A. C. DixoN : On Systems of Three Quaternary Qnadrics that can be 
cxpressed by means of Five S(|uares. — \\'. H. Yolnc : On Differcntials. 

N^^* 3 et 4. — G. -H. Haruv : The Theory of Cauchy's Principal Values. 

— J.-E. LiTTLEwooD : On the Dirichlet Séries and Asymptotic Exp.insions 



H l' l.f.ETlN nibl.lOr.UAPllIQUE 87 

ot Iiilegial l'uiHlioiis ul Zéro Ordcr. — U.-M.-Y. So.mmkhvilli; ; On ceiliiiii 
Pcriodie Proporlies of (;\clif (voiiipositioiis of Xiimbcis. — A.-(>. Dixon : 
Tlic Solution of Intc'gral l-Iqualions. 

N"* 5 à 7. — !•]. \V. HoBso.N" : Sir William Rowan Hainilloa's Fliiclualiiig 
Functions. — Itl. : On tlie Represculalioii ola Fnnction ])y Soiies of Bessels 
Functions. — A. L. Dixon : On Cubic Surlares. Tlie Reduclon of a Qnalcr- 
nary Cubic Ironi the Snm of" Six Cubes lo the Suni of Five. — AN'. II. 
You.NG : On Iniplicit Funclions and thoii' Diflerenlials. — A. C. Dixon : On 
the Relation between PfaH's Problem and tlie Calculas of Variations. — L. M. 
DcKsoN : Modular Invariants of a General System of Linear Forms. — (i. H. 
Haudy : On a Intégral E(juation. — A. L. Dixon : The Eliminant of Tliree 
Quanlics in Two Independent Variables. — Tables du tome 7. 

*^. I^ivres nouveaux : 

F. A.MODKo. — Complementi di analisi algebrica elementare con ap- 
pendice sulle sezioni c'ojiiclie. — -1 vol. in-So. .■)12p., '.S L. ; Luigi Pierro, 
Naples. 

E. Fabry. — Problèmes et exercices de mathématiques générales. — 

1 vol. in-8o, 420 p. ; 10 IV. : A. llermauii (k fils, Paris. 

E.-A. Fouet. — Leçons élémentaires sur la théorie des fonctions analy- 
tiques. — l vol. in-8". 2li5 p.; 9 Ir. : Gawlliier- Villars, Paris. 
(Jiov, de Malko. — Elément! di Aritmetica pratica. — 1 vol, iu-lG, 

294 p.; 2 L. : G. D. Paravia & C", Turin. 

Ch. RiQuiEK. — Les systèmes d'équations aux dérivées partielles. — 

1 vol. in-8", 590 p.; 20 fr. -, (iautliier-Villars, Paris. 

Vte de Salvert. — Mémoire sur l'attraction du parallélipipède ellipsoï- 
dal. — 1 fasc. in-S", 89 p.; 7 fr. ; Gauthier-Vilhus, Paris. 

C. Sautreaux. — Essai sur les axiomes des Mathématiques. Etude cri- 
tique élémentaire. — 1 lasc. in-8'\ 80 p.; Gralicr & Roy, (jrenoble. 

G. Veronese. — Elementi Geometria Intuitiva ad uso délie scuole tec- 

iiiche. — 1 vol. iu-16. lôlj p.; 2 L. ; Drucker, Padoue. ' 

Edm. Landau. — Handbuch der Lehre von der Verteilung der Prim- 
zahlen. — 2 voL in-8" : T 1, xvm et 5Gi p., 20 M. ; T. Il, ix et ."{yH p.. 14 M. ; 
B. G. Teubner, Leipzig. 

Th. HoLL.MANN. — Rechenbuch fur hôhere Màdchenschulen, uacl» den 
neucn Lehrplanen. — Heft 1 fiir Kl. X, 61 Seiten, 80 Pf, ; Heft. 2 fiir Kl. IX, 
66 S., 80 Pf. ; L. Schwanu, Diisseldorf. 

Th. HoLL.MANN. — Mathematik fiir hôhere Màdchenschulen, nach den 
neuen Lehrplanenn. I. Geunietrie. — I vol. iu-S", I.'i2 p.. cart. : 2 M.: L. 
Schwann, Diisseldorf. 

J. Jahne und II. Barbiscii. — Leitfaden der Géométrie und des geome- 
trischen Zeichnens fiir Knabenbiirgerschulen. Erste Stufe fur die erste 

Klasse. Dritte, vollstiindig uugearbeitete Auflage. — 1 fasc. iu-8°, 45 p., 
carl., 90 H.; Manz, Vienne. 

.T .Jauni: und II. Bakiuscu. — Leitfaden der Géométrie und des geome- 
trischen Zeichnens fur Màdchenburgerschulen. Erste StufV fur <lie » rsie 
Klasse, 45 S.; Zweile Stufe fur die zweite Klasse, 35 S.; Dritte Stufe fur 
die dritte Klasse, 41 S. — 3 fasc, in-8"., cart. 90 H.; les 3 fasc, en un seul, 

2 K. ; Manz, Vienne. 



88 BUllETiy RIRLIOGRAPHÏQVË 

\\ . QuKHL. — Verordnungen betreffend hôhere Mâdchenschulen in 

Preussen. Ly/.eon und Slii<iii'n-Aiist:ili(n. — I vol. iii-X". 15'.! p.; ;> .M.; 
L. Sdiwann. Diisseldort. 

E. SoMMERMETER. — UcbeF Glelchungeii der Form > + v" = :" in 
gaiizen Zahlon und deii grosson l'oniialsrlun Satz. — 1 faso. in-8". 20 p.; 
1 M.; W. Pormeltcr, Berlin 

R. SippANTscHiTscH. — Leitfadeii der darstellenden Géométrie liii- dio V. 
und YI. Klasse der Rcalgymiia.-ieii. — I vol. iii-8o, li)(i p. , o K. , I". Tempsky, 
Vienne. 

Désiré André. — Des notations mathématiques, énuméralion, clioi.x cl 
usage. — 1 vol. in-8", ÔOI p.; 16 f'r. ; Gaiilliirr-\ illars, Paris. 

M. BôcHER. — Einfûhrung in die hôhere Algebra. Dentsch von Uans 13i ck. 
— 1 vol. in-S", relié, lî'iS p.; 7 M.; B. G. Tfuhncr, Leipzig. 

A. Brill. — Vorlesungen zur Einfûhrung in die Mechanik raïuncrliil- 
leuder Massen. — 1 vol. in-8", relié, 2;>6 p. ; 8 .M.; lî. (i. Tcubner, Leipzio-. 

R. Gans. — Einfûhrung in die Vektoranalysis niii Anwendungen auldie 

nialhemalische Pliysik. ~ 1 vol. in-8". rcdié, 12.") p.; 3 M. 60; B. G. 'J'eub- 
ner, Leipzig. 

J. Henrici u. p. Treutlei.n. — Lehrbuch der Elementar-Geometrie. 
Erster Teil : Gleichheil der Gebilde in einer l'^bene u. deren Abbildnng 
ohne Maszanderung (nebst einer Aufg.ibensammlung). — 1 vol. relié, 1.39 p. ; 
2 m. 40; 4« édition; B. G. Teubner, Leipzig. 

W. KiLLi^G U. ^V. Hovestadt — Haudbuch des mathematischen Unter- 
richtS. Erster Band. — 1 vol. in-8f>, relié, 456 p.; 10 M.; B. G. Teubner, 
Leipzig. 

W. Lietzmann. — Stoff und Méthode in mathematischen Unterricht der 

norddeulschen hôheren Scluilcn aul Grnnd der vorhandcnen Lehrbiichcr. 
(Abhandlungen ûber den mathem. Unlerriehl in Denlschland. Band I, Hefl 1). 
— 1 vol. in-8o, br., 102 p. ; 2 M, ; B. G. Teubner. Leipzig. 

Kurt LiEvvALD. — Die Anschaulichkeit im geometrischen Anfangsunter- 
richt. — 1 fasc. in-8", 33 p.; 80 PL; B. G. Teubner, Leipzig. 

K. ScHWARzscniLD. — Uebor das System der Fixsterne. Ans popiiliiren 
Yortragen. — 1 fasc. in-8o. 44 p. ; 1 M. , B. G. Teubner, Leipzig. 

E. BoREL. — Leçons sur la Croissance professées à la Faculté des Sciences 
de Paris, recueillies cl rédigées pai- A. Den.ioy. — l vol. gi-. in-S", 169 p., 
5 fr. 50; Gaulhier-Yillars, Paris. 

O. Blu.menthal. — Principes de la Théorie des Fonctions d'ordre fini. — 

1 vol. gr. in-8o (Colleelion IJorcI), 150 p.. 5 fr. 50; Gaulhier-Yillars, Paris. 
J. BoJKO. — Neue Tafel der Viertelquadrate aller natûrlichen Zahlen 

von 1 bis 20000 zur Bildung aller môglichen Produkle ini Bereiche 1.1 bis 
10000. J 0000. — 1 fasc. de 20 p., 1 fr. 50; Speidel, Zurich. 
J. Hadamard. — Leçons sur la Théorie des Variations. Tome premier : 

La variation première et les conditions du premier ordre; les conditions de 
l'extremum libre. — 1 vol. gr. in-8". 520 p., 18 fr. ; Herniann et (ils, Paris. 
A. HôFLER. — Didaktik des mathematischen Unterrichts (Band I der 
Didaktischen Lehrbiicher fur den realislischen Unterricht an Jiôh. Schulen. 
herausgegeben von A. Hôfler u. E. Poske). — 1 vol. gr. in-S», 509 p., avec 

2 planches et 147 ligures; 12 M.; B. G. Teubner, Leipzig. 



POUR ['SE THEORIE DE LA MESURE 



L'idée de luesiiie est à la base de toules les applications des 
Matliémaliques. C'est à elle {|iie Ton doit rintiodiiOioii du 
nombre dans le domaine physique et, par conséquent, la 
soumission, bien qu'encore incomplète, de ce domaine aux 
Mathématiques. Elle est, ainsi que Ta l'ait observer un bio- 
logiste doublé d'un clairvoyant psychologue, l'élément pri- 
mordial et indispensable de toute science*. Il est donc per- 
mis de regretter la parcimonie avec laquelle quelques consi- 
dérations, d'ailleurs généralement dépourvues de précision, 
lui sont consacrées dans les cours d'Arithmétique et de voir 
là une lacune à combler. 

En outre, la Géométrie métrique la seule encore dont les 
principes soient nettement établis est, en définitive, l'étude 
d'un système de mesure, de sorte que c'est aussi dans une 
théorie générale de la mesure que la Géométrie (en sa subs- 
tance purement rationnelle) doit trouver son véritable fon- 
dement. 

On se propose, dans ce premier article, de rechercher 
quels pourraient être les éléments essentiels d'une théorie 
purement rationnelle de la mesure pour les continus à une 
dimension. 

§1. 

On entend, en général, par grandeur, ce qui est suscep- 
tible de mesure, c'est-à-dire susceptible de représentation 
numérique, et l'on 'distingue deux sortes de grandeurs, 
celles que Ion représente au moyen des nombres naturels 
et celles que l'on représente au moyen du continu numé- 
rique. 



' F. Le Da.ntkc, Science et conscience ; Paris, 1908. 
L'Enseignement mathém., 12« année ; 191 o . 



90 G. COMBElilAC 

Pour les premières, le mécanisme de la représeiilalioii est 
si simple et si naturel qu'il j)araU inutile de s'y arrêter. 

La question est loin d'être aussi facile pour les grandeurs 
de la deuxième catégorie. Le continu numérique (ou l'en- 
semhle des nombres réels, nous faisons ici une confusion 
sans conséquence^ bien que dense, est composé d'éléments 
distincts, tandis que \ individualité disparaît (\\\ domaine 
physifjue justement lorsque Ton s'elTorce d'y introduire la 
précision. Les grandeurs physi(|ues, pour pouvoir être repré- 
sentées numériquement, doivent donc subir une transfor- 
mation, toute conventionnelle d'ailleurs, ((ui en fait les êtres 
purement rationnels que sont les ensembles applicables sur 
le continu numérique, (-e sont ces ensembles auxquels l'on 
doit donner le nom de continus. La notion de ces ensembles 
ordonnés, étant ainsi purement rationnelle, peut évidem- 
ment être établie, en dehors de toute intuition expérimen- 
tale, par des procédés purement logiques et, par suite, la 
notion de mesure acquiert elle-même un caractèi'e franche- 
ment rationnel et prend place dans le domaine proprement 
mathématique. 

Puisqu'un continu, par définition, peut toujours être sup- 
posé appliqué sur le continu numérique (ou l'ensemble des 
nombres réels), il doit suflire de dévelo[)per sur celui-ci la 
notion de mesure. On peut pourtant donner à cette notion 
une définition susceptible de s'appliquer à tl'autres ensem- 
bles ordonnés que les continus. 

Supposons f|ue l'on ait pu définir, pour les segments' d'un 
ensemble ordonné M, une « i-elalion d'égalité^ « satisfaisant 
aux conditions suivantes ; 

a) Etant doit né un segment (m^, m^ , il existe toujours, à 
droite d'un élément quelconque, uV de l'ensemble, un et un seul 



* J'appelle scgrnenl d'un ensemble ordonné l'ensemble formé par les éléments compris entre 
deux éléments déterminés et par ces deux éléments. 

* Définir, pour les éléments d'un ensemble, une «relation d'égalité», c'est répartir ces élé- 
ments en ensembles s'excluant deux à deux, de sorte que chaque élément m n'est contenu que 
dans un seul de ces ensembles partiels, que l'on peut, par conséquent, désigner par F (m) ; la 
relation d'égalité entre deux éléments pourra alors s'exprimer sous la forme : 

F (//() = F |/h') 

où le signe = exprime l'identité de deux ensembles et possède, par suite, toutes ses pro- 
priétés habituelles. 



T II i: () H 1 1-: I) i: i. . t m e s i ■ h e . «i i 

eléiiieiil m' Ici une les (Icti.i saiDieiils m, . m cl m', m so/ciil 

3 ' O 1-12 

« égdti.r ». 

h) Si les deux groupes ordonnés de trois éLémcnls \w^, m,, lu^), 
(m', m', m' sont tels que les se"nienls 'ni,, m,/ et (m', m' 
d'une part, im, ms) et (m', m') d'autre part, sont égaux, il en 
doit être de même des scij/iicnts u)., , in.) et m', in'i. 

~ - ■'' 2 3 

On dira aloi's (|iie 1 on a défmi pour l'ensemble M ou 
mieux pour ses se<i^ments) un système de mesure. 

On |)eiil aussi individualiser ec qiront de connnun les seg- 
ments égaux eiilc'eux et en l'aire un «ahslrail rationnel », 
auf(uel on |)eut donner le nom de grandeur. La proposition 
[b] est alors é(|uivalente à la suivante: «trois éléments /;/,, 
m.^ et ///y étant donnés, la grandeur du segment (/;?,, m^) est 
déterminée en fonction des grandeurs a et b des seoments 
{/;/, , ///._, et (/?/.2, /;/•,! ». On l'appelle somme des grandeurs 6' et 
b et on la désigne par l'expression a -\- b -.. sa définition s'ex- 
piime alors par la foi-mule 

<l OÙ Ion déduit facilement la propriété suivante : 

[a -\- l)\ -\^ V =z a -\- \b -\- c] . 

On peut généraliser les notions (|ui viennent d être éta- 
blies y compris celle d'addition) en faisant abstraction de 
ridée d'oidre. 11 est intéressant de remar((uer (pTunc; rela- 
tion d'égalité satisfaisant à ce qui subsiste alors des condi- 
tions [a) et [b) ne sufïît pas pour ordonner l'ensemble M. On 
en a un exemple dans la iiolion de vecteur en Géométrie, 
qui détermine é\ idemmeni une telle relation pour les couples- 
de points de l'espace. 

Pour développer en toute généralité une tbéorie de la me- 
sure pour les ensembles oi'donnés à une dimension, il y 
aurait lieu d'abord de déterminer ceux de ces ensembles <|ui 
comportent des l'elations d'égalité satisfaisant aux conditions 
(r/i et (b). On se iioi'neia dans ce (|ui va suivre à détei'miner 
les systèmes de mesure ou métriques dont est susceptible 
l'ensemble des nombres réels, pris comme type des conti- 
nus à une dimension. 



92 G. C () M 1} i: li I A C 



.^I 



Une relation crégalité de l'espèce clélinie plus iiaiil est 
alors ex[)i'iniée par réi>alité des valeurs d'une fonction 
num<'ri(|ue binaire et le problème revient, par suite, à dé- 
tenniîier les Jonctions V .r, , .r^jMe deux variables (pii satis- 
font aux deux conditions suivantes, équivalentes aux condi- 
tions (<7) et [b). 

rz') F (.r, , .r J est une fonction c-roissante de r^ , décrois- 
sante de .r, et prend toutes les valeurs comprises entre ses 
valeurs extrêmes lorsque l'une des variables décrit un seg- 
ment ; 

b') il existe une. relation enti-e les valeurs des trois exj)res- 
sions F^ [Xi , .r.,'' , F(.r, . j^g , F (.r., , .r^). 

En se bornant aux fonctions analytiques (ou, du moins, 
dérivables), il est facile de déterminer la forme générale des 
fonctions possédant la propriété [b'). 

Les expressions F (.r, , .r.,) , F (.r, , x^ et F (.r., , .r,) peuvent 
en effet être considérées comme trois fonctions de trois va- 
riables indépendantes x^ , r., et .^3 ; la condition pour qu'il 
existe une relation entre ces trois fonctions est que leur dé- 
terminant fonctionnel soit nul, ce qui s'é(Mit, en désignant 
respectivement par F' et F' les fonctions dérivées de F par 
rapport à ses deux arguments, 

?\ (.ri . .r^i ?\ (.r, , .rjl F^ \a\ , x,\ + F^ {x^ , .r,) F[ (,r, . .r,] F[ (x, , x^] = 

OU 

Fj.ri.Jsi , F'jXi^x^] 

Fj (.r, . Xi) —, \- V^ |.rt , x^) — z= . 

Fj (.Ti, .rgi Fj [x^. .rs) 

En égalant. r'g à une constante et posant 

f1 [x , .rgl 



/ 



F, \x , .rai 



dx = f{x) , 



l'égalité précédente est une équation aux dérivées partielles 
en X, et r^ et sa solution générale est 



F (.1-1, .»■,! = «l' [f{Xi\ — /-LrilJ . 



T ni: on II-: ni: la m i: s i i: i: 93 

Il c'sl vraisemblable (|ue ce resiillal est indépendanl de la 
condition de dérivabililé, ciiii a été admise pour sa (b'nions- 
tratioM, et que les l'onclions non dérivables on même dis- 
continues satisfaisant à la condition (b') doivent pouvoir se 
mettre sous la forme précédente. Mais, pour satisfaire aux 
conditions (</'), il est nécessaire que f{x] soit unt; fonction 
croissante ou décroissante, toujours tiélerminée et prenant 
toutes les valeurs de — x à rf ce (elle est. par suite, conti- 
nue . 

Il est évident d'ailleurs que toute fonction de F définit la 
nu'iue métrique, car elle définit la même relation d'é<j^alité 
pour les segments. Parmi les fonctions définissant la même 
niétri(|iie. une jouit de propriétés particulières, c'est 

/■(■r,i — f\.ri] : 

pour cette fonction la relation fondamentale prend la forme 

/■U'ai — /Vil = [/"Lr,! — l'^rA + T /"i.r,) — fix.A . 

Deux segments quelcon{|ues {,x\ . .r,; et Ug , .rj donnent tou- 
jours lieu à un nombre défini par l'expression 

/■(■ï-4) — /■(•'■si 



/V,) — /-(.Til 



et qui est leur rappo/i di^ns la métrique considérée. Les rap- 
ports des divers segments à un segment choisiarbitrairement 
sous le nom d unité sont dits les mesures de ces segments. 

Observons enfin que rien n'empêche de prendre pour abs- 
cisse /(.r), de sorte qu'une fonction métrique pourra toujours 
se mettre sous la forme x^_ — r,. 

L'exposé précédent a été développé sur l'ensemble numé- 
rique afin de simplifier les démonstrations et de pouvoir 
s'appuver sur des propi'iétés connues. Mais il est facile de se 
rendre compte (|ue les résultats, dans ce qu'ils ont d'essen- 
tiel, peuvent être établis au moyen de raisonnements direc- 
tement développés sur les continus, indépendamment de 
toute application préalable de ces derniers sur l'ensemble 
numérique, et en faisant seulement intervenir, outre les pro- 



94 G. COM HE B I A C 

priétés générales des continus, les propriétés [fi\ et [b) de la 
relation d'égalité (|ui définit une métrique. Il sufîîra de rap- 
j)eler (pie la notion de rapport s'établit, |)ar les procédés 
classiques', au moyen de ces deux propriétés des continus : 
divisibilité d un segment quelconque en n segments égaux 
enti'eux et existence, deux segments (|uelconques étant don- 
nés, (le mi:lti[)les de liiu plus grands (pie l'autre axiome 
d Arcbiméde . 

On sait (jue ces deux propriétés apj)artieiinent aussi à l'en- 
semble des nombres rationnels; cet ensemble admet, par 
conséquent, des métriques ayant les mêmes caractères es- 
sentiels. Dès lors une remarque s'impose. Rien n'empêche 
de substituer, dans toutes les applications des Mathémati- 
ques, l'ensemble des nombres rationnels à l'ensemble des 
nombres réels^. Il est évident (|ue la précision que comporte 
l'expression niathémati(|ue n'en resterait pas moins illimitée, 
seulement le rapport de deux segments serait toujours ra- 
tionnel, les segments devenant tous, par hypothèse, com- 
mensurables entr'eux. 

Il est clair que, dans la pratique, rien ne serait changé 
dans la manière d'opérer actuelle ; mais l'on peut conclure 
de là que, contrairement à une idée courante, la notion de 
nombre irrationnel n'est nullement inhérente à celle de me- 
sure el quelle n'est nullement nécessaire aux applications 
mathématifpies ; cette notion a[)partient donc essentiellement 
et exclusivement, — ainsi que le (ait d'ailleurs observer M. F. 
Klein dans son profond ouvrage : Anwendung der Differen- 
lidl-tiiid Iiitegralrechnuiig auf Géométrie, — au domaine des 
Malliômatiques exactes, c'est-à-dire à l'analyse numérique. 

§111. 

On a vu (|u'à toute métric[Lie est associée une opération sur 
les segments ou plut(>l sur leurs grandeurs, (|ui peut être 
définie de la manière suivante : 



' f f. H. Baiiir, Leçons sur les Théories générales de l'Analyse, p. 33 à 39 ; Gauthier- Villars, 
Paris. 1907. 

* Il suffit, pour cela, de convenir que tout segment est un ensemblo dense et dcnnnibrable ; 
cette convention rirmplacerait simplement celle qui affirme l'existence des cléments limites 
et qui est spéciale aux continus. 



TJii.oitiE ni: i.A M E s I i{ /■: 95 

\a\ gi-aM(l(Mir (1 nu seo^menl formé par rensemble de doux 
segments (loiil I un a |)()ur rlcniciil initial le dei-nicr (dcnienl 
de Taiitre ne déj)end évitleninienl (|ne des grandeurs a et b 
des segments composants ; on ra[)[)ellera somme de ces gran- 
deurs et on la désignera par a + h. L'opération binaire ainsi 
définie pour les grandeurs j)ent être appelée « opération 
d'addition ». 

De deux segmenis ayant le niènie élémenl initial et avant 
des grandeurs dill'érenles a et b si le premier contient le se- 
cond, on éci'ira a > b, la relation étant évidemment indé- 
pendante de l'élément initial choisi. On définit ainsi une re- 
lation d'ordre [)our les grandeurs des segments. 

En s'appnyant sur les proj)riétés (a) et [b) caractéristiques 
des relations d'égalité métric|ues, on démontre fac'ilemenl que 
les opérations d'addition possèdent les propriétés suivantes : 

. Il) o. -T I' =: Ji' , a toujours une solution en x , 

) (2| fl 4- i > a, 

j (3) si b ^ a , a -\- .r =r h a toujours une solution en x . 

' (4) {a + /y)-|- rt = fl + (A -1- cl . 

On reconnaîtra sans diliiculté (nie, si l'on a défini, pour les 
segments avant une même origine, une opération binaire 
possédant les propriétés I , elle permettra de définir une re- 
lation d'égalité métrique et, par suite, une métrique. 

La propriété essentielle des opérations d'addition est Vas- 
sociatii^ité exprimée par la formule (4 . Quant à la cominuta- 
tivité, qui n'est pas indispensable, l'on reconnaît facilement 
qu'elle équivaut à la propriété supplémentaire des relations 
d'égalité qui permettrait de substituer à la condition [b; la 
pro[)osition suivante : dei/.vsegmen/s conipos(\s de parties res- 
peclivemenl égales sont égaux ; cette propriété est évidente, 
notamment, lorsciuil est possible de diviser deux segments 
quelconr|ues en parties toutes égales entr'elles. 

A toute métrique est associé un groupe de traiif'ormations 
que l'on peut définir de la manière suivante : /;?o et /7?, étant 
deux éléments fixes, à tout élément m tie l'ensemble situé à 
droite de m^ on peut faire correspondre un autre élément m' 
tel que l'on ait : 

[iiii . m'] z= {ni(i .111) . 



96 



G. COMBEfUAC 



On (léteriiiine ainsi une application ^^an moins parlielle) de 
IVnsemble sur lui-niènie, c'est-ii-ciire une traiisformalion. 
Si lélénient /;?, est considéré comin(> un paramètre varial)le, 
on obtient ainsi une série de transformations, et il est facile 
de reconnaître cjue la proposition 7>) exprime précisément la 
condition poui- cjue ces transl'ormations forment un groupe, 
c'est-à-dire pour (|ue la transformation obtenue par Tappli- 
calion successive de deux d'entre elles appartiennent aussi à 
la série. Il est évident en outre cpie ces transformations con- 
servent la mélriqne, c'est-à-dire (|ue les segments tiansfor- 
més de deux segments égaux sont encore égaux. 

En désignant par « la grandeur du segment m^, /;?,), cjui 
joue le rôle de paramètre, l'équation du groupe peut s'écrire : 

IWo- '"') =: rt + U»o .ni] . 

et, si b est le paramètre d'une transfoiniation au groupe 
faisant correspondre à l'élément m' un élément in" , on aura ; 

Le paramètre de la transformation résultante est donc 
-f a. 

A la méti'i(|ue est associé un autre groupe de transforma- 
tions, qui peut être défini par l'égalité : 



où a est un segment (|ui détermine la transformation dans le 
groupe. En appliquant ensuite la transformation 

{ni' . lu " \ =z h . 

on obtient évidemment la transformation 

(Mi . m"] -^^ (I -\- I) , 

qui appartient bien à la série, ce Cjui j)rouve (|ue celle-ci 
constitue bien un groupe. 

Lorsque l'opération d'addition afférente à la métri(|ue est 
commutative. les deux groupes se confondent ; c'est le cas 
pour les continus, poui- lesquels l'équation du groupe pi-end 

la forme : 

f[x') — f\x] = a . 



M (> M i: .\ T M . i <: N i: r i o u k 97 

On \(Mr;nl ciiliii (Hi(> Ton peiil aussi dclinir la met ri(|ii(' en 
lonrlioii de I un des groupes de t r-anslbrinations ([ui lui sont 
associés. 

Une niéli'i(|U(* pcul donc cIih; délinic de trois manières 
difTérenles, savoir : au moyen d'une rcldlion dég(ilil(' appli- 
cable aux segments et [)ouvant èlre déterininëe, dans le cas 
des continus, par une l'onclion numéricpuî de deux éléments, 
au moyen d une opéialioii d'addition d(>(inie pour les seg- 
ments, enfin au moyen dun groupe de tiansforniatious se 
rapportant aux ('h'ments mêmes de l'ensemble ordonne pri- 
mitif, (^es trois points de vue se complètent l'un l'autre et 
les trois modes de définition [)euvent trouver des applica- 
tions dans le domaine {)bysi(|ue. 

On examinera dans un [)rochain article de (juelle manière 
doit être généralisée la notion de mesure pour pouvoir s'ap- 
plif|uer aux conlinus à plusieurs dimensions. 

(j. CoMREBiAC Montauban). 



SLR LE MOMENT MAGNETIQUE 

PROPOS Di:S DEUX SIGNIFICATIONS DU TERME DE MOMENT DANS 
LA MÉCANIQUE 

Elr SUR LES CENTRES DE GRAVITE MAGNP:TI0UES 



— Centre de gravité et équilibre d'un corps pesant tour- 
nant autour d'un point fixe. — Rappelons que dans la tbéorie 
des l'orces parallèles, on ap[)elle inoinent d'une force par rap- 
port à un plan le produit de la force par la distance de son 
point {ra|)[)li<'ation au plan, et qu'on démontre que le mo- 
ment de la résultante est égal à la somme des moments des 
com[)Osantes. Etant donnée une force de direction constante 
et proportionnelle à lélément de masse, telle (jue la pesan- 
teur, et un svstème d'axes rectangulaires dont l'origine est 
choisie arbitrairement, on détermine la position du centre 



98 /.. DE f.A UrVE 

de gravité, c'est-à-dire du j)oinl dapiiliralion de la résul- 
tante par les équations 

'^111 il/M ' Xm 

jii étant l'élément de niasse tlont les coordonnées sont .r, ?/, z. 
Désignons pai- «. /3. y, les numérateui-s des seconds mem- 
bres ; on voit que ce sont les moments du corps par rap- 
port aux plans coordonnés. Il est aisé de montrer que ce 
sont aussi les trois projections sur les axes d'un vecteur qui 
a pour direction la droite joignant l'origine au centre de gra- 
vité et pour valeur le produit de la longueur de celte droite 
par la masse totale du corps. En effet, considérons un plan 
passant par l'origine et dont la normale l'ait avec les axes les 
angles A, jt;., v ; la distance d'un point .r, ?/, 3 à ce plan est 

.r cos À -|- V cos [j. -f- "• cos v 

et, par conséquent, le moment du corps par rapport à ce 
plan est 

cos X^inx -\- cos [x^my + cos vi]»i; , 

expression qui est la somme des projections sur cette nor- 
male des moments «, /S, y j)ris lespectivement sur les axes^ 
et par conséquent aussi la projeition de la résultante de 
a. /5, y, qui a pour valeur 

= \/a2 + ::^ + f 

et dont les cosinus directeurs sont 

— , - , ^ . ou d apr(-s l —, -r • -7 

en faisant 

i = K .^ + y\ + ^. 

et l'on a en outre, comme on l'a dit ci-dessus, $ = 2ln?. C'est 
le moment de masse du corps par rapport à un plan nor- 
mal à la droite L 

JuscpTici il n'est j)as (juestion d'un moment de rotation et 



.»/ () M E N T M A C y E T /Q C E 99 

c'est en établissant les condilions (l'é(|iiilibre cruii coi-ps pe- 
sant mol)ile autour de Toriii^iiie (|iie la seconde sig-nilicatioii 
du terme intei-vient. Rappelons (jiie le moment d'tine force 
par rapport à un (ne <le rotation est le produit de la pro- 
jection de la force sur un plan n or niai à l'axe par la dis- 
tance du point ddpplication it l'n.ve. On démontre que le 
ti'avail élémentaire, dû à une rotation autour de Taxe, est 
proportioniud au moment, et il en résulte (|ue les équations 
d'é(|uilil)re du corps mobile autour de Torluine sont les sui- 
vantes 

(2) ,3Z — yY = . vX — aZ = , a Y — f^X =r . 

daus lesf|uelles a, /3. y. on! la même signilication (|ue ci-des- 
sus et X, Y. Z, sont les composantes de la Ibrce F rappor- 
tée à Tunité de masse. Ces équations impliquent celles que 
Ton obtient en remplaçant a, /5, y, par.r, , y^. s, et celles-ci 
sont équivalentes aux suivantes 



La condition d'équilibre esLque la droite qui joint le cen- 
tre de gravité à l'origine soit parallèle à la force. 

Lors(|ue la condition n'est pas satisfaite, la force exerce 
une action rotative et le moment est la résultante des trois 
moments exprimés par les [)remiers membres des (2 . Or 
ces trois doubles produits sont les projections sur les axes 
du produit vectoriel de la force F et du moment à. d'où ré- 
sulte que ce vecteur est normal au plan de F et de d et qu'il 
a pour valeur 

F" . . sin (Foi . 

Si l'on suppose que F et sin Vd soient Aariables, le fac- 
teur (3 est lélément constant (|ui ne dépend (|ne du corps et 
du point fixe et qui devient le moment de rotation si l'on 
suppose F égal à l'unité et que l'angle de F et de /soit droit. 
C'est ainsi que la cpiantité o en gardant sa valeur numéri(|ue 
devient assimilable a un moment de rotation, mais il faut ob- 
server que la direction du vecteur ^ est la même c|ue celle 
de /, tandis que laxlireclion du vecteui-, moment de rotation, 



100 L. DE LA RIVE 

est normale à / et à F. Poiii- éviter la confusion, il serait pré- 
férable de désigner § par moinenl de masse et dappeler nio- 
ment de rotation disponible la (|iiantilé [$). 

11. — Centres de gravité magnétiques. — L'a ci ion d'une 
force magnétique sur un aimant din'ère, comme on va le voir, 
de celle que nous venons d'étudier par le fait cpie la masse 
magnétic|ue est réductible à deux centres de gravité donnant 
lieu à un couple de rotation, de telle sorte qu'il n'v a pas 
lieu de considérer un point fixe autour ducpiel le corps peut 
tourner. 

Nous admettons que dans chaque élément de volume, il se 
trouve deux masses magnétiques égales, — p.^ et ju^, la pre- 
mière négative, la seconde positive. Considérons toutes les 
niasses élémentaires en valeur absolue, abstraction faite de 
leur signe et désignons les par ^ de telle sorte que, numé- 
riquement, 

(3) ij.' := ai + ;j.2 = 2;j.i z= 2;j2 , 

et appliquons leur la règle pour trouver le centre de gravité. 
On a pour les coordonnées du cenire magnétique absolu 



(4) 



_ ^\^y 



Smi 



Soient .Ti et x^ les valeurs de x pour les masses ^, et ^Uj 
correspondant à u ; nous admettons que 

(5) x' = ^-^\ /=-H^V ^' = ^^. 

(6| X2 = .>'i + dl cos À , V2 ^ )i -j- dl cos a , z^ t=z z^ -\- dl cos v, 

di est la distance élémentaire constante des deux masses ^^ et 
//2 et X, II, V sont les angles avec les axes de la direction de 
l'aimantation et sont variables. 

Déterminons de même le centre de gravité magnétique né- 
gatif et le centre de gravité magnéticjue positif; on a 

' -;J-t.ï» ' 2-s.r2 
\") -^1 = ~^è ' ^ï = "V • 



M () M E .V / .)/ A C, N É T I O U E 101 

et oes mêmes éciiialions pour les antres coordonnées. En te- 
nant compte de 3). de (5) et de f() , les [\' deviennent 

, 2ï;at.ri + "^L'Xxdl cos X 

X '^^ ' ' 

2 lai 

et, d'auli'c part, à cause de (6), (7) donne 
, • Y.'i^dl cos X 

(H) X — X = -! ^^ 

il ri'sulte de ces deux dernières équations 

,Q, ' ' L •'» ~ •'■' ''» + ^' ' •!i±zi ' 1+1= 

(9) X = .», + -^— = —y— . r = ~^— , . = -^— ■ 

Les deux centres, positif et négatif se trouvent sur une 
droite passant par le centre absolu, de part et d'autre et à 
égales distances de ce centre. 

Assimilons la niasse magnétique absolue à la masse maté- 
rielle i\\\n corps ayant ce même volume. La densité sera une 
fonction de .r, y, 3, qui est raimanlalion du corps aimanté 
au point considéré et le centre de gravité pourra être déter- 
miné par des intégrales de volume. Puisque, j)Our chaque 
élément de volume, en supposant un champ magnétique uni- 
forme, les deu.\ forces agissant sur les masses ^, et a.> peu- 
vent être tansportées au centre - ^ .^ en laissant un couple 
élémentaire, c'est au centre absolu que la résultante totale s'ap- 
plique, mais cette résultante est nulle. 

Quant à Faction rotative, les équations (2) sont applicables 
à la force magnéti(|ue supposée proportionnelle à la masse 
magnétique, à cette dilïérence près c[u'il faut tenir compte du 
signe des masses a^ et u-i- En efiet le moment de rotation de 
la force par rapport à Taxe des x est : 

en désignant par X, Y, Z les composantes de F suivant les 
directions positives des axes, car la force qui agit sur la 
masse — |u, est, dirigée en sens contraire de la composante 
Z ou Y. Il en résulte, à cause des (6) que les moments déjà 
désignés par a, /3, y dans 2 ont ici pour valeur 



lOi' /.. DE r.A li/VE 

e\[)ressi<)ns (|ii on peut désigner par inomenls de magné- 
tisme par analogie avec nionienls de niasse, niais qu'il n'v a 
pas lieu de [)rendre par i-ap|)oi-t à une origine arlîitraire. car 
ces expressions se mettent, à cause de (6), sous la forme : 

(lOi "^'sdl cos À :^ |x — .»■ ) i];j-i . 

On a donc, en gardant pour â le sens qui lui a été attribué 
et qui devient la longueur de la droite qui joint les deux cen- 
tres de gravité, multipliée parla masse totale positive 

= \/ a- + fr' + f . 

C'est le moment de niasse magnétique par rapport à un 
plan normal à la droite qui joint les deux centres de gravité 
magnétiques. 

On voit ainsi que le vecteur d est un moment dans l'accep- 
tion du ternie qui est relative à la composition des l'orces 
parallèles, sauf que les masses sont accouplées "deux à deux 
égales et de signes contraires, et qu'il en résulte que ce vec- 
teur a pour direction la droite qui joint les deux centres et 
pour valeur, la longueur de cette droite multipliée par la 
masse totale positive ou négative en valeur absolue. 

Comme dans le cas du corps [)esant, ce sont les équations 
d'équilibre rotatif qui font intervenir la notion de momentde 
rotation. Ces équations sont les mêmes que [2) et, en rem- 
plaçant a. (3. y, par leurs valeurs (10) conduisent à la coiuli- 
tion d'équilibre 



analogue à celle obtenue pour la pesanteur, sauf (pie la droite 
qui doit èti"e parallèle à la force est celle qui joint les deux 
centres, et que par consé(|uent la position d'équilibre est 
indépendante de l'origine arbitraire. Lors(pie la condition n'est 
pas satisfaite, le champ exerce sur l'aimant une action rota- 
tive et on [)eut déduire le moment résultant des trois mo- 
ments a, /3, y, comme on l'a fait pour la pesanteur, ce qui 
donne pour le vecteur moment la valeur absolue 

P' . . sin (F . 0) 



.»/ O .)/ /•; N T M A (, S E T I O U K 1 W.\ 

et pour sa (lii-edioii la Monnaie a F et à è. La inrme reinar(|iie 
relative a la sigiiilicalioii de ^ trouve ici sa place. On évite- 
rait la eonliision (|iie j)ent |)i'OV()(|uei' le {loul)l(^ sens de Tex- 
preasion monienl en (h^signant à |)ar iiionwiit de magiiélisine, 
et en représentant par § la (|iiiintil<' cpiOn a[)pellerait mo- 
ment de rotation disponible, il importe de remarquer aussi 
que tandis cpie pour la masse matérielle on peut mesurer sé- 
parément la niasse elle-même et la distance du centre de 
gravité au point lixc, le moment magnétique seul, (|ui est le 
prpduit des deux éléments, est susceptible d'être évalué. 

III. — Aimantation uniforme et application à la sphère 
pleine. — Dans le cas de l'aimantation unilorme, les quanti- 
tés u.^ et ^.2- X, u. V deviennent constantes et il en résulte 
que les (8 donnent 

.»• — .>■ zr: dl cos À y — Y = dl cos a - — r- ^ dl cos v. 

3 1 -2-1 lui 

L(( distance des deux centres est dl, distance des deux 
masses élémentaires et la direction de dl est celle de l'aiman- 
tation. 

Appliquant ces considérations à la sphère, rappelons que 
l'aimantation uniforme satisfait dans ce cas aux équations 
d'équilibre magnétique intérieur exprimant l'aimantation par 
induction dans un champ uniforme, équations que nous ne 
faisons que mentionner ici. Prenons l'axe des Z parallèle à 
l'aimantation et i origine au centre de la s|)hère ; les deux cen- 
tres se ti-ouvent sur l'axe des r. et on a 

Zi — Zi =1 dl . 

La masse magnétique 2^2 ow l^i est égale au volume de 
la sphère multiplié par une densité hypothétique o, ce qui 
donne, en aj)pelant a le rayon de la sphère, pour d 

= dl^H'j-i = \ -a^odl . 

On va voir (|ue p devient une densité de sui'face. si la 
niasse magnéti(|ue qui la constitue, au lieu d agirsui-un bras 
de levier infiniment court, agit sur un levier lini. Pour le 



lOi 



L. D E I. A H I VE 



montrer, au lieu de calculei- le couple résultant en appli- 
quant les résultantes aux centres respectifs, composons les 
couples élémentaires le long de clia(|ue tube d'aimaMlation 
parallèle à OZ. Soit MN le lube de section ds pour le point 
de la surface X donné par l'angle ZOX égal à 9 et soit dl la 
longueur de l'aimant élémentaire. Les mas- 
ses élémentaires s'annulent deux à deux et 
ne laissent subsister que la première en 
M négative et la dernière en N positive, 
constituant un couple dont le bras de levier 
est MN et la masse pdLds. Pour composer 
les couples relatifs à tous les points M de 
la sphère, cherchons le centre de gravité 
de la couche sphérique d'épaisseur constante dl et appli- 
quons-y une force égale à la masse totale de la couche. Le 
centre se trouve sur OZ par raison de symétrie et on a 

Four (Calculer "Lniz^ on a 







:; = a cos 



et 



= r.dla'^ sin fJ(/Of/s cos 6 



6 et y étant les coordonnées angulaires, car on obtient, comme 
le montre la figure, la surface ds normale au tube MN en pro- 
jetant sur le plan normal à OZ la surfa<:e élémentaire sphé- 
rique. On intègre pour la demi-sphèie supérieure entre O 
et 2tz pour (p et entre O et ^ j-z pour «, ce qui donne 



odl 



Pour obtenir 2/«, il faut intégrer la valeur de m entre les 
mêmes limites et on trouve 



Par ('onséquent 



T.a'odl 
_ 2 



et le moment du couple résultant est 



— a-fi^pdl 



.)/ () M A y T MA G N K 1 I O U E 1 05 

l^oiir la S|)lière inrérieiire, le ronpie est le iiièine el le 
moment lotal est 

Dans celle expression p est la densile cl une couche dont 
la sm'face est celle du grand (;ercle de la sphère et dont 
l'épaisseui' infinimenl j)etile est la longueur de Tainianl élé- 
mentaire, tandis que le bras- de levier est Ys f^f • 

Comme on Ta dit plus haut, c'est le moment seul c|u'on 
peut mesurer el c'est pourcpioi le produit oûJ^ est la seule varia- 
ble existant réellement au point de vue expérimental, bien 
que /3 et cil soient définis lhéori(|uement '. 

IV. — Aimantation non uniforme par induction dans un 
champ uniforme. — Le vcMleur aimantation est clans ce cas, 
comme on le sait, solénoïdal et il en résulte certaines consé- 
quences relativement à la délermiiralion du centre absolu et 
des centres secondaires et de la masse magnétique ou, ce 
qui revient au même, du moment de rotation disponible. 
Nous supposons connues les lignes d'aimantation, ainsi que 
le potentiel intérieur total Y, et nous considérons les filets 
d'aimantation prolongés dans l'intérieur du corps entre les 
surfaces terminales. En un point quelconque d'un filet, le 
produit du vecteur par la section est constant, puiscpie le 



1 Si ron cherche à se rendre compte du processus qui, dans le cas plus simple du magné- 
tisme rémanent, transforme la somme des actions rotatives moléculaires en une action rota- 
tive sur un volume fini, c'est dans la composition des couples élémentaires que se trouve la 
solution. En effet, deux molécules consécutives du filet d'aimantation tendent à tourner dans 
le même sens et leur solidarité ne le permet pas. Une sorte de frottement intérieur magné- 
tique ne laisse subsister que les forces extrêmes en M et en N et le couple a pour bras de 
levier MN. Une expérience, que je viens de réaliser au Laboratoire de Physique de l'Univer- 
sité de Geiuve, doit être mentionnée ici — deux rangées de petites boussoles dont la cage a 
le^ms (Je diamètre, l'aiguille IS"'" de long et dont les centres sont disposés suivant une 
ligne droite, sont supportées horizontalement sur un disque de carton suspendu à un fil de 
caoutchouc d'une force de torsion très faible. En premier lieu les boussoles sont en contact 
de manière que chacune des deux rangées distantes l'une de l'autre de 1'="' occupe une lon- 
gueur de lfi<=i"5. A ce degré de rapprochement les aiguilles sont solidaires et orientées sui- 
vant la ligne des centres, si le champ extérieur ne dépasse pas une certaine limite. En 
plaçant un barreau aimanté dans le voisinage du carton et dans son plan, symétriquement 
par rapport au centre, le centre du barreau ([ui a 32'^"" de long se trouvant à 25"" du centre 
du carton, les rangées s'orientent parallèlement au barreau et dans l'oscillation les aiguilles 
restent dirigées suivant la ligne des centres consécutifs. — En second lieu, on supprime deux 
boussoles dans chaque rangée et on les espace également, ce qui porte la distance de deux 
centres consécutifs de 16""'.ï à 20">"'6. Cette augmentation suffit pour que les aiguilles cessent 
d'ôtre solidaires, que le carton ne s'oriente plus par rapport au barreau; dans les oscillations, 
du carton, chaque aiguille reste à chaque instant parallèle au barreau. 24 décembre 1909. 

L'Enseignement mathém., 12« année; 1910. 8 



106 L DE I.A RIVE 

vecteur est solénoïdal et ce j)rochiit a pour expression eu le 
multipliant par â% 

- /• - rf. . 

h étant le coellicient crainianlation, da la section du tilel, 
et dl rélément de longueur compté sur la ligne d'aimanta- 
tion. Par définition, l'aimantation est — h -rr et, d'autre part, 
le moment magnétique est égal à l'aimantation multipliée 
par le volume dadl\ donc ce produit est égal à |U, en sorte 
que la masse magnétique est constante dans un même filet. 
Le centre absolu d'un filet est donc le centre de gravité de 
la ligne d'aimantation prise de son point d'entrée à son point 
de sortie du volume aimanté. On déduit de cette propriété 
que si le corps a un axe de symétrie parallèle au champ, 
ce qui donne lieu à des lignes d'aimantation symétriques par 
rapport à cet axe, le centre de gravité absolue sera sur cet 
axe puisqu'il sera le centre de gravité du système de masses 
dû à tous les centres des courbes qui sont elles-mêmes symé- 
triques et les deux centres seront également sur cet axe. 
Si le corps a un plan de symétrie normal à son axe, le centre 
absolu sera dans ce plan par la même raison. L'équation (8) 
appliquée à un filet d'aimantation donne 



J dl 

L'intégrale au numérateur s'obtient en remarquant que, 
le produit -^ dtj étant constant, on peut intégrer le facteur 
dx ce qui donne 

.r„ et .r^, étant les valeurs de .r correspondant aux extrémi- 
tés du filet, et d'autre part, le produit -rr f/o- est ég-al à ^- ds 

' ' al ^ an 

aux points x^ et .r^, du étant la normale à la surface du volume 
aimanté prise du dedans en dehors et ds l'élément de cette 
surface. On retrouve ainsi la réduction connue de l'intégrale 
de volume, relative au moment, à une intégrale de surface. 



p II ().//■: r r/ON a /. i m r r a l e i o: 

On peut se proposer de calculci' linU'orale au (It'iiomiiia- 
teiir (le .^'^ — 'i M"^ f-^' '•' '"'>sse magnéti(|iie totale positive 
ou n-égative. En intégrant j)ar rapport au filet entre ses deux 
extrémités, on aura, eoninie dans ce (|ui [)ré(ède, 

— A- ^- (1s {la — la'\ 
an 

4 — la' étant la longueur du filet compris entre l'entrée et la 
sortie du volume aimanté, expression qu'il faudra intégrer 
par rapport à la surface totale du corps, et dans laquelle 
la — 4', est une fonction du point de la surface auquel se 
rapporte l'élément de surface ds. 

Dans le cas de la sphère ftn a, h étant 1 angle dv\ ravon vec- 
teur avec Taxe, 

— / -r- = ^ l'os , /„ — la' = li cos 0. (Is = W sin OrfOf/c 
an 

et l'intégrale pour la demi-sphère est bien. 

2- 



. >" 



L. DK LA Rive Genève) 



PROBLEMES RELATIFS 

A LA PROJECTION AZIMUTALE ÉQUIVALENTE 

DE LAMBERT ' 



I 

La projection azimutale équivalente de Lambert, imaginée 
par ce dernier en 1772, trouve de plus en plus son emploi 
lorsqu'on se proj)ose de représenter des portions d'une cer- 
taine étendue île la "surface i\u olobe terrestre^. 



' Les priiioipaiix rt'Siiltals de ce travail ont fait l'objet d'une conférence di- l'auteur, tenue le 
10 octobre lOOtt, à la Société suisse des Professeurs île mathématiques. 

' Voir Encyklopadie lier matheinatischen Wisxenschafteii, Hd. VL 1. A. 

Lamimîk I. Beitidge zuin Cebiauchf der Mathematik. \\\. Tcil, p. 105, Berlin. 1772. 

BBAM>EMiimci:ii, Ueber l.amht.rts fldchcntreiie Azirnittalprojektion. [Vierteljahrsschrifl der 
iiaturforsihenden Cesellschaft Zurich, Jahrg. .5i, S. iSti-'i'iS, iy09.) 



108 



C. RRA N DE N BERGER 



Dans ce qui suit je donnerai tout d'abord une méthode 
simple permettant de construire la projection de Lambert P* 
d'un point P, dont on connaît la longitude et la latitude. 
C'est une application très simple des procédés élémentaires 
de la géométrie descriptive. 

JSoit O le centre du tracé, c'est-à-dire le point central du 
domaine dont on se propose d'établir la carte. Par O faisons 




^^/. 



passer un système d'axes cartésiens rectangulaires. Os aura 
la direction de la verticale en O, cette direction étant consi- 
dérée comme positive lorsqu'on s'éloigne du centre de la 
terre. Le plan JcOy est le plan tangent à la sphère terrestre 
en 0. C'est sur ce plan aussi que s'effectuera la projection de 
Lambert du domaine à représenter. Ox sera. la tangente au 
parallèle passant par O, sa direction positive étant celle de 
l'Ouest vers l'Est, Oy la tangente au méridien de O, sa di- 
rection positive étant celle du Sud au Nord. 

M (fig. 1) représente le centre de la terre, NS la ligne des 
pôles. Sur la sphère les latitudes seront comptées, selon 



I> li () .1 E (• T I () .\ J Zl M L ■ /■ . / I. i: 



109 



l'usage, à partir de ré(jiialeiii' e , laiulis (|iie les longitudes 
se compteront à partir du méridien /;/ du lieu (). 

La projection de Lambert P* d'un |)()int V de la sphère ter- 
restre peut se définir comme suit : 




1'^ P* se trouve sur la trace OP* du demi-plan (P, z) sur le 
plan horizontal xOy. 

2" On a OP* = OP, cette dernière distance OP étant mesu- 
rée le long de la corde (jui relie O à P. 

La totalité de la sphère terrestre est de la sorte représen- 
tée dans le plan JcOy à l'intérieur d'un cercle Q* de centre 
et de rayon égal au double de la longueur (jui représente 
le ravon terrestre (fig. 2 . Le grand cercle horizontal h (lîg. 



110 C. liRANDENBE Rr.EK 

2, 3 et 4; partage la sphère en deux hémisphères ; Wxw (7/0) 
correspond à rintérieur du cercle h" de rayon égal à \/^, 
Tautre (/<Q^ à l'intérieur des deux cercles h* et Q*. Au seul 
point Q, c'est-à-dire au point antipode de O correspond comme 
projection de Lambert le cercle Q* de rayon égal à 2. 

Pour détei-niiner maintenant le point P* dans le plan xOy 
nous ferons usage de projections orthogonales. 

Les plans .vOij et yOz sont respectivement j)lan horizon- 
tal et plan vertical de projection. O^ représente la ligne de 
terre, placée verticalement dans Tépure (fig. 2). 

Sur le plan vertical la sphère se projette orthogonalement, 
\e méridien m de O suivant un cercle tangent à Oy, Téqua- 
teur et les parallèles suivant des droites qui l'ont avec O2: un 
angle (Pj , où z^ représente la latitude ilu point O. La projec- 
tion de Téquateur est le diamètre e" , celle du j)arallèle pas- 
sant par P la corde p" . La projection P" de P elle-même s ob- 
tient par rabattement sur le plan vertical du parallèle p pas- 
sant j)ar P. Langle AMB est égal à la latitude y du point P. 

[p] est le parallèle rabattu, sur lequel on a porté Parc 
A[P] = À, où X est la longitude de P. [P] est le rabattement, 
P" la projection orthogonale de P sur le plan vertical. Pour 
avoir la projection horizontale P' de P on mène la ligne de 
rappel P" Py sur lafjuelle on porte PyP' = P"[P]. La trace ho- 
rizontale du demi-plan (P, c\ qui contient le point P* est la 
demi-droite OP'. D'après 2° la distance OP* est égale à la 
corde OP, dont la vraie grandeur se trouve par une rota- 
tion autour de Oz (OP = OP^ =: OP*). — C'est ainsi qu'on 
peut obtenir In projection de Lambert dun point quelconque 
de la sphère au moyen de projections orthogonales. 

II 

Dans les ligures 3 et 4 on a représenté les parallèles 0°, 
±30°, ± 60°, ± 90°, et les méridiens 0, ± 30°, ± 60°, 
± 90°, ± 120°, ± 150°, + 180°. 

En ramenant dans le plan de l'équateur les différents pa- 
rallèles, la construction se simplifie. 

Comme pratiquement seul l hémisphère iOh) est à repré- 



112 C. RRAXDE MiE liG t:R 

senlei", la carte s'obtient avec exaclitiule. Des sections défa- 
vorables de lignes entre elles ne se présentent pour aucun 
hémisphère, mais dans le second, OA, on peut avoir à join- 
dre des points très rapprochés. 

Le centi-e du tracé, fig. 4. est uw point de Véqualeur. 

Si Ton désigne par A* (fig. 4) le point d'intersection de 
l'image p* d'un parallèle {|uelcon(|ue de latitude (p. avec 
l'image IC du méridien de longitude égale à 90° ; il est 
facile de voir (pie la droite OA* est tangente à p* en A*. Au- 
trement dit h* est coupé orthogonalemenl par l'image p* de 
n'importe (juel parallèle. L'ér|uation de p* en coordonnées 
polaires (9, «) est en efl'et' 






Comme pour u ^ ^ les deux valeurs que prend p sont 
égales entre elles, la droite OK* est bien tangente à p* . Dans 
la figure cette droite tangente à été construite pour 9 :^ 60". 

A deux méridiens symétriques par rapport au méridien de 
O correspond comme image une courbe unique du quatrième 
degré, 

admettant N* et S* comme points doubles, lig. 4. De cette 
équation on déduit immédiatement les angles w que les tan- 
gentes en ces points forment avec O.r (ou N*.x'). On a par 
exemple pour N* 

1 1 

/oir = ± 2 '"o'g ^ = ± :^ lg(90o — l] . 

Si donc BD (fig. 4) est égal à la tangente trigonométrique de 
l'angle (90° — ).), BD = ^BD sera la tangente trigonomé- 
trique de la direction (r. (Cercle trigonométrique autour 
de N*.) 

111 

La projection de Lambert d'un cercle quelconque de la 
sphère est un ovale faisant partie d'une courbe du quatrième 



' Cl. KioHiNi : l.e projezio ni délie carte gcografichc, Hologna 1881, ou BRANDtiNUKKOnu, loc. 
cit. 



imo.l E r T I ON A /. I M l T A I.E 113 

degré. La courbe enliore se (•onipose de (U'Iui-ci cl cruii iiulre 
qui lui est symétrique par rapport à O. Le second correspond 
d'ailleurs à un autre cercle de la sphère, qui est symétrique 
au premier par rapport à un certain plan passant par Oc '. 

La quadrature de ces ovales conduit à d'intéressantes appli- 
cations (lu (Calcul inléi>ral. Les résultats sont simples et l'on 
peut li'ouver de nombreux exemples où ils seront indépen- 
dants des coellicients de l'étiuation, si Ton suppose;, comme 
on Ta fait plus haut, W ^ I. On pcMil les obtenir aussi par 
voie géométrique, car la pi'ojection tle Lambert est, comme 
on sait, une projection équivalente'-'. 

Voi(u quelques exempl.es de (juadratures pour lesquels il 
est avantageux d'introduire les coordonnées polaires. Comme 
on l'a dit, les courbes comprennent toujours deux ovales de 
forme identique. Il ne s'agit jamais que de l'évaluation de 
l'aire de l'un d'eux. 

i. Soit la courbe 

\x" -f- y^ — 'i' I*" -\- >'" sin- \\ -\- 'i sin- X = , 

qui est l'image ifig. 4) d'un méridien de longitude /. L'aire 
de l'un des ovales est indépendante de 1 et égale à 2-. 

2. La courbe 

{x'^ + -i^ — 4|_r^ + 4 siii^^ = 

correspond fig. 4) à un parallèle de latitude ^. L'aire de la 
calotte sphérique située au nord de ce parallèle est égale 
à 271 1 — sin ©j. Il en est par conséquent de même pour l'un 
des ovales de la courbe. 

3. L'éf[uation de l'image (fig. 3) d'un parallèle de latitude $ 
est : 

I (.r""* -\- _r-|siri (j)„ + 2 (sin » — sin çp,,) ( -(- y- cos- y„l.r- + v'- — i) = . 

La surface d'un de ces ovales est 27:(i — sin ©). cp,, n'inter- 
vient pas dans le résultat. 

4. Un ovale de la courbe 

[x^ -\- y'^ — 2r cos- »„ + (.r- -j- y"^ — 'i) (.r cotij \ -\- y siii ^,,1^ = 



' Cf. Brandknbiîkghh, Inc. cil. 

* Voir p. ex. : TiURMAIN, Traité des l'rojectinii.'i dc.i Cartel géographiques. Paris. 



114 A. EMCH 

est d'aire égale à 27r. Cet ovale est Tiinage d'un méridien 
(tig. 3) et partage en deux parties égales Tinlérieur du 
cercle Q*. 

5. Soit enfin a et h deux quantités réelles quelconques. 
L'un des ovales de la courbe 

rtî/,2|.r2 4- 1-2 _ 2|2 4- {a- -I- lj')f{x^ -j- v« — 4) = 

peut être envisagé comme image d'un certain grand cercle 
de la sphère. On verra facilement que l'aire de l'ovale est 
encore ég:ale à 27r. 

C. Brande>'berger (Zurich). 



!D" 



SUR QUELQUES EXEMPLES MATHÉMATIQUES 
DANS LES SCIENCES NATURELLES' 



L'observation de la nature fournit de remarquables exem- 
ples clans lesquels interviennent les considérations mathé- 
matiques les plus diverses. 

1. — Ainsi, en examinant le mouvement des glaciers de 
conformation normale, on aperçoit immédiatement les lignes 
indiquant la direction du courant et les crevasses glaciaires 
qui forment au point de vue mathématique un système de 
trajectoires orthogonales comme on s'en rend compte dans 
la fig. L Les crevasses représentent ici d'une part les lignes 
d'égale vitesse et de l'autre les lignes de tension maximum. 

Dans le mouvement des glaciers, nous sommes donc en 
présence d'une combinaison de lignes de courant et de lignes 
de tension. Les lignes de tension s'expliqueront de la façon 
la plus simple par l'involution projective des lignes de sec- 
tion et de tension dans un milieu tendu ^. Dans toute involu- 



' Extr.)it d(' la Conférence faite par M. Arn. Emch (Soleure), à rassemblée annuelle de la 
Soc. suisse des professeurs do mathématiques, tenue .i Soleure le tO oct. 1909. Einige mathem. 
u. mechanische Betrachtungen in der Natur. — Traduction de J.-P. Dl'MLR, Genève. 

» RlTTER, Graphische Statik 1. B., laS-lSI. 



H X i: M l> L E S M A I II i: M ATI Q LES 



115 



tion existe, comme on le sait, deux clireolions à angle droit 
correspondant à la tension maximum et minimum en chaque 
point du champ, et c'est par cela que s'expli(|ue Torthogona- 
lité des traje(;toires. Comme exemple particulièiement inté- 
ressant d'un milieu en tension avec involution elliptique, je 
citerai la formation des crevasses sur un champ de limon en 
train de sécher, comme il s'en forme après une inondation; 
ou encore la ("ormation des lentes sur une surface de bois 



ARAPAHOH PE/\V<. 




KARTE 

ARAPAHOE GLETSCHERS 
AuovjsT l90^ 
) » 

s 00 rvA.— 



Fig. 1. 

recouverte d'une forte couche de vernis ou de peinture '. 
Dans les deux cas les nombreuses fentes et fissures qui se 
forment en séchant sont toutes, presque sans exceptions, 
perpendiculaires les unes sur les autres; ce qui s'explique 
par l'involution des lignes de tension du milieu en question. 
Dans celte involution. il n'y a que les tensions qui agissent 
dans les directions perpendiculaires. L'une est la tension 



* A. Em(;h, Au Introduction Ij Projective Geomctry and its Applications, p. 239. N'ew- 
Vork. John Wilev iS: Sons, 1905. 



116 



J. E M C II 



maximum, l'autre la tension niininiuni. On devrait en con- 
clure, seml)le-t-il, que les l'entes correspondant^ aux tensions 
maximum devraient l'ormer un système de courbes plus ou 
moins parallèles, ce qui n'est pourtant pas le cas. On peut 
expliquer cette anomalie, visible dans la fig. 2, de la façon 
suivante : par la formation d'une fente, la tension maximum 
qui agissait j)erpendiculairement à la direction de c^ette fente 
est supprimée, de telle sorte c|ue la tension minimum qui 




Fig. 2 



agissait auparavant dans la direction de la fente devient alors 
la tension maximum dans cette partie du champ. C'est pour- 
quoi la fissure suivante se formera perpendiculairement à la 
première fente. 

2. — Malgré la grande difiîculté (|ue l'on éprouve à repré- 
senter mécaniquement les phénomènes de la vie organique 
et la presque impossibilité de formuler mathématiquement 
les problèmes biologiques, il faut reconnaître (-ependant que, 
dans bien des cas, un observateur attentif trouvera un carac- 



' p. Groth, Physicalischc Kristallographie, Leip/.ig. W. Engelmann, 1895. 
A. ScHOENFLiKs, Kristallsysteme une Kristatlttruktur, Leipzig, Toubner, 1891. 



E X E M l> I. E s M A T II E M A T I Q U E S 117 

tère mathématique clans tel ou tel pliénomène du domaine 
végétal ou animal. 

Que Ton se rappelle la loi de Mendel sur l'hérédité et sa 
vérification par les expériences intéressantes du Professeur 
L. Cuénot, à Najicv, sur le croisement des souris blanches 
et grises ' et du Prof. A. Lang sur la formation tles variétés 
chez les limaçons de jardins^. 

Par le croisement de la souris grise commune et de la 
souris blanche albinos, on obtient exclusivement des des- 
cendants gris. L'élément gris G domine, tandis que l'élé- 
ment blanc B est caché par le gris. Si Ton croise maintenant 
deux de ces descendants, on obtient non seulement des sou- 
ris grises, mais également des blanches, et le nombre des 
grises est au nombre des blanches dans le rapport de 3 à 1. 
Pour déduire cela de la loi générale observée par Mendel, 
nous supposerons que les éléments primitifs G et B ne se 
réunissent pas dans le croisement, mais restent séparés, une 
moitié se compose d'éléments G, l'autre moitié d'éléments 
B . Comme croisement, ne sont possibles que les combinai- 
sons suivantes, en nombre égal, des éléments G et B : 



G et G 

G et B 

B et G 

B et B 



Chacune de ces combinaisons fournira un descendant, et 
dans les combinaisons où se trouve un élément G, le gris 
dominera. Parmi les descendants, on trouvera donc en 
moyenne trois gris pour un blanc, ce qui correspond quan- 
tativement tout à fait aux expériences faites par différents 
savants dans ce domaine. Ce résultat peut être représenté 
par la formule 

GB . G B . = IGG + 2GB + IBB . 
Cette loi qui présente aussi, d'une manière générale, une 



• Revue scienlifique, Paris (28 avril 19061. 

» iber die Mendelschen Gesetze, Art und Variet&tenbildung, Mutation und Variation, 
insbesondere bei uiiscrn Hain- und Oartenschnecken. Verhandlaungen der Schweiz. Katurf. 
fiesellschaft in I^uzern. 1905. 



118 A. EMC II 

grande importance pour la société humaine, est donc basée 
sur la théorie des combinaisons (|ui est un domaine franche- 
ment mathématique. 

3. — En biométrie, on sait qu'il existe une certaine rela- 
tion entre la grosseur et le nombre des graines d'une plante. 
Si Ton porte comme abscisses les diamètres des graines et 
comme ordonnées le nombre des graines correspondant à 
ces divers diamètres, on obtient des courbes qui se rappro- 
chent plus ou moins de la courbe connue de fréquence d'er- 
reur du calcul des probabilités ', et qui caractérisent tout à 
l'ait les plantes correspondantes. 

La disposition des feuilles chez les différentes plantes est 
également remarquable au point de vue mathématique. Elle 
a lieu suivant des lois parfaitement déterminées et est cons- 
tante pour chaque espèce. La distance qui sépare deux 
feuilles consécutives dans une même espèce est toujours 

représentée par la même fraction - du pourtour. Dans la 

disposition des feuilles alternantes, les fractions - sont les 
réduites de la fraction continue 



I + 1 



1 + 1 



1 + ... 
c'est-à-dire 1 , 7, t, , ;r, ^ , — . • • • et représentent les termes 

2 o O o 10 • 

d'une série spéciale de Lamé ^. On les appelle divergentes et 
elles présentent un rapport rationnel avec le pourtour de la 
tige, de sorte que, sur la ligne en spirale, l'hélice, qui sup- 
porte les feuilles, chaque feuille se trouve, après un cycle 
déterminé, perpendiculaire à une autre située plus bas. Par 
cette disposition mathématique si raffinée, pour ainsi dire, la 
nature obtient la répartition aussi régulière que possible des 
feuilles autour de l'axe commun. Il n'y a ainsi pas de place 
perdue et la charge se répartit d'une manière égale sur l'axe; 



1 J. Brrtrand, Calcul des prnbabUiti-s, p. 175-246 (Paris). 

* Strassburoer, Lehrbuch dcr Botanik fur lloihschulen. p. 31-35. 



/;• A i: M P I. E S M A T II F. M A T I Q U A > 1 1 9 

la position verlicale assure cgaleiDcnl les meilleiu'es coiuli- 
tions créclairement. 

4. — Chez les plantes griinpanles, on trouvera une ap|)li- 
cation du mouvement en spirale. 

Mécani(piement, ce mouvement en spirale s'expli(|ue par 
le l'ail (|ue la partie de la tige exposée à la lumière se déve- 
lo[)pe mieux et par suite se dilate davantage ; il en résulte 
une inilexion de; la tige autourdu support. Cependant, le fait 
que la i)lu[)art des plantes grimpantes, à part (pielques 
exceptions houblon, chèvrefeuille, polygonum convolvulus) 
sont lèvogyres n'est pas expliqué mécanif|uement, on se con- 
tente d'indi(|uer la chose au point de vue physiologi((ue en 
faisant intervenir le géotropisme. En particulier, j'ai observé 
personnellement, dans les Montagnes Rocheuses, que les 
pins et sapins placés dans le voisinage des lisières de forêts 
présentent une disposition lévogyre de leurs fibres, ce qui 
s'explique par les torsions et flexions occasionnées par les 
vents. 

5. — En ce qui concerne la forme des feuilles, ce sont 
principalement, d'après Bodo Habenicht ' les influences 
extérieures du temps et des actions mécaniques qui entrent 
en ligne de cause. C'est à cet auteur que l'on doit la repré- 
sentation analytique de la plupart des formes de feuilles par 
des équations de la forme 

/• = /"(cos ^1 

en coordonnées polaires; et il espère trouver avec le temps, 
la preuve phvsiologique de la nécessité de cette forme parti- 
culière. 

7. — Comme exemple remarquable, je mentionnerai ici la 
disposition de l'intérieur des fleurs d'une plante pullulante 
parfaite (Chrysanthemum leucanthemum) et de la camomille 
ordinaire Matricaria chamomilla). Chez ces fleurs, les dia- 
mètres des petites fleurs intérieures croissent proportionel- 
lement à leur éloignement du centre, comme on peut s'en 
rendre compte par l'accroissement des rayons. Mais pour 



• Beitrdgc :iir malhematischen Kegriindiing ciner Morphologit der BUitter. Berlin. Otto 
Salle, 19(1"). 



120 A. EMCIl 

obtenir, avec cette loi, l'utilisation la plus complète possible 
de la surface entière par le plus grand nombre possible de 
fleurs partielles, il faut (|ue ces fleurs circulaires se toiudient 
trois à trois muluellemeiU ; comme ce serait le cas pour des 
cercles d'égale grandeur placés sur une surface plane rectan- 
gulaire. Pour (iénioiitrer cette proposition, nous supposerons 
tout d'abord que la surface d'une disposition quelconque de 
cercles dans le rectangle peut être mise sous la forme 
p . x . y y dans la(|uelle p peut prendre toutes les valeurs 
possibles < /^ < 1 . Si nous exceptons les singularités, 
nous pouvons dire c|ue par une transformation quelconque 
l'expression p . x . y devient fonction p . F(X , Y) de la sur- 
face rectangulaire transfoi-mée. Si m est la valeur de p qui 
rend /> • JO . y maximum, m . F X , Y) représentera aussi un 
maximum dans la surface transformée. Supposons que la 
surface rectangulaire soit placée dans un j)lan de nombres 
complexes et faisons la transformation * 

Z = e^ = e* + 'y . 

de telle façon que 

X =: e^ . cos r , Y =: e^ . sin y , 

le système des droites parallèles x = const. se transforme 
en un système de cercles concentriques 

X^ + Y^ = e^- 

et celui des parallèles y = const. en un laisceau 

Y = X . tg ,v . 

La fonction e~ a la période 2/- , de telle sorte que la bande 
du plan z comprise entre y^=-eiy^ — t. est représentée une 
fois et d'une façon complète sur le plan Z. Si l'on divise 

cette bande en bandes partielles distantes de -, et si l'on 

considère les lignes de division comme lieux de cercles 



' Voir FmcKE : Kttrze gefasste Vorlesungen iiber verschiedene Gebiete der hôhern Mathema- 
tik. Analytisch-funktionen tkeoretischer Teil. Leipzig, Teubner, 1900. 



K X E M l> I. E s MAT H E M A T I O U E S. 



1-21 



taiigenls de même o-randeiir, le rayon de ces cercles vaudra, 
d'après la fig. 3, 

AD = eu . ty -m = - . ^— = -^ . 
Si l'on représeiUe pai- <t le demi-anole formé, après trans- 









— ■> — 


~ ~/r^ 




/^ — -^<- 


,/8 

1 


ttVb / 


/ \ ' / 

/ \'/ 

Al _Yp- - - 


, .\B 


\L_ 



3i-A*e 



Fig. 3. 



formation, par les tangentes communes d'une série circu- 
laire de cer(des tangents, on aura 



te u 



..v^ 



et a = i2°46'28". A l'aide de cet angle, il était facile de cons- 
truire la fig. 4, qui représente exactement la disposition de. 
la fleur intérieure d'un chrvsanthemum leucanthemum parfait. 
En coordonnées polaires, dans le plan Z on aura 



<I) = Y et p = \/ X2 + T-' , 

et à la droite y ^ [x — «);;?, dans te plan z, correspond la 
spirale logarithmique 



f|> = iloir p — ,i\m 

en posant a = log- el /n = - 

L'Enseignement mathém., 12« ann(-e ; l'.iK 



he'' ■ ^' 



122 



A . EMC II 





Fig. 5 



E .\ i: M i> I. /•; .s M . I / Il i: m a i i or i: s 



I •_>:{ 



l);ms la lio'. 'i, les ccnli'cs îles cercles (|iii coi respoiicleiit 
;ui.\ ciM'cles lang-enls dans la direclion de A vers C et de B 
vers (', . lormeiil des spirales logarithmicjiies qui se coupent 
sous des angles de 60° et 120° respeclivement. Une telle spi- 
l'ale est représentée j)ar les cenlres des cercles hachurés. 

\\\\ zoologie, il l'aul cncoi'e nienlionner les jolies spirales 
des co(|uilles du colimaçon, des anioniles, des layonnés 
réguliers, elc. Mais il n'y a peut-être pas un seul être orga- 
nisé pi'éseiitant le caractère géométrique d une façon si 
évidente (|ue la (pieue d'un paon faisant la roue ; chaque 
plume occulte la position re(|uise avec une [)récision remar- 
(|ual)le, tig. 5. 

IjCS courbes qui se déroulent à gauche et à droite sont des 
spirales dWrchimètle et le dessin complet est symétrique. 

Arn. Emch fSoleure). 



COMMISSION l.NTKUNATIO.XALK DK I/KXSKIGNEMEM 
MATHÉMA'riQUK 

Circiihiire N" 2. J"Maisl910. 



Le Comité contrai 

;t Messieurs les Délégués. 

Le Comité central s'est réuni à Bàlc, le 28 décembre 1909, afin 
d'examiner les rapports sur l'état actuel des travaux dans les 18 
pays participants. Il a eu la satisfaction de constater que, dans un 
grand nombre de pays, les travaux sont en bonne voie et donne- 
ront lieu à dintéressants rapports. Les renseignements recueil- 
lis forment l'objet de la présente Circulaire A" ?, destinée à 
donner un aperçu de l'organisation des sous-commissions et de 
leurs travaux au commencement de l'année 1910. 

I. — Nouveaux membres. 

Pays participanls. — On sait qu'au moment de mettre sous 
presse la Circulaire X"l, nous avons eu le regret d'enregistrer la 
mort prématurée de M. Vailati, l'un des délégués italiens. Ainsi 
que l'a mentionné L'Ensi'ignement mathématique, c'est M. G. 
ScoitzA, professeur à l'Institut technique de Palerme, qui a été 
désigné pour le remplacer dans la délégation italienne. 

Quant à la Belgique, elle est représentée dans la Commission 
par M. J. Xi-LBERC, professeur à l'Université de Liège. 

Pays associés. — Le Comité central a invité les Gouveinements 
des pays dits associés, dont la liste a été donnée dans le Rapport 
préliminaire, à se faire représenter dans la Commission. C'est 
ainsi que le Me.rique a désigné comme délégué M. Valentin Gama, 
ingénieur, sous-directeur de l'Observatoire de Tacuyaba, profes- 
seur à l'Ecole nationale des ingénieurs. 

Le Comité central a obtenu en outre le concours de M. Bovey, 
recteur du Collège impérial technique de Londres, en qualité de 
représentant du Canada, et de M. le professeur S. S. Iloucm, de 
l'Observatoire royal de (>ape Town, pour la Colonie du Cap. 

Pour ce qui concerne le Japon, les pourparleis sont près 
d'aboutir. 



DE /. ■ E A' s i: 1 1; y /•; m e y r m a t ii é m t t/ o r ■ /•; 1 25 

(iominc (Ml \o v«)il, il icsie encore qnohjiics pays (jui ne sont 
pas représentés dans la (loniinission, nial<rr<'' les deniaiclies du 
Comilf' cential. 

II. — Réunion de Bruxelles. 

Mardi 9 août : séance du (^omili' ccutial. 

Mercredi 10 août : rt-uiiion des délës^iiés et séance j^énérale ixililiqnc. avec 
conCérencc sur l'cnseignemenl inalliénialiqiie. 

f.e Comité central estime cpiil y a lieu de sarsir l'occasion de 
IKxposition universelle de Bruxelles pour organiser une réunion 
— tout an moins particlh' — de la Commission internationale. 
Nt)us invitons tout paiticulièrement Messieurs les délégués de 
Belijique et des pays voisins (Allemagne, Ano;leterre, France et 
Hollande) à participer à ces séances. Mais il va sans dire (jue tous 
les meml)res de la Commission et des sous-commissions natio- 
nales qui pourront se rendre à Bruxelles seront les bienvenus. 
La date a été choisie de manière à permettre aux j)articipants 
d'assister aux conférences et démonstrations qui seront or<j^ani- 
sées dans la Seclion enseignement de l'Exposition. Il y aura no- 
tamment, les 11 et 12 août, des séances consacrées à l'orjifanisa- 
tion moderne de l'enseiw-nement des sciences mathc-matiques et 
naturelles dans les établissements secondaires supérieurs: elles 
auront lieu au jjavillon de la Section allemande. 

Nous vous prions de j^rendre note de cette date et nous vous 
communiquerons, en temps utile, le programme détaillé de ces 
dill'érentes séances. Les adhésions sont reçues dès maintenant 
auprès du secrétaire-général. 

111. — Sous-Commissions nationales. 

Leur composition. — Etat de l'organisation des travaux 
au commencement de l'année 1910. 

ALI.EMAGXE 

La Sous-Commission alleiiuuide est composée de M.M. les délégués Klein, 
professeur à l'I'niversité de (Joetlingue, St^ckel, professeur à I Fcole tech- 
nique sup. de Garlsrulie, Treutlein, directeur du Real u. Reformgymuasium 
de Carlsrulie. »'t de MM.. 
A. GuTz.MER (Halle|. divcc\.cur (\n Ja/iresbericht des DeiiLsclieii Matlienintiker- 

Vereinigung. 
\L. PosKE (Berlini. directour de la Zeilsclirif't fur physiludischen ii . cfienii- 

schen Unterricht. 
H. ScHOTTEN iHaliei, dii'ccteur de la Zeitschrift fur niatlirniulisriii'u u. 

iialurnissenscliuftlichen L'nterrirht. 
A. TiiAEK (Han)tjourg), direcliMir di's l'nleri Irlif.shlàller fur Muthenuilil, u . 

Nnturwissenschaft. 



J 26 CO M M I S S I O -V I .\ T E H y AT 10 y A LE 

La Sous-Comiuission s'est adjoint les collaborateurs dont on trouvera les 
noms ci-après. M. Lielzuiaau remplit les ronclions de secrétaire. 

Nous avons déjà donné, dans la Circulaire n" 1, un plan complet des tra- 
vaux de la Sous-('ommission allemande. Il avait été décidé que des rensei- 
gnements y;énéraux concernant la Ct)mmissiou et les rapports seraient pu- 
bliés par la Zeitschrift fiir mathemntischen u. natiirwissenschaftlichen Unler- 
richt et édités ensuite à pai-t sous le titre « Berichte und Milteilungen veran- 
lasst dnrch die Internationale Malheniatische Unterrichtskonimission ». On 
n'a pas lardé à reconnaître que, grâce au zèle apporté par les collabora- 
teurs, il était prélérablc de publier directement les i-apporls d'une certaine 
étendue concernani l'enseignement mathématique en Allemagne. Ils seront 
édités par la maison Teubner sous le litre : Ahhandlungen iiher den mathe- 
matischen Unlerricht in Detitscltland. veranlasst durcli die Internationale 
Matheinatische Unlerrichtskonmiission. herausgegeben von F. Klein. 

Jusqu ici il a paru trois fascicules des Berichte u. Mitteil. Le premier et 
le troisième donnent le texte allemand du Rapport préliminaire du Comité 
central et de la Circulaire «^ 1. Le second fascicule est consacré au rapport 
de M. le Prof. G. Noodt (Berlin) sur les mathc-maliqucs dans le plan d'étu- 
des des écoles supérieures de jeunes filles eu l'russe ' [Ueher die Stellung 
der Mathematik im l.ehrplan der hoheren Màdchenschule vor und nach der 
Neuordnung des hoheren MndchenschuUvesens in Preussetr['2'2 p.|. 

Le Tome premier des Ahhandlungen débute par une étude des matières 
et des méthodes de l'enseignement mathématique dans les écoles secondaires 
supérieures de l'Allemagne du Nord, d'après les manuels (Heft 1 : Stoff und 
Méthode ini mathematischen Unterricht der norddeutschen hoheren Sckulen 
auf Grund der i-orliandenen F.ehrbucher. 1 fasc. iu-8", 102 p.; 2 M.|, par 

W. LlETZ.M.\NN. 

Dans un second rapport, déjà sous presse, M. Lielzmaun examine plus 
particulièrement les plans d'études et les méthodes dans les écoles secon- 
daires supérieures de la Prusse (Die Organisation des mathematischen 
Unterrichts in Preussenj. 

Des rapports analogues seront consacrés au Grand Duché de Bade par 
Trf.utlein et Cua.mer ; à la Bavière par Wieleitner ; aux villes de la Hanse 
par ÏH.ER ; à la Jfesse par Schnell ; à la Saxe par Witting ; et au Wurtemberg 
par Geck. — Le rapport de M. Witting est déjà sous presse. 

Viennent, en outre, les rapports suivants, en préparation : Die Mathema- 
tik in den Lehrhiichern der Physik (Les mathématiques dans les manuels de 
Physique), par Timerding. 

Das Linearzeichnen und die darsiellende Géométrie (Le Dessin linéaire 
et l;i Géométrie descriptive;, par Zûhlke. 

Bericht iiber das Fortschreiten der Reformbe»'egung an den hoheren 
Schulen. (Rapport sur le progrès du mouvement de réforme dans les écoles 
secondaires supérieures), par Scui.mmack 

Die Entivickelung der mathematischen Ausbildung der Lehramtskandi- 
dateti an den deutschen Universitdlen und Ilochschulen. (La piépaiation 
des candidats à 1 enseignement par les universités et les écoles techniques 
supérieures allemandes), par Lokey (Minden i. W. ) 

Die Mathematik an den deutschen technischen Hochschulen. (Les mathé- 
matiques aux écoles techniques supérieures allemaudesl, par St.ïckel. 



* Un résume en franç.iis a éti; donné dans VEiis. math, du 15 janvier 1010. 



I) E L E iV .S' E I G N E M E N /' MAT II É M A T I (J lE 127 

Die Matlieinatik an den teclmisclieii Mittel.scliulen. (Les inatl)(Miiati(jiies 
aux écoles techiiic|iies moyeiiiiesl, par GrOnbaum et Ott. 

Die Matheinatil; an VolLsrhiiten, Forihildangscluilcii. Seminarien fiir 
VoUsscliuUchrer. etc. (Les niallieiiiatiqiies aux écoles primaires, aux écoles 
primaires supérieures el aux écoles normales formant les maîtres de ces 
établissements). — Les rapporteurs ne sont pas encore tlésignés. 

Der matheiu. Unlerrichl iin Rereich der katliolisclien Orden Deatsclilands 
iind seiner Nacliharltinder. (Sur renseignement matliém. dans le domaine 
des ordres calliolicjnes de l'Allemagne et des pays voisins), par Ti.mkkdi.ng. 

AUTKICHE 

La délégation anlricliienne s est constituée comme suit : 
L. CzLBF.K. IL R. professeur à l'Ecole tecliuicjue supérieure de Vienne, pré- 
sident : \V. \N'iRTiNGKK, professeur à ll'niversité de Vienne, vice-pré- 
sident ; R. Sipp.\.NTs(:HiTsr.ii, pi'ofessetir à 1 Ecole réaie de i'I']tat, Vienne, 
secrétaire. 
La soas-coniniissiun autrichienne est composée de Messieurs les délégués 
et de Messieurs : 

F. HocEVAR. professeur à l'Ecole technique supérieure de Graz. 
A. HôKLER, professeur à lUniversité de Vienne. 

E. MiJLLER, professeur à 1 Ecole technique supérieure de Vienne. 
A. de Obermayer, général de brigade, Vienne. 

^L Radakovic, professeur à l'Université de Czernowicz. 
J. SoBOTKA. professeur à l'Université de Prague. 

F. Stu.mpf, professeur au Pœdagogium, député, Vienne. 
A. Wassmuth, professeur à l'Université de Graz. 

S. Zare.mba, professeur à l'Université de Cracovie. 

La sous-commission s est adjoint une série de collahorateurs : 
MM. A. Adlek, professeur à l'Ecole technique supérieure de Vienne. 
K. Bergmax.n, professeur ;i lEcole réale d Olniùtz. 
E. DiNTZL, professeur au Gymnase, Vienne. 
G de Escherich, professeur à l'Université de Vienne. 
Ph. Freud, professeur à l'Ecole réale de l'Etat, Graz. 
K. KoBALD, professeur à lEcole supérieure des mines de Leoben. 
Th. KoNRATH, S. R., professeur au Lycée, Vienne. 
K. Kraus, professeur en retraite du psedagogium. Vienne. 
K. Reich, professeur au Musée technique et privat-docent à l'Ecole tech- 
nique supérieure. Vienne. 
K. RuLF, professeur à l'Ecole professionnelle. Vienne. 
O. Si.Mo.w. professeur à l'Ecole supérieure de l'Agriculture de Vienne. 
Th. Tapla, professeur à 1 Ecole supérieure de l'Agriculture de Vienne. 
M. Ada.micka, professeur à 1 Ecole forestière de Reichstadt. 
^L DoLiNsKi, professeur à l'Ecole supérieure de Commerce à Vienne. 

La sous-commission autrichienne prépare des rapports sur renseignement 
mathématique dans les principaux types d'élahlissemcnts. En voici la liste : 
Universités, par G. de Eschicrich. 
Ecoles polytechniques, par E. Czuber et E. Muller. 
Ecoles supérieures de l'agriculture, par O. Simo.ny et Th Iapi.a. 
Ecoles supérieures des mines, par K. Kohai.d. 



128 C () M M l S S lOy I y TE R y A no NA L E 

Gymnases, par E. Dimzl. 

Ecoles réaies supérieures, par A. Adlkr el F. Bkkgmann. 

Lycées de jeunes filles. Pwdagagiums. par Th. Ko.nrath. 

Ecoles primaires. Ecoles primaires supérieures. 

Musée technol(igi(/ue. par V. Riuch. 

Ecoles professionnelles, parW. Hllf. 

Ecoles forestières, par M. Adamicka. 

Ecoles de Commerce, par M. Uoli.nski. 

Il y aura en outre uu rapport sur les iiKinue/s de mathénialiques. par 

Pli. I-KKVD. 

BELGIQUE 

La Sous-(!omniission est composée de M. 
J. Nelbekg, délégué, professeur à 1 Université de Liège, el de ^L^L 
Ploi.men. inspecteur des mathématiques et des Sciences naturelles dans les 

Athénées et les écoles moyennes belges. 
Dock, inspecteur des écoles normales primaires. 
MoNFORT, inspecteur de l'enseignement du dessin. 
RoMBAiT, inspecteur des écoles industrielles et professionnelles. 

Ces Messieurs se sont entourés d un certain nombre de eoUaboraleurs en 
vue de l'élaboration des rapports. 

DAXEMARK 

La Sous -Commission danoise est composée de MM. : 

P. Heegaard, délégué, professeur aux écoles militaires. 

N. Andersen, professeur au Lycée de Roiuic. 

T. BoNNESEN, directeur de Collège, Copenhague. 

S. -A. Christe.nsen. proviseur de Collège. Nykobing. 

C.-R. l'^TTE, professeur au Collège, Copenhague. 

C.-P. Hansen, professeur à l'Ecole polytechnique de Copenhague. 

L Heckscher, professeur an Collège, Copenhague. 

S.->\. JoHNb.EN, inspecteur d'Ecole, Copenhague. 

C. JiEL, Directeur de N\t Tidsskrifi for Maieinalil,. professeur à l'Ecole 
polytechnique de Copenhague. 

E. Klein, capitaine d'artillerie, jjrofesseur à I Ecole militaire. 

Ch. Kruger, directeur de Collège. Helsingor. 

J. Mollerup, professeur à l'I-lcole polytechnique, Copenhague. 

M"» J. Skibsted, professeur au Collège, Copenhague 

M. V. Trier, Directeur de Nyt Tid.'^slaift for Matetiuitili . professeur au Col- 
lège, Copenhague. 

M. l'^.-C. Yalentiner, prcjfessenr au I.vcée, Copenhague. 

Le Rapport préliminaire du Comité central a été traduit en danois par 
M. Heegaard et publié par la A)< Tidsskrift fur Matematik. 

Dans la réunion d automne lî)Oî) de la Société des professeurs du Gym- 
nase, NL Heegaard a fait un e\])()sé des travau.v concernant la Commission 
internationale de l'enseignemenl maihémalique. La conférence a été suivie 
d'une séance de la Sous-Comniission danoise. Un certain nombre de ques- 
tions sont mises en «liscussion dans le courant de l'hiver. 



I) E L ' /: \ S /: I C, \ E M E .\ T M A T II h M A T I O f ' /. 1 29 



ES1»AGXK 

Lii délét!;;itioii espaj^çiiole a leiieontré le mtilloui' accueil tant auprès des 

Aiitoi'ilés i]u auprès de rAtadéiiiic des Sciences, des Uiiivei-silés et des l'icoles 

spéciales. Le délègue. M. Z. (ï. de («aldkano, prufesseur à l'Uiiiversilé de 

Saratjosse. a loiiiié la Soiis-(!omn)ission en s'adjoignant la collaboration 

de .NI M. 

1). MiiTiirl CoKRtA. colonel diktat- major, l'école supérieure de guerre. 

I.nis OciAMo DE Toi.EDO. Ed. Léon Ortiz el Cecilio Jiménez Rufda, jiro- 
f'essenrs à 1 Université de .Madrid. 

-Mii^nel .Makzai. el Ksieban '1 kkkadas, professeurs à l'Université de Barcelone. 

Graciauo Sii.van. secrétaire, professeur à l'Université de Saragosse. 

Ventura Reyes, directeni- de I Institut général et technique de Tolède. 

.\d. Kniz Tapiador el Jésus Mass.v, professeurs à 1 Institut général et tech- 
nique de Saragosse et Las Pftlmas. 

.\nguslo Kkahe, professeur de l'école supérieure des .\rls industriels de 
' Madrid. 

Enrique Li.\i-:s, professeur de l'école supérieure des Arts industriels de 
Carlagène. 

Lorenzo Miralle, professeui à l'Ecole des Arts industriels de .Malaga. 

Juan J-. DiRAN LoRiGA, professeur et commandant d artillerie. 

Jorge ToRNEK. professeur à I Ecole d ingénieurs de Montes. 

l'aulino (^ASTELLS. professeur à l'Ecole des ingénieurs industriels, Barce- 
lone. 

-Marqués de Echandia, Antonio Yalexcia.no el Toribio Caceres, professeurs 
à l'école d'ingénieurs de ponis el chaussées. 

Darin Diez Marcilua et Atanasio Torres, commandants el professeurs à 
1 Académie d'artillerie. Segovia. 

Nicomedes Alcayde el Eduardo Marqieria, capitaines el professeui-s à 
l'Académie d'ingénieurs de Guadalajafa. 

Eug. C'e.mborai.n Espana et Raf. Blanco. prolesseurs à l'Ecole normale cen- 
trale de Madrid. 

Joaquim Cerrailo. professeur de 1 école supérieure des Maîtres de Grenade. 

M de Galdeano a leproduit le Bapport préliminaire dans son Boletin de 
crilica, enseùanza r bilAiografia mateimilica, qui sert de moyen de commu- 
nication entre les membres de la sous-commissiou espagnole. Celle-ci devait 
se réunir en octobre, à Valence, à l'occasion du Congrès de lAssociation 
espagnole pour 1 avancement des Sciences. Mais, par suite de la guerre du 
Rilf, ces réunions ont été renvoyées au printemps. Plusieurs travaux prépa- 
ratoires étaient déjà prêts pour cette séance; ce sont les suivants : 

Conférence d introduction, de M. de Galijeano. 

IVote sur les éludes dans les écoles des ponts et chaussées, par Maroi es de 

Echandia. 
Observations sur l enseignement mathématique, par l'aulino (^astei.ls. 
Les cours d'analyse dans les Facultés des Sciences, par Luis Octavio de 

TOLEDA. 

Sur l'enseignement dans les instituts générau.r et techniques, par A Ruiz 
Tapiador. 



130 C () M M I S S I () \ I N J E R .Y A T ION A LE 



KTATS-I'iXIS 

/)e/eg'He'.'> .• l);tvi<l-Eiiirèni' S.MiTii, (!i>liiinl>i:i L'iiivci-sity, président. — \N'.-F. 
OsGOOD. Harvard Iriiversity- — J.-W .-A. Youag, Uiiiversily of Chicago. 

Depuis la publicaliou de son premier Bulletin of ffie american conimis- 
siuners, dont nous avons donné la traduction en mai 1909, la Sous-commis- 
sion américaine a tenu des séances à New-York, les 21 et 22 mai el le 15 
septembre 1909. Elle a publié un 2"^« /iullctin. en octobre 1909, contenant la 
liste lies collaborateurs dans les divers Etiils. La Délégation s'est entourée 
d un Conseil ayant à sa tète le président du Department of Education et 
comprenant les présidents des trois grandes universités Harvard, (>olumbia 
et Chicago, les anciens présidents et le président de V American Malhema- 
tical Society et le président de l' American Fédération of Teachers of the 
math, and nat. Sciences ; en voici la liste : 

Advisory Councit : The Honorable Elmer Elisworth BRo\v^•, United States 
Commissioner of Education, Washington. 

A. Lawrence Lowiîll, Président of Harvard L'niversity, Cambridge, Mass. 

Nicholas Murray Butler, Président ol ('olumbia University, New-York 
City. 

Harry Pratt .Iidson, Pi-esidenl of tlie l'niversity of Chicago, Chicago. 

J. Howard Van A.mkingk ; Emory McCi.i.ntock ; George W. Hii.l ; Robert 
S. Woodward: I"]liakim H. Moorh; Thomas S. Fiske ; NA'illiam F. Osgood ; 
Henry S White, Ex-Presidents of the American Mathematical Society. 

Ma.xime Bôchek, Président of the American Malheniatical Society. 

H. W. Tyler, Président of the American Fédération of Teachers of the 
Mathematical and Natural Sciences. 

Méthode de tra\'ail. — Des sous-comités ont été formés dans les pi'inci- 
paux Etats avec la mission d'établir, pour le l'''' février 1910, des l'apports 
sur l'enseignement mathématique dans les groupes d'écoles énumérées dans 
le Bulletin I. Cliaque sous-comité doit Ir-aiter son sujet de la façon la plus 
large et la plus complète ; il a tonte latitude (juant à l'étendue de son rap- 
port. H en résultera évidemment son\(.iit qu un même sujet sera traité par 
plusieurs commissions à des points de vue didérents, ce qui est la seule 
manière d'obtenir l'opinron réelle du pays entier. Il est donc à souhaiter que 
chaque comité traite son sujet complètement, aloi'S même que d'autres com- 
missions pourraient avoir traité tout ou partie du même sujet. Dans certains 
cas on pourra prévoir des conférences entre sous-comités et même la coo- 
pération des sous-comités. Les comités formés par les présidents des sous- 
comilés tiendront compte des rapports multiples sur un même sujet. 

Les rapports seront présentés et discutés dans fies réunions de maîtres et 
de mathématiciens, afin d'être bien le reflet de l'opinion de tout le corps en- 
seignant et des savants du pays. 

Des renseignements récents nous aj)prcnnenl (|ue les travaux des sous- 
comités sont en bonne voie et que l'on peut en attendre une série de rap- 
ports très sérieusement étudiés. La coopération du « Bui-eau of Education » 
des Etats-Unis a été d un grand secours et M. Brown, membre du Conseil 
a assuré la délégation de l'appui rlu Bureau pour toute la durée de I enquête. 



DE I. E N S E 1 1: N E M ENT M A T II E M A T Kjl E 1 .{ ) 



fuax<:e 

L;i clôlcg'atioii IVaiicaiso oomposi-e primitivoiiieiil de MM. Appei.l, Boi;ri.et 
t't IjAisant. a subi une modilicaliou par suite du désir exprimé par M. 
Appkll de s'y voir remj)lacé. eu raison de ses multiples occupations. M. de 
Saint-Germain a été désioiié à la place de M. Appei.i.. 

I.e liitreaii tir ht Soiifi-Canimissidii fiti/iraise a été alors constitué de la 
manière suivante : 

M.M. Apvei. i.. pri'sidenl (/lioniiriir : de HAiyr-GERMwy, président : Bourlet, 
s'ice-président, trésorier : I.,aisant, secrétaire. — Ultérieurement un vice- 
scrrétaire. M. Hioc.he, a été nommé. 

La Sous-Coininission a élé composée comme suit : 
M"* Amieux, prot. au Lycée Viclor-Hugo, Paris. 
MM. André, I)., prof. Iionoraire de 1 Université, Paris. 

Appei.i., P.. membre de l'Inslilul, doyen de la Faculté des Sciences, 
Paris. 
Mme Baudeie, prot. au Lycée de jeunes filles, Bordeaux. 
M^L Bêghin, prof, à l'Ecole navale, Brest. 

Bertieu, directeur de l'Ecole des Roches, Verneuil lEure). 

Bézine, prof, à 1 Ecole d Arts et Métiers, Aix-en-Provence. 

Bioche, prof, au Lycée IjOuis-le-Grand. Paris. 

Blutel, prof, au Lycée S*-Louis, Paris. 

Borel, e., prof, à la l'acuité des Sciences, Paris. 

Bourlet, prof, au Conserv. national des Arts et Métiers," Paris. 

Carvallo, E., direct, des études à I Ecole polytechnique, Paris. 

Chancenotte, prof, à l'Ecole normale d'instituteurs, Dijon. 

Fort, prof, à l'Ecole navale, Brest. 
M'ic Fredon, prof, à l'Ecole pratique. Le Havre. 
MM. Gilles, inspecteur général de l'Inst. publique, Paris. 

Goursat, prof, à la Faculté des Sciences, Paris. ' 

GuiTTON, prof, au Lycée Henri IV, Paris. 

Hara.ng, prof, à l'F^cole pratique, S'-Eticniie. 

Kœ.mgs, prof, à la Faculté des Sciences, Paris. 

Lagixeaux, prof, à l'Ecole Diderot, Paris 

Laisant, C. -A., examinateur d'admission à l'Ecole polytech. , Paris. 

Lebois, inspecteur général de l'enseignement technique, S*-Etienne. 

Lefebvre, inspecteur général de llnstr. publique. Paris. 

Marotte, prof, au Lycée Charlemagne, Paris. 

Matray, prof, à l'Ecole professionnelle de Nantes. 

Mlscart, prof, au Lycée, Amiens. 
Mme Pivot, prof, à l'Ecole professionnelle Emile iJubois, Paris. 
MiVL RoLLET, directeur de l'Ecole Diderot, Paris. 

Rou.MAJON, prof, à l'Ecole d'Arts et Métiers, Aix-en-Provence. 

Rousseau, Th., prof, au Lycée, Dijon. 

DE Saint-Gër.main, a., doyen hon. de la Faculté des Sciences de (]aeu, 
Paris. 

T.vLLFNT, prof, à 1 Ecole Turgot (euseigu prim. super.), Paris. 

Tannery. .L , membre de l'Institut, sous-direcl. de l'I^cole norm. sup., 
Paris. 



132 COMMIS S lOX I N J E li N A T I O .\ A I. E 

MM. Ikipakd. prof, à l'Ecole piofessionnelle d'Arineiitièros. 
V.\REiL, prof, il 1 Ecole iionimle d instituleurs, Meliin. 
Vessiot, prof, à la Faculté des Sciences. Lyon. 
VocT. prof, à la Faculté des Sciences, Nancy. 
VfiBEKT, direct, du Journal de Mathéni. élémentaires^ Paris. 
VVeill, directeur du Collège Ciiaplal. Paris. 

La Sous-Comniission a tenu deux séances, le 22 juin et le 4 novembre. 
Au 22 juin, elle comptait déjà 19 membres. Le président s'était préoccupé 
des démarches à faire aupi-és du Ministère de l'Instruction publique, en vue 
d'obtenir d une part la ratification du choix des membres de la délégation 
française, et en second lieu, le concours financier indispensable. 

Il fut décidé qu'en principe on constituerait dessous-commissions corres- 
pondant aux grandes divisions de l'enseignement mathémalique en France, 
et qui organiseraient elles-mêmes leur travail et désigneraient leurs rap- 
porteurs. Les sous-commissions pouri"aieiit et même devraient se compléter 
ultérieurement par de nouvelles adjonctions, si c'était utile. D autre part 
cette organisation n empêcherait nullement l'attribution individuelle de cer- 
tains rapports à faire sur des branches très spéciales de l'enseignement 
mathématique. 

Les sous-commissious furent composées de la manière suivante : 

Enseignement pri.maike (comprenant l'enseignement primaiie supérieuri : 
MM. Gilles, Lekebvre, T.allent, Yareil. Wkill. 

Enseignement secondaire (universitaire et lechniquel : .MM. D. André, 
Bioche, Bourlet, Marotte, Kolsseau, Vlibert. 

M"*^ Amiev'x et M™^ Bal'devf se chargent d une organisation analogue 
pour ïenseignenient secondaire des jeunes filles. 

Des rapports d ensemble sei'ont consacrés à la place des mathématiques 
dans le plan d études et aux métliodes générales : d'autres rapports traite- 
ront des diverses branches de I enseignemeni : Arithméti(/ue, Algèbre, Géo- 
métrie. Géométrie descriptis-e. Mécani(/ue, Cosmographie. 

M. Blutel a bien voulu se charger du rap|)orI sur \ enseignement des 
mathématiques spéciales. 

M. Bektin produira un rapport sur V enseignement des mathématiques 
dans les écoles nom'elles. 

M. Bourlet s'est occupé tout paiiiculièreinenl de 1 organ'salion des tra- 
vaux coQcernixnl Venseignement professionnel moyen : les rapports suivants 
sont dès à présent décidés : 
MM. Rollet. rapport général 

Bézine et Rou.majon, Ecoles d'Arts et Métiers. 
Tripard et Matray. Ecoles nationales professionnelles. 
Lagneaux et Harang, Ecoles pratiques. 
Matray, Ecoles commerciales. 
Mme Pivot et M"» Fredon, Enseignement professionnel des jeunes filles. 

Enseig.\ement supérieur. La sous-commissioii se compose de MM. Appell, 
Borel, Kœmgs, de Saint-Ger.main, Yessiot et Vogt. 

Des rapports spéciaux furent attribués à MM. 
Bourlet, pour le Conservatoire national des Arts et Métiers: 
De Saint Ger.main. pour les Diplômes d'études supérieures des Facultés ; 
Appkll, pour V Ecole centrale des Arts et manufactures : 
J. Tannery, pour V Ecole normale supérieure : 



n E I. E y s E l C, N E M E N T M A T // E M A T I Q U E I X\ 

Carvallo, pour ÏEcole polylcclinique : 

K(KNiGs, sur Venseignenwnt de la nirctntitfuc applif/iiéc. dinis les F:icullos 
plus parliculièremenl . 
Le V(L'U fui exprimé eu (juIit que .M. N'ogt \oulul hieu s ocrupei' di; l'tvi- 
.seigneinent matliémati(/ue dans les instituts techniques de (ii verses l'ormes 
et particiilièreineul daus les iusliluls électrolechniques. 

GRFCE 

Délégué : M. C. Stkphanos, professeur à l'Université d'Athènes. 
La Sous-Commission est en voie de formation. 

IIOLLAiXDE 

La Sous-Commission se compose de .M. 

J. Cakdikaal, délégué, professeur à l'Ecole technique supérieure de Dcift, 
cl de MM. 

J.-A. Barrau, professeur à 1 Ecole technique supérieure de \)e\il, secrétaire. 

J. Campert, inspecteur des Ecoles réaies, à la Haye. 

D. Cœli.ngh, directeur de la 3""' Ecole réale d'Amsterdam. 

R.-H. VAN Dorstpn. professeur au Gymnase de Rotterdam. 

H.-J. DK Groot, inspecteur des Ecoles professionnelles de Hollande, à 
la Haye. 

Th. Lancée, président de l'Association néerlandaise des instituteurs pri- 
maires, à Amsterdam. 

J.-C. \A'iNKESTEYN, inspeclcur des Gymnases. 

P. Zeeman, professeur à l'Université de Leyde. 

La Sous-Commission n'a pas tardé à se mettre à l'œuvre ; elle prépare 

des rapports sur l'enseignement malhcmalique dans les principaux types 

d'établissements : 

a) dans les Ecoles primaires, par Th. Lancée ; 

b) dans les Ecoles moyennes, par J. Campert, D. Cœlingh, R.-H. van 

UORSTEN et J.-C. WlAKESTEYN : 

c) dans les Ecoles professionnelles, par H.-J. de Groot; 

dl dans les Uni^'ersités et Ecoles techniques supérieures, par Bahrau , 
J. Cardinaal et P. Zeeman. 

HONGRIE 

La sous-commission hongroise s'est constituée à Budapest, le 14 novem- 
bre 1909, sous la présidence de M. le Conseiller ministériel Prof. J. Konig. 
Dans cette première séance, M. E. Beke a exposé la fondation, les travaux 
et les projets de la Commission internationale de l'enseignement mathéma- 
tique, et a proposé nu plan d'études pour la soiis-comraission hongroise. 

Les délégués hongrois, MM. les Professeurs E. Beke, G. Rados et L. Ratz 
et les membres (au nombre de 43) de la sous-commission, ont été nommés 
par le .VHnislre des Cultes et de l'Instruction publique. 

D'après l'exposé de M. Beke, il est décidé que chaque type d'école sera 
l'objet d'un rapport spécial dont la longueur ne dépassera pas 8 pages. 
Après revision par les délégués, ces rapports seront imprimés en hongrois 



134 C O M M l S s / O N I.X f E li N A T I O X A L E 

et soumis ;i nue discussion (l;ms uni' ou plusieurs séances de la commission 
nationale. 

Le rapport délinitit pour la Commission internationale sera lait en tran- 
çais ou en allemand, par les délégués, et d après les rappoils particuliers 
qui doivent être rédigés avant le 15 février, de manière qu'à leur séance de 
Pâques, les délégués hongrois soient en possession de leur rapport. 

Les rapports des délégués s'occuperont principalement des plans d'études 
en donnant <jueiques aperçus sur les particularités de chaque type d'école, 
y compris leurs méthodes et leur matériel d enseignement. 

Voici la liste des rapports et des rapporteurs : 

Ecoles primaires. Par V. Szuppan. 

Ecoles primaires supérieures (4 à 6 classes) (Burgcrschule). Par J. Wo- 

LENSZKY. 

Lycées déjeunes filles. Par A. \isnya. 

Ecoles secondaires. Par E. Bkke. 

Ecoles de Commerce. Par M. Havas. 

Ecoles industrielles. Par A. Akany. 

Ecoles supérieures de Commerce. Par S. Bogyo. 

Ecoles normales d enseignement primaire. Par Ch. Goi.dziher. 

Ecoles normales supérieures Par J. Kurschack. 

Unii'ersités. Par E. Beke. 

Pohtechnicums. Par G. Rados. 

Lycée pour les études pratiques de candidats. Par P. Szabo. 

Liste des membres de la sous-comntission hongroise. 

Président : Dr. J. Komg, conseiller ministériel, professeur à l'Ecole 
polytechnique. 

Vice-Présidents .• Dr. Emanuel Beke, professeur à l'Université de Buda- 
pest. — Dr. Michiel Demeczky, conseiller aulique, prival-doceul à lUniver- 
sité. — Dr. Gustave Rados, professeur à lEcole Polytechnique de Budapest. 
— M. Ladislaus Racz, directeur du Gymnase évangélique de Budapest. 

Secrétaires . Dr. Ch. Goldziher, professeur à l'Ecole Normale de Bu- 
dapest. — Dr. L. Kopp, professeur à l'Ecole Réale du 8n>e district de 
Budapest. — Dr. S. Mikoi.a, professeui- au Gymnase évangélique. 

Membres : Dr. E. Fixaczy, conseiller aulique, professeur à lUniversité 
de Budapest, vice-président du Conseil d'Instruction publique. — Dr. M. de 
Karman, professeur à l'Université de Budapest. — A. Czako. professeur à 
l'Ecole Polytechnique de Budapest. — Dr. J. Kurschak, professeur à lEcole 
Polytechnique de Budapest. — .M. Bêla Tottosy, professeur à l'Ecole Poly- 
technique de Budapest. — Dr. Leopold Kllg, professeur à l'Université de 
Kolozsvar. — Dr. Bêla Walthek, directeur des éludes du district de 
rs'agyszeben. - — M. Gotthard Malatkn, professeui- à lEcole supérieure de 
l'ordre des bénédictins de Panonhalma. — M. V. Slppan, directeur de l'Aca- 
démie de commerce de Budapest. — Dr. Petei- Szabo, professeur au gymnase 
d application de l'Ecole Normale de Budapest. — Dr. J. Waldapfel, profes- 
seur au gymnase de l'Ecole Normale de Budapest. — Dr. E. Bozoky', 
directeur de gymnase, secrétaire du Conseil d'Instruction publique. — Dr. 
Koloman Szekeres, directeur de l'Ecole réale du 2'"^ district de Budapest. 
— M. Bêla Szepri;thy, directeur de l'Ecole réale à Brasso. — Dr. J. Kovacs, 
professeur à 1 Ecole Normale dt; Budapest. — M. M. Balog, |)rofesseur à 



I) i: I. /•; :V N /; / 1: .\ /•; .»/ /; >• r ma t ii i: m a ti n i e i :{.j 

l'Ecole réale du G""" dislrid ilc liiidapust. — Dr. l'aii! Un nks, prolessciir 
au Gymnase du 10'"'' district de l}uda|i('sl. — M. Ch. Froiii.icii, professeur 
à l'Ecole réale du ô""= district de Budapest. — Dr. l^duard Lkvay, profes- 
seur au Gymnase du 8""= district de Budapest — M. Aladar I'k<:h. profes- 
seur au Gymnase du 7""' district de Budapest. — M. Kandid I'eheayi, pro- 
fesseur au Gyuiuaso catliolitiue de Ejjer. — M. V. Pekk>yi, professeur au 
collège évautrélique de Eperjes. — M. ,1. W'i.nter, professeur au Gymnase 
du 8"'e district de Budapest. — Dr. Aloïs Pkivorszky, professeui- à l'Ecole 
réale du 2"'^' district de Budapest. . — M. I. Rados, professeur à 1 Ecole réale 
du G"* district de Budapest, — Dr. J. Sutak, privat-docent à l'Université 
de Budapest, professeur do gymnase cath. — M. Gabriel Szabo, professeur 
au Gymnase de jeunes filles du 4'"<' district de Budapest. — Dr. Aladar 
VisNYA, professeur au Gymuase de Xagyvarad. — Di-. Cyrill Voitos, pro- 
fesseur au Gymnase cath. de Budapest. — M. Daniel Arany, professeur à 
l'Ecole sup. industr. de Budapest. — M. .Maikus A.ntal, professeur à 
l'Ecole de Commerce de Budapest. M. S. Bogyo, professeur à 1 Académie 
de Commerce de Budapest. — M. "M. Havas. professeur à l'Ecole de Com- 
merce de Budapest. — .M. A. Szenes, maître à l'école primaire supérieure 
de Nagybecskerek. — M. J. Wolensky, maître à l'école primaire supérieure 
de Budapest. 

ILES BRITAXXIQUES 

Sir G. Grek.miill, délégué, s'est assuré le concours du Board of Educa- 
tion. L'organisation de la Sous-Commission anglaise et de ses travaux se 
fera sous les auspices du Board, qui se charge eu outre de la publication 
des rapports. Cette collaboration si large du Board of Education a été 
bien accueillie du Comité central et constitue un précieux encouragement 
pour les professeurs et les mathématiciens anglais. 

Nous comptons pouvoir donner un aperçu des travaux projetés dans un 
prochain numéro de V Enseignement Mathématique. 

ITALIE 

La Sous-Commission a été composée comme suit : MM. les délégués 
G. Castelnuovo, professeur à lUniversité de Rome. 

F. Enriques, professeur à l'Université de Bologne. 

G. Scorza, professeur à 1 Institut technique de Falerme. 

et MM. 
A. CoNTi, professeur à l'Ecole normale Margherita di Savoia, Rome. Direc- 
teur de « // Bullettino di mateinatica ». 

E. d'Oviuio, sénateur, professeur à l'Université de Turin. 

G. Fazzari, professeur au Lycée Umberto I, l'alerme. Directeur de « // Pi- 

tagora ». 
G. Lazzeri, professeur à 1 Académie navale. Livourne. Directeui- du « Periv- 
dico di Matemalica ». 

S. Pi.ncherle, professeur à l'Université de Bologne. 
l'. ScAKPis, professeur au Lycée Minghetli, Bologne. 

F. Severi, professeur à lUniversité de l'adoue, président de la Société 

a Malhesis ». 



I .>6 c o .y M i s s I () .V / .^' r i: u .^ . / y / o .v , / /. i-: 

C. SoMiGLiANA, professeur à l'I'iiivirsilé de Turin. 

G. Veronèse. sénateur, professeur à l'Université de F^adoue. 

La Sous-Commission a tenu ses premières séances à Padoue. les 21 et 
22 septembre 1909. l^lle a nommé M. â Oviow pri'sideril et M. Castklmovo 
secrétaire. 

La Sous-Commission a discuté le pian des travaux: elle a arièté la liste 
ci-après des rapports sur l'enseignement malliémaliqno dans les principaux 
types d'écoles : 

Ecoles élémentaires, par A. Conti. 

Ecoles classiques secondaires, par G. Fazzaki et U. Scarpis. 
Ecoles et Instituts techniques, par G. Scorza. 
Ecoles professionnelles, par G. Lazzeri. 
Ecoles normales, par A. Gonti. 

Universités i préparation mathématique des ingénieurs), par C Somigi.iana. 
Universités (préparation de candidats à renseignement ), par S. Pincherli:. 

Enfin. ^L\L d'Ovioio, Veronèse et Padoa (Gènes) ont été priés d exposer 
dans des rapports spéciau.v leurs vues générales sur l'enseignement mathé- 
matique. 

Ces rapports seront examinés et discutés dans une réunion que la Sous- 
Commission se propose de tenir au printemps 1910. 



iXORAEGE 

La Sous-Commission norvégienne se compose de M. 
Magnus Alfsen, délégué, professeur au Lycée municipal, membie pour les 
mathématiques du Conseil supérieur de l'Instruction publique, et de MM. 
A. Guldbekg, professeur aux Ecoles militaires, Christiana. 
Elling HoLST, professeur à l'Ecole polytechnique de Christiana. 
G. Hoi.TSMARK, professeur à I Ecole agriculture de Norvège, Aas. 
D. JsAACHSEN, professeur à l'Ecole normale, Horten. 
C. Stormer, professeur à l'Université de Christiana. 

fja liste sera encore complétée dans la suite. 

^L Alksex a publié, dans la revue norvégienne de l'enseignement secon- 
daire, un rapport sur la constitution et le but de la Commission. 



PORTUGAL 

Les travaux ont été organisés directement sous les auspices de M. le 
Directeur de l'Instruction publique, sur la proposition de M. Gomes Tei- 
xeira, délégué. Le Hecteur de l'Université de Coïmbra, les Directeurs des 
Ecoles polytechniques de Lisbonne et Porto, les Piecleurs des Lycées de 
Lisbonne, Porto et Coïmbra et les Directeurs des Ecoles normales pri- 
maires ont invité les Conseils académiques à indiquer les modifications 
qu il convient d'introduire dans les programmes et les méthodes des études 
mathématiques. Ces rapports seront transmis à M. Teixeira, qui rédigera 
l(-' ra[)[)ort d'ensemble sur l'enseignement mathématique au Portugal. 



/> E I. E N S /; / <: y e m e .^■ /' mat ii i: ma ri o u e i \m 



KOtJM \i\IE 

Délégué: M. G. Tzitzkica. prol'essoiir à 1 L'iiiversilô <lo Riicarcst. 

La Soiis-Coinmissioii, composéo de rt'pi'éseiilaiils dos principaux L-tahiis- 
senienls d iiislriictioii |)iil)li(HU', csl en v()i<' de foniiat ion. 

IILSSIE 

F. a sous-commit;sion russe se compose de MM. les délégués : 

X. SoNiN, académicien, président du (lomilé Scientili(|iie ilu Ministère de 
1 Inslruclioii publique. 

B. KoiALOvic, professeur à llustilul technologique de S'-Pélersbourg. 

Ch. VoGT, directeur de la 2">c Ecole Réale de S'-Pélersbourg, et de 
.MM. W. Alexeev. recteur de 1 Université de Yuriew. 

Th. Friese.\dorf, prival-docent à lUniversilé de S'-Pétersbourg. 

S. Glase.napp, professeur à l'Université de S'-Pétersbourg. 

I). GoRiATCEEV, professeur à l'Université de Varsovie. 

A. Hatzuck, professeur à l'Institut technologique de S'-Pétersbourg. 

B. Kagan, privat-docent à 1 Université d'Odessa. 
G. Koi-ossov, professeur à l'Université de Yuriew. 

V. KoNDRATiEv, directeur du S^e Gymnase de S*-Pélersbourg. 

P. KoTOLR.MTZKi, professeur à l'Institut technologique de S'-Pétersbourg, 

Z. Makcheev, lieutenant général, directeur du Musée pédagogique des 
Ecoles militaires. 

N. Michelsox, professeur à l'Institut supérieur pédagogique des jeunes 
filles de S'-Pétersbourg. 

D. MoRDOUKHAi-BoLTOvsKOi, professeur à 1 Université de \arsovie. 

.M. Popkoushexko. lieutenant général attaché à la Direction générale des 
Ecoles militaires. 

C. PossE, professeur à l'Université de S'-Pétersbourg. 
H. Saltykov, professeur à l'Université de Kharkov. 

D. Seiliger, professeur à l'Université de Kazan. 
D. Si\TZOv, professeur à l'Université de Kharkov. 
Th. SouvoROv, professeur à lUniversité de Kazan. 

B. Struve, directeur de lEcole supérieure d Arpentage Constantin, à 
Moscou. 

J. TiMCENKO. privat-docent à l'Université d'Odessa. 

SUÉDE 

La .Sous-Coiumission se compose de .M .M. 
H. von KocH. délégué, professeur à l'Ecole technique supérieure de 

Stockholm. 
H. Dahlgken, recteur du Séminaire d l |)sal. 
A. O. Galla.vder, professeur à l'Ecole technique d Ôrebro. 
E. Gôranssox, professeur à Norra Latinlaroverket à Stockholm ; secrétaire. 
K. L. Hacstrôm, professeur au Lycée de Linkoping. 
E. Hai.i.grex, recteur à l'Ecole réalc supérieure de Gothembourg. 

L'Enseignement matliém., 12« iinn<'e: 1010. l'i 



138 COMMfSSfO.X I N lE R N A T I O \ A f. E 

P. H. He.nriques, professeur à l'Ecole tecluiique supérieure de Stokholm. 
M"« A. RoNSTRÔM, directrice de llCcoie privée des jeunes fiiles à Lund. 
A. Wi.MAN. professeur à l'Université d'Upsal. 

Les rapports préparatoires seront prêts (in avril, et seront publiés dans 
la Pedagogisk Tidskrift. organe officiel de la sous-commission suédoise. 

SUISSE 

La Sous-Commission suisse est composée de MM. 

H. Kehr, président : C. F. Geiser, J. H. Graf, délégués, et MM. 

Bach, inspecteur primaire; directeur du « Landerziehuugsheim Scliloss 
Kefikon ». Islikou iTliurgovie). 

Badertscher. inspecteur; directeur des écoles secondaires de Berne. 

Bertrand | Louis), directeur du Gymnase de Genève. 

Brandenberger, professeur à ILcule cantonale de Zurich. 

Crelier (L.), professeur au iechnicuni de Bienne. 

Dlggelin (Rob.), professeur au Gymnase de Scliwytz. 

Einstein (A.), ingénieur diplômé de l'Ecole polytechnique fédérale; pro- 
fesseur de physique mathématique à l'Université de Zurich. 

Flatt (R.), recteur de l'Ecole réale supérieure de Bàle. 

Gross.mann (M.), professeur à lEcole polytechnique fédérale de Zurich. 

GuBLER |E.), chargé de cours de l'Université de Zurich; professeur au 
Séminaire et à l'Ecole supérieure des jeunes filles de Zurich. 

Jaccottet (Ch.), professeur au Gymnase scientifique de Lausanne. 

Matter (K.), professeur au Gymnase de Frauenfeld. 

MoRF (L.), directeur des Ecoles de commerce et d'administration de 
Lausanne. 

MosER, directeur du Bureau fédéral des assurances ; professeur à l'Univer- 
sité de Berne. 

ScHERRER (F. R.), vice-directeur du Séminaire de Kùsnacht (Zurich). 

Stiner (G.), professeur au Technicum de Winterthour. 

Stoecklin (Justin), instituteur primaire, Liestal (Bàle). 

La Sous-Commission consacrera une étude spéciale à chacun des types 

d'établissements énumérés dans le Rapport préliminaire. Dans ce but. elle 

a réparti le travail entre plusieurs comités et sous-comités. Leur élude 

sera basée : 

1" sur l'étude comparée des programmes, plans d études et autres docu- 
ments fournis par les institutions ; 

2" sur ^es réponses aux questionnaires 1 et 2 adressés au.v directeurs et 

aux professeurs de mathématiques '; 
3" sur des visites d'établissements. 
A côté de ces rapports, on prévoit des études sur des branches ou des 

enseignements spéciaux; il y aura notamment un rapport sur les Ecoles 

modernes (Landerziehungsheime). 

Il est désirable que certaines questions soient mises en discussions dans 

des assemblées de professeurs (groupements locaux, société suisse des pro- 
fesseurs de mathématiques, sociétés pédagogiques). 



' (Les questionnaires sont reproduits dans VEns. math, du 15 mars 1910. 



I) E I. E ;V .s E I (. .V E M E .\ J M A T II E M ATI Q U E 



I ;iy 



Les |{a|)|)()i-ls scr-onl piibli(''S, avoc le concom-s de la (^onfiMh'-ral i(jii cl dos 
piiiicipaux caillons, sous le litro : L Enseignement niuthématique en Suisse, 
happoits de la Sous-Contniission suisse. — />er niathcniatisclie l/nterriclil in 
der Schweiz, lierichle der sclnveiz. Suhlioinniission. — Le pi-emicr fascicule, 
qui vienl de parailre, est consacré aux tra\'ou.rpréparatoires; il contient, 
après une courte introduction, un extrait du Rapport préliminaire (en alle- 
uiaud et en français), la liste des membies de la (Commission inlernationale 
et de la Sous-Coniniission suisse, la circulaire adressée aux directeurs des 
établissenionls d'instruction [)iil)lique. le questionnaire (n" 1) adressé aux 
directeurs, el le (jucslionnaii'c (n" 2) adressé aux professcui's de matlié- 
maliques. 

Les Rapports pouiT-oiit élre rédigés dans l'une des trois langues natio- 
nales (allemand, français ou italien). Ils seront d'abord dactylographiés 
(à 25 exemplaires au moins) et distribués aux membres de la Sous-Com- 
mission. Celle-ci les soumettra à uue discussion approfondie et, après leur 
adoption définitive, ils seront publiés, in-extenso ou partiellement, dans les 
Hapports de la Sous-Commission suisse. 



Les fenseigiienients complémentaires seront publiés dans VEn- 
seigneinent malhéinatique. MM. les Délégués sont priés d'envoyei 
les eorreetions et additions au secrétaire-ofénéral. 



Le Président : 
F. Klein. 



Le Secrétaire-général : 
H. F'dhr. 



Mh]LAN(îE8 KT (:OHI{l^:SPONDANCE 



Emploi des compléments arithmétiques dans le calcul mental. 

()m sail ijiK' le compIcDU'iil arillinu'ticjue d un nombre esl la dif- 
férence entre la puissance de 10 immédiatement supérieure au 
noml)ie considéré et ce nombre lui-même; autrement dit, c'est ce 
qu'il faut ajouter au nombre proposé pour obtenir comme total 
lunité suivie dautant de zéros que ce nombre a de chill'res. 

Pour faciliter ou abréger les calculs, on fait depuis longtemps 
usage du complément, pour la soustraction par exemple. 

Dans les traités de calcul mental sont égalementindiqués quel- 
ques procédés isolés se rattachant à la multiplication. Par exem- 
ple, dans le cas où deux facteurs sont compris entre 90 et 100, 
rien nest plus facile que de trouver, mentalement et très vite, leur 
produit. 

Je me propose d'indiquer ici un principe, une règle générale 
d'où découlent ces procédés, .le crois cjue cela n'a point été fait; 
en tous cas, cela peut être utile, car la règle en question permet 
d'etfectuer mentalement un grand nombre de multiplications dont 
les facteurs peuvent avoir 2, 3 et même 4 chiffres chacun. 

Voici la proposition : 

Soie/it deii.f facteurs A, B ai/aut le nièine nombre n de chiffres^ 
A' et B' leurs compléments respectifs ; 

La différence A — B' donne un nombre P; le produit A' B' donne 
un nombre Q d'unités simples ; 

P. Kr + Q sera le produit AB. 

En efTet 

A — B' = A + B — 10" , 
A'B' = (10" — A) (lO" — B) , 
et 

(A + B — lO") tO" + (lO" — A) (lO" - B) = AB . 

La règle |)ratique s'ensuit immédiatement. 

.\pf)liqu(>ns-la, comme exemple, au produit des deux facteurs 
de deux cbi lires 64 et 98. 

Ici, B' = 2 , A =: 04 , P = 62 . On aura donc au produit 62 cen- 
taines. 

A' = .36 , B' = 2, () = 72 . On aura 72 unités. 



M i: LAN a i: s et cou it i: s pon danc e 1'»i 

Le produit scia (1272. 

De inènie, 38 X 1)5 doiiiiciail imiiK-dialciiKiit '.V.\ ccnlaiiics et 
62 X 5 ou .'MO uuitôs, soit 'M'AO conune produit. 

NOici niainlciiant un tioisicuR- exemple, relatif ii deux lactcurs 
de 3 ehilïVes, Tuii de ces facteurs étant compris entre !)*.)() et 1000. 
Soit 740 X 098. A — B' = 740 — 2 = 747 nous. repivs«Mite des 
millieis ; A'B' = 251 X 2 == 502, des unités. 

Le produit est 747502. 

On appliipierait eneoi-e la même rèi>lo avec facilité à deux fac- 
teurs de 4 cliillVes. Iim de ces facteurs étant compiis entre 0000 
et 10 000. 

Kn général, lorsque B' n'a tpiun chill're, la formation du pro- 
duit A'B' n'offre aucune difficulté, avec un peu d'exercice; car on 
s'oit le complément A' formé suivant le procédé classique. 

Parmi les applications possibles de la règle qui précède, il y a 
lieu d'indiquer : 

La formation des puissances de ; 

Les produits dont les facteurs se composent du chilfn' répété 
plusieurs fois ; 

(^eux de deux nombres voisins de 100, etc. 

Il y en aurait sans doute bien d'autres encore, .l'ai voulu me 
borner à montrer quel parti on peut tirer des compléments arith- 
métiques dans les exercices de calcul mental. 

Albert Lecomte Bomorantin . 



Une démonstration du théorème d'Arnoux. 

^L C.-A. Laisant présente, dans Y Enseignement nialJièmntiqiie, 
X*^^ année p. 220-225, 1908), un nouveau théorème d'arithmétique 
dû à ^L G. Arnoi X et que celui-ci a établi implicitement dans son 
u Arithmétique (Graphique introduction à l'étude des fonctions 
arithmétiques », p. 29-31, 190G . 

M. Ci. Tarry, de même que M. Laisant, reconnaît la portée dé 
ce théorème, qui paraît jouer un rôle important dans certains do- 
maines de l'aritiimétique. 

Bien que la démonstration de M. Laisant soit simple et élégante, 
il n'est cependant pas. inutile de donner une autre démonstration 
de cet intéressant théorème, dont voici l'énoncé : 

Théorème d'Arxoux. — Soit M = m, nij ... m^ un nombre com- 

pusé, dont les facteurs n\^ . m.^ , ... m^ sont prcntiers entre eux (leur 

M 
à deu.r ; appelons fj ^ , /j.^ . ... tes quotients — = m., m., 

Si a, , a, .... a so/it des noml>res tels (lue Von ait 

1 ' i n ' 



m 



^^,fi, rz: iiiiilt. /», -f- /• , rt,Uj 1= iniil(. /»., -(- /• , ... «„f*„ =^ miill. m ^^ -\- r. 



1 ^ 2 .»/ F. l.A \ G !•: S ET COR K E S POND A N C E 

il s'ensuit qu'on dura aussi 

«I .<*! + «2 ."2 + + «„ ."„ = "'•'••• M + '•• 

Voici ma diMiionslratioii : 

Si /«, et /• avaient un facteur commun, ce facteur diviserait aussi 
/w.,, à cause de la seconde éciuation de condition, a.^ M., = mult. 
"'î + f'i /'^ et ///., auraient alors un facteur commun, ce qui est 
contraire à Ihypothèse /;/, et m.^ premiers entre eux. Par consé- 
quent /«, et /• sont pretniers entre eux. 

Un raisonnement analoiruo mcuitre que m^ , ///., , ... /n„ , et par 
conséquent M lui-même, sont premiers avec /•. 

lin considérant les équations de condition, on voit que le pro- 
duit 



{r — rt„ a„M/- — «, u. 



c'est-à-dire 

/•" - 2 «, pi^ ;•"-' + Pr"-- + Q,-"--' + + "S/- + T. 

est divisible par le produit ni^ m., m.^ ... /;/„ , donc par M. 

Les coefficients P, Q, S, T sont évidemment divisibles 

par M, puisque les produits de 2, 3 ou un plus grand nombre de 
^, , fJ.2, , fj,i , sont divisibles par iM. 

Par conséquent /" — 2 a^ fJ'^ /""' est divisible par M. 

/•"~* et M sont premiers entre eux; donc /• — 2 a^ //, est divi- 
sible par M. 

T. Hayashi f Tokio). 



A propos d'un article de M. Kariya concernant un théorème 
sur le triangle. 

Je vois (avec un peu de retard) que dans V Enseignement Mathé- 
matique, M. Kariva (Tokio) a exposé un tbéorème sur le triangle 
(E. il/., 1904, p. 130), lequel a donné lieu à un certain nombre de 
remarques intéressantes (même année, p. 230, et année 1005, p. 44). 

Le même tbéorème et la plupart des remarques auxquelles il a 
donné lieu, ont été donnés par moi, dans le Journal de Math. 
Spéciales de M. G. de Longchamps (année 1890, page 104 et suiv., 
page 124 et suiv.), dans un article intitulé : Sur un groupe de 
(juatie coniques remarquables du plan d'un triangle, .le donne, en 
outre, dans le même Recueil, p. 265, U!i petit article intitulé : 
Problème sur le triangle, ([ui généralise beaucoup le théorème de 
Kariya. 

.le ne ci'ois pas qu'il faille attacher une trop grande importance 



CHRONIQUE 143 

h ces questions de piiocité ; ma petite indication ne sera pourtant 

pas inutile, en l'appelanl l'attention sur un Kccueil oii l'on tiouve 

heauioup de résultats sur le tiian^lc, ([uc Ton /•c//o//(>e aujourd'hui. 

l*aris, 1() février 1910. Aufj. Boi nx. 



CHRONIQUE 



Commission internationale pour l'unification des 
notations vectorielles. 

Sur la proposition de la section de mécanique, le Conij^rès inter- 
national tics mathématiciens, tenu à Rome en avril 1908, avait 
chari>é son Comité de constituer une commission pour l'étude de 
la question importante de l'unification de la notation vectorielle. 
Cette commission, nommée en octobre 1909, a été composée 
comme suit : 

MM. Abraham (Milan), Ball (Cambridge), Hadamaud (Paris), 
Lai\(;evix (Paris), Loiîi Padoue), Mahcolox(;o (Naples), Piîandtl 
(Gœttingue), Stekloff (S'-Pétersb()urg), Whitehead Cambridge), 
WiLsox (Cambridge, Mass. U. S. A.) 

Académie royale de Belgique. — Prix proposés. 

f>"Académie met au concours les questions suivantes : 

On demande de nouvelles recherches sur les développements des 
fane fions (réelles ou anali/ticjuesl en séries de pohinônies. (Prix de 
800 francs . 

Résumer les travaux sur les systèmes de coniques dans l'espace 
et faiie de nouvelles recherches sur ces si/stèmes. (Prix de (500 francs.) 

Les mémoires doivent être inédits, rédigés en français ou en 
flamand et adressés, franco, à Monsieur le Seciétaire perpétuel de 
l'Académie avant le 1'' août 1911. 

Faculté des Sciences de Paris. — Thèses de Doctorat. 

Thèses de sciences mat li('tnati((ues soutenues en 190!> jusqu'à 
octobre 1909 : 

Ga.mbier Bertrand). — Sur les équations difïerenticdles du se- 
cond ordre et du pi'emier degré dont l'intégrale générale est à 
points critiques fixes. (1909, 10-4°, 55 p.) 



r»4 CHRONIQUE 

A KiioxE Théoph.i — Coiitrihiitioii à la théorie des ondes li- 
quides. 1009, in-'4^ de 80 p.) 

Doctorat cTl'nii'ersilè. — Dikxks Paul). — Essai sur les sini>u- 
larités des fonctions anal\ ti(iues. (lOOO, in-4" de 88 p.) 

Œuvres de Guilio Fagnano. 

Il ^ienl de se constituer ;i l{oni(> un c(Hnit('' en vue de la pul)li- 
cation des œuvres complètes du comte Jules-Ch. de Faonano. Les 
célèbres « Produzioni niateniatiche » sont devenues aujourd'hui 
une rareté bibliogiaj)hique. Klles vont être réimprimées et sei'ont 
suivies non seulement d'antres tiavaux purement scienti(i(pies, 
mais aussi des travaux polémiques cl de la correspondance scien- 
tifique. 

.\(in que l'étlition soit aussi complète que possible le comité, 
composé de MM. V. N'olte iuîa, Gino I.oiîia et D. (iAMinoLi, nous 
prie tl infoimer nos lecteurs que les reaseignements concernant la 
présence éventuelle de manuscrits de Fagnano dans les Bibliothè- 
ques seront accueillis avec i-econnaissancc pai- M. le jirof. \ . \ai.- 
TERRA, sénateur (rue Lucina, 17, in Rome . 

Nouvelles diverses. — Nominations et distinctions. 

Alleiiiag'iie. — L'nà'e/sité de (îœtfi/ii^iie. Nous avons déjà 
annoncé que des cours de vacances seront organisés j)our les 
professeurs de mathématiques et de physique dans les écoles 
moyennes. Les cours suivants figurent au programme : MM. Beh- 
REXDEx, méthodes géométriques dans renseignement de l'arith- 
métique et de l'algèbre 2 séances de 2 heures); Kleix, Klementare 
Mechanik 3 ; PiiAxnir., aérodynamique et aviation ; Laxdai . théorie 
des ensembles (2). 

— M. E. .losT est nomme astronome à TObservatoii-e de Konigs- 
berg. 

M. C Rlx<;e est nommé Docteur honoraiie de l'Université Co- 
lumbia, à Xew-York. 

M. E. ScHMiDT, professeur à TUniversité de /uricîi, est nommé 
professeur à l'Université d'Erlangen. 

M. .1. ScHiR, j)rivat-docent, est nomuK' professeur à FUniveisité 
de Berlin. 

M. l\.-\\ . ^\ iiîTz, pii\al-doceiit |)onr l'astronomie à l'Université 
de Strasboui'g, est nommé professeui'. 

Privat-docents. — Ont été admis en qualité de privaf-docenls 
pour l'Astronomie, M. B. Grere. à l'Université de Bonn, M. E. 
Koui.scHUTTER, à l'Univcrsité de Berlin, et M. G. v. Brux, à l'Eccde 
technique supérieure de Danzig. 



(■ Il Hoy i() ri: \^:^ 

Ani»-I<»lei'i*e. — M. l"..-\\ . IIouson, I'. I{. S., est nomnic pro- 
iesscii r il 1 l iiivci'sil*' tir- ('.amhiidj^c ;i \\\ cii.iirc dcvcimo vjicaiite 
j)ai- la retraite de M. A.-l». I'Orsyi ii. 1*'. II. S. 

M. (î.-l. Tavioi!. I). A., a obtenu le premier des Sniilli's /'//zcs 
à (!;miluiilt;('. Le second prix n a pas ete (l(>eeine. 

Kt;il*%-C'iii*s, — M. (i.- I . Kkvskiî est noinnu' piol'esseur oïdi- 
naire de mat hetnaticpn's a lUniversitt' Cohimhia, » Xew-^ oik. 

Fi'îiiK'O. — M. II. PoiNCAiiK a été nomme docten r honoraire 
de IL niveisité de Bruxelles, à I Occasion du 75""' anniversaire de 
fondation de cette université. 

MM. P. Paim.kx K et II. PoiNCAiiK oiil été nommés docteurs hon<)- 
raires de llniversile de Stockholm, le !(> décembre, loi's de linau- 
iiuration des nouveaux bâtiments acadénii(iues de Stockholm. 

M. Lucien I,k\ v. r('p<'titeui: d'analyse, est nomme examinateur 
des élèves pour h» m(k"anic|ue, en remplacement de M. Car\allo. 

Acadèniie dos Sciences. — M. R. Di-: de Kind, meml)re correspon- 
dant, professeur à l'Ecole techni(|ue supéi'ieure de Braunschweiii', 
a ét('' élu membre associé étranger. 

Hong'i'ie. — L Université de Klausenbourg a nommé docteurs 
honoraires MM. Hodoi.a Géodésie), Rados Mathématiques), 
ScHiLLKR (Physique . Torossv (Géométrie tlescriptive s Wittmaxx 
(Physique technique , professeurs à l'P^cole technique supérieure 
de Budapest. Ces titres ont été conférés à l'occasion de l'inaugu- 
ration du nouveau bâtiment de cette Haute Rcole. 

Italie. — /i. Istitiito Lonihdido. Parmi h's prix décernés cette 
année, il y a lieu de signalei' celui qui était proposé au travail 
apportant une contribution importante à la théorie des groupes 
continus (Prix de 1200 Ir.). Le mémoire couronné est intitulé : 
1 griippi continui infinili di Irasforinazioni piintali délie spazio a 
tie diniensioni, et a pour auteur M. U. Amaldi, professeur à l'Uni- 
versité de Modène. 

Suisse. — ^L K. Mkissnki!, j)rivat-docent, est nomme ))rofe&- 
seur de mécanique technique à ILcole jiolylechnique fédérale, à 
Zurich. 

^L Zkkmklo, professeur à rUniversité de (^cettingue, est nomtné 
professeur à l'Université de Zurich, en remplacement de AL l'>. 
ScHMiDT, nommé à l'Université d'Lilangen. 

Nécrologie. 

.Xous ap|)renons avec regret la mort de AL A. (Ivpklli, profes- 
seur d'Algèbre à l'Université de Naples, décédé le 28 janvier der- 
nier, à l'âge de ôô ans. 11 était directeur du (iiornale di Mateina- 
tiche di BalUiglini, membre de la Société italienne dite des XL, 
de l'Académie dei [,incei, de l'Académie de Xaples, etc. 



NOTi:S ET DOCUMENTS 



Commission internationale de l'enseignement mathématique. 
Sous-commission suisse. 

Questionnaires ad/esscs dii.v dircclenis cl (iti.v profcssents. 

Note de la RÉnAcnox. — Nous reproduisons ici, à titre de do- 
oiinients, les questionnaires 1 et 2 adressés par la délégation 
suisse, Tun aux directeurs des écoles moyenues, l'autre aux pro- 
fesseurs. Des questionnaires analogues ont été envoyés aux écoles 
professionnelles. 

« Objet des questionnaires. — I.e questionnaire adressé à MM. les 
Directeurs est destiné plus spécialement à nous donner un aperçu 
pr(''cis de l'état actuel de l'enseignement, [.a rubri^cjuc « Remar- 
ques générales » permet, en outre, de signaler les projets de trans- 
formation ainsi que des essais qui auraient pu être faits, sans 
cependant encore figure!- dans les programmes. 11 conviendrait de 
faire remplir ce questionnaire, séparément pour chacune des sec- 
tions, par la conférence des professeurs de mathémati(jues de 
cha<iue établissement, spécialement convoqués à cet elIVt. 

Nous avons pensé, en outre, qu'il serait bon de permettre aux 
professeurs d'exprimer leur opinion personnelle sur les réformes 
utiles à l'enseignement mathématique. Nous vous prions donc de 
bien vouloir leur distribuer les questionnaires ci-joints, qui leur 
sont spécialement adressés. » (K.vtrait de la lettre ait.r directeurs.) 



Section R 
Abteiluiitç B. 

QUESTIONNAIRR N° 1 

adressé aux Directeurs. 



Ecoles professionnelles. 
Beriifsscliiilen. 

FRAGRBOGKN N° 1 

zuhandeii der Relvlorcn. 



Lieu (Ortl. 



I 



Etnhlissement iScliiile) 



Section (Ableilung). 



But et plan 
des études mathématiques. 
(S'il existe un plan d'études imprimé, 
prière de le joindre au question- 
naire.) 



Ziel und Stoff 
des mathematischen Unterrichts. 

I'"alls ein gedruckler I>elirplan exi- 
slierl, hilleii nir, ilni deni Berictite 
heizulegeii.) 



NOTES ET DOCUMENTS 



Vil 



a) But do reiiseignomenl inatlu'iii. 

b) Branches d'études ; leur étendue. 



c) Temps consacré aux malliénia- 

tiques et leurs difTérenlcs bran- 
ches (résumer sous forme d un 
tableau). 

d) Concentration de l'enseignement. 

Dans quelle mesure lient-on 
compte des liens entre les ma- 
thématiques et les autres bran- 
ches et en particulier avec les 
mathématiques appliquées? 



uj Ziel des malh(Mn. Lliilerrichts. 
h} Welche Gebicte dcr Mathematik 

wcrden gelelui uud in woichem 

Uni fan go .' 

c) VN'ieviel Zeil wird den vorschie- 

denen Gebietengewidmet ? (Gefl. 
in einer Tabelle zusammen- 
stellen. ) 

d) Konzeniration des Unterrichts : 

In welchem Masse werden die 
Zusammeidiiingo zvvischen der 
reinen uiid der angewandien 
Mathematik und dor Fhysik 
beriicksichligt .' 



III 

Les examens. Prûfungen. 

Indiquer lorgaiiisationdesexamens Wie sind die Prûtungen, die Pro- 

et des promotions et tout particu- motionen und insbosondere die Ma- 

lièrement ce qui concerne le certificat turitiitspriifungen orgaiiisiert ? (Falls 

de maturité. (S'il existe un règlement dii.-sbezùgliche Réglemente vorhan- 

imprimé, prière de le joindre au den sind, bitlen wir um deren Ein- 

questionnaire). sendung). 



IV 



Les méthodes d'enseignement. 

a) Méthode. 

h) Matériel d'enseignement ; mo- 
dèles. 

cl Emploi de manuels et de recueils 
d'exercices. 

d) Travavix pratiques : 

A. Tiavaux manuels. 

B. Confection de modèles par les 

élèves. 

C. Dessin géométrique et tech- 

nique (de machines). 

D. Travaux tlo levers de plans. 

E. Exercices pratiques de cosmo- 

graphie et d'astronomie élé- 
mentaire. 

F. Travaux pratiques de phy- 

sique. 

G. Autres applications (p ex. 

emploi de la règle à calculs). 



Unterrichtsmethoden. 

a) Méthode. 

b I Lehrmittel, Anschauungsmaterial. 

c) Lehr- und Uebuugsbiicher. 

d) Praktisohe Arbeiten : 

A. Handfertigkeitsunterricht. 

B. Herstellung von Modellen 

durch die Schûler. 

C. Maschiueuzeichnen. Geometr. 

Zeichnen, event. Projek- 

tionslehre. 
D Uebuugen im Feldmessen. 
E. Astronomische Uebuugen. 



F. Physikalische Schiiler-l'ebun- 

gen. 

G. Andere praktische Uebuugen 

(z. B. Kecheuschieber). 



148 



A o y A .s i:r do c u m e ^ t s 



Préparation des candidats à l'en- 
seignement. 
La situation des maitres. 

a) Quelles soiil Us i^aïaiilies exigées 
par l'aulorilé scolaire : 

A. au poiul de vue de la piépaïa- 

tion lliéorique .' 

B. à celui de la préparation pro- 

fessionnelle ? 
h\ La garantie scientifique que peut 
exiger l'autorité scolaire est né- 
cessairement en relation éti'oite 
avec la situation qui esl faite 
aux maîtres (nombre d'heures, 
salaire, retraite). Il serait bon 
d'être renseigné sur ce (|ui se 
fait à cet égard. 



Ausbildung der Lehramts- 

Kandidaten. 

Stellung der Lehrer. 

a) Weiche Forderungen sicllcii die 

Schulbeli(")rden iiinsiclillicli 

A dei- liioorelisclicii Vorl)ii(luug ? 
B. der prakiisclicn ^ Orln'rcilung ? 

b) Dièse Anforderungen dei" Beluir- 

den stehen in engem Zusammen- 
hange mit der okonomisclien 
Stellung der Lolirer (Stunden- 
zahl , Besoldiing, Pension). 
Einige genauen Zalilen hierùber 
sind erwiinsclil. 



VI 



Remarques générales. 

Les questions ci-dessus concer- 
nant plus particulièrement l'état ac- 
tuel de renseignement, nous invitons 
les directeurs à nous donner ici 
quelques indications sur les trans- 
formations qui pourraient être à 
l'étude et concernant les rubriques I 
à V. A'œux et propositions. Opinion 
sur les tendances actuelles de ren- 
seignement mathématique I voir « Rap- 
port préliminaire», lettre G, II, 
2me partiel. 



AUgemeine Bemerkungen. 

Die Fragen 11 bis V beziehen sich 
vor alleni auf dcn gcgenwiirtigen Zu- 
sland lies Unterrichtes. \Virersuchen 
die Rektoren nm Mitleilungen ùber 
allfallige in Aussichl genommene 
Aenderungen in Bezug auf die Punkte 
II bis V. Wiinsche untl Ani-egungen. 
Ansicht ùber die modernen Be- 
strebungen in niathematischem Un- 
terricht isielio « Voi'boriclit », G, II, 
2. Teill. 



Janvier 1910. 



LA DELEGATION SUISSE 



,V O r E s E T IXX ( M E .\ I S 



149 



St'cliun li. 
Ableiliincr H. 



Ecoles professinnnelli's. 
Boriifssc'link'ii. 



adressé aux professeurs. ■ 



yom du professeur) 
Na me des Lehrers) ( 

Adresse : 



I- iî.\r. F.nocK.x .\" 2 

zuliaiulen der Matlieniatildehrer. 



Ecole (Schulel : 
Section lAljteiliiiii^) 



Organisation scolaire. 

Quelles sont vus idées person- 
nelles concernant l'organisation sco- 
laire ? Réformes 'désirables ; types 
d'écoles à créer ; opinion sur la coédu- 
cation des sexes. 

L'enseignement se doniie-1-ii par 
section, ou plusieurs sections se 
trouvent-elles réunies pour des le- 
çons communes? 



Schulorganisation. 

Welches ist llire Aiisichl heziig- 
lich der Schulorganisation? VVûu- 
schenswerte Aenderungen ; neue 
Schularten: Frage der Koedukation. 

Werden die Schiller abteilungs- 
weise unterriclitet oder crhalten meh- 
rere Abteilungen gemeinsam Unter- 
richt ? 



II 



Plans d'études. 

aj Quelle est votre opinion sur les 
tendances modernes concernant 
le but de renseignement mathé- 
matique et les branches d'étu- 
des ? 

h) Branches nouvelles ou chapitres 
nouveaux à substituer à des 
objets inutiles dans la suite ou 
d'un intérêt secondaire, mais 
conservés dans le programme 
par pure tradition. 

cj Introduction des preini('r(}s notions 
de calcul infinitésimal. 

d) Autres propositions tendant à 
perreclionner l'enseignement. 



Lehrstoff. 

a) Welches ist Ihre Ansicht beziig- 
lich der niodernen Bestre- 
bungen hinsichilich des Unter- 
richtsziels und der Lehrstoffe ? 

h) Neue Gebiete oder neue Kapitel, 
welche uuzweckmiissige oder 
weniger intéressante, aber aus 
Ueberlieferung und Gewohn- 
heit beibehaltene Gegenstande 
ersetzen kônnen. 

c) Einfiihrung der l-^lemente der In- 

fini tesi mal rech nu ng. 

d) W eitere Anregungen zui- Vervoll- 

kommnuug des malhematischen 
Uuterrichts. 



150 



NOTE S ET DOC r M E jX T S 



III 



Examens. 



Prûfungen. 



a) Quelle est voire opinion concer- a) Was halten Sie von lien mùnd- 

nant les exiiinens oraux el écrits ? lichen und schriftiichen Prù- 

fujigen .' 

b) Peuvenl-ils être supprimés |)Our h) Konnen sie ganz abgeschafft wer- 

les élèves réguliers ? den ? 

c) Dans quel sens peut-on perfec- c) Verbesserungsvorschlage. 

lionner leur organisation ? 



IV 



Méthodes d'enseignement. 

a) De l/i méthode : 

1" dans les classes inférieures. 
2" daus les classes supérieures. 

b) Quels sont les manuels et recueils 

d'exercices que vous employez 
en classe : 
1° pour l'Arithmétique et la comp- 
tabilité ? 
2» pour l'Algèbre ? 
3° pour la Géométrie liucl. la 

Trigonométrie) ? 
Dans quelle mesure les utilisez- 
vous dans votre enseignement? 
Prétéreriez-vous d'autres ma- 
nuels ? 
ej Emploi de modèles, d appareils et 
d'insirumeuls mathématiques. 

d) Dans quelle mesure tenez-vous 

compte des applications pra- 
tiques ? 

e) Avez-vous des exercices de lever 

de plans ? 
fl Propositions tendant à perfec- 
tionner les méthodes d'ensei- 
gnement. 



Unterrichtsmethoden. 

a) Ueber die Unterriclilsinethode 

1. auf der unteren Stufe. 

2. auf der oberen Stute. 

b) Welche Lehrhûcher und Auf- 

gabensammlungen verwenden 
Sie : 

1. im Rechnen u. Buchlialtung ? 

2. in allg. Arithmetik u. Algebra? 

3. in Géométrie (inkl. Trigono- 

métrie) ? 
W\e verwenden Sie die Lehr- 

bûcher ? 
Wiinschen Sie andero Lehr- 

bùcher ? 

c) Modelle, Instrumente und Appa- 

rate als Veranschaulichungs- 
mittel. 

d) In welchem Umfange berûcksich- 

tigen Sie die praktischen An- 
wendungen ? 

e) Haben Sie Uobungen im Feld- 

messen ? 

f) Vorschlage zur Verbesserung der 

Unterrichtsmethoden. 



La préparation des maîtres. 

a} Quelle est votre opinion sur ce 
que devrait être la préparation 
dos maîtres : 
1" au point de vue scientifique? 
2° à celui de la préparation pro- 
fessionnelle ? 



Vorbereitung der Lehrer. 



a) Wie sollte 



1. die wissenschaftliche, 

2. die praktische Vorbereitung 

beschaffen sein ? 



;V () r i: s E T noc u m e n ts i 5 i 

Qllfls sont U's cours fl ll-;iv;iii.\ W'ciclio \drlesiliit;eii uiicJ prak- 

praliqucs que vous juj^for iiidis- tischeu Uebuiigen hiilten Sie fin- 

pensables ;' uiierlasslirh ;' 

b) Dans quelle mesure pouvez-vous h) Inwieweil konneii Sie llire Sludien 

continuer à vous occuper de in reiner und angewandler Ma- 

niatliéniati(|nes piiies el appii- llienialik fortsetzen? Haben Sie 

quées .' Avez-vous publié des vvissenschallliche oder metho- 

travanx ou livres d'ordre scien- dische Aibeilen verofTentlicht 

lifique ou pédagogique ? (Prière oder Biicher gesclirieben ? (Ge- 

de donner le titre complet.) nauer Titel gefl. angeben.) 

c) Utilité des cours de vacances des- c) Sind F"crienkurse fiir \Iathematik- 

tinés aux maîtres de l'enseigne- lehrer wiinschbar ;' 
ment secondaire. 



VI 

Antres propositions et communi- VVeitere Mitleilungen nud Anre- 

cations concernant l'enseignement gungen betreffend die Frage des 
mathématiqne. malhematisehen Unterrichts. 

Janvier 19 W. LA DÉ LÉGATION SUISSE 



Cours universitaires. 

RUSSIE 

Cours annoncés pour l'année uni\'ersitaire 1909-1910 '. 

Dorpat (Jurjew) ; Université. — Alexkjew : Applications du Calcul difF. à 
la Géométrie, 3 (1. s.); Calcul intégral 1, 3 (1. s.): Théorie des invariants, 
2(1. s.). — Gravé: Introduction à l'Analyse, 4 (1. s.); Géométrie analvt. 1,4 
(1. s.); avec exerc. de géométrie analyt., 2 |1.5.); Théorie des fonctions et 
des variables complexes, 2 (1. s.). Exerc. de mathém. sup., 2 (1. .9.). — 
Kolossoff: Cinématique dn point et des systèmes de points avec application 
à la théorie des mécanismes, 4 (1. s.]; Dynamique du point et des systèmes 
de points. 3 (I. s.) — Pokrowsky : Cours général d'astronomie, 4 (1. s.). 
Astronomie théorique, 2 (1. s.). Connaissance du ciel. Mécanique (pour les 
étudiants-chimistes), 3 (1. a.;. Math, élém., 2 (1. .s.|. — Orloif: Géodésie 
sup., 2 |l. s.): Théorie et pratique des instruments séismiqnes. 2 (1. s.). — 
Kessliîr: Arpentage II, avec travaux pral., 2 (1. s.). Architecture, 2 (1. 5.). 

Kazan ; Université. — Souvoroff : Calcul intégral, 3 (1. s.: intégrales indé- 
liiiiesl, 4 (2. s. : intégrales définies et applications du Calcul intégral à la 
Géoni.); Exerc. sur les applications du Calcul intégral à la Géora.. 2 (1. s.); 
Calcul des variations, 1 (2. s). — Kotel.mkoff : Géom. analyt., 3 ( I . et 2) et 



' Explications des abréviations : (1. s.\: premier semestre (scptcmltrcà décembre l'.ili9) ; 2. s. 
deuxième semestre (janvier a mt«i 1910|; !. ut 2.: pendant deu.\ semestres. 



1 52 .V () r E s E T 1) ()< U M E .V /' N 

travaux pral l |1. et 2| ; liilét^ralioii des équations (lill'éreiiliL'IJos, t (1. s.) cl 
travaux pral., 2 (2. s.]. — Pokphyrikh- : Tiii^ouoinéliie sphér. , 1 (1. s.); 
Calcul difr . 1 (1.6-.I. 2 (2. ,v ). Applications du Calcul à la Géom., 1 (1. s.); 
Travaux pral. de Calcul difl. , 1 (1. cl 2.). (Calcul des didéreuces, 1 (1. s.]. 
Calcul des probabilités, 2 (1. .v.). Fonctions ellipt., 1 (2. s.]. — Bi.Ac.iiEvsKY ; 
Histoire des mathématiques, 2 11. el 2.); Cinématique, 2 (1. et 2). — Zkili- 
guer: Algèbre sup.. 3 (1. s.); Cinétique, 5 (1. .v.), 'i (2. s ); Travaux prat. 
d algèbre sup., 2 (2. s.|; Cinématique, 4 |2. .s.). — Doibiago : Astronomie 
sphér., 3 (1. et 2.); Astronomie théorique, 2 ( 1. 5.) et Travaux prat. 1 (1. s.)\ 
Mécanique céleste, 2 (2. s.) ; Travaux prat. d'Astronomie sphérique, 1 (2. s.]. 
Exercices. 

Kharkov ; i'ni\eisilc : Sintzoi r : (iéomclrie analyl. du plan, o |i. .s.) et 
travaux pral , 1 (1. et 2.). Applications du Calcul dill'. à la Géométrie, 3 (1. s.) 
el travanx prat.. 1 (l. s.): Intégration des équat. diir.. 3 (1 .v.) cl travaux 
prat. l (1. s.). Géom. analyl. de l'espace, 3 i2. s.)\ Histoire des mathémati- 
ques, 2 (2, s.]. — RoussiAN ; Intégration des fondions. '• (1. s.], el travaux 
prat., 2 11. s.]\ Théorie des intégrales définies, 2 (1. .s.); I, 3 |2. s.); Calcul 
diff., » (2. s.) et travaux pi-at., 2 (2. s.\\ Intégration des équat. aux dérivées 
part, du 1«'' ordre, 3 (2. s.). — Pscheborskv ; Introduction à ! Analyse, 4(1. s.): 
Théorie des fonctions d'une variable complexe, 3 (1. .v.|: Analyse algébr., 
4 (2. s.). Calcul des variations, 2 (2. s.). Théorie des fonctions ellipt., 3 |2. s.). 
Zacoltinsky : Math. sup. (pour les étudiants-naturalistes). 4(1. et 2.|. Résolu- 
tion algébrique des équations. 2 (1. s.] Géométiie projective, 2 |2. s.). — 
Zatycheff : Géométrie descriptive, 2 (1. et 2.) cl travaux prat., 2 (1. et 2.). 

— Bernstein : Calcul des probabilités, 2(1. s.\: Introduction à la théorie des 
fonctions de variables réelles, 3 (2. s ) ; Travaux pral. d'intégration des équa- 
tions différentielles, 2 (2. s.], — Saltykoff : Mécanique théorique (Statique, 
Cinématique el Dynamique!, 4 (1. el 2.) ; avec Exerc, 2 (1. el 2 ). Application 
de la théorie des équations aux dérivées part, à la Mécanique, 2 (1. s.); 
Séminaire de Mécanique théorique, 2 (1. el 2.). — Strouvé: Astronomie 
générale, 3 (1. el 2.). Déterminations des orbites, 3 (1. s.), 2 (2. s.). Travaux 
prat. à l'Observatoire (observations astronomiques), 3 (1. et 2.). — Eudoki- 
moff: Trigonométrie sphér., 1 il. s.]; Astronomie prat., 3 (1. s.). Méthode 
des moindres carrés. 1 (1. s.]\ Géodésie sup., 3 (2. .s-.). 

Eiew ; Uni<.'ersité. — Kuandrikoi f : Cours fondamental des mathémati- 
ques (pour les étudiants-naturalistes). 4 |1. et 2.). — Boukreieff : Intro- 
duction aux math, sup., 4 (1. s.]. Application du Calcul diff. à la Géométrie, 
4 (1. 5.) ; Intégration des fonctions, 2 (1. s.) ; Calcul diff. (théorie et applica- 
tions analyl. 4 (2. .s.); Intégrales définies el intégrales multiples, 4 (2. s.). 

— Gravé: Géométrie analyt., 4 (1. s.). 3 (2. s.) el travaux prat., 2(1. et 2 ). 
Analyse algébr., 3(1. .v.), 2 (2. s.)\ Théorie des nombres,,! (1. el 2.). Théo- 
rie du domaine quadralique. 2 (1. s.]: Fonctions ellipt. (théorie des trans- 
formations, multiplication l'omplexel, 2 (2. s.). — Ffeiffer : Intégration des 
éfjuat. di(f., 3(1. s.). Intégration des équat. aux dérivées part., 2 (1. et 2.). 
Exerc. de Calcul dilf. 2 |1. .s.) ; Exerc. de Calcul intégral, 1 (1. s.); Exerc. de 
Calcul diff. 2 (2. s ]. Travaux prat. sur les a|)plications du Calcul intégral, 
1 (2. .s.); Travaux prat. d'intégration des équations diff., 2 (2. s.]. Calcul des 
probabilités, 1 (2. s.). — Solssi.ow : Dynamique des solides, *2 (1. s.]. Ciné- 
matique fi un système invariable, 2 (1. s.)\ Statique el théorie du potentiel, 
2, (1. s.] ; Dynamique d'un système, 4 |2. .s.); Tliéorie du champ vectoriel. 



NO TE S ET DOC U ME NT S 153 

3 (2. s.). — \^ORO.NETz : Calful des variations, 3 (1. a.). Cinématique (hi poiiil . 
2 (1. A.). Systèmes non holonomes, 3 (1. s.). Travaux prat. de mécanique du 
point, 2 (1. s.]. Dynamique du point. 3 (2. s.]. Intégration des équations de 
la dynamique, 3 (2. s.]\ Travaux prat. de mécanique d un système 2 (2. s.]. — 
VoGEi. : Astronomie descriptive, 2(1. et 2.) ; Astronomie sphérique 2 (1. et 2.) ; 
Astronomie théorique, 3 (1. s.] Exerc. sur la théorie des instruments astro- 
nomiques, 3 (1. et 2.). Géodésie sup., 3 (2. s.). 

Moscou ; Université. — Andreeff : Algèbre sup., 3 (1. et 2.) ; Trigonomé- 
trie splur., 1 (1. s.]. — iMlodzieiowsky : Géométrie analyt. du plan, 4 (1. 5.). 
Théorie géom. des groupes continus de transformations, 3 (1. s.]\ Géométrie 
analyt. de lespace, 3 (2. s.); Surfaces linéaires, 2 (2. s.]: Exerc. de géomé- 
trie analyt. do l'espace, 2 (2. s.). — Zakhti.n : Introduction à l'Analyse, 4, (1. s.): 
Calcul intégral, 4 (1. s.), 3 (2. *•.) ; Calcul des probabilités, 2 (1. et 2.). Calcul 
diir., 4 (2. s.). Calcul des différences, 2 (2. s.\. — Egoroff : Géométrie infinit., 

4 (1. s.\. Equations diff., II, 2 (1. s.), I, 3 (2. s.). Arithmétique des régions 
algébriques, 2(1.5.); Calcul des variations, 2 (2. s.). Séminaire math., 2 [2. s.). 
— BoBYMN : Histoire des connaissances math, antérieures à la science, 

1 (1. et 2.) (pour les étudiants-mathématiciens et les étudiants-philologues). 
Histoire des math, dans la Grèce Antique, 1 (1. et 2.) (pour les mêmes) : 
Histoire des math, au moyen âge 1 (1. et 2.) (pour les mêmes). Histoire des 
math, modernes. 1 (1. et 2.) (pour les étudiants en math. — Yi.nogradoff : 
Algèbre universelle, 2 (1. et 2.). — Bogoi.a^wlensky ; Algèbre sup. (Résolu- 
tion des équations par radicaux), 2 (1. s.). — Wlassoff : Cours abrégé de 
math. sup. (pour les étudiants-naturaiistesl, 3(1. et 2.) et travaux prat. sup. 
(pour les mêmesl, 2 (1. et 2. ) ; Géométrie projective, 2(1. s.) ; Géométrie non- 
euclidienne, 2 (2. s.). — D.MiTROwsKY : Courbes planes d'ordres sup. , 2 (1. et 2.).^ 
Travaux prat. de géométrie analyt. du plan, 2 (1. s.). — Gegalqlin : Travaux 
prat. d'introduction à l'Analyse, 1 (1. s.); Travaux prat. de Calcul intégral. 

2 (1. et 2.1 ; Travaux prat. de Calcul diff., 2 (2. s.). — Wolkoff : Surfaces à 
courbure constante négative, 2 (1. s.) ; Travaux prat. de géométrie iniinit., 
2 (1. s.) ; Travaux pratiques d'intégration des équations diff., 2 (1. et 2.). — 
JouKOwsKY : Cinématique et Statique, 3 (1. s.)\ Travaux prat. de Cinématique 
et Statique, 2 (1. s.); Dynamique des solides (cours spécial), 2 (1. s.); Dyna- 
mique du point, 3 (2. s.) et travaux prat. 2 (2. s.)\ Aérodynamique avec des 
applications à l'aéronautique, 2 (2. s.\. — Tchaplyguin : Mécanique d'un sys- 
tème et Hydromécanique, 3 (1. et 2.| et travaux prat. 2(1. et 2.); Cours abrégé 
de Mécanique (pour les étudiants-uaturalistes|, 3 (1. s.]. — Kowalensky : 
Résistance des matériaux, 4 (1. s.]; Hydraulique, 4 (2. s.). — Mertzaloff : 
Géométrie descriptive, 2 (1. s.); Exerc. 2 (2. s.\; Théorie des mécanismes, 

2 (1. 5.1, avec Travaux prat., 1 (1. 5.| ; Dessin linéaire, 2 (1. et 2.| ; Tracé 
des machines 1 (\. et 2.) ; Théorie générale des machines, 2 (2. s.). — Bolo- 
toff: Théorie du choc, 2 (1. 5.); Théorie de l'élasticité, 3 (2. s.). — Stankie- 
wiTCH : Intégration des équations diff. de la Mécanique et introduction à la 
théorie des marées (selon Poiucaré), 3 (1. s.]; Théorie des marées 3 (2. 6.|. 

— Appelroth : Propriétés fondamentales des intégrales des équations diff., 
1 (1. et 2.). — Zeibenson : Hydrodynamique, 3 (1. s.]. Théorie des machines 
thermiques, 2 (1. et 2.). Théorie générale des turbines, 3 (2. s.). — Tse- 
RASSKY : Astronomie sphérique, 2 (1. et 2.) et travaux prat. 2 (1. s.). Astro- 
nomie théor., 2 (1. et 2.). .\stronomie prat. et travaux prat. à lObservatoire, 

3 (2. s.). — Sternberc : Géodésie sup., 2(1. et 2.) et travaux prat., 2 (1. et 2.). 

— Kasakoff : Mécanique céleste, 2 (1. et 2.). Correction des orbites ellipt. 
I, 'Enseignement mathém., I2*anni;c: 1910 11 



154 NOTES ET DOCUMENTS 

des planètes, 2 (1. et 2.). — Iweronoff : Géodésie, cours générar fondamental, 
2(1. s.) et travaux prat., 1 (1. et 2.) ; Géodésie, théorie des instruments, 2(2.5.). 

Saint-Pétersbourg; Université: Sokhotzky : Algèbre sup., 3 (1. et 2.); 
Théorie des intégrales déGnies, 2 (1. et 2.). — Markoff : Calcul des proba- 
bilités, 2 (1. et 2.). Ptaschitzky : Géom. analyt., 4 (1. et 2.) ; Fonctions ellipt., 
3 (1. s.]\ Applications du Calcul intégral à la géom., 3 (2. s.). — Seliwanoff : 
Introduction à 1 Analyse, 4 (1. s.]; Intégration des fonctions, 3 (1. s.); Calcul 
difT. , 4 (2. 5.). — Stf.kloff : Intégration des équations diff., 3 (1. et 2.); Inté- 
gration des équations aux dérivées part , 3 fl. et 2.). — Iwanoff : Applica- 
tions du Calcul difT. à la Géom., 4 (1. s.]\ Théorie des nombres, 4 (2. s.). — 
Borissoff : Eléments de Math, sup., II, applications de l'Analyse infinitési- 
male à l'Analyse et à la Géom., 3 (1. et 2.); Travaux prat., 1 (1. et 2.). — 
Sawitsch : Géom. descriptive, 1 (1. s.) et 2 (2. s.). — Gûnther : Calcul des 
différences finies, 2 (1. s.); Travaux prat. de Géom. analyt., 2 (1. et 2.); Tra- 
vaux prat. de Calcul diff.. 2 (2. s.); Eléments de la théorie analyt. des équa- 
tions diff., 2 (1. et 2.). — Wassilieff : Eléments de Math, sup., î, 3 (1. et 2.). 
Introduction à la chimie math., 1 (1. et 2.). — Nekrassoff : Application du 
Calcul des probabilités aux sciences économiques, 2 (1. et 2.). — Adamoff : 
Exerc. sur les applications de l'Analyse à la Géom., 2 (1. s.). Exerc. de 
Calcul intégral, 2 (2. s.). — Somoff : Analyse vectorielle, '2 (1. et 2.). — 
Bobyleff : Cinématique, 2 (1. s.). Mécanique du point matériel, 3 (2. s.]; 
Mécanique d'un système de points matériels et d'un corps solide, 4 (1. s.) ; 
Hydrostatique, Hydrodynamique et théorie de l'attraction, 3 (2. s.]. — Mest- 
scHERSKY : Méthodes pour la résolution des problèmes de Mécanique du point 
matériel (1. s.) et d'un système de points matériels (2. s.], 2. — Frisendorv : 
Eléments de Mécanique, 2 (1. et 2.); Statique, 2 (2. s.); Aperçu historique 
et critique des principes de la Mécanique rationnelle, 2 (1. s.). — Glasenap: 
Astronomie descriptive, 3 (1. et 2.) ; Astronomie prat. 2 (1. s.) ; Cours général 
d'astronomie, 2 (2. s.). — Iwanoff: Astronomie sphérique, 3 (1. s.). Travaux 
prat. de Calculs numériques, 2(1. «.). Astronomie théor., 3(1. s.); Géodésie, 
3 (2. s,)\ Mécanique céleste, 3 (2. ,s.); Physique du ciel. 2 (2. s.). — Séra- 
phimoff : Trigonométrie sphér. , 1 (1. s.). Théorie des figures des corps célestes. 
2 (1. 5.) ; Théorie des marées, 2 (2. s.). Tatschaloff: Travaux prat. à l'Obser- 
vatoire, 2 (2. s.). 

Varsovie; Université : Mordoukhay-Boltovsky : Géométrie analyt., 4(1. s.). 
Calcul intégral, 3 (1. s.). — Braytzew: Analyse, 2 (1. s.); Applications du 
Calcul diff. à la Géom., 2 (1. s.]. — Welmin : Travaux prat. : Géom. analyt., 

2 (1. s.); Analyse, 1 (1. s.); Calcul intégral, 2 (1. s.) ; Application du Calcul 
diff. à la Géom., 1 (1. 5.); Algèbre, 2 (1. s.). — Goriatschew : Mécanique, 

3 (1. s.) ; Exerc. 2 (1. s.). — Tscherniy : Cours général d'astronomie, 2(1. s.]. 
Astronomie sphérique, 2 (1. s.). 

V. BOBY.MN (Moscou). 



BIBLIOGRAPHIE 



\V. Rouse Bail. — Récréations mathématiques et Problèmes des temps 

anciens et modernes. Douxiomo édition tVancaise. Troisième partie Asec 
additions de MM. Margossiaii, Reinliart. Fitz Patrick el Aubry. — 1 vol. 
iii-8'>, 360 p. ; 5 fr. ; A. Hermann et Fils, Paris. 

Ce troisième volume débute par trois chapitres fort intéressants et 
pleins de renseignements très curieux, rédigés par Rouse Bail ; ils ont pour 
•objet l'astrologie, l'hyperespace, le temps et sa mesure. 

Le reste de l'ouvrage est l'œuvre de divers auteurs. M. Margossian a 
<ionné un chapitre intéressant sur l'ordonnance des nombres dans les 
carrés magiques. Puis vient une Note du capitaine Reinhart sur l'emploi du 
papier calque pour la solution graphique de problèmes de construction 
géométrique et deux théorèmes intéressants. 

M. Fitz Patrick a rédigé la note terminale de l'ouvrage : la géométrie par 
le pliage et le découpage du papier. 

Mais les additions les plus considérables sont dues à l'un de nos collabo- 
rateurs, M. Aubry. Empruntées à l'arithmétique, à lalgèbre et à la géomé- 
trie, elles sont de nature trop diverses pour que nous en fassions l'énumé- 
ration. 

Les professeurs y trouveront, comme dans l'ensemble des trois volumes, 
<le nombreux problèmes et renseignements leur permettant de rompre de 
temps à autre la suite monotone du programme. Dans 1,'inlroduction du cha- 
pitre Géométrie, M. Aubry insiste avec raison sur le rôle utile de ces problè- 
mes qui contribuent à stimuler l'intérêt des élèves pour les mathématiques. 
«On se plaint, dit-il, de l'impopularité des mathématiques : ne serait-ce pas là 
l'effet de cette habitude de n'écrire que pour les professionnels et les can- 
didats aux examens, tandis qu'aucun livre n'est destiné au simple amateur, 
qui ne veut pas approfondir la vaste science actuelle, comme cela pouvait 
se faire de la science peu étendue des Grecs. Tout le monde apprend la 
géométrie et combien la savent ? Qu'on la rende attrayante, en l'objectivant 
davantage, pour ceux qui n'en veulent pas faire une étude particulière ; qu'on 
V joigne des récréations et des notes historiques, et elle se popularisera en 
devenant un passe-temps agréable, au lieu de rester un devoir rigide qu'on 
délaisse dès la sortie du Lycée ». 

Fr. Brioschi. — Opère matematiche, publicatc per cura del Comitato per le 
onoranze a Francesco Biioschi. Tomo quinlo ed ultimo. — 1 vol. gr. 
in-4o, 556 p. ; 30 L. ; U. Hœpli, Milan. 

C'est par ce volume que se termine la belle collection des œuvres com- 
plètes de Fr. Brioschi. Il a été publié sous la direction de MM. Fr. Gerbaldi 
^t E. Pascal et renferme les mémoires insérés dans les recueils non italiens. 
^Ce sont tout d'abord les Notes publiées dans les Comptes rendus de lAca- 



156 BIBLIOGRAPHIE 

demie des Sciences de Paris (de 1880 à 1897, année de la mort de Brioschi). 
puis celles que contiennent les Nouvelles Annales (1852 à 1869), les Mathem. 
Annalen. le Journal fiir die reine u. angen'. Matheniatik, etc. On sait que 
les travaux de Briosclii touclient aux domaines les plus divers des mathé- 
matiques pures et appliquées. Il n est donc guère possible d'entrer ici dans- 
le détail de celte longue liste de belles recherches qui ont apporté tant de 
contributions importantes à la science. 

Les Niémoires ayant été groupés d'après les périodiques, les éditeurs ont 
placé à la lîn du dernier volume une liste des travaux par ordre chronolo- 
gique. Ils ont eu soin d indiquer ceux des travaux qu'il n'y avait pas lieu de 
publier, soit qu'il s'agissait d'articles polémiques ou d'ouvrages déducti- 
ques. C'est ainsi qu ils n'ont pas reproduit le traité classique sur les dé- 
terminants, publié en 1854. 

En publiant dans un délai relativement court les œuvres du savant géo- 
mètre de Milan, le comité de publication et ses collaborateurs ont droit à 
toute la reconnaissance des mathématiciens. H. F. 

C. GoDFREY et A.-W. SiDDONs. — Gcometry for beginners. - 1 vol. cart- 
in-16, X -}- 80 p., 1 a; Cambridge Uuiversily Press. 

Ce livre présente les sujets dans l'ordre où ils peuvent être enseignés au-x; 
commençants. Le plan eu est exposé comme suit dans la préface. 

Premier degré : Exercices pratiques d'introduction traitant des conceptions 
fondamentales de la géométrie, mais dont le but principal n'est pas l'usage 
des instruments. 

Deuxième degré : Exercices amenant à la notion des principes fondamen- 
taux de la géométrie y compris les angles eu un sommet, les parallèles, les 
angles d'un triangle, d'un polygone et 1 égalité des triangles. 

Chaque fait ou groupe de faits découvert et énoncé est suivi d'exemples 
numériques et de problèmes théoriques destinés à les illustrer et à les ren- 
dre plus familiers. 

Dans le courant de cette étude l'élève devra non seulement se familiariser 
avec les principes fondamentaux de la géométrie, mais encore apprendre- 
1 usage précis des instruments et les éléments du raisouuement logicjue tet 
qu'il est employé dans la géométrie théorique pure. 

Ce livre s'inspire principalement de la circulaire du « Board of Educa- 
tion » sur renseignement de la géoinéti-ie (et de l'algèbre graphique) dans 
les écoles secondaires. [Circulaire n° 711, mars 1909). 

Les mêmes auteurs avaient publié eu 1903, un volume « Elementary geo- 
metry », dont le plan de la partie expérimentale correspondait aux métho- 
des alors employées par la majorité des maîtres progressistes. Les exerci- 
ces y Jouent un rôle prépondérant, non seulement comme instrument pour 
lintroduction des notions nouvelles, mais pour eux-mêmes. De plus la 
géométrie théorique était introduite dès le début. 

Pendant les 6 années qui se sont écoulées dès lors, l'enseignement de la 
géométrie a subi bien des modifications, grâce aux expériences faites, prin- 
cipalement en ce qui concerne la place à assigner aux exercices. 

Le présent volume « Geometry for beginners » est conçu d'après le nou- 
veau point de vue tel qu'il est énoncé dans la Circulaire du « Board of 
Education », et remplacera le commencenu'nl du l*" volume de l'w Elemen- 
tary geometry ». 



RI Rr.lOC.IiAPH lE 157 

Ch.-Ed. GuiLi.AiME. — Initiation à la mécanique. (ColUction des Initiations 

scientifiques fondée par (.]. -A. Laisant). — 1 vol. iii- IG, XI V -f" 209 p.; 2fr.; 

Hachette & C'^, Paris. 

On sait qn'il n'est pas loujoiirs tarile aux commençants de s'assimiler les 
principes fondamentaux de la mécani([ue, malgré leur apparente simplicité; 
les problèmes les plus élémentaires les embarrassent. Et pourtant la plupart 
<lc9 enfants et des jeunes gens s'intéressent aux machines et observent cons- 
■tammcnt des phénomènes mécaniques. Mais il est ditllcile de bien observer 
•et de penser avec précision et bien que nous prenions de bonne henre l'ha- 
bitude de nous servir des mots force, travail, puissance, masse, énergie, 
il est rare que nous nous rendions compte de leur valeur exacte. 

Combien les lois du mouvement nous paraîtraient plus naturelles, si ren- 
seignement classique était précédé d'une initiation destinée à préparer l'en- 
J'ant à l'étude un peu aride de la mécanique « en l'amenant, comme la dit si 
■bien M. Laisant, de lui-même à la vérité, sans aucun appel direct à la mé- 
moire ». 

Le petit volume de M. Guillaume fait partie de la collection des inilialions 
scientiliques fondée il y a quelques années par M. Laisant et sur laquelle 
nous avons déjà attiré l'attention des lecteurs de V Enseignement Mathéma- 
tique. Il est étranger à tout programme et est dédié aux amis de l'en- 
fance. 

M. Guillaume n'a pas tenu, et l'on comprend pourquoi, à suivre le plan 
4»doplé dans l'enseignement classique. Au lieu de débuter par la statique, il 
commence par létudc des actions que les forces peuvent exercer, actions 
qu'il apprend à observer et qui permettent plus tard de nous rendre compte 
de ce qui se passe dans le cas des forces en équilibre. Les notions fonda- 
mentales s'introduisent naturellement ; celle de force, cause des change- 
ments de vitesse, celle d'inertie, celle de travail et celle beaucoup plus déli- 
<:ate de masse que 1 auteur définit « capacité d'absorption du travail » et 
qu'une expérience dynamique très simple permet de mesurer. D'autres no- 
lions apparaissent à leur tour : celles d'énergie cinétique, de puissance, 
d'impulsion, de quantité de mouvement. Ce n'est qu'après cette étude pré- 
paratoire que nous abordons les éléments de la statique. L'auteur nous ex- 
plique comment les forces antagonistes, telles que les réactions de la ma- 
tière et le frottement, viennent contrebalancer l'action des forces qui tendent 
à produire des mouvements. L'expérience célèbre de Stévin nous conduit au 
principe du parallélogramme des forces, le mouvement des roues d'une voi- 
ture à la notion de couple et 1 étude expérimentale des couples au principe 
■de la composition des forces parallèles et à la notion du centre de gravité. 
L'auteur nous explique ensuite ce qu'on entend par pression, notion délicate 
•qui embarrasse souvent les débutants. Et la dynamique reparaît de nouveau, 
mais celte fois-ci M. GuillaXime aborde l'étude de problèmes plus complexes. 
Des exemples très bien choisis permettent de nous rendre compte de la na- 
ture des accélérations et des forces et nous apprenons à connaître les causes 
•de phénomènes bizarres, tels que les illusions de la verticale. 

Les derniers chapitres sont consacrés aux développements et aux applica- 
tions parmi lesquelles je citerai l'élude du choc et de la résistance des ma- 
tériaux et quelques pages très intéressantes consacrées au mouvement des 
projectiles. Mais je ne saurais énumérer toutes les questions traitées par 
M. Guillaume. Ce qui fait peut-être l'attrait principal du livre, c'est le côté 
documentaire, les exemples admirablement bien choisis, qui parlent à lima- 



158 BIBLIOGRAPHIE 

gination et qui, nous en sommes sûrs, donneront aux enfants le désir de 
conlinutr et d'approfondir l'étude de ces beaux problèmes. 

1). MiRi.MXNOFi- (Genève). 

Rodolphe Gui.maraes. — Les Mathématiques en Portugal. Deuxième édition. 
— I vol. gr. in-8", 659 p. — Imprimerie de 1 Université, Coïmbre, 1909. 

A 1 occasion de 1 Exposition universelle internationale, à Paris, en 1900,. 
M. Rodolphe Guimakaes a publié un Mémoire 1res soigné sur la Bibliogra- 
phie des Ecrits mathémaliques dus aux Auteurs porlugais du XIX"»'' siècle. 
J'ai rendu compte, dans IJ Enseignement mathématitjue (2"'e a.. 1900, p. 'i88- 
4891, de ce travail qui a été bien accueilli par le public scientifique, car, au 
bout de quelques années seulement, le Mémoire était épuisé. Sur la de- 
mande d un grand nombre de mathématiciens, M. Guimaraes a consacré ses 
loisirs à la préparation d'une seconde édition de sa tentative, et il est par- 
venu à présenter, non plus un simple Mémoire, mais un Ouvrage de 659 p. 
gr. in-8o, qui paraît contenir les noms de tous les Ecrivains en Mathémati- 
ques dans le Portugal, avec de sobres analyses de leurs publications. Des^ 
appréciations justes et flatteuses arrivent à l'auteur de tous les points de 
l'Europe et sont signées de noms bien connus. Qu'il me soit permis de citer 
cette phrase de M. H. Fehr : « Dans votre nouveau travail, vous avez réuni 
de nombreux documents qui seront très utiles aux historiens des sciences 
et aux personnes qui ont besoin de renseignements sur les publications des 
mathématiciens portugais;» ainsi que celle-ci de M. Gino Loria : « Nous^ 
adressons nos félicitations les plus sincères à M. Gui.maraes pour la publi- 
cation d un Ouvrage si utile, qui lui fait grand honneur et qui lui attirera 
sans doute la reconnaissance de ses compatriotes. • 

Le peu d'espace dont je dispose pour rendre compte de ce Livre me force, 
à mon vif regret, de n en indiquer que les grandes lignes. On lira avec in- 
térêt un Aperçu historique qui occupe une centaine de pages et où l'on n'est 
pas surpris de rencontrer le nom de M. Go.mes Teixeira à la tète des mathéma- 
ticiens portugais vivants. On trouve ensuite, s étendant sur plus de 500 pa- 
ges, la Bibliographie générale mathématique portugaise des Ecrits jusqu'à 
la fin de l'année 1905. Le classement est fait comme dans le Répertoire bi- 
bliographique des Sciences mathématiques. Enfin, dans un Appendice d'une 
cinquantaine de pages sont cités les Ecrits parus de 1906 à la fin de 1908. 

h'Aperçu historique contient d'intéressants détails sur les astrologues, 
géographes, cartographes et navigateurs des premiers temps de la monar- 
chie portugaise; sur Pedro Nunes, qui fut le plus célèbre mathématicien 
du Portugal au XVl™^ siècle, et qui, selon 1 expression du Prof. Hammer, a 
trouvé dans M. GriiMARAEs un biographe instruit et très consciencieux. Il y 
eut alors une période assez longue de décadence. En 1772, la réorganisation 
de l'Université de Coïmbre et en 1779 la fondation de l'Académie royale des 
Sciences de Lisbonne donnèrent un nouvel essor à l'étude des mathémati- 
ques : nous devons remercier l'auteur des détails qu'il donne en exposant 
ces créations et la belle période qui les suit. Nous ne pouvons céder au dé- 
sir de signaler Mathels Valette do Conto, mort en 1848, qui eut la vive 
satisfaction de voir ses disciples et deux de ses fils remettre en honneur 
l'étude des Sciences mathématiques dans le Portugal. Parmi les professeurs 
illustres de la seconde moitié du XIX™» siècle, il convient de citer Daniel 

DA SiLVA, FraNCESCO HoRTA, F. FoLQUE, BrITO LiMPO, T. AUGUSTO OoM, R. 
R. DE SOUZA PiNTO, A. ScHIAPPA MONTEIRO, G. A., CaMPOS RoDRIGTJES, L.-F. 



ni lil.lOi.HAP II l E 159 

Markecas Ferreika. L aube d'une nouvelle oiienlalioii pour les études ma- 
thématiques date de l'année 1877, où Gomes Teixeira, qui commençait déjà à 
se créer une individualité, a fondé le Jurnal de Sciencias inathematicas. 
Grâce au concours de Motta Pegado, A. Schiapfa Monteiro, L. F. Makrecas 
Ferreira, J.-M. RoDRiGUES, iMartins DA SiLVA, cc Joincil il puissamment con- 
tribué aux progrès des mathématiques. M. Guimaraes l'ail brillamment res- 
sortir que, de nos joufs, le Prol. Gomes Teixeira est le Maître et que grâce 
à lui le Portugal a toujours pris part aux travaux internationaux ayant pour 
but l'avancement des MalhémaUqnes. 

Dans la liihliugraphie sont mentionnés les Livres, Mémoires et Articles 
de tous les mathématiciens portugais, avec de courtes et substantielles ex- 
plications sur leur contenu. 

En publiant cet Ouvrage rempli d'érudition et contenant de nombreux 
rapprochements des travaux laits en Portugal avec les recherches laites en 
Europe. M. Rodolphe Guimaraes, bien connu dans le monde savant par la 
publication de plusieurs Mémoires remarquables qui lui ont valu les suf- 
frages de l'Académie royale de Lisbonne, a attiré de nouveau l'attention sur 
lui. Nous souhaitons à son Livre laocueil sympathique qu'il mérite, et nous 
prenons plaisir à constater que M. Guimaraes a produit une œuvre qui fait 
à lui et à sa nation, le plus grand hoimeur. Ernest Lebo.n (Paris). 

J. Jaune und H. Barbisch. — Leitfaden der Géométrie und des geometri- 
schen Zeichnens fur Mâdchenburgerschulen. Erste Stule fur die erste 
Klassc, 45 S. ; Zwcite Stufe fur \V\v zneite Klasse, 35 S.; Dritle Stufe fur 
die dritte Klasse, 41 S.— 3 lasc. in-S»., cari., 90 H.; les 3 fasc. en un seul 
2 K.; Manz, Vienne. 

Ces manuels sont destinés aux 3 classes des écoles primaires supérieures 
de jeunes filles eu Autiiche. (Mâdchenburgerschulen). La géométrie y est 
considérée principalement au point de vue de ses applications directes, entre 
autres à rornementatiou. 

Le l"^"" volume traite des lignes eu général, la droite, le rayon, la droite 
orientée, la circonférence, 1 angle, la mesure de l'angle, les droites normales 
et parallèles, et des différentes positions des angles par rapport les uns aux 
autres. La seconde partie est consacrée à l'égalité des figures ; triangles, 
quadrilatères, polygones réguliers et irréguliers, figures symétriques, cercles. 

Le 2™e volume débute par la similitude des figures ; triangles et polygo- 
nes. L'auteur introduit ensuite avec l'équivalence, le théorème de Pythagore. ; 
premièrement pour le cas de triangles rectangles isocèles, puis à côtés com- 
mensurables entre eux et enfin de côtés quelconques, il le démontre au moyen 
de découpages. Viennent ensuite les périmètres des figures formées par des 
lignes droites, la circonférence du cercle, les aires des quadrilatères, des 
triangles, des polygones. irréguliers et réguliers et du cercle. 

Avec le 3™« volume l'auteur introduit les figures dans l'espace, point, 
droite et plan, puis les développements et les surfaces des différents volumes, 
cube, parallélipipède, prisme, cylindre, pyramide, tétraèdre, octaèdre, cône, 
tronc de cône, sphère et enfin les volumes de ces corps. 

Les divers sujets sont illustrés de problèmes variés propres à intéresser 
l'élève. Chacun des trois volumes est complété par un chapitre de géométrie 
appliquée : Reproduction de figures géométriques et de patrons. Réduction et 
agrandissement de figures géométriques et de patrons. Réduction et agran- 
dissement de patrons à l'échelle. Renée Masson (Genève). 



160 BIBLIOGRAPHIE 

Eug. Jahnke u. Fr. Emde. — Funktionentafeln mit Formeln und Kurven. 
Mit 58 Fig. — 1 vol. relié gr. in-8", 176 p. ; 6 M. ; B.-G. Teubner, Leipzig. 

Ce volume fait p.trtie d'une collection de pubiic.Ttions mathématiques et 
physiques destinées aux ingénieurs et aux étudiants et dont nous avons déjà 
eu l'occasion de signaler le but. Il est consacré aux graphiques et aux tables 
numériques des principales fonctions que rencontre le praticien. Mais il sera 
non seulement utile à celui-ci, le mathématicien le consultera avec intérêt. 
Tous deux tiendront à placer ce recueil à côté de leurs tables de logarithmes 
et des autres tables numériques. 

Il est en eflet indispensable d'avoir sous la main une table contenant les 
formules usuelles et les valeurs numériques des fondions transcendantes d'un 
usage courant et que l'on ne trouve cependant guère dans les recueils. Nous 
ne pouvons faire ici l'énuméralion des fonctions envisagées par les auteurs. 
Le clioix a été dicté par les besoins de la pratique. On y trouve, par exem- 
ple, les racines de quelques équations transcendantes, les formules, graphi- 
ques et tables numériques concernant les fonctions hjperboliques, les fonc- 
tions gamma, les fonctions de Bessel, les fonctions elliptiques, les fonctions 
sphériques, etc. 

Les auteurs ont eu soin 'd'accompagner la plupart des tables numériques 
cle la représentation graphique de la fonction correspondante. Cela permet au 
lecteur d'avoir immédiatement une idée de la marche de la fonction. 

W. LiETZMANN. — Stoff und Méthode im mathematischen Unterricht der 

norddeulschen hoheren Schuicn auf Grund der vorhandenen Lehrbùcher. 
{Ahhandlungen iiber den mathematischen Unterricht in Deutschland , ver- 
anlasst durch die internationale mathematische Unterrichtskommission. 
Herausgegeben von F. Kleix. Band I. Heft 1.) — 1 fasc. in-8", XII-102 p. ; 
en vente séparément, 2 M. ; B. G. Teubner. Leipzig. 

C'est par ce fascicule que débute la série des rapports dus à linitiative de 
la Délégation allemande de la Commission internationale de l'enseignement 
mathématique. Les délégués pensaient tout d'abord se borner à publier les 
conimuniciitions et les travaux concernant la Commission internationale dans 
la Zeitschrift fur math. it. nat. Unterricht. et à les éditer ensuite à part sous le 
titre de Berichte und Mitteilungen ; mais, en raison du développement qu'ont 
pris les travaux, on s'aperçut bientôt que la place ne suffirait pas et qu'il 
était nécessaire de réunir les rapports d une certaine étendue sous le titre : 
Ahhandlungen iiber den mathematischen Unterricht in Deutschland. 

Ce premier fascicule a pour objet les matières et les méthodes de l'ensei- 
gnement mathématique dans les établissements secondaires supérieurs de 
l'Allemagne du Nord, d'après les manuels. M. Lietzmann y donne un aperçu 
très intéressant des caractères et des tendances des principaux manuels de 
l'Allemagne du Nord. Dans une première partie, il donne des considérations 
générales sur les manuels : leur but, les différents types, le livre méthodique 
et le livre systématique, recueil de problèmes. Il fait ensuite une statis- 
tique des manuels, dans laquelle il constate une prédominance des livres 
introduits depuis longtemps. II est donc de toute importance, pour les ten- 
dances modernes de renseignement, que les idées nouvelles trouvent accès 
dans ces livres-là. Dans ses remarques générales, M. Lietzmann signale, 
entre autres, le fait que les auteurs des manuels sont exclusivement des 
maîtres des établissements secondaires supérieurs. Le nombre des profes- 



m n LIOGRAPIIIE 161 

seurs des Universités qui s occupent activement de renseignement secon- 
daire est très restreint ; il semble cependant qu'actuellement il se fait un 
revirement. On pourrait souhaiter, dit VI. Lietzmann, que les manuels se 
fassent par collaboration de plusieurs maîtres, afin d éviter une trop grandq 
particuiarisalion ; car ce qu'il importe de répandre, ce sont des vues géné- 
rales et non pas des idées personnelles. 

La seconde partie est consacrée aux manuels de planimétrie, de trigono- 
métrie et de stéréométrie. L auteur examine tout d'abord les manuels des- 
tinés à l'enseignement préparatoire de la Géométrie. Dans la plupart des 
écoles, on trouve, pour cet usage, un petit précis. Ces manuels sont géné- 
ralement caractérisés par un passage progressif de la méthode inductive à 
la méthode déductive. Certains livres traitent à la fois des ligures planes et 
de 1 espace. D autres se bornent tout d'abord au plan. Puis viennent les 
traités de Géométrie. L'auteur examine successivement la part qu on y fait 
aux fondements de la Géométrie, au système, à la méthode dé'ductive et à 
la méthode inductive, aux problèmes de géométrie, aux constructions, à la 
notion de mouvement. Il y a là une foule de remarques du plus grand 
intérêt. 

Dans les degrés supérieurs, le programme de planimétrie a reçu une 
extension comprenant l'étude des transversales, de la division harmonique 
et des sections coniques. Quelques auteurs introduisent des notions de 
Géométrie de position. Quant à la trigonométrie, on a prévu dans bien des 
programmes une division en deux degrés, le premier ayant un caractère 
essentiellement préparatoire. Ordinairement la définition des fonctions tri- 
gonométriques n'est donnée d'abord qu'à l'aide du triangle rectangle. Cer- 
tains auteurs donnent immédiatement la définition générale en partant du 
cercle. 

La trigonométrie sphérique comprend généralement trois divisions : le 
triangle rectangle, le triangle quelconque et les applications. Pour les cal- 
culs, les élèves font usage des tables de logarithmes à quatre ou même à 
trois décimales ; autrefois ils se servaient des tables à sept décimales. 

En stéréométrie, on distingue deux domaines : Le premier comprend les 
théorèmes fondamentaux concernant le plan et la droite et ordonné générale- 
ment comme suit : perpendiculaire, oblique, droite parallèle à un plan, 
intersection de deux plans, trois plans : angles solides. Le second domaine 
traite des corps de l'espace et spécialement de la mesure des surfaces et des 
volumes. Après les solides usuels, la plupart des manuels traitent le pris- 
matoïde et quelquefois les corps de révolution d'après la règle de Guldin. 

L'enseignement de la Géométrie descriptive se borne à 1 étude de la pers- 
pective par rayons parallèles. Dans bien des cas aussi, on aborde la pers- 
pective centrale. Quant au dessin linéaire, il est mentionné briè%cment, 
étant donné qu'il fera l'objet d'un rapport spécial. 

Dans la troisième partie, M. Lietzmann donne un aperçu des ouvrages 
d'Arithmétique, d'Algèbre et d'Analyse. Ces trois domaines se pénètrent 
les uns dans les autres dans l'enseignement, mais, dans les manuels, on 
tend à les séparer. Pour le début, les manuels méthodiques font fréquem- 
ment usage de vérifications numériques des propriétés ; en effet, le calcul 
«st à l'Arithmétique ce que l'intuition est à la Géométrie. La résolution des 
équations constitue l'un des principaux objets de l'enseignement de 1 Al- 
gèbre. Aux équations du second degré, on joint souvent celles qui s'y ramè- 
nent (équations trinômes, équations réciproques). La résolution des équa- 



162 BIB [.lOGItAPH I E 

tious du troisième degré se fait à l'aide de la formule de Cai-dan et de la 
méthode trigonomélrique dans le cas irréductible. Les équations biuomes 
sout traitées à laide de la foi-mule de Moivre. Daus les degrés supérieurs, 
ou mentioune le théorème foudamental des équations algébriques, mais sans 
démonstrations, et on en déduit les couséqueuces concernant le nombre des 
racines et les relations entre les coefl'icients et les racines. 

Pour ce qui est des exercices et des problèmes d'Algèbre, il existe une 
grande différence entre les anciens recueils et les recueils modernes. Dans 
ceu.\-ci, le cadre dans lequel les problèmes sont placés est très différent. 
Les applications se rattachent principalement à des questions concernant la 
Géométrie, la Physique, les Sciences techniques, l'Astronomie, la Nau- 
tique, etc. La notion de fonction n est traitée que pour le cas d une variable. 
Ce n'est que depuis une dizaine d années que l'usage de la notion de fonc- 
tion et de la représentation graphique s'est introduit daus les degrés infé- 
rieurs. 

Le champ de la Géométrie analytique comprend la Géométrie plane jus- 
qu aux sections coniques inclusivement. Autrefois on donnait, dans les 
écoles réaies, quelques notions de la Géométrie analytique de lespace. La 
matière est ordonnée généralement comme suit : Les coordonnées rectangu- 
laires; le point; longueur d'un segment. — La droite (en coordonnées obli- 
quesi. — Le cercle. — Coordonnées polaires; transformation des coordon- 
nés. — Paraboles. — Ellipse. — Hyperbole. — Oxi termine ordinairement 
par l'équation générale des sections coniques. 

Calcul infinitésimal. 11 y eut une époque où, dans les établissements réaux 
de Prusse, le calcul dillérentiel et intégral était enseigné régulièrement. 
Plus tard, les programmes le supprimèrent, mais, depuis lors, il s'est fait 
un mouvement très marqué en faveur de son rétablissement. Il en est résulté 
l'apparition d'un grand nombre de manuels nouveaux et, peu à peu, le sujet 
fut égalemeut réintroduit dans les nouvelles éditions des anciens livres. Le 
champ comprend la dérivation des fonctions simples et quelques règles de dif- 
férentiation. On introduit rarement les fonctions implicites et les dérivées 
partielles. On y trouve, également quelques notions de calcul intégral avec 
application aux problèmes de rectification, de quadrature et de volume. 

L'exposé se termine par la liste des ouvrages et manuels consultés. Bien 
que le sujet puisse paraître aride, la lecture de l'ouvrage est d un grand 
intérêt, en raison de la forme sous laquelle le sujet a été présenté. 

J.-P. DuMUR (Genève). 

G. LoRiA. — Il passato ed il présente délie principali Teorie geometriche, 

— Terza edizione, accri-sciula di uno sguardo allô sviluppo délia Geo- 
metria in quest'ultimo decennio. — 1 vol. gr. in-8o, xxiii et 475 p. ; 
H. Rinck, Turin. 

Il s'agit ici d'une troisième édition, considérablement revue et augmentée, 
de l'aperçu historique dans lequel le savant professeur de Gênes passe en 
revue les principales théories géométriques. L ouvrage est déjà bien connu 
des géomètres par les éditions italiennes ou par sa traduction allemande. 
Par cette nouvelle édition, il continuera à servir de guide dans les recher- 
ches historiques dans le domaine de la Géométiie. 

Les matières ont été groupées comme suit : Les origines et le dévelop- 
pement de la Géométrie juscpi'en 1850. — Théorie des courbes algébriques- 



m li LlOr.RAP m E 163 

planes. — Théorie des surfaces algébriques. — Théorie des courbes algé- 
briques gauches. — Géoaiélrie inlinilésimale. — Forme des courbes el des 
surlaces. Analysis silus. — (Jéométrie de la droite dans l'espace. — Cor- 
respondance, transformation. — (îéomètrie nuniérative. — Géométrie nou- 
euclidienne. — Géométrie dans l'espace à 4 dimensions. 

Cette édition est augmentée d'un Appendice de plus de 120 pages, dans 
lequel l'auteur expose le développemciil de ces théories géométriques au 
cours des dix dernières années. 

W. -Franz Mkyer. — AUgemeine Formen und Invariantentheorie. ilrster 

Band : Binare Formen (Sananlung Schubert XX.VlIIl. — i vol. cart. in-16o, 
376 p.; (j. M. 60; G.-J. G()sclien, Leipzig. 

M. W.-Fr. Meyer a déjà consacré plusieurs études d'ensemble à la déri- 
vée des formes algébriques et des invariants. L'une fait partie de la remar- 
quable collection de rapports publiés par l'Association des mathématiciens 
allemands {.fahresbericht der D. M. V. 1892 ; édition française 1897 ; édition 
italienne 1899). L'autre exposé se trouve dans V Encyclopédie des sciences 
mathématiques. 

Cette nouvelle étude poursuit un but dilférent. Elle est destinée à initier 
le lecteur aux principes essentiels de la théorie des invariants en tenant 
compte des différentes branches mathématiques dans lesquelles ils inter- 
viennent. Malgré le rôle important que joue la théorie des invariants, son 
étude n'a pas encore dans l'enseignement la place qu elle mérite. Le livre de 
M. Meyer est donc appelé à rendre de grands services aux étudiants. 

Ce premier volume est consacré aux formes hi/taires. Dans la première 
partie l'auteur initie le lecteur aux principes fondamentaux de la théorie en 
se bornant aux formes binaires quadratiques et aux formes bilinéaires. Il 
insiste comme il convient sur les applications géométriques. 

La seconde partie a pour objet l'étude des équations dill'érentielles des 
formations invariantes d'une forme binaire. 

Dans le second volume, en préparation, l'auteur étendra cette étude aux 
formes ternaires et d'ordre supérieur. 

Vte de Salvert. — Mémoire sur l'attraction du parallélépipède ellipsoïdal. 

1er fascicule. — 1 vol in-8o de XII-4oO p., 7 fr. ; Gaulhier-Villars, Paris. 

L'auteur désigne par ce nom de Parallélépipède ellipsoïdal le solide à six 
faces courbes délimité par trois couples de surfaces homofocales du second 
ordre appartenant tous les trois à un même système ellipsoïdal, mais cha- 
cun d un genre différent, c'est-à-dire alors composés, respectivement, 
d'hyperboloïdes à deux nappes pour le premier, d'hyperboloïdes à une nappe 
pour le second, et d'ellipsoïdes quant au troisième. Il se borne d'ailleurs à 
traiter l'hypothèse du point attiré situé dans l'un des trois plans principaux 
du système ellipsoïdal mentionné tout à Iheure. 

Ce problème qui, même ainsi réduit, serait encore absolument rebelle, 
non seulement pour l'exécution des calculs d'intégration, mais même quant 
à la seule écriture explicite des résultats, avec tous les différents systèmes 
de coordonnées précédemment connus, devient au contraire abordable sans 
que les calculs en soient jamais trop pénibles, et l'écriture en devient possi- 
ble et relativement facile, en employant le système des coordonnées de 
Lamé, modifié par 1 auteur, sous la forme où il l'a présenté dans le Chapi- 



164 BIBLIOGRAPHIE 

tre VI et dernier de son précédent Ouvrage intitulé Théorie nouvelle du sys- 
tème orthogonal triplement isotherme ; et cela parce que ce système offre le 
très grand avantage, tout en n'utilisant dans ses formules, pour l'écriture 
•des transcendantes, que les types classiques d'Abel et de Jacobi, de per- 
mettre à chaque instant néanmoins 1 emploi de la permutation circulaire. 

D'ailleurs, le corps proposé se réduisant, comme dernière limite, à la 
masse d'un ellipsoïde entier homogène, lorsqu'on donne à la variation de 
chacune des deux premières coordonnées toute l'extension dont elle est sus- 
ceptible, en attribuant en même temps à la dernière deux valeurs égales et 
de signes contraires, l'auteur prend soin de montrer, à titre de vérification, 
que ses propres résultats, envisagés pour les mêmes limites des coordon- 
nées, concordent bien exactement avec les formules classiques de l'attrac- 
tion des ellipsoïdes. 

F. Gomes Teixf.ira. — Obras SObre Mathematica publicadas por ordem do 
Governo porluguez. ^'ol. V : Traité des courbes spéciales remarquables 
planes et gauches, tome II. — 1 vol. gr. in-4". ^97 p. ; Imprimerie de 
l'Université, Coïmbre. 

h'Ens. Math, a déjà signalé le premier volume de ce Traité des courbes 
•spéciales planes et gauches, couronné par l'Académie des Sciences de Ma- 
drid et dont le texte français, revu et bien augmenté, parait maintenant 
dans les Obras du distingué directeur de l'Académie polytechnique de Porto. 
Ce second volume se rapporte surtout aux courbes transcendantes planes et 
aux courbes gauches : courbes transcendantes remarquables ; spirales ; 
paraboles et hyperboles générales, spirales correspondantes : les courbes 
cycioïdales ; sur les diverses classes de courbes ; sur les cycliques sphéri- 
ques : sur quelques courbes sphériques ; sur les hélices ; sur les courbes 
algébriques gauches ; sur diverses classes de courbes gauches ; la polhodie 
et 1 herpolhodie. Pour chacune de ces familles de courbes, l'auteur présente 
I histoire, les propriétés les plus impoi-tantes et les principaux pi-oblèmes 
dans lesquels elles interviennent. 

L ouvrage se termine par une table alphabétique des courbes, au nombre 
de plus de 250, étudiées dans les deux volumes. 

On sait le rôle important que jouent la plupart de ces courbes en mathé- 
matiques et en mécanique ; aussi crojons-nous que cette remarquable mono- 
graphie, qui représente un travail considérable, sera très consultée et très 
appréciée des professeurs. H. F. 

G. Veronese. — Elément! di Geometria intuitiva, à l'usage des écoles tech- 
niques, publié* avec l;i collaboration de P. Gazza.mga. 
Elementi di Geometria, à 1 usage des gymnases, des lycées et des instituts 

techniques: 1"- partie. 4nie édition — 1 vol. 13'* p.; Drucker, Padoue. 

L'idée première qui a dicté ces éléments au savant auteur a été le désir 
de répandre dans l'enseignement officiel les conceptions et les méthodes con- 
tenues dans ses publications sur les « Fondamenti di Geometria » adaptant 
la matière soit aux programmes ministériels soit au but que se propose 
l'enseignement dans les écoles moyennes. Le premier de ces volumes sert 
aussi de préparation an deuxième, la géométrie rationnelle. 

La méthode suivie par l'auteur ne demande pas à l'écolier, comme c est 
-ordinairement le cas, de suivre passivement un raisonnement, mais elle 



B m I.IOGIiAPIIIE 165 

loblige à une collaboi-iilioii atlivo vn lui tleinaiidaiil de faire des comparai- 
sons et des vérilicalioiis continuelles, soit avec les objets soit avec les figu- 
res qu'il rencontre. Par ce moyen l'écolier voit l'utilité pratique de ce qu'il, 
a appris et il é{)rouve aussi le besoin de savoir; après avoir vérilié qu une 
propriété d'une figure donnée est exacte, il se demande pourquoi il en est 
ainsi. Pour ne pas laisser inassouvie cette curiosité naturelle, l'auteur donne- 
parfois, à côté de la vérification des propositions une démonstration simple, 
basée sur le raisonnement, et il en profile pour comparer dans les années 
suivantes les deux mélliodes, la mélhode expérimentale et la métliode ration- 
nelle. 

Les principaux caractères du livre peuvent se résumer rapidement : chaque 
proposition y est énoncée seulement pour les figures qui correspondent à 
des objets qu'on peut directement observer: c'est pour cela qu'on n'y parle 
ni de droites, ni de plans, ni d'espace illimité, et en ceci particulièrement 
ce livre diffère des livres analogues qui, sans aucune justification, étendent 
toutes les notions des objets qu'on peut observer directement, à la droite, 
au plan, à lespace illimité, que personne ne peut ni ne pourra jamais obser- 
ver. Chaque proposition y est assujettie à des constatations ou à une vérifi- 
cation expérimentale, demandant le secours d'instruments d'un usage com- 
mun, comme la règle graduée, l'équerre, etc.; — on n'y énonce pas des- 
propositions sous une forme logiquement déterminée, mais on recourt à, 
l'image des figures pour leur donner les noms opportuns, pour en relever 
les propriétés les plus évidentes. On voit que l'auleur vise toujours à ce que 
ce livre serve plus particulièrement de préparation à l'étude de la géométrie 
rationnelle et que pour cela, il fait en sorte que quand l'écolier commencera- 
l'étude de celle-ci, il ne se trouve jamais en contradiction, même apparente,, 
avec les conceptions, les définitions ou les règles qu'il a apprises. 

Le deuxième volume en est déjà à sa quatrième édition et cela montre 
clairement avec quelle sympathie il a été accueilli dans les écoles. La géo- 
métrie intuitive faisait pressentir, comme je l'ai déjà dit, la possibilité d'une 
autre méthode, la méthode rationnelle, méthode faite d'observation intuitive 
et de raisonnement où, partant de la plus petite série d'dtservations intui- 
tives et de propriétés des figures matérielles, on donne sous forme de pos- 
tulats les propriétés mêmes des figures géométriques comme des données 
fondamentales. On en déduit ensuite par le raisonnement seulement, et 
comme conséquence logique des premières, toutes les autres propriétés, 
sans le secours d'aucune vérification pratique, et avec la condition que, fai- 
sant abstraction de lintuition, base nécessaire pour établir la signification^ 
des conceptions abstraites et pour énoncer les postulats, il reste un ensem- 
ble bien ordonné de propositions logiquement déterminées et ordonnées, 
indépendantes de la signification géométrique fournie par 1 intuition. 

L'un et l'autre de ces deux volumes sont enrichis d'une large série 
d'exercices très bien imaginés et propres à faire ressortir et à rappeler les 
propriétés apprises. C. Al.\si.v iBrindisi). 

A. Wangikin. — Théorie des Potentials und der Kugelfunktionen (Samm- 
lung Schubert LVIII). L Teil. — 1 vol. rel. VIII -|- 255 p.; M. 6.60; 
G<)schen, Leipzig. 

L'Ouvrage de AL Wangerin fait partie de la collection Schubert, bien cou- 
nue deà lecteurs de l'Eus. Math. Le premier volume, seul paru, est consacré 
à cette belle théorie dû potentiel qui a donné lieu à tant d'admirables tra- 



166 BIBLIOGRAPHIE 

vaux et à laquelle se rattachent les importantes recherches de ces dernières 
années sur le principe de Dirichlet et 1 éloctrodynamique nouvelle. Déjà M. 
Grimsehl en a douné des applications intéressantes dans le numéro 38 de la 
même collection, mais il n'entrait pas dans le plan de son ouvrage d'exposer 
la théorie mathématique du potentiel. Ici, au contraire, celte théorie est le 
but principal visé par l'auteur et les exemples ne servent qu'à mettre en lu- 
mière des résultats abstraits parfois difficiles à démontrer. 

Dans les premiers chapitres du livre, M. Wangerin établit les propriétés 
caractéristiques du potentiel et des composantes de l'attraction newtonienne 
dans le cas où le point attiré est extérieur aux masses attirantes. Pour faci- 
liter celte étude, l'auleur commence par traiter quelques exemples simples 
où 1 attraction s obtient par le calcul direct des intégrales fondamentales. 
L'auteur passe ensuite à l'étude beaucoup plus difficile du potentiel et de 
«es dérivées des deux premiers ordres dans le cas où le point attiré est 
situé au sein des masses attirantes. Que deviennent alors les intégrales fon- 
damentales ? M. Wangerin explique comment les définitions primitives doi- 
vent être modifiées pour que ces intégrales aient un sens. Dans le cas d'un 
volume attirant les propriétés classiques du potentiel sont établies en par- 
tant des formules connues de Gauss et ce sont les variations du laplacien 
qui fournissent les sauts brusques des dérivées secondes lorsque le point 
attiré franchit la surface du volume attirant. Le cas d'une surface attirante 
se traite à 1 aide des mêmes formules et 1 auteur en déduit sans peine les 
propriétés caractéristiques des composantes de l'attraction dans le voisinage 
de la surface. Il s'arrête moins longuement sur le cas d'une ligne attirante, 
-et après avoir résumé les propriétés fondamentales du potentiel relatives 
aux cas considérés il montre que ces propriétés sont caracléristiques du 
potentiel newtonien. Tels sont les points principaux traités dans la première 
■partie du livre de M. Wangerin. 

Dans la seconde, l'auteur passe à 1 étude de l'attraction obéissant à des 
lois différentes de celle de Newton. Celte étude conduit à des rapproche- 
ments curieux, qui permettent de nous rendre mieux compte de la valeur 
relative des propriétés établies dans la première partie du livre. Nous pas- 
sons ensuite à la théorie du potentiel logarithmique qui, dans le plan, joue 
un rôle analogue à celui du potentiel newtonien dans l'espace à trois dimen- 
sions. Un long chapitre est consacré au potentiel de doubles couches. Pour 
établir les propriétés caractéristiques de ce potentiel, M. Wangerin s'ap- 
puie sur la formule célèbre de Stokes. dont il donne une démonstration 
intuitive, et sur les propriétés déjà connues du potentiel de simple couche. 

Enfin, la troisième et dernière partie du livre est consacrée à l'attrac- 
tion des ellipsoïdes homogènes. Dans le cas où le point attiré est inté- 
rieur à la masse attirante, les composantes de l'attraction s obtiennent 
directement en transformant convenablement les intégrales fondamentales, 
mais le cas plus difficile d'un point extérieur à l'ellipsoïde est traité à 
l'aide du théorème connu d'Ivory, qui permet df ramener le second pro- 
blème au premier. Parmi les conséquences très curieuses indiquées par 
M. Wangerin, je signalerai le théorème de Mac-Laurin sur l'attraction 
-de deux ellipsoïdes homofocaux, et l'étude de l'attraction d'une couche 
infiniment mince comprise entre deux ellipsoïdes semblables. Dans le 
dernier chapitre du livre, M. Wangerin applique les résultats obtenus à 
l'étude des figures d équilibre d'un liquide animé d'un mouvement de ro- 
tation. 



RULf.ETIN m R I.IOGHAPH IQUE 167 

L'excellent ouvrage de M. Wangerin n'est pas destiné aux spécialistes, 
bien que des spécialistes puissent trouver du profit à lire un livre où se 
trouvent résumés, sous un aspect nouveau, des résultats connus. Mais il 
rendra surtout de réels services aux étudiants et aux débutants et leur 
donnera le goût de ces éludes et le désir de les approfondir. Du reste, 
M. Wangerin renvoie lui-même aux sources originales toutes les l'ois qu'il 
se contente d'indiquer un résultat sans le démontrer. 

Il est à regretter que lauteur de la « Théorie des Potentiels » n'ait pas 
songé à se servir, dans la théorie des champs newtoniens, de quelques- 
unes des notations si commodes de l'analyse vectorielle. Il y aurait cepen- 
dant un avantage réel à introduire dans l'étude de ces champs les notions 
de «curl», de «gradient», de «divergence cubique» et de «divergence 
de surface », comme le fait, par exemple, M. Abraham, dans son excelleni 
Iraité « Théorie der Elektrizitiit ». 

D. MiKiMAxoFF (Genève). 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 



1. Publications périodiques: 

Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Direttore G.-B. Guccia. : 
Tome XXVII, !«■■ semestre, 1909. 

U. Sbrana : Sulle varietà ad n — 1 dimensioni deformabili nello spazio 
^uclideo ad n dimensioni. — E. Laxdau : Neue Beitrage zur analytischen 
Zahlentheorie. — D. Hilbert : Wesen und Ziele einer Analysis der 
unendlichvielen unabhiingigen Yariabeln. — W. von Dyck : Die Encyklopadie 
der mathematischen Wissenchaften. — W. Schnee : Ueber Dirichlet'sche 
Reihen. — A. Kneser : Integralgleichungen und Darstellung willkûrlicher 
Funktionen von zwei Yariabeln. — G. Scokza : Sulle varietà a quattro 
dimensioni di s^ (r ^ 9) i cui «4 tangenti si tagliano a due a due. — E. Borel : 
Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques. — 
G. Remoundos : Sur la réductibilité des équations algébriques par des sub- 
stitutions linéaires. — Brusotti : Ricerche sui fasci di quadriche nello 
spazio ordinario. — Poinc.aré : Sur la réduction des intégrales abéliennes 
et les fonctions fuchsiennes. — H. Dllac : Intégrales passant par un point 
singulier d une équation différentielle. — H. VVeyl : Ueber beschrankte 
quadratische Formen, deren Differenz vollstetig ist. — J. Luroth : Bemer- 
kungcn ùber die Auflosung der trinomischen Gleichungen. 

Tome XXVIII, 2^ semestre, 1909. — M. Abraham : Zur Elektrodynamik 
bewegter Korper. — O. Nicoletti : SuUa caratteristica délie mafrici di 
Sylvester c di Bezout. iDa una lettera al Prof. Alfredo Capelli). — F. Severi : 
Fondamenti per la Geometria sulle varietà algebriche. — O. Tœplitz : L'eber 
die Auflôsung unendiichvieler linearer Gleichungen mit unendlichvielen 
Unbekannten. — G. Pucciano : Contributo alla critica di alcunc question! 
che si riattaccano all'integrazibne dell equazione differenziale di Laplace. — 



168 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

E. Landau : Ueber d;is Konvergenzproblem der Dirichlet schen Reihen. — 
M. de Franchis : Sull'invariante p,, di una classe di superficie. — A. Sellerio r 
Le curve limiti di poligonali che si deformauo con legge assegnata. — U. 
S. Hanna : The équations of Bitangential Cui'ves of the General Plane 
Quintic and Sextic Curves. — G. Tzitzeica : Sur une nouvelle classe de 
surfaces (2'ne partiel. — E. Ciani : Le quarliche piane projettive a se stesse. 
— G. Removndos : Sur I.i réductibilité des équations algébriques et les 
nombres exponentiels. — G. Bag.nera : Uua nuova dimostrazione di un teo- 
rema del sig. Borel. — L'. Broggi : Il teoreraa délia probabililà composta e 
la definizione descrittiva di probabilita. — P. Bucca : Il problema délie 
forme per il gruppo Gus e la risolvenle di 7° grado per questo problema. - — 
H. von KocH : Sur la convergence des déterminants infinis. — L. Lichtens- 
TEiN : Zur Théorie der gewohnlichen DifFerentialgleichungen und der par- 
tiellen DifFerentialgleichungen zweiter Ordnung. Die Lôsungen als Funk- 
tionen der Randwertc und der Parameter. — U. Cisoti : Sul moto di un solido- 
in canale— G. Marletta : Sui complessi di cette del primo ordine dello spa- 
zio a quattro dimensioni. — G. Scorza : Sopra una certa classe di varietà razio- 
nali. — G. Fkjér : Eine stetige Funktion deren Fourier'sche Reihe divergiert^ 

ZeitSChrift fur das Realschulwesen, herausgegeben von Em. Czuber, Ad. 
Bechtel und Mor. Glosek. — X.XXIV Jahrg. 1909 ; Alfr. Hôlder, Wien. 

N"8 4 à 12. — H. Seidler : Bipolare Koordinaten. — G. v. Se.nsel : Die 
Elektronentheorie im Physikunterricht der Mittelschule. — H. Rothk : Ueber 
Système monofokaler Kegelschnitte. — E. Vogel : Die Grundsiitze der ste- 
reographischen Projection. — A. Grunwald : Der formbestimmte Schnitt 
eines dreiseitigen Prismas. — Yereinfachtes Quadi'ieren. 

ZeitSChrift fur mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht^ 
herausgegeben von Dr. H. Schotten. — B. G. Teubner, Leipzig. 

Jahrgang 40 (1909), n» 6-12. — A. Flechsenhaar : Die Gleichung x" -|- 
>" — 3" = («*). — Chr. Sch.mehl : Das Bilden von Aufgabcn ans der ana- 
lytischen Géométrie der Ebene, in denen môglichst rationale Zahlen vor— 
kommen. — K. Kruse : Diskussion und Anwendungen der allgemeinen 
Kegelschnillsgleichung. — Friedric:h Ha.^cke : Die Korperberechnung als 
Einleitung in die Integralrechnung. — K. Hagce : Zur Berechnung des 
Sehnenvierecks. — M. Milankovitch : Eine graphische Darstellung der geo- 
metrîschen Progressionen. — P. Werk.meister : Herleitung des Taylorscheu' 
Satzes mit Hilfe der Figur. — L. Ha.nert : Ueber Fu|punktpolygone. — A. 
WiTTiNG : Zur Konstrukliou (1er Parabel. — Kurt Liewald : Die Anschau- 
lichkeit im geometrischen Anfangsunterricht. — J.-Ph. Weinmeister : Das 
Achsenproblera des Kegels zweiter Ordnung. — Oscar Janze.n : Die kom- 
plexen Zahlen im Unterricht der hôheren Lehranstallen. — K. Hagge : Bei- 
triige zur Geometrographic. — W. Meinecke : Bildorl bei einfacher Bre- 
chung. — Ernst Eckhardt : Der Satz des Ptolemiius im beliebigen Viereck. 

Zuni Aufgaben-Repettoriuni. — Padagogische Zeilung. — Literarische 
Berichte. 

ZeitSChrift fur Mathematik und Physik, hei-ausgegeben von R. Mehmke u. 

C. lli.NGi:. ."j7. lîanil, 1909. — iJ. G, Teubner, Leipzig. 

A. Dal.nderer : Ueber die Beziehung zwischeu Dichte und Mittelpunkts- 
potential im Inncrn eines vvnrfelformigen, von elektrisch leitenden Wanden 



li U LI.E TIN n I li II () (. It A l> Il I O UE 169 

hegronzloii Rinimes. — P. Eknst : Bemcrkiiniren x.vi Pol/.vals Tlieoric der 
Tonsysteme. — K. (ïreinf.k : Ueber d;is Peliler&yslenie <lor Kolleklivmass- 
lehre. — H. Liebmann : Beinerkung zu dem Aiifsalz des Hoitii Toile « Zur 
Keplerscheu Bewegiing ». — R. v. Mises : Théorie der Wasserrilder. — E. 
Stubler : 1. Rollbewegung einer homogenen schwereii Kugel auf einer 
Zylinderfliichc. — 2. I)as P'rasen von Schi-aubengewiiideii. — Jolis. Thieme : 
lîeitragzur grapliischen Behandiung der statiscli iinbeslimmlen Système. — 
I'. Werk.meister : Beitr-ag zur' grapliischen Darsieilung von Gleichuiigen der 
Koriii ah — c = I.Muitiplikations — hz»'. Divisionslafeln). — Fr. A. Vil- 
lers : Ueber die Steighohe von Drachen. — J. Bojko : 1. Eine neiie Tafel 
der Viertelquadrale. — 2. Eiiie uene Niiherungskonslruklion fiir -. — 3. 
Beitrag ziim Ansziehen hoherer Wurzeln. — M. Einhorn : Eine Konstruk- 
lion fiir den Schwerpuiikt eines beliebigcn Vierecks. — E.Wolffi.ng : Abhand- 
lungsregisler 1907-1908. 

Journal fur die reine und angewandte Mathematik, iierausgegeben von 

K. He.nsel. — Georg Reinur, Berlin. 

fiand 136. — S, Gu.ndelfinger : Ueber die Kennzeiehcn, vvelche die Uage 
eines F'nukies in bezug aul ein Telraeder unler Zugruiideleguug allgemeiner 
projekliver Koordinalen entscheiden. — O. Perron : Ueber einen Salz des 
Herrn Poincaré. — E. Busche : Zur Théorie der Funklion [x]. — G. Re- 
MOUNDOS : Sur la tendance des systèmes matériels à échapper an frotte- 
ment. — G. Voronoï : Nouvelles applications des paramètres continus à la 
théorie des formes quadratiques ; second mémoire, recherches sur les pa- 
ralleloèdres primitifs. — K. He.nsel : Ueber die su einer algebraischen 
Gleichung gehorigen Auflôsungskorper. — E. Hellinher : Neu Begi-iindung 
der Théorie quadratischer Formen von unendlichvielen Veranderlichen. — 
A. HuRwnz : Ueber die Kongruenz ax'^ -f- hy^ -(- cr-« = (mod. p). — A. 
WiEFERiCH : Zuni leizten Fermatschen Theorem. — Zur Dreiecksgeometrie. 
— L.-W. Tho.mé : Ueber simultané lineare DifTerentialgleichungen. 

Rand i.S'J . — L. Fejer : Beispiele stetiger Funklionen mit divergenter 
Fourierreihe. -- O. Perron : Ueber die Poincarésche lineare DifTerenzen- 
gleichung. — R. Weitzenbock : Zum System eines linearen Komplexes und 
einer P'Iiiche 2. Ordnung. — A. Meder : Analylische Untersuchung singularer 
Punkte von Raumkurven. — R, Naijendorff : Zur Théorie der Kreispunkt- 
polarkurven. — E. Stei.mtz : Algebraischc Théorie der Korper. — H.-\V.-E. 
Jung : Ueber den kleinsten Kreis, der eine ebeue l'ignr eiiischliesst. — 
G. Frobemus : Ueber den FEKMAr'schen Salz. 

Nouvelles Annales de Mathématiques, dirigées par G. -A. Laisant, C. Bolr- 

LKT et R. Bricard, 4">*= série. — Gauthier-Yillars, Paris. 

Tome IX, juillet-décembre 1909. — G. F'ontené : Sur certaines ([uadra- 
Inres. — E.mile Turrière : Sur les surfaces de Monge et sur la composition 
de calcul différentiel et intégral du concours d'agrégation (1908). — L. Go- 
DEAux : Sur un complexe bilinéaire de coniques, — A. Myi.ler ■ Sur le mou- 
vement d'une chaîne pesante sur une courbe hxe. — A. Bihl : Sni- les sui- 
faces dont les lignes asyinptotiques se déterminent par quadratures. — 
L. Zoretti : Sur la résolution des équations numériques — Phii.bert du 
Plessis : Concours d'admission à lEcole Polytechnique en 1909. Composition 
de géométrie analytique et mécanique. — Jean Servais : Concours d'admis- 
sion à l'Ecole Polytechnique en 1909. Composition d'algèbre et trigonomé- 

L'Enseignoiniiil mathoni., 12" année; 191(t. 12 



i:u BU I.I.KTI s m H r.IOGli.iPHIQUE 

trie. — I^. ZoBETTi : I^cs questions tie sens en Géométrie. — E Tukrière : 
Sur les trajectoires ortiiogonales de certaines surfaces et sur les intéjj;rales 
homoiïènes de l'équalion de Laplace. — B. Hostinksy : Sur un tliéorènie 
analogue au théorème de Meusnier. — J. Skkv.\is : Concours d'admission à 
l'Ecole Normale supérieure et aux Bourses de Licence en 1909. — E. Tuk- 
KiÈRE : Uue applicalion géométrique de la série considérée par Wry dans la 
did'racliou des ouvertures circulaires. — R. Ai.ezais : Sur la transloi-nialion 
de 1 équation du troisième degré en elle-même. — L.-A. Paillard : Sur la 
longueur de la circonférence. — Concours d agrégation des Sciences mathé- 
matiques en 1909 (.Mathématiques élémentaires). Solution par un Anonyme. 

— Ch. Méray : Sur les ligues brisées et les aires polygonales dans le plan, 
à propos de la décomposition d'un polygone en triangles. — L. Desaint : 
Théorèmes sur les limites. — M. -F. Ecan : Note sur les quadriques cir- 
conscrites à deux sphères. — Ch. Méray: Sur les lignes brisées et les aires 
polygonales dans le plan, à propos de la division du polygone en triangles 
[sitile). — G. FoNTENÉ : Contribution à la théorie du tétraèdre. — Agréga- 
tion des Sciences mathématiques (Concours de 1909). — Certificats d Asti'o- 
uomie, d'Analyse supérieure et de calcul diff. et intégral. — Solutions de 
<|uesfions proposées. 

Annali di Matematica. Directeurs: L. Bianchi, U. Di.m, g. Ju.ng, C. Segre. 
Série III, t. XVI. — Rebeschini di Turati e C . Milan. 

N"s 3 et 4. — E. E. Levi : Caratteristiche multiple e Problema di Cauchy. 

— SiBiKAM : Sulla rappresentazione approssimata délie fun/.ioni. — Cia.m : 
Una interpretazione geometi-ica dcl gruppo totale di sosliluzioni sopra sei 
elemenli. — Scokza: l^e superficie a curve sezioni di génère 3. 

Archiv der Mathematik und Physik, herausgegeben von E. La.mpe, W. 
.\Ieykr, E. Jahn'kk, 15. Band. — B. G. Teubner, Leipzig und Berlin. 

P. Ernst : Die Clairaulschen Mulliplikalrixkurven. — S. Gundelfinger : 
l eber eine spezielle Galtung gruppeutheoretischer Problème. — E. Hoppe ; 
Das Sexagesimalsystem und die Kreisteilung. - - K. Ko.vimkreli, : Oskulierende 
und hyperoskulierende Flachen zweiter Ordnung in einem Fliichenpunkt. — 
Y. MiKAMi : A remark on the Chinese Mathematics in Canlor's Gesclï-ichle der 
Mathematik. — A. G. Miller : Groups fbrmed by prime residues with 
respect to modular Systems. — M. Remak : Elementare Verallgemeinerung 
einer bekannten Eigenschaft der Zahl 30. — L. Saalschutz : Elementare 
Konvergenzkriterien. — C. Schmidt : Ueber die obère Grenze fur die Anzahl 
der positiven und negativen ^Vurzeln einer aigebraischen Gleicliuug. — A. 
Schreibkr : Differcntialforiueln beim Pothenotscheu Problem und Bedin- 
gungsgleichungen fur RùckwaiMsschnitle. — J. Schi-macher : Ueber Kesol- 
venten. .1. Valyi : Zur Théorie der partiellen Dill'erentialgleiehuugen zweiter 
Ordnung. — G. Viva.nti : Ueber den gegenwartigen Stand der Théorie der 
ganzen Iranszendenten Funktionen. — G. Wallenberg : Ueber die Vertausch- 
barkeit homogener linearer DilTerenzenausdrùcke. — H. VVeber : Ueber die 
Définition des Doppelintegrals. — ^V. Weber : Anwendungen des Pohlkes- 
chen Satzes. — M. Wi.nkelmann : Uniersuchungen ùber die Variation dei- 
Konstanlcn in dor Mechanik. 

Atti délia Reale Accademia dei Lincei. Auno CX(^V1. Rendiconii. — Rome. 
Septembre à décembre 1909. — 1-^. Bkrtini : 1. Sopra la tcoria dei nioduli 



// u I. L E r I y li mit o t. n a /> // / o u e i : i 

iH ror-iiif alijebriclH'. — '1. Sopi-a iiiia t'oi-iiiiila gênerait? iiel calcolo (lelle 
esleiisioni. — G. Gha/.ia.m : 1. Siilla lorimila intégrale di Fourier. - — 2. Kuii- 
zioni rappreseiitabili con la forimila intégrale di Fonrier. — G. LAUKr^i i.i.a : 
1- Snll inlegrazione dell' equa/.ione A'"' L = O per le aree piane. — 2. Sull 
iqiiazione intégrale di 1» specie. — L. Orlando . ÎS'uove osservazioni sulla 
formula intégrale di Fourier. — E. Pascal: 1. Osservazione su di uiia pro- 
prietà degli iulegrali di una classe di equazioni diirorenziali. — 2. L iulegra- 
lore meccanioo per le equaziolii difTerenziali lineari di 1" oïdiiie e per alti'e 
equazioni differenziali. — S. Pinciieklk : Sopra certe equazioni iulegrali. — 
F. SiBiRAM : Su r inlegra/.ioni di alcune equazioni aile derivale paiziali 
mediantc t'unzioui di Besscl. — L. Tonelli : Sull' integrazione per parti. — 
E. Almansi : Azione esercilata da una massa liquida iu moto sopra un cor|)0 
(isso. — P. BuRGATTi : Sulla forma |)iii générale délie equazioni délia tliua- 
mica. — U. Crudei.i : Metodo dircito j)er risolvere, dali gli spolamcnli in 
superficie, il problema dell equilibpio dei torpi elastici omogenei ed isotropi. 

— L. S. Darios : Sul moto dei filelti vor-licosi di forma (|ualunque. — X. 
Kryi.off : Sur le problème des vibrations transversales des verges élastiques. 

— L. SoMiGLiANA : Sopra una cstensione délia teoria dell elaslicità. — V. Vol- 
TEKRA : 1. Sulle equazioni inlegro-difl'erenziali délia teoria dell elasticilà. — 
2. Equazioni intcgro-ilidercMiziali délia elasticilà nel caso dell' isotropia. 

Bulletin of the American mathematical Society. — New-York. Vol. .\VI. 

AuMfe UtOU-lVtlU. 

Fasc. i et 2. — Morehead and Western : Note on Fermais Numbers. — J.- 
E. Wright : Au Extension of Certain Integrability Conditions. — C.-A. 
Noi-LE : Necessary Conditions that Three or More Partial Dilferential Equa- 
tions of the Second Order shall hâve Common Solutions. — R.-G.-D. 
UicHAKDSON and W.-A. Hukwitz : Note on Déterminants whose Terms are 
certain Intégrais. — W.-H. Bussey : On the Tactical Prohlem of Steiner. 

— A. -S. Chessi.n : On the So-Called Gyroslatie Effect. — A.-C. Lunn : A 
Continuons Group Related to Von Seidel's Opliial Theory. — G. -A. Miller : 
The Groups which may be Generated by Two Opera'ors .si, .S2 Satislying 

ihe Equation (sisz) = (.S2.si)'''. a and (3 being Relatively Prime. — E.-W. 
Uavis : A note ou Imaginary Intersections. — G. -A. Vacca : Maurolycus, 
the First Discoverer of the Principle of Mathematical Induction. 

Fasc. 3 à 5. — H. O.nnen : Gergoune s Pile Problem. — G.-C. Evans :' 
The intégral l-]qualion of the Second Kind. of Volterra, with Singular Ker- 
nel. — G. -A. Miller : Note on the Groups Generated by Tvso Opei-ators 
Whose Squares are Invariant. — I.-S. I)i:derick : The Solution of the E(|ua- 
tion in Two Real Variables at a Point NVhere Both Partial Derivatives 
V'anish. — W.-H. BcssEt : Tables of Galois Fields of Order Less than 
1,000. — R.-D. Carmich.el : Note on a New Nnmber Theory Fiinclion. — 

Notes. — New Publications. 

Comptes rendus des séances de l'Académie des sciences de Paris. 

Second semestre 1909 |Hu). — 29 novembi-e 1909. — Jean Merlin : Sur les 
équations algébritjues. — M et M""" Paul Dienes : Sur les singularités algé- 
brico-logarilhnii(|ues. — Frédéric Riksz : Sur les opérations fonctionnelles 
linéaires. — L. Lichtenstein : Sur la détermination des intégrales d'une 
équation du second ordre pour leur-s valeurs le long d'un contour lernit' 
dans le cas des pointes. 



172 BULf.ETlX H l li 1. 1 O C. R A P H I Q C E 

6 décembre 1909. — H. Poincaké ; Sur les courbes tracées sur les surfa- 
ces algébriques. — K. Fabry : Ordre d'une série de Taylor. — Galbkun : 
Sur la représentalion dune solution des équations avec diflerences finies 
pour les grandes valeurs de la variable. — A. Denjoy : Sur les ensembles 
parfaits discontinus. — D. Po.mim^iu : Sur les singularités discontinues des 
fonctions analytiques uniformes. — C Glichakd : Sur les surfaces telles que 
les tangentes à une série de lignes de courbure louchent une quadrique. — J. 
Haac : Familles de Lamé composées d'hélicoïdes. — R. Garmer : Sur les 
surfaces du quatrième ordre qui admettent un groupe infini discontinu de 
transformations birationnelles. — L. Remy : Sur les transformations bira- 
tionnelles des surfaces du quatrième ordre à points doubles isolés. — Ravi- 
c.neaux : Généralisation de la formule de Willls sur les trains épicycloïdaux. 

27 décembre 1909. — J. Haag : Sur les familles de Lamé composées des 
surfaces admettant un plan de symétrie variable. — E. Picard : Sur une 
classe de développements en séries des fonctions fondamentales se rattachant 
à certaines équations fonctionnelles. — D. Po.mpeiu : Sur la représentation 
des fondions analytiques par des intégrales définies. — Ch. Reigmer : Sur 
le calcul des volants de laminoirs. — L. Lecor.nu : Sur le volant des mo- 
teurs d aviation. — E. Jouguet : Sur la vitesse des ondes de choc et com- 
bustion. 

Premier semestre 1910. — 3 janvier. — A. Dk.moulix : Sur la transforma- 
tion de Ribaucour. — G. Tsitzeiga : Un problème sur les systèmes triples 
orthogonaux. — A. Dexjoy : Sur les fonctions analytiques uniformes à sin- 
gularités discontinues non isolées. 

10 janvier. — C. Russyan : Un théorème de M. W. Steklolf (théorème gé- 
néralisé de Jacobi) et les formules généralisées de la transformation de 
contact. — H. Lebesgue : Sur l'intégrale de Stieljes et sur les opérations 
fonctionnelles linéaires. — J. Le Roux : Sur les formes quadratiques défi- 
nies à une infinité de variables. — E. Jouguet : Impossibilité de certaines 
ondes de choc et combustion. — C. Guichakd : Sur les surfaces à courbure 
totale constante qui cori espondent à des systèmes singuliers d'ordre quel- 
conque. 

17 janvier. — A. De.moulin : Sur les systèmes et les congruences K. — 
U. CisoTTi : Sur une application de la méthode de Jacobi. — Ludovic Zo- 
RETTi : Sur les ensembles de points. 

24 janvier. — J. Le Roux : Sur les conditions de maximum ou de mini- 
mum d'une fonction analytique d'une infinité de variables. — Galbrun : Sur 
la représentation des solutions d une équation aux différences finies, linéaire 
pour les grandes valeurs de la variable. — D. .Mir:.ma.nofi : Sur le dernier 
théorème de Fermai. 

7 février. — A. Demoulin : Sur les systèmes et les congruences. — 
K.-Johannes Mollerup : Une remarque sur les équations intégrales de pre- 
mière espèce. — I\. Kryloif ; Sur les développements procédant suivant 
les polynômes hypergéomélriques. — M. Plancherel : Sur la représenta- 
tion d une fonction arbitraire par une intégrale définie. — R. Birkeland : 
Sur des intégrales irrégulières des équations différentielles linéaires, 

14 février. — E. Borel : Sur la définition de 1 intégrale définie. — J. Le 
Roux : Les formes quadratiques positives et le principe de Dirichlet. — 
F. BouLAD : Sur la disjonction des variables des équations nomographique- 
ment rationnelles d'ordre supérieur. — C Bourlet : Sur la résistance de 
l'air. 



BULLETIN Bl BLIOCHAP II l OU E 17;{ 

21 février. — G. Humbert : Sur les iniiiima des classes de formes qua- 
<lraliqucs biiiaii'cs et positives. — W. Stkkloff : Sur un tliéorème gé- 
néral d existence des fonctions foiidameataies correspondant à une équation 
différentielle linéaire de second ordre. — D. Po.mpeiu : Sur les siiifruiarités 
des fonctions analytiques uniformes. — J. Ciiazy : Sur les é(|ualions did'é- 
rentielles dont 1 intégrale générale possède une coupure essentiellement 
mobile. — G. Cotty : î^iir la transformation des fonctions abéliennes. — 
G. Uakboux : Rapport sur le mémoire de M. Gabriel Kœnigs sur « les 
courbes conjuguées dans le mouvement relatif le plus général de deux 
corps solides». — M. Bkii.louin : Les fonctions données par leur valeur 
sur une partie de la frontière, et celle de leur dérivée normale sur le 
reste de la frontière. Développements correspondants. 

28 février. — E Picard : Un théorème général sur certaines équations 
intégrales de troisième espèce. — E. Borel : Sur une condition générale 
d'inlégrabilité. — E. Cotto.n : Sur les solutions asymptotiques des équa- 
tions différentielles. — J. Marty :' Sur une équation intégrale. — L. F'e.iek : 
Sur une paire de séries de Fouiier conjuguées. — J. Boussiisesq : Sur la 
manière dont le potentiel des vitesses, dans le problème des ondes par émer- 
sion, dépend de 1 état initial. 

Monatshefte fur Mathematik und Physik, herausgegeben von G. v. Esche- 
RicH, F". Merïens u. \\ . W iKTiNGER. — Eiseustein & 0°, Wien. 

XXI. Jahrgang (1910) ; 1., 2. Vierteljahr. — W. Blaschke : Untersnchungeu 
liber die Géométrie der Speere in der Euklidischen Ebene. — M. Schleser : 
Asvmptotische Gesetze im kubischen Kreisleilungskorper. — R. Weitzen- 
BÔCK : Zum System von drei Strahlenkoniplexen im vierdimensionalen Ranm. 
— W. H. YouNG : On paramelric intégration. — E. Muller : Ueber die 
Hùllfliiclieu A on Flachenscharen. die durch krumme Schiebung erzeugt 
werden. — J.-F'. LewAiNdowski ; Ueber die œquianharmonische Funktion. — 
Ij. Lichtenstein : Zur Théorie der partiellen DifTerentialgleichung 

^ , . du , du ^ ^ . 

T> ul = 1 « + rt — - + /; + c„ — ,. c < 

ax <7 V 

M. KoiLER : Die Grenzflachen der Sf rahlennelze (Strahlensystenie ersier 
Ordnung und Klasse). 

Proceedings of the London Mathematical Society. Série 2, vol. 8. 

X"» 1 à '■'>. — J. Lakmor : The Kiiietic Image of a Convected System for- 
med in a Conducting Plane Sheel. — E. W. Hobson : On change of the 
Variable in a Lebesgue Intégral. — E. W. Hobso>! ; On some Fundamental 
Properties of Lebesgue Intégrais in a Two-Dimensional Domain. — W. H. 
YouNG : On Indeterminate Forms. — E. Cu.nm.ngham : The Principle of Rela- 
tivity in Electrodynamics and an Extension thereof. ' — W. H. Young : On 
Tcrm-by-Term Intégration of Oscillating Séries. — W. H. Young : On the 
Discontinuities of a Functiou of one or more Real Variables. — G. N. Wat- 
so.N : The Solution of the Homogeneous Linear Différence Equation of the 
Second Order. — (i.-N. VVatso.n : The Solution of a certain Transcen- 
denlal Equation. — H.-R. Hassé : The Equations of Electro dynamics 
and the null Intluence of the Earth's motion in optical and electrical Phc- 
nomena. — T.-E. Littlevvood : On a class of conditionally convergent infi- 
nité Products. — J.-G. Leathem : On Gauss's Theorem concerning the 



174 H U I. I. E T I .V ni RI.IO G H A P II l O U E 

surface intégral oi normal force in ihe Tlioory of allractions. — F.-I -W. 
WiuppLK : On iho Beliavionr at the Pôles of a séries of Legendre's Kunc- 
lions representing a Funclion wilh infinité disconlinuilics. — H. Batkman : 
The transformation of Elec1ro(l\ iiamiral llrnialions. 

Bulletin de la Société Mathématique de France. 1 . XXXVII. l'aris Kasc. 4. 
— \L. GovRSAT : Sur quelques points de la Théorie des équations inté- 
grales. — Emile Cotton : Sur les équations différentielles dépendant de 
paramètres arbitraires. — Ch. Hiocni: : Sur les dégénérescences des sur- 
faces desmiqnes. — L. Rai i y La méthode de la coordonnée isotrope 
dans le pioblème de la déformation des sui-faces. — G. Rkmoundos : Sur 
la représentation unil'orme des surfaces algébriques. — Table des ma- 
tières du tome XXXVII. 

Sitzungsberichte der K. Akademie der Wissenschaften, Wien. — Maih.- 

Natiirw Klass.\ CXVII. Baïul, Jahrgang l'JO.S. — (ierold's Sohn. 

Vienne. 

J.-A. Bakrau : Spezielle Kummer'sche Ivoiifigurationen im Masspoly- 
lop. — A. Denizot : Ueber die axonomelrischen Verkùrznngsverhaltnisse. 
— Ph. Frank : Die Integralgleiihungen in der Théorie der Jdeinen Schwiu- 
gungen von Fiiden und das Hayleigh'sche Prinzip. — J.-A. G.mkiner : Kri- 
lericn der Divergenz und Konvergenz von allernierenden unendlichcn 
Keltenbriichen. — • L. Han.m : Kinenialische Interprétation der Maxwell schen 
Gleichungen nnt Kiioksicht auf das Reziprozitiitsprinzip dei- Géométrie. 
(Fortsetzungl. — G. Kohn : Ueber einige Eigenschaften der allgemeinen 
Fliiche dritter Oidniing. — E. La.ndau : 1. Ueber einen Grenzwertsatz. — 
2. Ueber die Primzahlen in eincr arithmetischen Progression und die Prim- 
ideele in einer Idealklasse. — G. Majcen : Ueber eine Abbildnng der all- 
gemeinen l'Iiiche 3. Ordnung und einige daraus abgeleitete Eigenschaften 
der rationalen ebenen Knrv(>n 3, und 4. Ordnung. — F. Mertk.ns : 1. Die 
kubischen Abelschen Gleichungen des Bereichs ( — j/^l- — 2. Ueber die 
Irreduktibilitat der Kreisleilungsgleichungen. — G. Pick : Zur liypergeo- 
metrischen Dill'erentialgleichung. — U. Tuî-chel Zur Verwertung der 
sphai-ischen Abbildnng in der darslellenden Géométrie. — K. Zaurad.mk ; 
Konstruklion der ralionalen Knrven driller und vierter Oidnung, res- 
peklive Klassen vermiltels der kollinear incidenten Elemenlen. 

Acta Mathematica, dirigé par .\Iittag-Eefflkr, t. XXXIII Stockholm. 
Fasc. 1. — B. Gambikk : Sur les équations différentielles du second ordre 
et du premier degré dont l'intégrale générale est à points critiques fixes. — 
H. PoiNCARÉ : Remarques diver-ses sur l'équation de Fredholm. — A. Mat.- 
KOFF : fiecherches sur un cas remarquable d'épreuves dépendantes. 

WiadomOSCi Matemîtyczne, <lirigé par S. I)ickstei>;. Varsovie. Tome Xfll, 

s. Zari-.mba : Aper-çu sur 1 histoii'e du développement et l'état actuel de la 
théorie des é(|nations de la Physique. — W. Sierpinski : Sur un pi-oduit 
infini semi-convergenl. — H. Minkowski : L'espace et le temps. 

Mémoires de la Société royale des Sciences de Liège, 3^ série, lome VIII. 

Luc (iooEAUx : Notes de (iéomiHi-ii'. — J. Dkguici.dre : Sur une surface 
particulière du 7* ordre. — G. (^isaro : l^iéments d analytique sphérique. — 
.\. GoB ; Noie sur les hypocycloïdes Ir-icupsidales inscrites à un trjangle 



K u 1. 1. 1: 1 1 \ n I II i.i () c. Il .1 p n I o u e 1:5 

(ixo. — M. Bkaui'Ain ; Sur la liMiisformalion d'iiitcgrales à circuit lermé eu 
inléjçrales à circuit ouvert. — Luc. (todeau.x : l-'tudes de Géométrie synthé- 
tique. — J. Mai.aisk : Sur (jiK'l(|ue.s sr('Miéra lions des conicjiies et des qiiadri- 
ques. — IS'ki-bkkg et Dkt.ukldkk : Sur quelques lieux géométri(jiies dans 
l'espace. — J. Niubkiu; ; Relations entre les volumes de ccrlaiiis télraèdi-es. 
— H. Jan.ni; : Sur la variation des latitudes. — A. Cîoi. : Sur l'hypocvcloïdc 
de Steiner. 

American Journal of Mathematics. ediiod hy i'r Moiu-ky, Halilmore. 
Vol. X.X.XII. il'jlOi. I." 1. 

J. C. F1E1.DS : The Complenn-ntary Theorem. — I.,. Pkaui.kr I-Iisk.nuakt : 
The Twele Surfaces of Darhoux and ihe Transformation of Moulard. — Ar. 
Ev. Yor.NG On the Problenr of llie Spliorical Kepresenta'.ion and the Cha- 
racteristic Equations of (Certain (liasses of Surfaces. — K. R. Sharpk : The 
Générale Circulation of the Atmosphère — (i. A. Miller : Geueralizations 
of the Toti-ahedral and Octaheciral Groups. — O. E. Glenn- : The 1 heory of 
Desïenerale Alitebraical Curves and Surfaces. 



S. Livres nouveaux: 

W. Ahre.ns. — Mathematische Unterhaltung und Spiele. Ersier Band. 

Zweite vermehrte und verbcsser'te AuHai^e. — 1 vol. in-S". relié, 400 p. : 
7 M. 50; B. G. Teubuor. Leipzitf. 

P. Bacu.mann. — Niedere Zahlentheorie. Zweiter Teil : AâdilU-e Zahlen- 
theorie. — 1 vol. iii-S", 'iSO p. ; B. (i. Teubner, Leipzig. 

G. Bauer. — Vorlesungen ûber Âlgebra. Zweite Aufla^e. — 1 vol. in-8", 
366 p.; 12 M. ; B. G. Teubner, Leipzio;. 
O. BoLZA. — Vorlesungen ûber Variationsrechnung. — 1 vol. in-8». 

relié, 705 p.; 20 .M.; B. (i. Teubner, Lci|)/.itc. 

Gunther Bugge. — Strahlungserscheinungen, Radioaktivitàt (Bûcher 
der Naltinvissenschoft hevnusgegehen '■■oit Sit^giiiund Gi4itllieri. — 1 vol. 
in-16", relié: 80 Pf. : Pliil. Rccl;iin. jiin.. Leipzig. 

P. Crantz. — Arithmetik und Algebra zum Selbstunterricht. 1. Zweite 
Auflage ( Samnilting (t Ans Natuv uiid (ieistestvett » /. — 1 vol. in-16". relié. 
124 p.; 1 M. 25; B. G. Teubner. Leipzig. 

O. D. Chwolso.n. — Traité de Physique. Ouvrage traduit sur les éditions 
russe et allemande, par E. Daval.x. Edition revue et considérablement aug- 
mentée par l'auleur. Tome IV, l^r fasc. ; Champ électriifiie constant. — 
I vol. gr. in-8", 4oO p.; 12 fr. ; A. Herinann. Paris. 

F . DiNOKLDEy . — Sammlung von Auf gaben zur Anwendungen der Differen- 
tial- und Integralrechnung. Ersier ICil. — 1 vol. iii-8", relié. 202 p. : 6 M.; 

H. Cl. Tenbucr. Leipzig. 

O. DzioBEK. — Vorlesungen ùber Differential- und Integralrechnung. — 

1 vol. in-8". relié, 6'i.S p.. il) M.; 15. (.. Tcubiiei-, I.ripzig. 

3. Gajdeczka. — Uebungsbuch zur Arithmetik und Algebra fiir die oberen 

Klassen der Gymnasien. Healgvninasicii und lîeal.-icliiilt'u. 8. Auflage. — 
1 vol. in-8. relié. 2i8 p.; :! .M. 20; K. •l'cinpsky. Vienne 

R. Guimak.ïs. — Les Mathématiques en Portugal. Deu.vlème édition. — 

1 !vol. in-S", 655 p.: 2'i fr. ; Impriinriir de I l ni versili', (lo'unbre. 

K. HocEVAR. — Lehr- und Uebungsbuch der Géométrie fur (iymnasieu. 



176 liVLLETiy niH I.IOC. RAPHIQV E 

Realefy'"iii'sieii iind Rcjilsrhiileii. Uiiterslufe. 9. AuHage. — l vdI. iii-8". 
relié. 105 p.; 1 M. 80; K. l'eiiipsky, Vienne. 

La Langue internationale et la Science. Considérations sur 1 iniroduc- 

tion do la langue inlerii.iti(iM;ilf d;iiis la science. — - I fasc. in-8'>, 65 p. ; 1 f'r. •. 
Ch. Delagrave, Paris. 

W. V. Ignatowsky. — Die Vektoranalysis und ihre Anwendungen in der 

theorelisclien Piiysik. 11. Teil. Anweiidnngen i Mutliein. Pliy.si/iiilisc/ic Sclirif- 
ten fiir Ingeniciire und Studieiende, herausgegiben von E. J.\hnkl:|. — 
1 vol. in-8", relié, 123 p. ; 3 iM. : B. G. Teubner, Leipz.ig. 

M. Laxge. — Das Schachspiel ( Sammlun^ « Aus Xatur und Geistefnvelt » /- 
— 1 vol. in-16o. lelié. 107 y. ; 1 M. 25; H. G. Teubner. Leipzig. 

E. Lkbon. — Gaston Darboux, biographie, bibliographie analytique des 
écrits iCollection des S(i\aitts du jour). — 1 fasc. gr. in-8o, 72 p. ; 7 fr. ; 
Gautliier-Villars. P;;ris. 

E. Lltz. — Analytische Géométrie der Ebene, elemeuiares Lehrbuch lïir 

hôhere Lehranstallen. — 1 vol. in-8", relié, X untl 301 p.; 9 M.; G. Biauii, 
Karisruhe. 

M. .VIandl. — Lehrbuch der Géométrie. I. Ausgabe fiir die oberen Klassen 
der Gyninasien und Kealgyuinasien |1V-N'1I1. Klasse;. 1 vol., 364 p. — II. 
Ausgabe fur die oberen Klassen der Realschulen (IV-VIT Klasse). i vol. 
in 8i>, 382 p. — Chaque vol. relié; 'i.50 K. ; Manz, Vienne. 

G. Mannoiky. — Methodologisches und Philosophisches zur Elementar- 

Mathematik. — l vol. in-.S>\ 27() p. ; P. Visser, HaarKrii. 

Moi.MK. — Lehr- und Uebungsbuch der Arithmetik fur die I. und II. 
Klasse der Gyninasien. Realgymnasien und Realschulen. 40. Auflage be- 
arbeit.von K. Zaurad.mcek. 1 vol. in-8°, relié, 156 p. ; 2 M. 50. — Ausgabe 
fiir die III. und IV. Klasse der Mitlelschulen. 30. Auflage. 1 vol. in-8°, 
relié, 228 p.; 3 M. ; F. Tempsky. Vienne 

MocMK. — Anfangsgrûnde der Géométrie fiir die I. bis III. Klasse der 

Mitlelschulen. 28. Auflage bearbeilet von J. Si'ielmann. — 1 vol. in-8", relié, 
107 p.; 1 M. 80; K. Tempsky, Vienne. 

H. Poi.ncark. — Sechs Vortrâge aus der reinen Mathematik und mathe- 

matischen Physik. — 1 fasc. in-8o, relié, 60 p.; 2 .M. 40; B. G. Teubner, 
Leipzig. 

C. ScnoY. — Beitrâge zur konstruktiven Losung sphàrisch-astrono- 

mischer Aufgaben — 1 vol. in-8", 40 p.. avec 3 lig. el 8 planches; 1 M. 60; 
B. G. Teubner, Leipzig. 

Schwab u. Lesser. — Mathematisches Unterrichtswerk zum Gebrauch 

an lioheren Lehranstallen. — Lehr- und L'ebungsbuch <lei- Géométrie, von 
K. ScnwAB. Erster Teil, Ausgabe A, liir die iniltleren Klassen der Real- 
anslalten. 1 vol. in-8", relié, 290 p. ; 4 .M. — Lehr- und Uebuungsbuch fiir 
den Unicrricht in der Arithmetik und Algebra, von O. Lessek. Zweiter Teil, 
Ausgabe A, fiir die oberen Klassen der Realanslallen. 1 vol. in-8", relié, 
238 p.; 3 M.; F. Tempsky, Vienne. 

R. SupPANTscHiTSCH. — Lehrbucb der Géométrie fiir Gyninasien u. Real- 
gymnasien. Miftelstufe ; Planinieirie u. Stéréométrie. Mit 349 Fig. u. 1296 
Fragen u. Aufgaben. — I vol. in-8", cari., 340 p.; 4 Kr. 50; F. Tempsky, 
Vienne. 



COMMISSION INTERXA'riONALK OK l/ENSEIGNEMKNT 
MATHÉMATIQUE 



So/is-Co/n/iiissio/i française. 

RAPPORT 

SUR LES DIPLOMES D'ÉTUDES SUPÉRIEURES DE 

SCIENCES MATHÉMATHIQUES EN FRANCE 

Par A. DK Saint-Germain (Paris). 



I/étiule des matières dordre supérieur a été réeeiiinieut déve- 
loppée dune manière appréciable, dans nos Facultés des Sciences, 
par l'introduction d'une épreuve nouvelle imposée aux candidats 
au concours d'agrégation'. Ce concours, on le sait, a pour objet 
principal le recrutement des professeurs titulaires dans nos lycées, 
.lusquen 1907, les candidats, munis de quatre certificats d'études 
correspondant à la licence, avaient seulement à subir, dans un 
intervalle de cinq ou six semaines, les épreuves du concours pro- 
prement dit, les unes écrites, les suivantes orales et pratiques, 
permettant de juger leur savoir et leurs aptitudes pédagogiques. 
Le Miuistie estima qu'après avoir conquis le grade de licencié, 
les candidats gagneraient à poursuivre, pendant une année au 
moins, leurs études générales et théoriques dont la sanction 
serait le Diplôme d'études supérieures^ organisé par arrêté du 
18 juin 1904 ; ils pourraient ensuite mieux se préparer à un 
concours dont le caractère serait nettement professionnel, le sujet 
des leçons à faire comme é|>reuves étant tiré des programmes des 
lycées. 

Pour le diplôme d'études supéi'ieures de mathématiques, il y 
a deux sortes d'épreuves : 

1" ("omposition dun Mémoii'c sur un sujet agiéé pai- la 
Faculté : ■ 



' Au sujet tlu i'ii|)|)Oi'l (le M. de SAiNX-fifCHMAiN, nous souiinos heureux de rappeler que VEii- 
xeigiiemcnt mathématique a di'ja entretenu si-s lecteurs des Diplômes d'études supérieures. Un 
iirlirli- (l<! M. Hliii. (T. X. inilS. p. 372) il aUiré l'attention sur eux et plus particulièrement sur 
Icui- prt'paration a la Kaoulté des Sciences de Montpellier. Cet article est suivi du résumé d'un 
niéuioii-e éi-rit. pdur l'obtention du diplôme, par M. Coslabel. élève de la Faculté. M. de Saiut- 
(ïermaiu mentionne d'ailleurs plus Iniu ce ménu)ire sous la rubrique : Analyse supi'rieure. 

N.d. 1.1!. 

L'Ens(ri<!n«'iuent matlit'ni.. li-'annc'c; l'.lUi. i:i 



1 : s A. /) K s AI N T - G E li M . i I X 

T^ liitei roiiations sur ce travail et sur des questions indiquées 
Irois mois à Tavance et se rapportant à la même partie des mathé- 
inali(iues. 

Le Mémoire a pour objet soit un travail original, soit l'expose, 
total ou pailiel, d'un mémoire ou d'un cours d'ordre supérieur 
aux proniammes l'oiidamentaux du calcul infinitésimal et de la 
mécauicpie. Dans ce dernier cas. un simple résumé ne saurait 
surtire; le canditlat doit présenter les théories et les démonstra- 
tions sous une forme nouvelle, ou démontrer des propositions, 
efl'ecluer des calculs que l'auteur ou le professeur n'ont fait qu'in- 
diquer, ou enfin traiter ([uelques applications originah^s. 

L'arrêté de 1904 ajoute que seront tenus pour équivalents au 
diplôme d'études supérieures de mathématiques les certificats 
portant sur l'une des matières suivantes : Analyse supérieure. 
Géométrie supérieure, Mécanique céleste. Physique mathéma- 
tique. Mécanique physique et expérimentale. Ces certificats ne 
sont délivrés que dans quelques Facultés; ma's là, ils sont géné- 
ralement recherchés de préférence au diplôme : t^elui-ci exige, 
dans une certaine mesure, des découvertes que le candidat peut 
ne pas trouver dans le domaine dont il tente l'exploration ; au 
contraire, l'étudiant qui suit avec zèle et intelligence le cours fait 
par un bon maître en vue d'un des certificats équivalents au 
dij)l6me est presque sûr d'obtenir le certificat; en outre il aura 
accpiis un bagage de connaissances plus considérable que le 
camarade qui aura concentré ses efforts, plus ou moins inexpéri- 
mentés, sur une question spéciale. En tous cas, les uns et les 
autres auront utilement fortifié leur éducation scientifique avant 
d'aborder la préparation du concours professionnel. 

La statistique montre bien que les certificats ont été recherchés, 
de préférence au diplôme supéiieur de mathématiques, dans les 
Facultés où l'option était possible. Pendant les années 1906, 1907, 
1908 et 1909, les Facultés françaises ont délivré 27 diplômes de 
mathématicjues contre 65 de sciences physiques et 40 de sciences 
naturelles : à Paris, en particulier, 59 diplômes ont été conférés, 
pas un seul pour les niathématifiues. VA l'on doit noter que les 
candidats à l'agrégation de mathématiques sont sensiblement plus 
nombreuxque ceux qui concourent pour l'agrégation des sciences 
physi(pies et sui'tout des sciences naturelles. 

Nous bornant aux di|)lômes de mathématiques, nous voyons 
qu'il en a été délivré 1 en 1906, 11 en 1907, 6 en 1908, 9 en 1909-. 

Au point de vue de leur lépartition entie les diverses Facultc's. 
on a les résultats suivants : 

7 pour la Faculté de Montpellier, 

6 pour la b'acidté de Grenoble, 

3 pour les Facultés de Bordeaux et de Nancy, 

2 pour celles de Lyon et de Maiseille, 



n 1 1> I.O M E s I) ÉTUDES S C I' É R l E l li E S 17^» 

I pour celles de Clei-mont, Dijon, Kcimcs, rouloiise; 

aiiiiiii pour celles de Besançon, Caen, Lille, Paris, Poitiers. 

(les dipKNnies ont été obtenus par des élèves des Kacnltés, aspi- 
rant il rai>résration,(pi()i(iue en piincipe ils puissent être recherchés 
j)ar tout le monde, sans conditions de grades ni de nationalité. 

Pour les épreuves orales, d'ailleurs éliminatoires, on ne peut 
guère que constater ([ue les jurys d'examen les ont toujours 
déclarées satisfaisantes ou très satisfaisantes et je crois peu utile 
<rindic(uer les sujets proposés aux candidats, généralement en 
dehois des programmes fondamentaux. Au contraire, il y a peut- 
être (piclque intérêt à passer en revue les questions traitées dans 
les tlillérents Mémoires, avec une appréciation sommaire du tra- 
vail présenté. Je les grouperai d'après la branche des Mathéma- 
tiques à laquelle ils se rapportent, en essayant, pour chaf[ue 
groupe, de commencer par les meilleurs. 



I. — Géométrie infinitésimale et théorie des surfaces. 

C!clt(> branche a tenté le plus granti nombre et nous fournit sept 
-Mémoii-es. Je commencerai pai' celui de M. Tciuîii:iîE (Toulouse. 
1907 : Sur le problème de Transon. Le candidat aborde la <jues- 
tion dun point de vue nouveau : il cherche les surfaces qui sont 
normales aux droites d'un complexe donné; les définissant à 
l'aide de coordonnées tangentielles, il obtient l'équation du pro- 
blème sous une forme remarquable, d'oii découle une remarque 
importante de M. Darboux ; il applique cette équation à des 
exemples très bien choisis. Puis, il rattache à son sujet des 
études intéressantes, surfaces dont la développée a une nappe 
conique, surfaces correspondant aux complexes dont l'équation 
est homogène en L, M, N, etc. Ce travail important dénote beau- 
coup de savoir et d'habileté, il est plus que satisfaisant. 

M. PioBV fClermont, 1909 : Surfaces sur lesquelles les trajec- 
toires orthogonales cl' une famille d'asymptotiques sont des géodè- 
siques. f^e candidat étudie le mouvement d'un trièdre dont les 
arêtes sont dirigées suivant les tangentes aux asymptotiques con- 
sidérées, les tangentes aux trajectoires et les normales à la sur- 
face : il en déduit l'équation aux dérivées partielles du 2'^ ordre 
des surfaces cherchées, envisage la représentation sphérique de 
leurs deux familles d'asymptotiques, puis cherche des cas par- 
ticuliers parmi diverses classes de sui-faces, réglées, de révolu- 
tion, etc. Le sujet est limité mais en grande partie original, traité 
avec habileté et élégance, encore très satisfaisant. 

M. CoissoN Dijon, 1908) : Sur la déformation et l'applicahilitè 
des surfaces. Le candidat, après des généralités, recherche les 
surfaces applicables sur celles oii ds^ a une forme donnée : il 



1 H (I A . DE S A IN T- C. E H M A I N 

arrive analytiquenient à réquation de Boiir, puis reprend la ques- 
tion à l'aide du trièdre mobile et des foi-niulcs de Codazzi dont il 
niontie les avantages; il cheiche enfin comment on peut voir si 
deux suilaces données peuvent saj^pliquer lune sur l'autre. Sujet 
étendu, bien traité, avec une part d'originalité sut'Iisante. 

M. Sauvigny (Lyon, 1909) : Des sitrfaces sur lesquelles les lignes 
de courbure d'un système sont planes. D'abord, par la Géométrie, 
le candidat établit quelques propriétés générales des lignes de 
courbure, leur enveloppe, les congruences de leuis tangentes, 
etc. ; puis, les applitpiant au cas oii les lignes de courbure sont 
planes et même circulaires, il trouve les cai-actères des surfaces 
correspondantes et leur construction théorique. F^nsuite, il 
reprend la question analytiquenient : il obtient sans intégration 
la solution du problème pour le cas où les plans des lignes de 
courbure doivent envelopj)er un cône. Travail étendu, souvent 
ingénieux, a le méiite d'obtenir par deux méthodes uniformes 
des résultats déjà trouvés en suivant des voies très diverses. 

JNl. QuÉMÉNKL'R (Nancy, 1909) : Surfaces niininia applicables sui- 
des surfaces de ré^'olution. Le candidat identifie les ds'^ des deux 
surfaces exprimés à l'aide des coordonnées symétriques de la 
sphère : il obtient analytiquenient, puis par la considération du 
trièdre mobile, des résultats énoncés par Bour et par M. Darboux. 
Applications très bien choisies ; étude détaillée du groupe alys- 
séide-hélicoïde à plan directeur. Sujet limité mais fort bien pré- 
senté, avec des résultats élégants et personnels. 

M. Ravxaud (Grenoble, 1907): Des liirnes de courbure. Le candidat 
passe en revue les principaux chapitres de cette théorie, propiiétés 
fondamentales, ... , développées des surfaces, transformation de 
S. Lie, etc. La partie personnelle consiste dans l'exposé de dé- 
monstrations nouvelles, quelques-unes d'une rigueur contestable ; 
néanmoins, ce travail considérable, bien ordonné et bien clair, a 
pu être jugé suilisant. 

M. CnAiiRASsi-: Montpellier, 1908) : Propriétés i^ènérales des sui fa- 
ces. Le candidat avoue que son Mémoire est surtout l'exposé d'un 
cours d'ordre supérieur fait par M. Vessiot: il démontre quelques 
résultats simplement énoncés et résout plusieurs problèmes propo- 
sés jiar i\IM. ^ essiot, NiewengloAvski et les Aouvclles Annales. 
Le .liuy, estimant que M. Charrassc eût pu obtenii- un certificat de 
Géométrie supérieure, lui accorde le dijilôme. 



II. — Géométrie analytique. 

Sous ce titre, je i-éunirai deux Mémoires ayant trait à tles sujets 
limités, et tous deux bien satisfaisants. 

M. Biu;ssE ^Nancy, 1908): Les écjualions différentielles de deux 



I) n> I.O M ES D KT V DES S l' l> E H I E V H E S ISl 

fdniilh's (le ((iiirhcs phiiH's. I.a pi-emicro est celle des eoiii([iies, la 
seconde celle des eiil)i(|iies deliiiies pai' nue (''([tialioii de la tonne 

} •*' -h -N'a.V + Xc = . 

Le candidat, suivant des méthodes indi(iiiées par Fnchs et par M. 
Tanneiy, nioiihe (jue, en général, les ortlonnées des deux familles 
de courbes satisfont respectivement à deux équations diilérentiel- 
les du 2'"*^ ordre, linéaires et sans second membre: il trouve les 
intégrales générales, qui représentent respectivement des coni- 
ques et des sexti([ues dont il éindie les propriét('s i>éométriques. 
Enfin, et c'est le chapitre le plus personnel, il déduit ces proprié- 
tés de l'étude des sinj^ularités des intégrales. 

M. Soui.A (Montpellier, 1909) : Les courbes gauches de 'i'"" ordre 
et de 2'"^ espèce. Le candidat expose clairement, avec les notations 
usitées en France, les résultats énoncés dans un Mémoire de Cre- 
mona l.SOOi et dans plusieurs de M. Adler (1883) : à l'aide de coor- 
données homogènes, il établit les propriétés des courbes données, 
qui peuvent être de O'"", 5'"'^ ou 4'"'^ classe; il étudie chacun des 
groupes, puis retrouve des résultats énoncés par M. Bioche en 
1907 et rattache à son sujet les complexes circonscrits à deux qua- 
driques. Il montre un réel talent d'adaptation et de synthèse. 



111. — Singularités des intégrales des équations du l*"" ordre. 

Nous avons ici trois Mémoires se rapportant à léquation 

dr f(x . r) 

(al -f- = '- ^ 

dx -{{x , y) 

/et g désignant des polynômes. 

M. Gay Grenoble, 1909i. Singularités des intégrales des éqna- - 
lions différentielles du i*"" ordre. Le candidat se proposait d'étudier 
le Mémoire de M. Poincaré relatif à la question quand :v et y sont 
réels; sur le conseil de M. Zoietti, il envisagea d'abord le cas de 
.V et // complexes. Il démontre par S méthodes l'existence de l'inté- 
grale de léquation « ,"puis expose les délicates recherches de M. 
Painlevé sur les singularités de l'intégrale ei élucide la théorie 
par un exemple très bien choisi et traité à fond. ^ enant au do- 
maine réel, il expose les résultats trouvés par MM. Poincaré et 
Bendixson, avec applications bien appropriées. Ce travail foit 
bien rédigé, implifjue des notions exactes sur une théorie diffi- 
cile et a des parties originales : il est excellent. 

M. Pi:iti-ETTi (Montpellier, 1907) : Etude d'une équation différen- 
tielle du l" ordre. Le Mémoire est inspiré par un cours de M. 
Boutronxau Gollège de France. Rappelant les principes posés par 



1 82 . / . n E s A I .\ T - G E R M AIN 

M. Paiiik'vé. la classificalion des sinoularités d'après M. Bontioiix, 
le candidat a|)pli(|iie les méthodes du niaîlie à IVuiuatioti 

2xy -f- = ay- + .>-(Xo + X,v + X^v'-' + X.r'i . 
clx ' ... 

(i constante coniple.xe. les X polynômes en .v. Le candidat a su 
choisir un exemple conduisant à des résultats j)récis et permettant 
de suivre les diverses déterminations de l'intégrale en un point 
multiple. Vu la dilliculté du sujet, ce travail bien rédigé, est bien 
satisfaisant. 

M. Mkdv ^Xancy, 1909). AUiire d'une branche d'intégrale en un 
point singulier à l'infini. I.,e candidat s'inspire aussi du cours pré- 
cité de M. Boutroux : il considère une branche d'intéorale de 
l'équation [a] présentant un point singulier i-ejeté à l'iniîni et étu- 
die l'alhu-e et la croissance des branches f|ui y passent: a])plique 
convenablement les résultats à un exempli' indi(;ué par M. Bou- 
troux. Travail soigné, mais assez peu personnel; néanmoins ac- 
ceptable. 

IV. — Equations aux dérivées partielles du 1 ' ordre. 

Sur l'intégration de ces équations, qui ne dépasse pas beaucou]) 
les programmes fondamentaux, nous tiouvons 4 Mémoires qu'on 
peut regarder seulement comme assez satisfaisants. 

M. Moiu-: ^Lyon, 1908' : Sur la simplification que donne la connais- 
sance de quelques intégrales preniièix's du système des caractéris- 
tiques pour l'intégration diin système d'équations qui sont en invo- 
lulion. Le candidat a été guidé par un cours de M. Vessiot, le livre 
de M. Goursat et aussi par les travaux de Lie et de M. Saltykow ; 
il expose avec habileté les travaux de ces maîtres et cherche 
à les comparer entre eux; il glisse sur le rôle joué par l'idée de 
transformation de contact, mais il fait des applications à quelques 
exemples bien choisis. 

M. VujiÉ (Montpellier, 1909): Sur la j)ermiitation des intégrales 
d'une équation de la forme 

Xi — 4- -f X .— . 

Ceci se rattache à un point important de la théorie des groupes. 
Le candidat, s'inspirant largement d'un Mémoire de M. Buhl, 
montre que, connaissant une intégrale //,, ou peut en déduire élé- 
nientairement une autre de la forme 

Y. ^' + + Y '^■. 



i> 1 1' I. () M /•; >■ I) i: r c i> /•; .v > u p e h i e u h e s i k:; 

(le celle-ci on poiiira levom'c a //, par nue voi»^ analogue (|iiaii(l 
une cei'laine identité est V('Mi(i(''e ; celte théorie peut découler du 
théorème de Poisson. Le candidat explicite la démonstration de 
la r(''ciproque, énoncée par M. Appell ; puis il donne une inter|)ré- 
tation y(M)métri(iue de lidenlité considéi'ée. 

Viennent ensuite deux Mémoires présentés à la F'aculté de Mar- 
seille en 1907 par MM. b'i'tAxcHscniM et Sauvaihk : ce sont des ex- 
posés partiels d'un cours fait à la Faculté sur l'étude détaillée des 
ef[uafions dont nous nous occupons; ils donnent les méthodes 
ilinté^ration de Boole, de Mayer et de (>auchy; ils considèrent 
spécialement le cas des systèmes en involution. Le grain d origi- 
nalité demandé consiste en des remarques intéressantes sur les 
méthodes exposées et en plusieurs applications, géométriques 
chez M. Franceschini, numériques chez M. Sauvaire, lequel montre 
en outre qu'on ne saurait lencontrer un cas singulier sur lequel 
M. Collet avait simplement appelé l'attention. 



V. — Fonctions elliptiques. 

Sur cette théorie, nous avons deux bons Mémoires. 

M. Maiîio (Kennes, 19U(>) : Sur l'équation de Lamé. Dans un Mé- 
moire de 103 pages, le candidat expose avec soin les principaux 
résultats acquis à cette importante question. Il prend l'équation 
sous la l'orme de Weierstrass, indique les recherches de Lamé ; 
avec Hermite, il cherche pour le cas général, une intégrale de la 
forme 

V = 51» + (II) 31» 4- «„') f— "'î"i + +?""! ; 

.11 ' II, 

(3//) 

on sait que pa^ , ... , pun doivent être les racines d'une équation de 
degré n : le candidat montre la suite d'opérations qui peimettent 
d'éviter la résolution de cette équation; il a le mérite très réel 
d'avoir réuni nombre de résultats trouvés notamment par Hermite, 
Halphen et aussi par M. Krauze pour le cas oii //z' — zy' est nul, 
3 se déduisant de // par le changement de // en — // ; il démontre 
d'une façon très correcte un grand nombre de propositions sim- 
plement énoncées par ses guides. 

M. Kaynaud (Grenoble, 1907): Etude des cubiques de genre un a 
l'aide des fonctions eltiptiques. Le candidat se seit paitout des no- 
tations de Weierstrass; il passe en revue les représentations clas- 
siques des cubiques; il fait la lemaïque, qui semble nouvelle, que 
si l'on pose 

(ij)u -\- hp'ii + f a'pu -\- h'p'tt -\- (•' 

n" lia -f- II" p'u -\- <■" ' • a"pu -\- h" p' u -\- c" 



18 i A. DE S A I XT- G E H M A I N 

la représentation devient impropre si le déterminant | a, b' , c" \ 
est nul. Il étudie in('tlu)di<|uenient les piopriétés des cubiques, 
démontre de nombreuses jjropositions simplement énoncées par 
les maîtres, notamment par M. Ilumbert; endn il donne les pro- 
priétés de courbes déduites dualistiquement des cubiques. 



VI. — Intégrales abéliennes. 

Xous trouvons deux Mémoires iBordeaux, 1907), constituant 
d'intéressants exposés partiels dun cours fait par M. P. Cousin. 

M. MoNCHALX : Propriétés fondameniales des intégrales abélien- 
nes de i""* espèce, des intégrales élémentaires de 2'"^ et de 3'"^ e.s- 
péces. Après avoir rappelé quelques définitions d'Halphen, la nota- 
tion homogène de Clebsch, le candidat étudie la formation de ses 
intégrales et les discute pour les courbes n'ayant que des points 
singuliers à tangentes distinctes ou des rebroussements de l""" 
espèce; il applique sa théorie à 4 courbes bien choisies, et l'étend 
à deux antres courbes non comprises dans la discussion générale. 

M. DE Sarrau: Problème de Jacohi sur l'im'ersion des intégrales 
abéliennes. Employant les fonctions & de plusieurs vaiiables, le 
candidat développe avec une grande clarté la méthode donnée par 
Riemann dans un Mémoire où la concision est excessive, les nota- 
tions difTiciles à suivre; il effectue divers calculs qui étaient sim- 
plement indiqués et termine par le cas limite des intégrales ellij)- 
tiques. Si on dit que ces deux Mémoires sont les travaux d'élèves 
d'un maître excellent, on doit ajouter qu'eux aussi ont été d'ex- 
cellents élèves. 

Vil. — Analyse supérieure. 

Sous ce titre, je réunis deux Mémoires relatifs à des questions 
nouvelles et tous deux bien satisfaisants. 

M. Carrox l'Grenoble, 1907): Sur laniesure des ensembles. Le 
candidat coordonne et compare les travaux de MM. Cantor, Jor- 
dan. Borel, Lebesgue, qui ont envisagé cette mesure à des j)oints 
de vue différents ; sans apporter d'importantes contributions 
personnelles à des théories qui sont loin d'être classiques, il a le 
mérite de les avoir exposées le premier, d'avoir heureusement 
modifié plusieurs démonstrations, fait quelques rectifications de 
détail, et signalé la relation qui existe entre l'idée de mesure et 
le nombie des dimensions d'un ensemble. 

M. (^osTABEL (Montpellier, 1908) : Sur le prolongement analy- 
tique d' une fonction méromorphe. Le candidat expose les idées de 
MM. Borel et Buhl sur les séries divergentes et leur application 
au jx'olongement analytique de la série de Taylor ; puis il gêné- 



I) 1 1' I. o M /■: s I) ET r I) !■: s s u i> f: n / /■: u h k s \ x:, 

lalise la mclliodc ovpoïKMilicUc do M. Boiel en se seivaiil des iiilé- 
i;ral<'s c'iir\ ilii^iifs de M. liiihl et en siil)stituant à la foiictioii som- 
rnatn'ce expoiionlielle des fonctions entières j)lns C()ni|>li([n('es. Il 
obtient ainsi de nouvelles sortes de pioloni^cnient analyti(jue dans 
des réi>ions dont il donne une re|)résentation précise. \À Ensei- 
gnement mathématique a publié un résumé de cet intéressant tra- 
vail T. X. 190S. p. -.Ml). 



\ m. — Mécanique. 

La Mécanique est représentée par trois Mémoires, tous trois 
i-elatifs à la stabilité de ré([uilibre. M. MAncEi.Lix (Grenoble, 19071 
rappelle les travaux de Lagranoe et de Dirichlet ; après quelques 
essais relatifs aux vitesses, il démontre nettement la réciproque 
du tbéorème de Diricblet (jnand on n"a qu'un seul paramètre et 
une fonction de forces U holomorphe. 11 reprend les recherches 
de Liapounow pour le cas où le non maximum de U est indiqué 
par les termes du 2""' degré, et pour le cas où U n'existe pas. Il 
4-herche si l'addition de liaisons, holonomes ou non, renforce la 
stabilité; enfin il analyse les travaux de M. Ivneser, Painlevé, 11a- 
mel sur le cas des mouvements plans. Sans trancher la très déli- 
cate question qu'il a choisie, le candidat fait preuve de connais- 
sances étendues et de critique avisée. 

M. Caillet (Grenoble, 1908] : Stabilité de réquililne d'un point 
mobile dans un plan. Le mobile M, sollicité par une force F, ne 
dépendant que de sa position, est en équilibre au point O. Le 
candidat établit quatre propositions: soit un domaine limité au- 
tour de O: le point M, légèrement dérangé, en sortira dans un 
temps fini si F et t'„ ont des projections positives sur OX ou sur 
OM, ou des moments de même signe... Si U existe, la courbe 
U = a un point singulier en O; si c'est un point isolé, équilibre 
stable: un point à tangentes distinctes, il est instable; dans le cas 
de deux tangentes confondues, le candidat démontre les résultats 
seulement énoncés par M. Painlevé ; il glisse un peu sur le cas du 
point multiple quelconque et celui où U n'existe pas : mais son 
travail est plus qu"accéj)table. 

M. Dei.i.ac Montpellier, 1907 : Stabilité delà courbe d'équilibre 
d'un /il pesant et homogène. Pour le cas de la chaînette, le candidat 
établit très bien la stabilité pai- une méthode géométrique donnée 
par M. Kneser dans le Journal de Crelle; l'extension de la mé- 
thode an cas du fil posé sur une surface prête à quelques objec- 
tions (jui n'ont |)as empèclié le .Inry d'accepter le travail. 



186 . / . l) E S A I y I - C E H M A I .V 



IX. — Mécanique céleste. 

M. Staim-kr iBordeaux, 1909 : Sur la rotdtion de la Terre. I.e 
candidat, assistant à lObservatoiro, tiaite la question d'après 
MM. Klein et Somnierfeld ; il a su grouper les matériaux épars 
dans des ouvrages étendus et les bien présenter avec les notations 
usitées en FraJico; il introduit ([uchpies periectionnements de 
tlétaii, pour rendre compte de jdusienrs obseivations récentes et 
délicates. Le travail, très important, a été jngé comme bien satis- 
faisant. 

X. — Calcul des probabilités. 

M. \ É/.iA.N (Montpellier, 19(J9 : Sur quelques points du caleul des 
probdbililés. Dans .r -|- // observations, lévénemeni A s'est pro- 
duit .V fois, B, // fois. Quelle est la probabilité de "A lors d'une 
•*' ~\~ y ~\~ 1'"" obseivation ? — Le candidat trouve qu'elle satisfait 
à une équation aux dillërences dont il donne quelques solutions. 
11 applique les résultats au théorème de Poisson sur les grands 
nombres, généralisation qui, d'après Bertrantl, manque de rigueur 
et de précision; M. Vézian montre qu'en modifiant l'énoncé de 
Poisson, il échappe à ce double reproche. Il termine par quelques 
projjlèmes rehitifs à la probabilité des causes. Ce travail, portant 
sur un snjel toujours délicat, a été bien accueilli par le .biry. 



CoXCl.L"SU)\. 

Les Mémoiies présentés portent sur des questions suffisam- 
ment variées ; le tiers au moins d'entre eux sont parfaitement 
satisfaisants sans qu'aucun peut-être eût pu être accepté comme 
thèse de doctorat; très peu sont médiocres. 11 n'est ni téméraire 
ni l'egrettable de sup]n)ser que leurs auteurs aient été plus ou 
moins guidés par leurs maîties; mais en définitive le résultat 
cherché a été atteint, la culture des mathématiques a été déve- 
loppée dans |)lusieuis centres, au grand ])rofit des étudiants et 
de leurs futurs élèves. 



JL'MLS MASSAI' (1852-Ii:)0y 
coiirrE NOTicK slh sa vie et ses thavalx en mécanique 

ET EN (;É()MÉTmE VECTORIELLE 



I 



Le l'ëcent article de M. Jaunkk su/- la Science e.vtensive de (jniss- 
inann^ ainsi que les notes de ^VS\. Burali-Forti et Marcolonco - 
sur les notdtions vectorielles m'ont amené à faire connaître un 
mathéniatioieii belye, enlevé trop tôt à la science et dont les idées 
personnelles et originales sur cette question sont généraleineni 
ti'ès peu connues. Je veux parler de Junius Massau, l'un des pro- 
fesseurs les plus distingués de l'Université de Gand, où il enseigna 
pendant trente ans le cours de Mécanique analytique et plus tard 
ceux de Mécanique céleste et de graphostatique. 11 était en même 
lemj)s inspecteur général des Ponts et Chaussées et corres|)()n(laiil 
de l'Académie Royale de Belgique. 

Né à Gosselies le i) avril i^Wl. J. Massau est décédé à Gand le 
10 février 100!). Après de solides études moyennes à l'Athénée 
Royal de !Mons. il se distingua comme élève à l'Ecole des Ponts et 
Chaussées de Gand. Je laisse à une plume plus autorisée que la 
mienne le soin de retracer les principales étapes de sa laborieuse 
carrière scientifique qui comprend plus de trente-cinq années. 
Les détails biographiques qui suivent sont extraits du discours 
prononcé le jour des funérailles de Massau, au nom de la Classa 
des Sciences de l'Académie de Belgique, par ^L A. Demollin. 
professeur à l'Univeisilé de Gand, correspondant de ce Corps 
savant. 

u Le talent mathématique se révèle souvent de bonne heure. Va\ 
« 1874, à l'âge de 22 ans, Massau fut couronné au concours d(; 
i< l'Knseignement supérieur. Au mémoire qu'il composa à celte 
'< occasion étaient jointes des thèses fort remarquables. Trois 
« d'entre elles contenaient en germe ses rechei'ches ultérieures sur 
< y Intè>^r(itii>n ^raphi<ine. Cette branche nouvelle, toute entière 
'( due à Massau, est aujourd'hui l)ien connue des ingénieurs; elh^ 



• /;. V.. Il» do nov. 190!t, p. 417-429. 
» / . V . Il» (lp nov. l'.inft. p. 4"i!t-'i6fi. 



188 J. ROSE 

« permet de traiter faeilenieiit de nombreux jiroblèmes teelini(|iies 
«( que Ton ne résolvait autrelois cju'à laide de longs caleuls. 

« Pendant dix ans, de 1.S78 à LSST, Massau poursuivit le déve- 
" loppement de eette théorie dans une suite de travaux qui furent 
" réunis en un volume sous le titre de Mémoire sur V Intégration 
» graphique et ses applieations' . Je ne puis donner iei une idée, 
<■ même rapide, du contenu de cet ouvrai>e ca|)ital ; je viens d'en 
> iudiquei' limportance au point de vue de linoénieur. Toutefois. 
" je désiie en signaler une partie qui ne se rapjiorte pas à linté- 
<< gration graphicpie et à laquelle mon regretté maître attachait, 
<< avec raison, un grand prix. Je veux parler de la branche que 
« M. d'Ocagne devait désigner plus tard sous le nom de Aomo- 
X graphie. En jîartant de l'anamorphose de Lalanne, Massau a 
« formulé de la manière la plus générale les principes essentiels 
« de la Xomographie, et il a eu pleine conscience de limportance 
« et tle l'utilité de ces principes quil a d'ailleurs appliqués à 
« plusieurs reprises au cours de son mémoire. Récemment, en 
<> 1907. Massau est revenu sur ce sujet, et il a publié dans les 
« CoDiptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris-, une note 
« substantielle oii il résout un problème difiicile relatif aux 
« abaques. 

« En 1889, Massau ajouta au Mémoire sur l'intégration graphi- 
« que un Appendice^ fort étendu où sont étudiées des questions 
« dun ordre fort élevé. Je citerai surtout sa théorie des accords 
.< qui lui permit de traiter, après Heiniite, le problème de la 
« détermination de l'intégrale n^ d'une fonction. 

« A la lin de 1878, Massau avait été chargé de faire, à l'Univer- 
« site de Gand le cours de mécanique rationnelle''. 11 renouvela 
« l'enseignement de cette branche par l'emploi systématique des 
« vecteurs et de leurs combinaisons : le produit et le moment 
« géométriques. Il introduisit aussi dans ses cours la théorie des 
« limites relatives et en fît d'élégantes applications. 

« Tous ces travaux avaient placé Massau au premier rang; ils 
« lui valurent en 1894, le prix quinquennal des sciences phy- 
« siques et mathématiques pour la période 1889-1893. 

« \y\ cours de ces dernières années, Massau a publié des tra- 
« vaux non moins remarquables que les précédents. J'ai surtout 
« en vue le Mémoire sur l'intégration graphique des équations au.v 
« dérivées partielles^ et la Note sur les cordes vibrantes^. 



* Annula de l'association des ingénieurs sortis des écolis de Gand (A. I. G.), 1883-lS8i. 1886- 
1888. puis en volume à part <le 735 pp. avec aUas de 310 fifç. 

2 2'J juillet 1907. 
,^ A. I. G., 1888-1889. puis volume a part de 264 pp. 

* Le cours de mécanique de Massau a eu trois éditions autographiées en 1882, 1883 et 1891- 
1893-1896. 

^ A. I. G., 1900, l'jol, r.Mi3-l!i(l4. Le ])reniier lascicule a aussi iiarii en une autograpliie lic 
IV-14'. pp. 

''■ A. I. G.. 1905. 



./C'.y/l'S M.ISS.iU 18'.» 

l'aiiiii les piohlriiK's que so |)()sent les géoinèlres relativc- 
' iiR'iil aux é(iiiali<nis aux dcrivccs pailiclles, certains ont |)()ni- 
■' objet la dêtenninaliiMi dune solution satisfaisant à des condi- 
« lions aux limites analyti(iues. Mais les problèmes qu'on ren- 
« contre en mét-anique peuvent être plus com])liqués, les condi- 
>< tions aux limites peuvent ne pas être analyticjnes. Les théories 
.( classiques sont alors eu défaut et il faut reprendre la question 
'( à roriyine. A Massau revient le grand mérite d'avoir reconnu 
X quelle est, dans ce cas, la nature des solutions et d'avoir appliqué 
'< sa théorie générale aux difliciles problèmes du mouvement varié 
'< des eaux et de la poussée des tei'reS. 

« En 190(}, l'Académie des Sciences de Paris lui décerna le |)ri\ 
« Wilde pour l'ensemble de ses travaux, et je sais combien il lui 
<( sensible à ce témoignage de haute estime (|ue lui donnait lii- 
•' lustre compagnie. 

« J'ai dû passer sous silence bien des recherches originales et 
.< profondes; je citerai toutefois, avant de terminer ce rapide ex- 
*< posé, la JVote .sur les pièces chargées de bout ' et la Xote s///- les 
X (jêoinétries non-euclidiennes - . Là encore, on peut admirer toutes 
< les ressources de ce puissant esprit. 

« Telle est l'œuvre de Junius Massau ; non seulement elle est 
'( destinée à rester, mais je suis convaincu qu'elle seia étudiée et 
" ap|)i'é( iée comme elle le mérite par un public de plus en plus 
;< nombreux. » 

Massau a publié en outre les notes suivantes : 1. Note sur les 
intégraphes [B. l. G., 1887;. — "2. Calcul des cotisations des sociétés 
de secours [B. I. G., 18871. — 3. Note sur la résolution i^raphique 
des équations du premier degré [A. I. G., 1887-1888 . — 4. Note sur 
les transformations par bielle et par manivelle [A. 1. G., 1891 . — 
."). La représentation proportionnelle (2 broch. de 19 et 47 pp. in-8". 
1891-1892); Massau y défend le principe de la plus forte fraction 
forcée. — (5. Discours sur les ballons dirigeables, suivi d'une note 
sur radiation A. I. G., 1903'. — 7. Calcul du tau.v réel des emprunts 
à primes. (1890;. 

Ainsi que le fait remarquer très judicieusement M. Demonlin, 
l'œuvre du mathématicien belge est peu connue. Cela s'explique 
quelque peu par le fait (jue Massau, dont la modestie était provei - 
biale, n'a jamais fait im|)rimer ses magistrales leçons tle méca- 
nique. 11 se contentait de les faire aulographier, et, à la fin de sa 
carrière, la dernière édition en étant épuisée, il ne voulut même 
pas en entreprendre la réimpression, malgré les sollicitations 
réitérées de ses élèves. 

L'oubli ifdatif cpii a entouré son fcuvre s'ex|)lique mieux encoie 



' .1. /. a. 19(1'». 

* .1. /. <;.. l'joi-r.ioô. 



UX) 



./ /. O s K 



si Ton tient compte tlu lait ([Ht,' la majorité de ses élèves se compo- 
sait (le futuis ingéiiieiii's, sollicités suilout vers la mécaiiitpie ap- 
pli(|iiée et naccoidant au coins de mécaniipie ratioiiii(>lle cpie 
I iutéièt dû à son importance relative à l'examen. Quant aux fu- 
turs docteurs en sciences mathématiques, ])eu ont osé se hasarder 
à entreprendre des études spéciales sur la mécanique. Non pas 
|)ar défiance à Téofard du pi'ofesseur ou moins encore par antipa- 
thie, mais par suite de lOioanisation ])articulière des études du 
(loctoi'at. Car Massau jouissait à juste titie d'une popularité de 
l)on aloi dans les milieux universitaires; toutes les sympathies 
allaient instinctivement à cette figure tranche, ouverte et em- 
preinte de la bonhomie la plus sincère, (l'était le j)ère des étu- 
diants ; au milieu de leurs réunions fraternelles, il se sentait re- 
deviMiir jeune et il redevenait, pour un instant, le joyeux compa- 
gnon de jadis : en un mot, il était pour ses élèves bien moins un 
maître qu'un ami. 

D'autre part, à Gand, les cours du doctorat es sciences mathé- 
matiques ne sont suivis que par de très rares élèves, la carrière 
oH'rant peu de ressources. De sorte que très peu ont eu l'occasion 
ilecouter ses leçons sur la partie la plus intéressante de son ou- 
vrage, qui. malgré l'originalité des questions traitées, n'a pas 
eu la publicité qu'il méritait. Et cependant, quelle mine inépui- 
sable de matériaux variés ; quelles méthodes simples et élégantes ! 
l/esjirit est émerveillé devant ces généralisations hardies et ces 
concepts dune profondeui' remarquable. 



II 



Le lecteur me permettra de feuilleter avec lui les deux tomes de 
\w Mi'catiiqiie rationnelle de nion vénéré maître; il se proposait 
d'y ajouter une troisième partie sur les compléments et la méca- 
nique céleste. 

L'ouvrage débute j)ai' une introduction de ((uatre-vingts pages, 
dans laquelle l'auteur expose les principes de la géométrie vecto- 
rielle dont il feia usage dans son cours de mécanique. Ce dernier 
c()inj)rend trois paities : statique, cinématique, dynami(|ue, et se 
termine par un appendice sur lequel j'auiai l'occasion de revenir 
l)lus loin. 

Chose digne de remarque : la mécanique est ex])osee en faisant 
usage d'une façon systématique des notations vectorielles; l'expo- 
sition y gagne en clarté et en concision. Il se sert j^resque exclu- 
sivement des trois symboles a, ah, y^ah. Le premier a = AB est 
le pet'^ef»/- joignant les deux points A et B et de longueur (t , dans 
lecpiel on distingue une grandeur, une direction et un sens. Le 



.1 1 y I r s M . I s s A V 1 '.t I 

second ah est le produit i^'éaniétrique de ticiix vecteurs (i et h; il 
est égalai! piodiiit ali»(>|)iiqiie de leurs grandeurs pai' le cosinus 
deleurannle. (^uant ;i K.M(ib ou \i' iiioinent géonièlrifiiie des vccleuis 
(t et /», c est un vecteur dont la i^iaudeur est |)ro|)ortionnelle à la 
suiface du parallélogratnuie construit sur a et sur b comme côtés 
et dont la direction est perpendiculaire au ])lan de ce parallélo- 
i^i'auime. Pour achever de le définir, on suppose le contour de ce 
paralléioyrafunie parcouru dans le sens (3ACB() OA = a , OB = h ; 
le sens du moment géométrique sera pris tel (luiin observateui' 
placé le long de ce vecteur, les pieds à l'origine () et la tète à Tex- 
trémité veirait le mobile se mouvoir dans le sens du mouvement 
des aiguilles d'une montre. 

I.e produit géométiique a été défini par Iii-sal Traité de ci/ic- 
Diittiqiie pure, Paris, Malley-Bachelier, 1802 ; la notion du mo- 
ment géométrique est due à Massac .Cours de mécanique de l'Uiii- 
^ersité de Gand, 1879, Gand, Lobel ; Paris, Gauthier-Villars). A la 
vérité, avant ces auteurs, et à peu près à Tépocpie oii Grassmann 
publiait ses recherches, de Saint-Vknant 'C. R., 18'j't. 2""' semes- 
tre, p. 620 avait défini, sous le nom de |)roduit géométiique d une 
aire et de produit géométrique de cleux vecteurs, des combinai- 
sons analogues à celles qui ont été étudiées par Resal et Massau : 
mais si l'on se reporte à la note citée, on reconnaîtra sans peine 
([ue les équations aréaires et celles qu'on peut en déduire n'ont 
pas la précision qu'od'rent les équations qui lésultent de l'emploi 
du produit et du moment géométriques. Pour leur donner cette 
précision, il faudrait substituer aux aires planes les vecteurs qui 
les représentent ; c'est précisément en cela que consiste le progrès 
réalisé par Massau. 

Ces définitions étant admises, un point M quelconque est dé- 
terminé par rapport à un point pris comme origine quand ou 
connaît le vecteur OM. .Mors e = O.M est la caoïdonnée vectorielle 
de M. 

On conçoit que lorsque M décrit une couilje (1 on une surface 
(S , e varie; dans le premier cas, e dépend dune seule variable 
indépendante t et on a e=^fiti; dans le second, au contraire, e 
<lépend de deux variables indépendantes t et /' qui peuvent être 
les coordonnées de Gauss, et e^:=fit, t' ). 

On conçoit que toute la théorie des courbes et des suif'aces peut 
se faire parla géométrie vectorielle ; c'est la méthode suivie par 
M. Demoulin dans la théorie des complexes, congruences et sur- 
faces l'églées Bruxelles, Castaigne, 1804 et dans son cours de géo- 
métrie infinitésimale de ll'niversifé de Gand. On éprouve un vé- 
ritable plaisir à manier les é([uations vectorielles (pii. chaque fois, 
remplacent trois équations a nalylicpies de projeclion sur liois axes 
rectangulaires. 



192 J. liOSE 

Ces foiu'fions «géométriques sont soumises aux mêmes lègles 
que les fonctions ordinaires de l'analyse intinitésimalc et l'auteur 
a soin chaque fois d'interpréter les résultats i)éométriquement. 

Mais où l'oiiniiialité do son esjjrit sallirme avec le plus de net- 
teté, c'est (juand il intiothiit la notion de limite relative : un infi- 
niment petit d'ordre k étant mis sous l;i l'orme Mrf/* [dt convo- 
geant vers zéro;, si on remplace le vecteur M j)ar sa limite /// , on 
obtient un autre infiniment petit /ndt'^ qui est la limite relative du 
premier. 

Cette définition sappli(pie évidemment aux infiniment petits 
analytiques; elle s'applique aussi aux quantités finies : leurs limi- 
tes relatives se confondent avec leui's limites absolues. Ces limites 
relatives jouissent de plusieurs propriétés intéressantes ; ainsi la 
limite iclalive d'une p<j^iti-e est la limite absolue d'une figure sem- 
blable à In figure infiniment petite; les limites relatives des lon- 
gueurs, des aires et des volumes infiniment petits sont les longueurs, 
les aires, les volumes pris dans la limite relative de la pgure. Toute 
figure infiniment petite a pour limite absolue un point qui est le 
pôle de convergence ; si on prend ce pôle comme origine, tout 
point de la figure donnée a une coordonnée vectorielle de la forme 
Mf//^ ; aux limites relatives, ce point est remplacé par un autre 
dont la coordonnée est mdl^. 

Les relations entre deux figures infiniment petites sont régies 
par la théorie des lignes de rappel. Deux figures infiniment petites 
ont respectivement pour pôles de convergence les points P et Q; 
deux points A et B de ces figures sont réunis par une ligne de 
rappel AB ; ces points sont soumis par là à une condition ; il s'agit 
de savoir ce c|ue devient cette condition au.x limites relatives, f.a 
droite AB est une ligne qui a pour limite absolue PQ; on suppose 
que la droite AB coupe sa limite en un point O; la limite ()' du 
point d'intersection O est ce que Massau appelle le/b//e/' de la ligne 
de rappel. 

Ces nf)lions fondamentales ont permis à l'auteur de construire 
une méthode de calcul qui se suffit à elle-même et de développer 
son cours de mécanique suivant la voie qu'il s'était tracée, c'est-à- 
dire en se servant exclusivement des notations vectorielles. Ceux 
qui veulent se convaincre de la beauté des procédés employés 
n'ont qu'à lire ces pages, où l'auteur a traité dune façon magis- 
trale les principales théories de la statique. lia adopté la division 
suivante dans l'étude de cette branche : Statique du point. — Sta- 
li(iu(' des systèmes solides invariables. — Stali(jue des systèmes 
(pielconques. — Principe des vitesses viitiiclles. — .\|)plications. 
Les deux derniers chapitres sont paiticulièremenl intéressants; a 
signalei'. |)ai'mi les applications, la détermination des centres de 
L' ravi lé. 



.1 1' N I es .)/./ s s .i {■ |f»:i 

La ciiKMaali^iiic a loiiiMii à Massaii roccasioii d exposer avec 
siin|)lic'ilé et oh'i^aiicc ses llicoiios iondamciilalcs cl (!<; iiioiitrei' 
ainsi la portée de la méthode veclorielle. A nieiitionner tout parti- 
cMlièieiiHMit le mouvement du point aréolaire, le mouvement éh'- 
menlaii'e d Une (ii^ure olissaut tians son plan, le mouvement d une 
surlace mobile inviiriable sur une surface fixe, le mouvement fini 
d'un système invariable, le mouvement d'un système invai-iable 
autour d'un point fixe. Dans l'étude du mouvement parallèle à un 
|)lan fixe, l'auteur, par l'emploi de méthodes très simples, arrive 
•i des résultats très remarquables au point de vue iféométrique. 
Le parai^iaphe tiaitant du mouvement relatif lui donne lOccasion 
détablir la formule très curieuse suivante : 

Me Mal =i a{Jjc] — h\ac\ 

(ju il apj)lique aux dillcrenticlles et aux dérivées de fonctions 
oéométritiucs. 

Cela nous amène à consacrer quelques lignes à létude d'une 
(juestion où la personnalité et l'originalité du i)cnseur se sont 
alïirmees avec le plus de netteté; il s agit de la. /'o ne //on linéaire 
la plus générale. On éciira E = (p e , et on dira que K est une 
fonction linéaii-e de e, si l'on a 

J:I = (tx-x -\- a,jy -\- Uzz 

.i\ //, z étant les projections de e sur trois axes rectangulaires. 
La fonction linéaire inverse est e =■ g)~' (RI. La fonction if' est con- 
jiiiiiiée de </) si e(f \i = Lfy' e , quelles que soient e et K. Ces rela- 
tions définissent des transformations géométriques qui ont été 
t'tudiées par lauleur avec le plus grand soin. Il appelle fonction 
aiitoconjuguée une fonction linéaiie identique à la conjuguée ; 
dans ce cas, la transformation est paiticulicrement intéressante; 
ainsi la s|)hère 

■Ï-- + J- + : 
se tiansforme en un ellii)soïde 



1 



i^ 






i,'", ,i,''., ,i,':, étant des éléments propres à cette transformation. 
.M. W asteels a appliqué cette méthode à l'étude de certains 
volumes dans les quadrifpies et en a déduit une généralisation 
du théorème de Lexell .M., 1907, p. 33). 

Après avoir étudie ensuite la fonction linéaire éi^ale el contraire 
à sa conjuguée, montré comment on i)eut décomposer la fonction 

I.'Ensoignenient maUiéin.. 12' année; 19U'. 14 



194 ./. no SI-: 

linéaiio la plus oénérale, Massau applique les résultats pipcédents 
à létutle des tléplaecuieiUs iliiis autour truii point, à la dilatation 
linéaire et à la dilatation cuhitpie. Il y dérnontie le ihéorènie sui- 
vant si iiiléiessant et si inattendu : /c niom'einenl èlènienlaire ait- 
totir d'un point M pendant un intervalle de temps dt se décompose 
en une dèforniation pitre et une rotation instantttnèe itonrbillon i. 

Knfin, pour terniiner cette loni>ue série de questions, viennent 
les applications aux problèmes des tangentes, de l'enveloppe d'une 
eourlje invariable, des rayons de courbure, des roulettes; la règle 
de Savary ; la théorie des axes dépendants et indépendants; une 
esquisse de la théorie des complexes, congruences et suifaces ré- 
glées et leur généiation stati(jue; les tétraèdres de Mobius. 

La dynamif[ue de Massau retiendra particulièi'ement notre atten- 
tion par plusieurs questions où l'auteur s'écarte plus ou moins des 
théories exposées dans les traités. Tout d'abord il y a lieu de citer 
les nombreuses aj;)plicati(>ns de la fonction vecfoiielle dans la 
théorie des moments d'inertie, la rotation des solides et la théorie 
des tourbillons en hydrodynamique. La démonstration des équa- 
tions de i^agrange et dllamilton a été considérablement simplifiée. 
Tandis que beaucoup d'auteurs admettent conime évident l'exis- 
tence d'un mouvement plan ou rectiligne, le mathématicien belge 
a soin d établir deux théorèmes pour demontier (ju'il en est réelle- 
ment ainsi. 

La projection d'un point qui décrit une spiiale logarithmique 
lui donne la solution générale du mouvement d'un point sollicité 
par une force centrale proportionnelle à la distance au centre 
d'action dans un milieu qui résiste comme la vitesse. 

Lorqu'il y a une fonction de forces, la durée des petites oscil- 
lations d'un point sur une courbe est donnée par une formule 
simple où figurent le rayon de courbure de la courbe et celui 
d'une section normale de la surface de niveau qui passe par la ])o- 
sition*d'équili])re. 

De plus, plusieurs chanj^ements ont été apportés à la théori( 
des tautochrones et des brachystochrones. Dans l'étude de l'in- 
fluence de la rotation de la terie sur le mouvement des projec- 
tiles, l'auteur discute complètement la direction de la déviation 
comparée à celle du plan de tir. 

Dès 1874, Massau a préconisé la méthode de l'observatoire an.ri- 
liaire dans l'étude des mouvements en général et paiticulièremenl 
dans l'étude des mouvements relatifs. Il applique cette méthode 
aux mouvements relatifs des projectiles et du pendule à la sur- 
face de la terre. Pour ce qui concerne le mouvement des projec- 
tiles dans l'hypothèse de l'attraction terrestre constante, il re- 
trouve, pres(pie sans calcul, riulerpr(''tation gc'ométrique donnée 
par Bour et ci'itiquée à tort par Kesal et Cilheit. 

On sait (\uo les é(piations de translation des systèmes matériels 



./ IN/ 1 s Mjss.t r lyô 

conduisent au théorème du mouvement du centie de gravité. Il 
établit un théorème analogue en interprétant les é(iuations de 
moment : c'est le théorème du centre de gravité des points aiéo- 
laires. 

Massau tait suivre la lli(M»ri<' des moments d'ineitic^ de la com- 
positittn des ([nantîtes de mouvement et des forces d'inertie. Il a 
été ainsi ramené à composer un système de forces parallèles pro- 
portionnelles aux niasses et aux distances de ces masses à un 
plan ; le centre de ces forces est le pôle du plan pai' rapport à 
l'image d'inertie. 

Le mouvement du gyroscope de Foucault a été étudié approxi- 
mativement par Quet dans l hypothèse de la pesanteur constante. 
Bour a trouvé une solution exacte dans le cas de l'attraction ter- 
restre constante. Les calculs' de Quet et de Bour sont excessive- 
ment longs. En appliquant la méthode de l'observatoire auxi- 
liaire, le iiiathiMiiaticien gantois retrouve la solution de Bour sans 
calcul. 

Dans l'hydrostatique et l'hydrodynamique, qui teiminent son 
cours de mécanique, l'auteur établit l'équation du mouvement va- 
ii(' (h's Ihiides. en partant d'une hypothèse plus vraisemblable 
<pie 1 hyj)othèse du parallélisme des tranch(>s. 

Le dertiier chapitre a pour objet la théorie des tourbillons. 
Massau s'insj)ire quelque peu de r(^uvrage de M. IL Poincaré sur 
le même sujet. Mais sa méthode vectorielle lui permet d'exposer 
les iM-incipaux résultats avec plus de simplicité. C'est un fait 
connu que le théorème de Helmholtz sur la persistance des tour- 
billons conduit à une méthode pour étudier le mouvement des 
liquides. JNIassau montre que le théorème de Helmholtz est insuf- 
fisant pour étudier le mouvement des gaz et qu'il est nécessaire 
d'y joindre un nouveau théorème, qu'il appelle le théorème de 
l'accélération de la dilatation cubique. Pour faire voir que la dis- 
tribution des vitesses obtenues par la comparaison électro-magnéti- 
que est la seule solution possible, quand le flnide est en repos à l'in- 
fini, l'auteur démontre le théorème suivant : « Si les dérivées pre- 
mières d une fonction qui satisfait à l'équation de Laplace ne de- 
viennent pas infinies, elles sont constantes ^>. Au lien de déduire 
cette proposition des théorèmes d'analyse qui sont la conséquence 
du principe de Dirichlet, Massau en donne une démonstration 
directe. Il applique ensuite la méthode des transformations au 
mouvement d'un iluide et il cherche une transformation de l'es- 
pace et des vitesses laissant subsister les débits et les llux de tour- 
billon. Appli(iuée au mouvement plan, cette transformation con- 
duit à une généralisation de la m<4hode de la repi-ésentation con- 
forme. 

I^es quehiues lignes qui précèdent ne peuvent donner qn une 
très vague idée du cours de mécanicjue de Massau ; il faut lire ces 



196 ./. nos/-: 

pao;es, écrites dans un langage clair et concis, pour se rendre 
compte de la supériorité de sa méthode et des richesses inépui- 
sables contenues dans cet ouvrage. Mais ce qui intéresse les nia- 
thémaliciens à un degré plus élevé, c'est la niullijdicité des ques- 
tions traitées dans V Aftpendire du tome 1. 1> auteiii' y montre, par 
une série d'exemples parliculièrement bien choisis, les divers pro- 
blèmes géométriques qui peuv(Mit s<' résoudre en faisant usage des 
limites relatives. 

Après avoir établi les din'érenccs essentielles entre la méthode 
infinitésimale et la méthode des limites en analyse, l'auteur se 
demande » s'il n'est pas possible de combiner les deux méthodes 
pour en former une seule qui soit rigoureuse comme la méthode 
des limites et qui puisse s'applicjuer aux questions géométriques 
aussi facilement que la méthode des infiniment petits ». La mé- 
thode des limites relatives lui parait réunir ces conditions. Ainsi 
qu il le fait encore remaïquei- « la méthode infinitésimale est plus 
({u'une justification de la pratique des infiniment ]ietits. l/intui- 
lion infinitésimale suffit dans les questions faciles: mais il en est 
d autres où Ton risqueiait de s'égarer en s'abandouuant à l'intui- 
tion infinitésimale, tandis que la méthode des limites relatives 
conduit toujours au but ». 

Il s'occupe d'abord du prohreiue des lan<^en(es, et il étudie par- 
ticulièrement les tangentes aux cissoïdales, aux courbes algébri- 
ques, à la strophoïde, à la trisectrice de Mac-f.aurin, aux surfaces 
et aux courbes parallèles, aux couibes diamétiales et à la courbe 
isopticjue. Il donne ensuite ce qu'il appelle la règle suprême des 
normales aux courbes et aux surfaces. 

Le probème des rai/ons de courbure fait l'objet d'un paragraphe 
spécial. Il y détermine les rayons de courbure des couibes algé- 
briques, des courbes F(/-, P) = (/• est le rayon vecteur, P distance 
du pôle à la tangente), des podaires et des antipodaires, des rou- 
lettes généralisées; il retrouve plusieurs formules établies précé- 
demment par Delaunay, Mannheim et llabich. Dans d'autres pro- 
blèmes, il traite des rayons de courbure en un point multiple d'une 
courbe algébrique, des courbes diamétrales, des courbes conchoï- 
dales. H fait les mêmes recherches relativement aux rayons de 
courbure des surfaces et particulièrement des surfaces polaii-es 
léciproques, des surfaces inverses, des surfaces |)odairos et anti- 
podaiies. 

Malheureusement, ces procédés sont peu connus et on ne les- 
trouve jias dans les traités relatifs aux courbes. 11 serait à souhai- 
ter que les prochaines éditions des ouvrages suivants : G. Louia, 
Spezielle algehruische und trnnszendente ebene Kur<,>en ; F. -G. 
1 EixEiiiA, Truite des courbes spéciales remarquables ; II. Wiiïleit- 
XKH, Spezielle ebene Ku/-f>en fassent mention des travaux de Mas- 
sau et exposoiif h-s pi-incipes fondamentaux de sa méthode. 



.117 M us MASSAU \\r, 

Dans Ir secoiul fhapitr»' de l'Appriidii-e, 1 aiitriir s'occupe des 
complcnicntH de i^co/uc/ric s///n/>(ili(jiie à liois diinensioiis. Il y traite 
successivcMuent dos produits et des moments de vecteurs et eu 
particulier de ce (|u"il appelle la foiinule d'exjndsiou, de la 
composition des points, dos droites et ilos aires, de la généralisa- 
tion (les théorèmes des moments, des équations de composition 
et de leurs applications, des produits réirressifs, du produit sta- 
tiounaire dos segments et de certains déterminants relatifs aux 
<listances de 5 points. 

Dans un troisième chapitre, il étudie la méthode des quater- 
nions et il prouve que certains symboles dérivés des quaternions 
sont identiques aux notations vectorielles usitées par lui. Et il 
ajoute cette observation critique : « I.a méthode des quaternions 
ne s'est pas répandue; il est aisé d'en trouver la raison, f.es qua- 
ternions peuvent être utilisés en géométrie, en analyse, en méca- 
nique; pour en tirer le plus grand parti, il faudrait les enseigner 
dès le début des éludes mathématiques; qui oserait tenter une 
pareille expérience? On pourrait, il est viai, sacrifier les applica- 
tions géométriques et exposer les quaternions comme introduc- 
tion à la mécanique; mais, même à ce moment, la théorie des 
quaternions paraîtrait bien abstiaite, et c'est sans doute pour ce 
niolif((u'il n'existe pas encore de traité de mécanique ainsi conçu. » 
Les mêmes critiques ne s'appliquent pas aux symboles 2n, [aa') ; 
aussi ils se sont vulgarisés; nous aidons l'espoir que le symbole 
iVaa' aura le même succès, et alors, on aura tous les avantages des 
quaternions, sans avoir rencontré leurs difficultés ». 

Il donne ensuite une nouvelle théorie des quatei-nions, explique 
les dénominations de verseur et de tenseur et esquisse, d'après 
Tait, une théorie des quaternions par les verseurs, tout en la cri- 
tiquant. 

Le chapitre suivant, du plus haut intérêt, traite de la gcométrie 
symbolique à 4 dimensions. 

Massau transporte ses définitions dans ce domaine et, avec une 
clarté digne déloges, il expose les principes de cette partie de la 
géométrie. 11 établit une série de foiniules généralisant celles qu il 
a renconti'ées dans la géométrie à tiois dimensions et il applique 
ses résultats à la géométrie à n dimensions. Je ne connais pas 
d'exposé plus limpide touchant cette géométrie, à laquelle il aj)- 
plique même la généralisation de sa fonction linéaire. 11 définit 
les coordonnées homogènes et les hypercoordonnées ; il s'occupe 
des transformations géométriques, de 1 involution des masses, des 
segments et des aires, du système focal de réciprocité. Autant 
d'idées originales, malheureu.sement trop peu connues ! 

Enfin, cette étude se termine par l'examen de la méthode de 
H. Grassmann. Tout en reconnaissant à ce dei'uier les mérites 
rappelés par M. .lahnke daii'; son mémoire cité plus haut, Massau 



lys • J. ROSI-: 

ne partagée cependant pas complètement les idées du professeui- 
de Steltin. Dans la critique de l'édition de 1844, le mathématicien 
belge écrit : « On y lit de longues considérations philosophiques, 
mais on y cherche en vain une tU'fînition bien précise des gran- 
deurs extensives; on y trouve seultMnenl que le vecteur d un sys- 
tème à ni dimensions peut changer de m manières difTérenles et 
indépendantes, qu'il a un commencement § et une fin ;' et que, de 
là, résulte évidemment (?) 

« étant un autre élément ». 

Massau trouve également que les explications de Grassmann 
relatives à l'harmonie et à la disharmonie des vecteurs sont peu 
satisfaisantes. « Il est difficile de comj)rendre, d'après cehi, une 
équation de classe k dans un espace à ni dimensions ». 

Plus loin, à propos de la seconde partie de Diè lineaJe Ans- 
dehnunt^slehre, Massau ajoute encore : « 11 semble (pie c'est par 
définition que Grassmann admet que l'on engendre des équations 
géométriques en multipliant les équations entre les points. Il 
pose «/? = — /?«. Ces écpiations sont aussi vagues que les équations 
entre les produits de vecteurs. On n'est pas certain qu'en appli- 
quant les règles admises, on n'arrivera pas à des résultats contra- 
dictoires ». 

A propos de Die Aiisde/in/i/ii;:sle/i/e de 1862, Massau fait remar- 
(juer (jue, malgié la l'éclaniation de Grassmann relativement à la 
l)iiorité des clefs de Cauchy, il y a, dans la note de ce dernier, 
une idée qui n'existait pas chez le maître de Stettin. Comme on 
lésait, les clefs de Cauchy .(6". H., 1853) permettent d'exprimer les 
déterminants par des produits de quantités complexes. Selon lui, 
l'idée nouvelle de Cauchy est la base de l'exposition faite par 
Grassmann en L862. « Kn résumé, clit-il, on peut dire que la mé- 
thode de Grassmann est la géométrie des points; les vecteurs 
n'apparaissent que comme des cas particuliers; ce sont des points 
à l'infini. C'est le contraire de la marche que nous avons suivie; 
nous avons établi la théorie des vecteurs ; nous en avons déduit 
après les compositions ». 

Pour terminer, mon vénéré maître s'occupe du Calcula ^eoine- 
trico seconda V Ausdehiuingslehre de Grassin<inn, par G. Pkano. 
Et il conclut : « Autant les livres de Grassmann sont obscurs et 
d'une lecture pénible, autant l'exposition de M. Peano est claire et 
intéi'essante. Cependant, nous persistons à croire que la géomé- 
trie des points ne peut avoir la simplicité de la géométrie vecto- 
rielle; mais c'est, croyons-nous, parce que la méthode de Grass- 
mann est imj)erfectible, malgré le beau livre de M. Peano ». 



./LA/US M A S S A U lU'.l 

Ce rapitle exposé ne pcniicl pas de se rcprc-sciilci' la valeur de 
l'œuvre de mon regrelle piofesseiu'. Poiiiètic coiuplel, j'aui ais dû 
analyser snccintenient les diverses questions (|u'il a elïleiirées 
dans ses C.ompltiments de mécanique et dans la Méeanicjue céleste. 
Malheureusement, il n"a pu laisser sur ce sujet des leçons écrites 
et il n"a donné ce cours ({u'à des intervalles très irréguliers, par 
pénurie d'élèves se destinant au doctorat spécial en mécanique, 
.lai eu l'occasion de suivre ces leçons; qu'il me suflise dallirmer 
([ue, la encore, son exposition n"a rien perdu de son orii^inalité ni 
de sa simplicité. Kn niécaniffue céleste, il transporte ses notations 
veclorielles hahituelles et la même simplification se |)roduit dans 
lexposé sans rien lui l'aire peidre de sa clarté ni de sa rigueur. 

Mes connaissances sont insulïisantes pour pouvoir aiiprécier 
l'Intégration graphic(ue de Massau, lafjuelle fait plutôt partie du 
domaine des sciences appli(iuées. M. d'Ocagne, à plusieurs re- 
prises, a rendu hommage à l'élégance et à la profondeur des pro- 
cédés de Massau. .l'en appelle également à l'autorité de mes an- 
ciens condisciples, aujourd'hui ingénieurs distingués, (pii ne 
tarissent pas d'éloges sui- la beauté des théories du maître. 

Au moment où il y a une tendance à uniformiser les notations 
veclorielles, malgré la divergence d'opinions à ce sujet, (|u il me 
soit permis de recommander à l'attention des mathématiciens qui 
s'occupent de cette question, les notations simples de Massau. Eji 
étudiant son cours complet de mécanique, on se rend compte du 
cachet tout spécial de sa méthode. Cela m'étonne même que, dansle 
tableau des deux mathématiciens italiens [E. M., 1909, p. 41), il ne 
soit pas fait mention des notations de Resal, de Saint-Venant et 
de Massau. Selon moi, cela tient à ce que nos auteurs contempo- 
rains s'inspirent trop des idées grassmanniennes et hamil- 
toniennes. Je suis quelque peu eflVayé, en parcourant ce tableau, 
par la diversité et la multiplicité des notations préconisées, .le 
me demande ce que doit être un cours de mécanique rédigé avec 
de tels symboles et j'ai quelque peine à me décider à lire un 
ouvrage de ce genre, habitué comme je le suis aux notations si 
simples de mon ancien professeur. Que le lecteui- ne s'olTusque 
pas de cette prétention de ma part; qu'il n'y voie qu'un hommage 
rendu à la mémoire de Massau et (pi'une revendication en faveur 
de son œuvre quelque peu délaissée. 

Peut-être le simple titre de Cours de Mécanique a-t-il écarté les 
géomètres; mais il est comme ces fruits dont lécorce rugueuse 
cache une chair savoureuse ou un liquide parfumé. Aux géomè- 
tres particulièrement, je me permets de recommander la lecture 
de ce traité de mécanique, qui est autant, si ce n'est plus, un livre 
de géométrie. Ils y feront une ample moisson de découvertes et y 
trouveront une quantité de matériaux pour leurs recherches ulté- 
rieures. 



200 G. COMIlEniAC 

Du reste, je me propose, si mes loisirs me le permettent, dem- 
prunter quelque jour encore riiospilalité bienveillante de cette 
revue pour faire connaître à ses lecteurs quelques-unes des mé- 
thodes du mathématicien belge et en particulier le procédé si 
inattendu des limites relatives. 

.lai la l'erme conviction que son œuvre sera étudiée de plus en 
plus par ses contemporains et que les oénérations futures le dési- 
gneront comme un novateur et un iirotagoniste de la méthode 
vectorielle. 

.1. IiosK (Ihimay, Helgifjue . 



POUR UNE THEORIE DE LA MESURE 

(2"''' a ni de.) ^ 



La question des principes de la Géométrie (inélrique) a été 
[ileinenient résolue par S. Lie, qui a déterminé les condi- 
tions aiix(|uelles doit satisfaire un groupe continu de trans- 
formations pour définir une métrique euclidienne ou non- 
euclidienne. La condition essentielle est d'admeltie un 
invariant binaire J(.ri , ?/i , c, , Xo , y-, , z-i ,) . 

Mais un tel groupe de transformations étant entièrement 
défini \)^Y son invariant, il y aurait évidemment économie 
logique à prendre pour objet des axiomes les fonctions nu- 
mériques de deux points elles-mêmes. De plus, l'analogie 
serait ainsi complète avec l'idée de mesure telle cprelle a 
été établie pour les continus à une dimension', enfin Ton 
éliminerait ainsi des [)rincipes de la géométrie la notion de 
groupe de transformations, bien complexe comme notion 
fondamentale, malgré le rôle prépondérant cpielle joue en 
réalité au point de vue physique. 

La propriété essentielle des fonctions de distance (j'adop- 
terais aussi volontiers le terme de fonctions métriques) est 



' Voirie \" .\vWq\g i\^\'Ensi:igncineiit mathématique du l.j mars 191(1; t. XII, p. 8'J-'.t7. 



T II E (> li 1 1: h i: I. . t M i: s i n i: 2(j i 

connue depuis loiiolcmps. h]lle sert de base à un Miéni()ir<' 
très reniai'(|ué de M. de Tilly'; mais il restait à décider, 
ainsi (|iie le lail d'ailleurs observer cet auteur, si cette pro- 
priété sullit pour caractériser complètement les deux caté- 
gories de fonctions susceptibles de définir des méli'iques 
euclidiennes ou non-euclidiennes. 

Les résidtats obtenus par S. Lie permettent de résoudre 
complètement cette cpiestion, c'est-à-dire de déterminer les 
propriétés qui caractérisent les (onctions de distance, f/objet 
de cet article est de les mettre en lumière. 



I 

Soil J une fonction de deux points, (pie nous appelUn-ons 
leur distance, pour simj)lifier le langage; nous supposons 
qu'un point quelconcpie M peut être déterminé par ses dis- 
tances à trois points donnés A, B, G, pourvu que ces ([uatre 
|)oints occupent des positions générales les uns par rapport 
aux autres; en d'autres termes, les coordonnées d'un point 
cpielconque M doivent s'exprimer, eu général, en fonction de 
ses distances aux points A, B, G et des coordonnées de ceux- 
ci, c'est-à-dire (pie le système d'équations 

J {x , y . z , x^ . Vj 
J|.r'. y, z , x'^, ri 
J {X .y.z'.x'^.r'^^ „ „ „ 

admet, en général, une solution en .r', i/\ z' . 

On peut faire varier dune manière continue les coordon- 
nées des points A, B, G en laissant constantes leurs dis- 
tances respectives. Les neuf coordonnées étant alors sou- 
mises a trois relations, la position du système des trois 
points dépend évidemment de six paramètres indépendants. 

On peut faire participer au déplacement tous les points de 
l'espace en déterminant la position d'un point quelconque 
par la condition de conserver constantes ses distances aux 



= J{x , y 


, z , X 
1 


• Jl 


, .,1 = /■ 


= i(x,y, 


-, x,^ 


■ y. ' 


=.' = ^: 


= J {X , r , 


z , X 


T, . 


:■' = l<, 



' It. de Tii.i.Y, hissai de Crjninétrie générale. 



•202 C . C l) M li E B I A C 

points A. li. (] et par la coiilimiilô du déplaoement. On 
obtient ainsi une série continue S de IransCorinations défi- 
nies par les équations précédentes, eu égard aux trois 
relations mentionnées entre les paramètres .1' , ij , z , 

y . Il' . z' , y , ?/' , z' . 

Si J est rinvariant d'un groupe continu de transfoi-niations, 
ce groupe est nécessairement (;ontenu dans la série S et. s'il 
n admet pas d'autre invariant indépendant, on reconnait faci- 
lement (|u'il se conlonti avec cette série, dont les transfor- 
mations laissent alors constante la distance Mi M2 de deux 
points (|uelcon(jues; autrement dit cetle distance reste cons- 
tante lors([ne les coordonnées des points A. B, C, Mi et M2 
varient d'une manière continue en laissant constantes les 
autres dislances déterminées par ce système de cinq points. 
La dislance J/i Mz est donc, dans ce cas, délerniinëe en fonc- 
tion des neuf antres. 

Récipro((uement, si la distance Mi ]\I2 possède cette der- 
nière pro|)riété, elle restera évidemment constante dans 
toutes les transformations de la série S. Celle-ci, se trouvant 
alors composée de toutes les transformations ipii admettent 
un invariant, constitue un grouj^e. Comme celui-ci ne saurait 
admettre d'invariant indépendant de J et (ju'il est d'ailleurs 
par hypothèse continu, il doit figurei- parmi les groupes à 
invariant binaire et unique déterminés par S. Lie. 

Comme les considérations précédentes s'élendeut mani- 
festement aux continus à un nombre c|uelcon(jiie de dimen- 
sions, les invariants de ces groupes sont bien caractérisés par 
la propriété essentielle des fonctions de distance, qui peut 
être énoncée de la manière suivante : 

A) Pour un continu à n dimensions, il existe une lelation 
entre les valeurs que prend la fonction de distance pour les 

i« + I) (« + 2) . , 

coujjles formes par w -\- 1 points. 

La proposition A, constitue donc l'axiome essentiel de la 
Géométrie métrique et Ton reconnait aussi, pour /? = i , la 
pro|)riété fondamentale des mélricjues des continus à une 
dimension. 

Four ce dernier cas, Ton a pu déterminer l'expi'ession gé- 



/ // 1: o li 1 1: I) i: /. / .1/ 1-: s u a e 



I II 1: li 1 1: I) 1: I. I M E s u H E -UVA 

iiériilc (U's loiictions m(''lfi(|iios et Ton a vu' (in'il chiil lou- 
jOiirs possible, nioyennaiil un clioix convenable tlii syslèine 
(le coordonnées, de preruire la fonclion sous la forme .r., — .«• 
ou ", (;e (jui revient au même, (.r., — .i\ '^. On connaît aussi les 

; .,'„.-.._i„„ .!„,. (■ ..•:„ .., .:i,i.„ i„ i ■<:.,;.. 



.^ II. 



S. LiK a délerniiné, pour les continus à deux el à trois 
dimensions, tous les groupes continus de transformations 
admettant des invariants binaires. Si Ton ne distingue pas le 
domaine réel du domaine imaginaire, les invariants de ces 
groupes, c'est-à-dire les fonctions de distance des métri- 
{(ues correspondantes, peuvent toujours, par un choix con- 
venable des coordonnées, être mises sous Tune des formes 
sui\"antes : 

EsPACli. 

{■r-i — .ri)- + (Vs — _Vi|2 -|- 1-2 — :ii- + {x^Xi — Vi.rji- -j- {yiZ^ — :, V2 - 

. -t- \-\X2 — -rirai- 

(1 + XtX2 + .ri_V2 + Ziz-i)' 

(2) {Xt — Xi)'' + {}\ — .v,|2 + U2 — =11* 

i3) -i -\- -i -— logl.rs — Xi'- — c log(_V2 - \\'^ 



.r, — .>,! 



r, -A- ."s — logl-J-j — .r,l^ 



'2 »1 4" -'"t.Vs .>'l*'2 • 



' G. CoMBuniAC, l'Kitr une Tnèorie ilc la mesure, \" article. L'Eus, math., p. 8'J-'.IT. 
' II est à peine besoin d'indi(Hier que toutes les fonctions (rune fonction de distance défi- 
nissent la même métriqne. 



•20'« G. COMIÎEISIAC 



Plan, 



l-»"2 — -l'i'" + I.V2 — yv- -1- (.J'iVo — Vj.j'ai 



(O! 
(61' 



(1 + •»v^ 


»! H- .Vl 


v,r^ 


.'» - 


- ,'1 




(.r, - 


- r,f 






!h- 


-?/i 


(•'s — ■»■] 


,ie ^'- 


-^1 


.ri Vj - 


- .v,.rj 





Les méli-iqiies non euoliclieniies :elliptif|iies ou hyperbo- 
li(|iies relèvent des expressions (1) et (1/; les métriques 
euclidiennes relèvent, pour Tespace. de l'expression (2) et, 
pour le plan, de l'expression (2)', qui, pour c = — 1 et en 
remplaçant en outre r et y respectivement par .r + yi et 
.r — yi , devient en effet : [Xi — Xi\^ + (j/2 — 3/1 '^ . 

Les expressions (1 à (6) définissent aussi des fonctions de 
distance pour le plan des xy. Si l'on y fait en effet 3 = 0. 
les expressions 1; et 6 se réduisent à 1 ly' et à (6/; (2) et (4) 
rentrent dans 2 '. à laquelle devient équivalente (3); enfin, 
• 5) devient écj ni va lente à (5 '. 

Observons aussi que les expressions (1) et (2) se réduisent 
à la même si Ton y annule les coordonnées y et 3, ce qui 
montre bien (|ue le classement des métriques en eucli- 
diennes et non euclidiennes n'a aucun sens pour les continus 
à une dimension. 

Les fonctions f3;, (4;, (5) et (6) présentent une particularité. 
Si Ji et J2 désignent les distances d'un point quelconque de 
coordonnées .r, y, z à deux [)oints fixes situés sur une même 
parallèle à l'axe des z, l'on a 

J2 = Ji ± 1^2 — :ii • 

C est-à-dire que les deux ibnctions" Ji et J2 de .r, y, z sont 
fonctions l'une de l'autre. Dans ce cas, le nombre des pseudo- 
sphères est x^ au lieu de x* , les points situés sur une 
même parallèle h l'axe des z étant les centres des mêmes 
pseudo-spbères. 



T II É () /,' 1 1: I) E I. . i M /■; .v r i{ !■: 2():> 

Ainsi, pour l'espace, seiiNïs les roiiclioMS (1) el (2) joiiissenl 
(le la |)r(>priélé iiéo-aLJve siiivaiile : 

W] Les dislunces d'un point vdiiable d'une nidiiirre <jnel- 
(on(/ne dans l'espace à den.r points détertninés ne sont ja- 
nuiis fonctions L'une de l'antre. 

Les axiomes A) et H) "caraelérisent donc complètement les 
fonctions corres[)ondanl aux expressions (1) et (2). Il résulte 
crailleurs des travaux de S. Lie f|ue ces conclusions s'ëtendeni 
aux continus à // dimensions, pour // > 3 , en substituant, 
bien entendu, aux expressions (1) et (2) les expressions cor- 
respondantes contenanl 2 n variables. 

On peut enlin. parmi les niétric|ues relevant des expres- 
sions (1) et (2), ne retenir que ("elles qui ont été générale- 
ment étudiées sous les dénominations d'euclidiennes et de 
non eu(didiennes, en stipulant (.\u aucune pseudo-sphère ne 
doit passer par son centre, ce qui implicpie. en parliciilier. 
que la surface représentée par ré({uation 

ne doit pas avoir de nappe réelle passant par le point .r„ . //(, , z^. 
Si le système de coordonnées est cartésien ou seulement pro- 
jectif, on écarte ainsi les métriques pour les(|uelles les 
pseudo-sphères sont des surfaces du second ordre réglées, 
c'est-a-dii-e celles (|iie Ton obtient en remplaçant, dans les 
expressions (1) ei (2), \\\\% ou deux des coordonnées r et ?/ 
par les imaginaires ix et iy. 

La question posée est donc bien résolue pour les continus 
a plus de deux dimensions; si l'on s'en lient au point de 
vue analyti(|ue et cjue l'on ne fasse pas de distinction entre 
le domaine réel et le domaine imaginaire, l'on n'a bien à envi- 
sager que deux catégories de métriques caractérisées par 
les expressions (1) et (2). 

La cpiestion n'est pas aussi sim[)le pour les (Continus a 
deux dimensions. L'axiome B) élimine bien les métri(|ues 
déterminées par l'expression (6)' et par rex|)ression 2 ' poui- 
6' =z= 1; mais il laisse subsister d'autres méti-i(jues ti'ès dille- 
rentes de celles qui ont fait jus(|U à présent l'objet d'études 
géométri(|ues. 



206 G. C () M H i: Il I A C 

l'oui- f rz£: 1 , ri'N|)ressioi\ (2j' donne lieu à des niétri(|iies 
dont les psetido-cercles, si le syslènie de coordonnées est 
cartésien, ont des (ormes se rapprochant plus ou moins de 
Tensenible formé par dexw hyperboles écjuilaleres complé- 
mentaires (en prenant pour l'onction de dislance le carré de 
Texpression (2)' . 

En rejnpiaçaiit x et // respectivement [)ar x \- yi et x — ?/' 

et le paramètre c par un autre h=^2i - — , — , il est facile de 

' 1 -f- c 

voir (|ue l'on peut prendre la fonction de distance sous la 
forme 






[ i.rj — ^'ii- + 11-2 



Si le nouveau système de coordonnées est cartésien, les 
pseudo-cercles sont des spirales s'enioulant dans un sens 
ou dans l'autre suivant que () est positif ou négatif et qui se 
réduisent à de vrais cercles pour b^O métrique ordinaire). 

Enfin, l'expression 5)' interprétée en coordonnées carté- 
siennes donne lieu à des pseudo-cercles constitués par des 
courbes à bi-anches infinies. 

On ne poussera pas plus avant cette étude, dont le princi- 
pal ohjet était de mettre en lumièie la simplicité des prin- 
cipes sur lesquels on peut fonder à la l'ois la Géométrie et 
une théoi'ie de la mesure. 

Il faut reconnaître pourtant (|ue, si ces principes sont 
simples, ils ne sont pas fa(Mlement maniables; entre l'axiome 
réellement essentiel A) et les expressions (1) et (2), il y a les 
puissantes analyses de S. Lie et l'on n'aperçoit aucun moyen 
simple de déduii-e des axiomes, par exemple, les propriétés 
primordiales des lignes qui jouent dans les diverses mé- 
triques le rôle des lignes droites. La même observation s'ap- 
pliquerait d'ailleurs aux axiomes de Lie, les deux points de 
vue étant intimement liés. Voici en effet comment la question 
se pose. 

La définition habituelle de la ligne droite est celle-ci: en- 
semble des points qui restent fixes clans tous les déplace- 
ments sans déformation laissant fixes deux points détermi- 



r II i: () Il 1 1: n i: i. a me s uu e -jh: 

nés M| ol M,. .\I;iis colle dclinilioii est forl médiocre an 
|)oinl de vue analyli(|iie, car les déplaceineuls (|iii hussenl 
lixes les j)oinls d'une ciroile, "laissent éoalenienl fixes lous 
les poinis liniai^inaires il esl vrai) des (\v\\\ plans isotropes 
(jui passent par celte droite. De plus, la délinilion n'est pas 
valahle pour le plan. Il" conviendrait évidemment d'ailopler 
une délinilion d'un earaclère plus général et s'applicpianl 
également au domaine réel et au domaine imaginaire. Cette 
délinilion pourrait èlre la suivante : l'ensemble des points 
[x^ ?/, r. tels (|ue les deux pseu'lo-sphères passant par un tie 
ces points et ayant pour centres les points M, et M., aieni un 
élément superliciel commun. Il est lacile de voir que les 
écjualions de la ligne ainsi définie sont : 



fl'Jl 


_ r/.I, 


JJi 


_ JJ, 


_ ^J, 


. d^.^ 


Jx 


' dr 


• ^ ~ 


~ dx 


• ^1 


• dz 



en désignant par J, el J._, les distances du point .r. ?/. z) aux 
points M, et M.. . 

Mais de cette définition on ne peut déduire que la ligne 
passe par les deux points M^ et M., ni cpie chacune des lignes 
ainsi définies est déterminée par deux fpielconfpies de ses 
poinis, c'est-à-dire que cette détermination dépend de f|uatre 
paramétres. Cette dernière [)ropriété est d'ailleurs intime- 
ment liée h celle ci : trois sphères dont les cenires sont en 
ligne droite et cpii ont un point commun passent paille même 
cercle, proposition qui peut se traduire dans le langage des 
fonctions de distance de la manière suivante : il existe une 
relation enti-e les distances d'un point variant d'une manière 
([uelconque dans l'espace à Irois poinis en ligne droite. (Jette 
pro[)riété s'exprime évidemment, en désignant par .J,. J., et 
J3 les tiois distances, par l'égalité suivante, cpii doit être 
satisfaite pour toute les valeui's des variables x, y, z. 



dh 


dh 


di. 


dx 


7h- 


cTz 


dJ, 


d.h 


dh 


'dû 


dy 


lï 


di. 


dh 


dh 


dx 


dy 


dz 



208 G. COMIîEBIAr 

Un voil (]ue ce n'est pas sans (|iiel(jues fliUiculh'S (|iie 1 on 
poui-ra parvenir à établir une Géométrie i-alionnelle sur la 
seule notion de distance; maïs (|uelle clarté pour ses l'on- 
dements en comparaison de l'édifice loni'dement arliticiel 
que constitue le système des axiomes de caractèie purement 
logique ? 

En terminant, je signale (|ue l'axiome A , applif|ué au 
plan, permet d'établir avec la plus grande sim[)licile la notion 
il'ëgalité des angles ainsi (|ue les cas d'égalité des triangles, 
à condition toutefois que l'on ait pu, au préalable, établir 
que la l'onction de distance détermine une niétri(|ue sur les 
lignes droites!. On voit que l'on est toujours ramené à édi- 
lier une théorie des lio-nes droites en fonction de la notion 
de dislance. 

G. CoMBEBiAC 'Moiîtaubaii . 



Appendice : Sur le Nombre irrationnel. 

Dans mon premier article au sujet de la mesure, publié dans le 
numëi'o de mars de \ Enseignement niathoniatiqiie, j'ai émis l'opi- 
nion que l'on pourrait se passer de la notion de nombre iiiation- 
nol dans toutes les applications des Mathématiques. Je dois leoon- 
tiaitie que l'expression a dépassé ma pensée. 

Ce qui paraît incontestable, c'est que cette notion ne saurait 
être rattachée, pas plus historiquement que logiquement, à celle 
de mesure, car ce qui est naturel, c'est précisément d'admettre 
f[ue toutes les grandeurs de même espèce sont commensurables 
deux à deux, concej)tion qui sullit parfaitement tant que l'on se 
l)orne à mettre en œuvre leur mesure. Si le nombre irrationnel 
s'est imposé avant qu'il en eût été donné une définition correcte, 
c'est évidemment en Géométrie avec certains rappoils dans la 
détermination desquels intei'viennent d'autres notions que celle 
de mesui-e, notamment la notion de fonction. 

La nécessité (ou, ce qui revient an même, la convenance de 
l'emploi du nombre irrationnel dans le domaine physique, paraît 
plutôt devoir être recherchée dans l'idée de continuité, non pas 
des ensembles, mais des fonctions. L'intuition expi-rimenfale 



' L> fbnclion J (l(!'tenninc évidemment une nirlriquo snr chacune des pscudo-splu res et 
sur elinoiiii des pseudo-cercles; il sui'fit. pour le voir, d'iippli<iiier l'iixionie A i n cinq point-. 
s.TVfiir: pour l.i j)seii<lo-spliére, le centre et quatre points quelconques de la surface; pnur 
le pseudo-cercle, les centres de denx pseudo-sphères contenant la courbe et trois points 
quelconques de celle-ci. 



D E VE L () I> l> E E S I) UN E C O URHE G A U C II E 20".» 

exige, en effet, qirune ibnctioii continue définie physiquement 
prenne, dans un intervalle (luelconque, toutes les valeurs com- 
prises entre ses valeurs extrêmes, propriété qui appartient bien 
aux fonctions ai)peltM's continues par les malhématiciens. Rien 
uempèche d'ailleurs, comme on sait, d'étendre celte dernière 
notion aux champs i)u renient rationnels (la définition peut en 
effet se résumer dans la f'oiinule : 

lim /(.ri =: f\a] ; 
x=a 

mais alors la propriété énoncée ne subsiste pas ; c'est ainsi que la 
fonction .t- ne prend plus la valeur rationnelle 2. On est conduit 
à compléter le champ rationnel par tous ses points-limites, ce que 
n'exigeait à aucun degré l'idée seule de la mesure. 

Il semble donc bien, en définitive, que ce soit dans l'idée de 
fonction continue, et non dans celle de mesure que l'on doit cher- 
cher la raison d'être du nombre irrationnel dans les applications 
des Mathémati(|ues. 

G. CoMBEBiAc MontaubanU 



SUR LES DÉVELOPPÉES D'UNE COURBE GAUCHE ^ 



Les propriétés connues des développées d une inènie 
courbe gauche permetlenl de soupçonner que la recherche 
de toutes ces développées se ramène à l'étude d'une même 
équation dilférenlielle dont il suffit de connaître une inté- 
grale parli(uilière, pour en trouver l'intégrale générale. 

Effectivement, le problème se traduit par une éf|uation cU; 
Ricatti ; mais un examen quelque peu attentif de cette équa- 
tion perjnet d'en exprimer l'intégrale générale au moyen 
d'une (|uatlrature. 

Soient .r, ;/, c, les coordonnées rectangulaires clun [)oint 
M. mobile sui' une coui'be donnée S, / l'angle que lait, avec 



' I.ii iiiriiie ([iie^lion a été traitée, sous une l'orme toute didcrente, par M. Bianciii, dans le 
premier chapitre de son trailé de Géométrie infinitosiniiile : le lecteur voudra liicii, je IVspere, 
reconnaître que chacune des deux méthodes a son intérêt propre. 

î.'Kn>iei<jn('ment malhf'Mi., 12» année: 1910 Ij 



210 T'. JAMET 

l'axe Or, la tangenle au point/??, projection de M sui" le plan 
des xy^ à la courbe lieu de m, s l'arc de celte (tourbe compte 
à partir d'un point fixe, de sorte que l'on ait 

dx = cos tds , dy zn sin tds ; (1) 

on peut compléler la détermination de la courbe S, en po- 
sant 

dz — - (2| 

T désignant une fonction donnée de t. 

Soient encore «, ,5. y. les angles que fait, avec les axes de 
coordonnées, une normale, en M, à la courbe S. Pour que 
cette normale soit tangente à une courbe 2, développée de 
la courbe S, il faut que l'on ait 

d cos a dx d cos fî d\ 

1 = T- ' :> = t ' '3) 

a cos y az a cos y dz 

comme on le démontre dans tous les cours de calcul diffé- 
rentiel. Mais il y a, entre a. (S. y, la relation, 

cos^ a + cos- p -{- COS" y ^— ^ ■ 

qu'on peut remplacer par celles-ci : 

COS a = COS o sin y , cos (3 zn sin ç sin y , l4) 

9 désignant une fonction de /, définie par une relation que 
nous voulons établir. 

A cet effet, nous transformons les équations (3), au moyen 
des formules (1), ^2), (4), et nous trouvons : 

— sin z ~ -{- coig y cos ç = — T cos / , 
cos ç — ' -|- cotg y sm z, = — 1 siii t . 

Nous en déduisons : 

do 

■y = T sin (3 — t) , cots' y zzi — T cos (s — t] , |5| 

ay ' 



DEVELOPPEES DUNE COUJiBE GAUCHE 211 

OU bien : 



et 



Y = ^ + arc Ig T cos (ç — i] 



, T' cos h — t)dt — T sinizi —t) {do — dti 



Des équations (5) et (6) résulte celle-ci 

ri 4- T^ cos- (o — M) dç = T sin (3 — M [T' cos (ç — t]dt — 
T sin (ç — t){do — dt)] . 

équivalente à 

(1 + T-'l dz = T sin (3 — t) [T' cos (z, — t) -\- T sin (9 - n] ^< . 

OU bien, à : 

(1 + T-|((/ç — dt\ = [TT' sin (o — t} cos (9 — /) + T^' sin» (9 _ ^) _ 

(1 + 'r^)l ^< . 
OU encore, à : 

Il + T-) . .T ~ ' = (TT' cot (ç — /) — (1 + T-) col* h — t) — \] dl . 

slii- (9 — Il 

ou enfin, à : 

,1 + T^, ]^- ^ '''^^j; ~ ^' + col^ (? - ol = TT' cotg ,9 _ _ 1, (7) 

et c'est bien là une équation de Riccati, où la fonction in- 
connue est cotg (ç — t). 
Mais si l'on pose 

1 du 

colg (S — t] = — (8) 

u dt 

on transforme l'équation ci-dessus en une équation différen- 
tielle du second ordre, savoir 

u + T., <^' + TT- ^^ + „ = . 

dont on trouvera l'intégrale générale comme il suit. Si l'on 
multiplie son premier membre par -7- , on trouve : 



"'[('+'')c^y+ "']="• 



212 E. iU un 1ÈRE 

d'oîi l'on déduit, en désignant par k une constante arl)i- 
Iraire : 

'Su \-' 



ou bien 



,1 + T., (^)- + „< = .. . 



du dt 



ot encore 



± i/X* — u> ~ \/\ +T« ' 

Il /^ dt /î dt 

Finalement, en vertu des formules (8) et (9), on trouve 

cotg (ç - /) = |l + 'P, - tg J |7=Y^ (10) 

et puisque l'intégrale écrite dans celte dernière équatioi) 
comporte un terme arbitraire, c'est bien là Tintégrale géné- 
rale de réquation (7). 

V. Jamet (Marseille). 



SUR DES APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES 

DE L'ÉQUATION DU MOUVEMENT DE LA CHALEUR 

ET DE L'ÉQUATION DES TÉLÉGRAPHISTES 



1. — On connaît des exemples de questions de Géométrie 
({ui dépendent tl'étjuations aux dérivées partielles du second 
ordre réductibles à de certaines équations de la Physique 
mathématique. C'est ainsi que la détermination des surfaces 
dont les asymptotiques se projettent sur un plan donné, sui- 
vant des courbes données (problème (jui a été étudié par di- 
vers géomètres, par MM. Kœnigs, Bioche, etc.), a été rame- 
née, dans des cas particuliers, à l'équation du mouvement 
de la chaleur dans un espace à une dimension ; Bianchi a éta- 
bli, pour la première l'ois, que les surfaces dont les asympto- 



APPLICATIONS a i:OMETIiIQUE S 2i:{ 

tiques (\\\\\ système se projettent sur un plan donné suivant 
<les cireonlérenees concenti-iciues, dépendent de cette écpia- 
tion ; ce tliëorème a été étendu par M. Buiil, dans un Mé- 
moire inséré au Bulletin de la Société mathématique de 1903, 
aux courbes intégrales de Téquation différentielle 

^ — £ 

dans la(juelle P et Q sont des fonctions linéaires de x et 
de y. 

Outre rintérêt de pure curiosité que peuvent présenter de 
tels résultats, il est possible'de tirer profit de nombreux tra- 
vaux relatifs aux éc| nations de la Physique mathématique, 
d'utiliser, par exemple, les intégrales qui en ont été indi- 
quées. 

l 

2. — Dans un de ses Mémoires, Bonnet annonça qu'il étu- 
dierait ultérieurement les surfaces qui admettent des hélices 
pour lignes asymptotiques ; cependant aucun travail ne fut 
publié sur cette question importante et délicate, dont on ne 
connaît ({ue de rares solutions (surface minima d'Enneper). 
— En observant que, si une hélice est une asymptotique 
d'une surface, cette courbe est une ligne de plus grande 
pente de la surface pour une orientation donnée, et que, 
réciproquement, si une asymptotique est ligne de plus 
grande pente d'une surface elle est aussi une hélice, j'ai été 
conduit à déterminer les surfaces (S) dont les lignes de plus 
grande pente sont des asymptotiques. Ces surfaces (S) pré- 
sentent une particularité intéressante : les hélices qui cons- 
tituent une lamille d'asymptotiques ont toutes la même droite 
directrice. 

Soit un système d'axes rectangulaires Ox, Oy et Oz, ce 
dernier étant vertical. Les équations respectives des lignes 
de plus grande pente et des asymptotiques étant 

pdy — (/dx TTz , 
rcl.i'' -\- 2sdxcty + lc^^^■ = , 



214 E. TURIUÈRE 

réquation des surfaces (S) est 

p'r -\- ipqs -\- (/'■'l =z : - 

cette équation et récjuation 

r"/- — 2.rrs -\- xH = 

des surfaces dont les asyniptotiques d'un système sont si- 
tuées sur des cylindres de révolution autour de Oz, se cor- 
respondent par la transformation de Legendre. Il en résulte 
une propriété immédiate des développables circonscrites 
aux surfaces (S) le long des lignes de plus grande pente ; il en 
résulte aussi, ce qui nous intéresse davantage, que la déter- 
nii nation des surfaces (S) est réductible à L'intégration de 
l'équation du mouvement de la chaleur, en ve-i'tu du théo- 
rème de BiANCHi. 

3. — Considérons alors une surface quelconque, non dé- 
veloppable, enveloppée par le plan 

X cos 5 cos 'h -\- y cos s sin •} -|- : siu s =z 50 ; 

to désigne la distance de l'origine O au plan tangent ; c'est une 
fonction de la longitude ^ et de la latitude ijj de l'image sphé- 
rique du point de contact, dans la représentation sphérique 
de Gauss. 

Dans celte représentation tangentielle, l'équation différen- 
tielle des images sphériques des lignes de plus grande |)ente 
est 

et celle des images des asyniptotiques est 
Xydf + 2DVof/<j- + T>"d^- = ; 

D, D' D" sont les déterminants de Gauss (notations de Blan- 
chi) ; leurs expressions sont 

D = ft) + ;■ , 

D' = 7 tg cp -f 5 , 

D" ^ ro cos* z, — p sin çp cos <s -j- l , 



A I' l> Ll( ATI UNS (iEOME TltlQUE S 21Ô 

/), q, r, .V, / (lésignaiit les ilérivées de r.J [)ar rappoi't à c& 
et à t|/. 

En excliianl le cas de dégénérescence tangenlielle de la siir- 
lace en une courbe, pour lequel DD" — D'^ est nul, on voit 
que les surlaces (S) sont caractérisées par l'équation D" — ^ 0. 
Les images spliériqiies des asyniploliques qui sont lignes de 
pins glande pente sont les parallèles de la sphère. En d'au- 
tres termes, en adoptant la dénomination de Minding, ces 
asymptoti(|ues sont les parallèles de la surface (S). 

L'équation D" = est une éf(uation du second ordre 
qu'une transformation fort simple ramène à l'écjuation du 
mouvement de la chaleur. Posons en effet 

H = log (Ig ç) , ro 1= ^' siii z : 
D. L)'. D " tleviennent en général 



sin ç cos- z du \ duj 



,r = _^. »^ + »^- 



e\|)ression 



D" = siu :; . ( -p, — — ; 






qui figure dans D et D' n'est autre, d'ailleurs, que la cote 
du point de contact du plan avec la surface enveloppée. Sous 
la forme précédente, il est évident que l'équation D " = 
n'est autre que l'équation 



ôV _ ô»V 



du mouvement de la chaleur. 

4. — Les surfaces (S) dé[)endant de l'équation du mouve- 
ment de la chaleur, on pourra leur appliquer des résultats 
connus et relatifs à cette équation célèbre. 



216 E. TURRIÈRE 

On pourra dënnir ces surfaces par les formules 

r . '"^^' • . >^^1 

.r =1 e" — cos j — — sin •-■ — 7 . 

I c^V ;>vn 

\ z=z e" — si 11 'v h cos 'l — r 

I ' <>" ' ' 'Vj 






dans lesquelles V sera exprimée en fonction de [p et de // 
par rinterniédiaire d'une intégrale définie : on prendra, par 
exemple, l'intégrale que donna Ampère 



+ x 



/• 



(-) l 'h -t- 2X [/ u ) d\ 



OU celle 



j <-»(X).e 



IKJ — /.-« 



d\. 



que considère M. H. Poincaré. 

On pourra aussi prendre pour V un développement en sé- 
rie de la forme 



V = u, + ^ 






où Ui et U2 sont deux fonctions arbitraires de w, de dérivées 

Ui' , Uï ; un tel développement est convergent tant 

que IL diffère de toute valeur qui soit singulière pour Ui ou 
U2 . A ce développement contenant deux fonctions arbitrai- 
res, peut être subtitué un développement ne contenant qu'une 
fonction arbitraire ^ àe ^ : 



V = ir + 



1" ^ 2 ! 



cette solution, lorsque c'est une série convergente, est aussi 
générale que la précédente, d'après Poisson '. 



1 Voira ce sujet une courte note de M. Li; Roux n Sur les intégrales analytiques de l'équation 
( Bulletin des Sciences Mathématiques de M. Darbocx, 189ô, p. 127-128). 



API' l.l (' ATlOys GEOMETRIQUES 217 

Cotnine applicalioii d'iitie aiilrc nature, je cilcrai les for- 
mules de transformation à six constantes arbitraires données 
par M. Afpell et qui laissent invariante réf|ualioii (\\\ mou- 
vement de la chaleur. 

Laissant de côté ces applications de résultats relatifs à 
Técpiation /• = 7, je choisirai parmi les solutions particu- 
lières connues 



V = e 



w\) + fl'u . 1 



^' u 



la première de ces solutions : elle donne des résultats inté- 
ressants, relativement à des surfaces étudiées par M. Buni,. 
dans deux Mémoires insérés aux Nouvelles Annales de 1908 
et de 1909 ». 

11 
5. Je considère donc la solution 

ait + a^u . 



V 

je poserai 



cot;ing a 



Les coordonnées cylindriques d'un point quelconque de 
la surface (S) correspondante sont pour cette solution parti- 
culière : 

— _ '^"^^ "^- ()_^_^ -_ ^ . 

' sin-'a ' ' ' ~ sin-a 

il résulte de ces expressions (|ue l'équation de la surface (S,, 
en coordonnées cylindriques, est de la forme 

(]>{z] = al) -\- Kip) 

en posant 

«l'ici = (1 -f- rt-| locr ; -(- cousl . , 
F ip) =: a^ log p ; 



' Je dois cependant signaler qu'à la solution V^ —-li, correspond Vhélicoïde gauche à plan 
directeur, fj =: -Ii sin ep. pour lequel les asymptotiques sont les parallèles 'i = const. et les 
méridiens 'l = const. 



218 /;. TURRIÈRE 

on reconnaît là des surfaces spirales qui rentrent clans la ca- 
tégorie de celles que M. Buhl a étudiées; en appliquant les 
résultats auxquels il a été conduit, on voit que les deux fa- 
milles (Vasymptotiques se projettent sur 0\t. suivant des spi- 
rales logarithmiques homolhéliques : ces surfaces aj)partien- 
nent, par suite, et à un double titre, à la famille des surfaces 
dont une famille d'asymptotiques se projette sur Oxy suivant 
des spirales logarithmiques homothétiques, c'est-à-dire aux 
surfaces étudiées par M. I3uhl dans son Mémoire de 1903, 
antérieurement cité. 

Il est intéressant de se reporter aux trois Mémoires de M. 
Blhl, afin de comparer les résultats obtenus par les mé- 
thodes qu'il a indiquées avec ceux que je donne ici. 

Je m'occuperai d'abord des asymplotiques qui sont des hé- 
lices et des lignes de plus grande pente : j'ai d'éjà signalé 
que ces courbes étaient les parallèles de la surface. Le long 
de l'une d'elles tp et // sont constants; on a donc 

p ^ t? X const. , - r= const. ; 

ces relations expriment que les projections des asymptoli- 
ques sont des spirales logarithmiques homothétiques (« est 
précisément l'angle de la tangente et du rayon vecteur) et que 
ces asymplotiques sont tracées sur des cônes de révolution 
autour de Oz et de sommet 0. D'oîi il résulte que ce sont 
des courbes bien connues sous le nom d'hélices cylindro- 
coniques. 

En ce qui concerne la seconde famille d'asymptotiques des 
surfaces (S), l'équation à intégrer est 

\)dz + 2DV'; = , 
c'est-à-dii-e 

- (tu + 2 -; d'h -=Q . 
Je reviendrai j)rochaiiiemeat sur cette équation'. Dans le 



' J'étudierai plus généralement les équations difTérentiellos du premier ordre qui peuvent 
être mises sous la forme 

— dx + III — dy = , 
bx (\v 

z étant une fonction connue de x et de i/, et m une constaulc quelconque. Je signalerai notam" 



APPLICATIONS G EOM I-:TU l O U E S 219 

cas j);u'tic'iilier actuel, elle domic 

au -\- 2'| r=: (-01)31. , 

d'où l'équation des projections 

a 
p =: e X consl. 

ce sont bien des spirales logarithmif|ues homothétiques. Les 
images sphériques de (;es asytnptotiques ne présentent rien 
de reniar((uable. 

Le cas a = \/2 . i t;orrespond à Tune des surfaces de Bi.\>- 
GHi : les projections des asymptoti(]ues (de la seconde famille) 
sont des cercles concentriques. Celte surface est d'ailleurs 
imaginaire. 

III 

6. — Je terminerai ce Mémoire par une application nou- 
velle de Véquation des télégfaphlsles : c'est le nom donné 
par MM. Poincahk, Picard et Boussinesq, dans trois Com- 
munications à l'Académie, en 1893 et 1894, à réf(uation 

A »!; + 2B "-^ = c ^-!4; , 

c|ui représente la variation du potentiel V dans un (il; les 
différents termes correspondent respectivement à la self- 
induction, à la résistance ohmiqiie et à la capacité du fil. 
Par un choix convenable d'unités, l'unité de vitesse étant 
la vitesse de la lumière, on peut réduire les coefficients cons- 
tants A, B, C à l'unité. Posant alors 

V = U . e~'. 
l'équation des télégraphistes prend la forme 



ment un cas d'intc-gration de l'équation difTérentielle qui correspond à une fonction ; dépen- 
dant de deux fonctions arbitraires de x et de deux fonctions arbitraires de y, c'est-à-dire à 
une fonction z intégrale générale d'une certaine équation aux dérivées partielles du quatrième 
ordre. 



220 



E. TURRIERE 



c'est là un type d'équations fréquent en Physique; un chan- 
gement bien simple de variables, mais qui introduit les ima- 
ginaires, ramène cette équation à celle qui se présente dans 
les vibrations des membranes 

A2U H- U = . 

Il est préférable de ramener l'équation des télégraphistes 
à l'équation à invariants égaux et constants 






+ U = ; 



cette dernière équation aux dérivées partielles, dont les 
rapports avec l'équation différentielle de Bessel sont bien 
connus, est un type auquel on peut l'éduire un grand nom- 
bre d'équations : je citerai les exemples suivants, empruntés 
à Ampère et Imschenetsky : 



rx^ -i- 2sx^ + [x- ~, ) t 



ir- 



•2x = 
/• + -Iqs + {f — h""] / = ; 



je citerai également l'équation remarquable 

A* = 'tpq , 

rencontrée [)ar Chaig dans des recherches géométriques, et 
que M. GouRSAT ramena ultérieurement à la forme s =■ z. 

Jai établi, dans un autre Mémoire *, le théorème suivant : 
La détermination des surfaces dont les images spJiériqiies des 
lignes de courbure sont des lo.rodromies inclinées à ^5° sur 
les méridiens, peut être ramenée à l'intégration de l'équation 
des télégraphistes. Ce n'est là qu'un cas particulier d'un 
théorème plus général concernant des loxodromies quel- 
conques. 

Considérons, en effet, les loxodromies 



dz z= cotg 



d'I 



' Application de l'équation des télégraphistes aux surfaces dont les images sphèriques des 
lignes de courbure sont des loxodromies. {Nouvelles Annales, Janvier 1910.) 



A I' i> 1. 1 L A 1 1 oy >• c !■: () M /•; ru i o u i: s 221 

inclinées à a° sur les niéritlieiis. L'éc(uation des images sphé- 
riqiies des lignes de courbure étant 

. « .. ... IJ" — î) <"OS- 3 , ,, 
do- - cos=*3 . rf'i* + -— -^ ■ dz'l-l =z , 

ré({uation aux dérivées partielles du second ordre 

D" — D cos^* ? + 2 cotg2a D' cos 9 = 0. 

représente les surfaces (2) dont les images sphériqiies des 
deux systèmes de lignes de courbure sont les loxodromies. 

f/ç =r: — tej a . f/'i . cos ç> . 
dz, = colg OL . d'I . cos ç , 

Introduisons alors rargument - des fonctions hyperbo- 
liques liées aux foncjtions circulaires de y par les relations 
de M. Laisant 

sin z. z=z th- , cos ç . c//t =r 1 , tg s = s/cr , 

et prenons pour nouvelle fonction inconnue la fonction U 
de [p et de r définie par la i-eiation 

U = tOc/îT . 

Les déterminants D, D', D" de Gauss deviennent 

D = — r c/iz sk- , 

D' = f , 

\ cà- J ch- OT t-A-T 

ré(|uation considérée devient : 

5Ï _ :!!^- + l: + Jccgî. :^ = . 

Pour a = 45°, cette équation est identique à celle en 
laquelle M. Poircaré transforme l'équation des télégra- 
phistes. C'est bien la le théorème que j'avais établi. Mais il 



-22 E. C OTTO. y 

suflil de poser 

" + f , _ «^ // 

sin a eus a ' siu- a co.-v* y. ' 

pour transformer l'équalion générale en 

^ = i: . 

doù résulte le théorème : La délenuiiiation des surfaces 
dont les images sphériques des lignes de courbure sont des 
lo.rodro?uies est réductible r/ l'équation des télégraphistes. 

E. Tlrrière (Toulouse). 



SUR LA NOTION DE PUISSANCE EN MÉCANIQUE 



Dans renseignement élémentaire de la mécanique, on se 
contente le plus souvent d'une définition trop rapide de la 
puissance. Il conviendi-ait cependant d'insister sur cette 
notion, d'une grande l'importance pratique. Les élèves en- 
tendent parler, dans la vie courante, de chevaux ou de 
a'atts plus souvent que de kilogramniètres ou d'ergs^ \ il est 
donc utile de leur apprendre à appliquer les formules de 
mécanique à l'évaluation des nombres correspondants. 

Je vais montrer rapidement ici comment on peut définir 
avec soin la notion de puissance et la faire avantageusement 
intervenir à côté de celle de travail élémentaire soit en 
statique soit en dynamique. Un très léger changement des 
équations (dérivées figurant à la place de différentielles) 
amène leurs différents termes à se prêter immédiatement au 



1 L'emploi fréquent de Vhectowatt-heure ou du chevai-an comme unités pratiques d'énergie 
est assez significatif au point de vue de l'importance industrielle respective des mesures de 
puissance et de travail. 



/. ./ NOTION DE PUISSANCE 22:{ 

calcul miinéri(HK;' cl par cela même les rend plus inliiilives 
pour ceux (jui étudient la mécanique en vue de ses appli- 
cations. Quelques propositions d'un caractère plus théorique 
sur le changement du tiièdre de référence sont donnés, à 
titre d'exercice, à la (in de cet article; elles s'adressent à des 
lecteurs bien habitués aux principes généraux de la dvna- 
mi(|ue des systèmes. 

1. — Définitions et unités. — Etant donné \u\ travail E 
efTectué pciulanl un certain temps T, la puissance moyenne 
correspondante est une grandeur proportionnelle au travail 
E et inversement proportionnelle au temps T. On peut dès 
lors parler (\k\ rapport des puissances moyennes correspon- 
dant à deux travaux E, E' ed'ectués resj)ectivement en des 
temps T et T', et, par suite, de la mesure d'une puissance 
moyenne rapport de cette puissance à une puissance type 
choisie comme unité. 

Cette puissance moyenne) unité correspond dans un sys- 
tème absolu d'unités à un travail unité effectué dans Tunité 
de temps; pour les deux systèmes absolus couramment 
employés, elle est le kilogrammètre par seconde ou l'erg 
par seconde. 

La pratique a consacré d'autres unités : le cheval vapeur 
(75 kilogrammètres par seconde), \e poncelet (100 kilogram- 
mètres par seconde), le watt (10' ergs par seconde) ; le 
kilon'att (1000 watts) est sensiblement égal au poncelet 
/lOOO , \ 

Vwr porcelet;. 

Avec des unités absolues, le nombre qui mesure une 
puissance moyenne est égal au quotient du nombre qui 
mesure le travail par le nombre qui mesure le temps. On 
passe aisément de ce cas à celui des unités pratiques. Bien 
entendu si les unités ne sont pas spécifiées, les formules de 
mécanique ne sont applicables {|u'à des nombres correspon- 
dant a des unités absolues. 

Considérons maintenant le travail effectué par un ensem- 
ble de forces agissant sur un svstème matériel en mouve- 



• Il n'en est pas ainsi des équations où figure le travail élémentaire, à moins de faire une 
confusion fâcheuse entre très petit et infiniment petit. 



■2-2'i E. cor TON 

lueiit [)eiulant rinlorvalle de temps séparant les instants l et 
/ -j- Ji. Lorsque // tend vers zéro, / restant fixe, la puissance 
moyenne ("orrespondante tend en général vers une limite 
qu'on appelle la puissance à l' instant t correspondant à 
Tensemble de forces et au mouvement considéré. 

La j)uissance instantanée ainsi définie se mesure avec les 
mêmes unités cpie la puissance moyenne. L'une et l'autre 
peuvent être évaluées algébri(|uement comme les travaux 
auNCjuels elles correspondent. 

2. — Expressions diverses de la puissance instantanée. — 
En prali(|ue, pour arriver à l'expression de la puissance, il 
n'est pas nécessaire de passer par l'intermédiaire du travail; 
ainsi que le montrent les résultats suivants faciles à obtenir. 

La puissance a Vinsfant t d'une force agissant sur un point 
matériel en mouvement est égale au produit de la force par 
la vitesse du point a l'instant considéré et par le cosinus de 
l'angle des deux vecteurs représentatifs. 

Donc, si X, Y, Z et Cx, Vy^ v. sont les projections sur trois 
axes rectangulaii'es de la focce et de la vitesse, la puissance 
a pour expression 

(1) ;) = Xr^^ + Y.^ + Zr^ . 

On observe que la puissance corres|)ondant à la résultante 
de plusieurs forces est la somme des puissances correspon- 
dant à ces Ibi'ces. En décomposant la vitesse en plusieurs 
composantes, on a une proposition analogue, utilisée plus 
loin. 

Il est à remarquer que la méthode habituellement suivie 
pour obtenir le travail élémentaire d'un dyname agissant sur 
un solide fait intervenir la puissance instantanée; il suffît 
donc d'énoncer le résultat suivant : 

La puissance à l'instant t d'un dyname agissant sur un 
Solide en mouvement est égale au moment de ce dyname et 
du torseur des rotations instantanées. 

Deux cas particuliers sont très importants en prati(|ue, 
leur démonstration directe est d'ailleurs immédiate et acces- 
sible aux débutants. 

Si le mouvement instantané est une translation, la puissance 



/. ./ NOriO.X DE PUISSANCE 225 

(>gale \v. prodiiil ;ilg('l)ii(|iie de la vitesse de ti-aiislatioii pai- 
ia pi'ojeclioii sur celle vilesse de la résiillante de translation 
du tlynaine considéré. 

S'il y a une roUilion tangente, la puissance est égale au 
protluil lie la vitesse angulaire de rotation instanlanée parle 
moment résultant, par rapport à Taxe de celle rotation, du 
dyname considéré. 

Ces cas particuliers se prêtent à des exercices numériques 
(le Cdractère pratique, avec changements d'unités, tels que 
les suivants : 

Déterminer (en chevaux) la puissance coi-respondant au 
mouvement uniforme de translation d'un train, la vilesse 
étant connue (en kilomètres à l'heure) ainsi que la tension 
en kiloerammes) des barres d'attelaoe reliant le train à la 
locomotive. 

Connaissant (en tours par minute) la vitesse de rotation 
d'une roue de rayon donné (en mètres) et la puissance (en 
chevaux) produite par Faction d'une force agissant tangen- 
liellement sur cette roue (pression des dents d'un engrenage, 
difïerence des tensions des brins d'une courroie, frottement 
en un point de la roue, etc..) évaluer cette force (en kilo- 
grammes). 

3. — Principes des vitesses virtuelles et des forces vives. — 
Nous relierons le second j)rincipe au premier en utilisant le 
principe d'Alembert. 

Tout d'abord, on a les deux propositions suivantes : 

1. — Etant donné un système en équilibre, la somme dés 
puissances virtuelles de toutes les forces pour un mouvement 
(/uelconque des points du système est nulle. 

2. — Etant donné un système en équilibre, assujetti à des 
liaisons sans frottement, la somme des puissances virtuelles 
des forces données est nulle pour tout mouve/nent du système 
compatible avec les liaisons. 

On reconnaît là deux propositions classi(jues mais énoncées 
habituellement d'une façon un peu dllférente. 

Nous allons les rapprocher du principe de d'Alembert; 
mais nous calculerons au préalable la puissance des forces 
d'inertie en supposant (|ue les vitesses intervenant dans ce 

L'Enscigneinoiil iii;illi('-ni., li" aniii'i' : liild. Iti 



226 /::. COTTON 

calcul sont les vitesses réelles des points tlii svslènie. Alors 
l'expressioil (1) donne pour la puissance de la force d'inertie 
d'un point de masse /;/ rappoi'lc aux axes lixes O.rijz: 



Vd\r (ix (i\v fir d-z Hz "1 



c est-a-dire — ^/ ~T~ ' '' désignant la vitesse du point. 

Une sommation étendue a tous les points du système 
montre que : 

La puissance des forces d'inertie, pour le mouvement réel 
d" un système, est à chaque instant égale à la dérivée par 
rapport au temps changée de signe de la demi- for ce vive 
du système \ 

Les énoncés (1) et (2) du début de ce n" donnent alors les 
formes suivantes à deux propositions classiques : 

1. — La dérivée par rapport au temps de la. demi-force 
vive d'un système égale la somme des puissances (au même 
instant) des forces agissant sur le système. 

2. — Etant donné un système matériel assujetti ci des 
liaisons sans frottement et indépendantes du temps, la dérivée 
par rapport au temps de la demi-force vive du système est 
égale à la somme des puissances des forces données agissant 
sur le système'-. 

L'application des théorèmes précédents, est, comme on sait, 
particulièrement importante dans la théorie des machines; 
c'est là précisément (pTil est nature] d'insister sur la notion 
de puissance. De plus, en rapprochant, comme nous venons 
de le faire, cette théorie du principe du travail virtuel, on 
met bien en évidence le fait (|ue la théorie habituelle de 
ré(|uilibre des machines simples, utilisées pour la jilupart à 
l'état de mouvement, n'est qu'une première apj)roximation et 
on a le moyen d'estimer \vs erreurs qu'elle comporte. 

4. — Changement du système de comparaison. — Dès qu'on 



' En identifiant iiinsi ootte dérivée i\ une puissance, on rend tout à iail intuitive l'analogie 
fntrc force vive et travail. 

^ Les énoncés classiques du principe des forces vives appliqué à un intervalle de temps 
fini jiourraient èlre transformés d'une façon analogue en fais.Tnt intervenir les puissances 
movcnnes. 



A . / N OTIO y I) K PLI S S A N C E 227 

parle de mouvement ou même tle déplacement) il l'aul, poui" 
être tout à fait précis, in(li(|uer le système de comparaison. 
On omet le plus souvent de le faire (|uand on [)arle de [)uis- 
sanee (ou de travail élémentaire) parce que, dans les énoncés 
précédents, les vitesses (ou les déplacements) correspondent 
au svstènie invariable, aj)pelé fixe ou absolu, par rapport 
aucpiel la résultante de toutes les forces appli(juées à un 
point matériel est définie par le principe de l'inertie. 

11 peut être avantageux cependant de considérer des 
svstêmes intermédiaires de comparaison; voici quelcpies 
indications à ce sujet. 

Appelons î^ et '(?, deux trièdres trirectangles mobiles Tun 
par rapport à 1 autre, et envisageons à un même instant les 
puissances suivantes d'un même ensemble de forces appli- 
(|uées à un système matériel S : P, correspondant aux vitesses 
<les divers points de S par rapport à î^, sera appelée la 
j)u'iss(ince absolue, P correspondant aux vitesses par rapport 
à î-» sera appelée la puissance relative^ P^ correspondant aux 
vitesses d'entraînement (le mouvement d'entraînement étant 
celui de % par rapport à 'î?,) sera appelée puissance cVenlraî- 
nement. On voit de suite que la puissance absolue est la 
so/n/ne algébrique rie la puissance relative, et de la puissance 
d'eutrainement. 

On observe (|ue la distribution des vitesses d'entraîne- 
ment étant la même que pour un solide en mouvement, la 
puissance d'entraînement P^ s'obtient en prenant le moment 
du torseur des rotations instantanées dans le mouvement de 
'S par rapport à V>x et du dyname constitué par V ensemble 
de forces considéré. 

Dans les cas où il s'agit des forces intérieures, le dernier 
dyname constitué par des vecteurs deux à deux opposés est 
géométriquement équivalent à zéro, et P^ est nulle. On re- 
trouve ainsi ce résultat connu et important que pour la 
détermination de la puissance des forces intérieures, le choi.r 
du système par rapport auquel on prend les vitesses est indif- 
férent. 

Proposons-nous maintenant de rechercher les relations 
existant entre les équations qu'on peut obtenir en formant 



■1-lS £ COTTON 

pou/- un niêiue système matériel rupporté à deux trièdres de 
coordonnées mobiles l'un par rapport à l'autre, les combi- 
naisons des forces vives. 

Soit î^i le trièdre auquel est applicable le principe do 
l'inertie, 'S un trièdre mobile par l'apport à t?, ; soit M un |)oint 
matériel du système. Il y a é{|uilibre entre l'ensemble des 
forces ordinaires"» absolues et la force d'inertie absolue du 
|)oint M ; nous appelons ainsi celle qui correspond au mou- 
vement de M |)ar l'apport à '(?,. [On peut encore énoncer ceci 
en disant qu'il y a équilibre entre la force d'inertie relative 
correspondant au mouvement de M par rapport à î^) et l'en- 
semble des forces ordinaires relatives défini par l'adjonction 
a l'ensemble des forces ordinaires absolues de la force cen- 
trifuge et de la force centrifuge composée (qui correspondent 
au mouvement relatif de ]\I par rapport à î^ et au mouve- 
ment d'entraînement de î' par rapport à îîj). Ainsi présenté, 
le [)rincipe du mouvement relatif ne modifie pas l'ensemble 
de toutes les forces appliquées à un point, il change sim- 
plement un qualificatif (ordinaire ou d'inertie) appliqué à 
fjuelques-unes d'entre elles. 

Ceci posé, former l'équation des forces vives pour le mou- 
vement absolu revient à ap[)li([uer l'énoncée 1 du n** 3 à l'en- 
semble des i'orces absolues ordinaires et d'inertie ; la puis- 
sance absolue de cet ensemble est nulle. 

Mais on voit de même que la puissant'e relative de 1 en- 
semble des forces ordinaires relatives et des forces d'iner- 
lie relatives est nulle ; on peut encore énoncer ceci en disant 
que la puissance relative de l'ensemble des forces absolues^ 
ordinaires et d'inertie, est nulle; c'est un énoncé de l'équa- 
tion des forces vives j)Our le mouvement relatif. 

Décomposons la puissance absolue figurant dans le pre- 
mier énoncé en puissaïu^e relative et puissance d'entraîne- 
ment, nous voyons qu'on obtient ainsi l'équation du second 
énon(;é à laquelle on aurait ajouté membre à membre une 
équation exprimant que la puissance d'entraînement de l'en- 
semble des forces absolues, ordinaires et d'inertie, est nulle. 

Mais si l'on se reporte au début de ce n°, on voit que cette 
dernière puissance, moment d'un dyname et d'un torseur» 



M /■: LAN r. E s ET C O /.' /.' E S p (J N l> A NCE U U ' • 

petit être calculée; en ne (aisanl intervenir (\i\i' les coordon- 
nées pluckéfiennes, par rapport à î^, par exmnple, de Ten- 
semble de tontes l(;s forces al)solucs ordinaii'es el trinertie. 
Ces six coordonnées plnckériennes sont nulles d'après les 
premiers théorèmes de la dynanii(|n<' des systèmes (ceux où 
interviennent les quantités (\u mouvement). 

En résumé, on arrive au résultat très simple que voici : 
Les diverses équations qu\yi peiil obtenir en formant, pour 
un niènie syslènie, la combinaison des forces vives appliquée 
aux équations du mouvement relatif par rapport à des axes 
quelcoiupies ne diffèrent les unes des autres que par des com- 
binaisons linéaires des six équations générales des (juantilés 
de mouvement projetées el des moments des quantités de mou 
vement. 

Emilp: Cotton' (irenojjle . 



MELANGES ET CORRESPONDANCE 



L'initiateur mathématique. 

La psychoh)oie infantile donne raison aux orands édiicateuis 
d'autrefois qui préconisaient, pour la première enfance, un ensei- 
gnement d'initiation reposant uniquement sur des expériences et 
sur des faits à la portée des jeunes cerveaux, f/abstraction viendra 
plus tard delle-mème si le terrain est bien préparé. C'est pour 
réagir contre un enseignement purement abstrait, si néfaste au 
début des études mathématiques, que M. C.-A. Laisant a rédigé 
son Initiation mathématique, où il montre comment on peut objec- 
tiver l'enseignement élémentaire. Cet ouvrage, qui est aujourd'hui 
à sa neuxième édition, est bien connu de nos lecteurs et il n'a pas 
tardé à exercer une; heureuse influence dans l'enseignement éh'- 
mentaire et secondai le. 

C'est en s'inspirant de V Initiation niathématiqne que M. J. Ca- 
MESCASSK a été amené à son ingénieux système d'assemblage de 
petits cubes ([ui constitue l'un des jeux les plus instructifs que 
l'on puisse meti re entre les mains des enfants. Ce jeu, qu'il aj)- 



■2-SO 



M E I. A.\ G E S ET C O A' A' E S P () N D A N C E 



pelle Vlniliatcdr matlH'nialiqite\ se compose de petits cubes en 
bois, les uns rouges, les autres blancs. Ces cubes portent, sur 
deux faces opposées, deux rainures dont les directions se croisent 
à ant»le droit et qui permettent d'assembler les cubes par bandes. 




Fig. I (cube i-t ri-glettes grossis). 



au moyen d une réglette métallique, puis de réunir les bandes 
ainsi obtenues. La boîte de cubes est accompagnée d'une intéres- 
sante Aotice dans laquelle M. Camescasse donne une énumération 
rapide des primipales (ipplications possibles et dont voici un 
aperçu : 

1. Dessins, carrelages, mosaïques, construction d'objets divers, 

2. Numération décimale. 

3. Opérations arithmétiques élémentaires; fractions, racines 

cari'ée et cubique; théorèmes arithmétiques et algébriques 
lendus concrets, par exemple : 



Ui + l> + cf = a- -\- 2al> + 2ac + Ir -f- 'Ih, 
J + 3 + 5 + ... + 2n — 1 ~ ,,' . 



(lig. -2) 
((iii-. ol 




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f^ :='^^':S: 


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„i!!^^ MiiESlë 



1 L'Initiateur mathématique, brevetô S. G. D. G., jeu de petits cmi1)gs rendant lacile dans la 
l'amillc et à l'école la mise en pratique de Vliiitialioii mathcmaltqui-. de (;.-A. Laisant, avec 
une Notice de 31 pages et de 15 figures dans le texte, et une planrlic hors Ic-xtc en deux cou- 
leurs, l'rix : 12 1'r. ; librairie Hachette, Paris. 



M E I. . I .y (, E s E T C () H H E S l> O S l> . I .\ C E 2:5 1 

'\. Système iiu'tri(|ii('. 

X De même (juc notre système de numéiation décimale est 
rclaiié par ses rapports avec les formes géoinétriciues élémen- 
taires, de même l'étude du système métri(iue a été préparée, et sa 
connaissance est e.i trî'inenient facilitée j)ar l'nsaf^e familier de 
V Im'lidteitr niatln'nialiqiie. 

« Ayant appris à composeï- par dizaines, centaines, mille et mil- 
lions. (III iiioi/cn de \ Initiateur mathèinatiqite, l'enfant n'aura 
((uune adaptation instantanc'e et [)our ainsi dire purement ver- 
bale à faire, pour nommer « centimètre cube » son unité en forme 
de cube, et savoir qu'un décimèti'e cube le contient mille fois, le 
mètre cube un million de fois, etc. 

« La mesure des aires, des surfaces, des volumes, ne se basei'a 
plus seulement sui- des formules abstraites et souvent si vides de 
sens, en apparence, ({u'elles sont rapidement oubliées. 

« An contraire (et c'est lit une des conséquences les plus heu- 
reuses de l'emploi de /'« Initiateur niathèniatiijue »;, il se produira 
fatalement ce fait (pie, quiconque, après quelques années, aura 
oublié une formule, la reconstituera, la réinventera rapidement et 
sans peine, paice f[u'il en saura les causes fondamentales «^t que, 
poui- ainsi dire, il en aura connu la philosophie. » H. F. 

Clichés pour séances de projection dans renseignement 
de l'histoire des mathématiques. 

Nous avons donné, il y a juste un an, une description complète 
de l'exposition organisée par le Musée pédagogique de l'L nivei- 
sité Columbia de Xew-York et comprenant de nombreux docu- 
ments sur l'histoire des sciences mathématiques : instruments 
mathématiques, mesures, médailles, portraits, livres anciens, etc. 

A la suite de nombreuses demandes qui lui ont été adressées, 
le Musée pédagogique a accepté d'éditer, au jtrix de revient, dès 
séries de clichés des j)rincipaux objets exposés et appai'tenant à 
M. Plimi'ton ou à M. D.-E. Smith. Clés clichés, destinés à illustrer 
les cours dhistoiie des mathématiques, seront fournis' unique- 
ment aux établissements d'instruction publique, par série de 2.") 
clichés au moins ilO dollars pour 2.") clichés et -^U cents j)ai' 
exemplaire en plus). 

Les clichés, au nombre de 278, représentent princijbalement des 
faits et documents importants concernant le développement his- 
torique de rArithmétique, de l'Algèbre, de la Géométrie, de la 
liigonométiie, de la (Géométrie analytique et de 1 usage des mé- 
thodes de Calcul mécanique. 



' S"adressor il V r.dinaU^uinl Muscii/n ilii Icaihrn: CuLlcge île lii <.olimil)ia riiivcisilv, Now- 
Voik (,it\. 



232 CIIli()M<)lE 

On peut éi^altMiieiil ()l)teiiir. aux uièines coudilions, des clicht's 
représentant les piincipales illusti'ations de la Haro arithnieticn 
de M. Dav.-Eug. Smith (indiquer le numéro de la page). Nous sai- 
sissons cette occasion poui- signaler cette importante contribution 
à Ihistoire de rArithniéti(|ue, publiée sous la forme d'un foit 
beau volume illustré ilo nombreuses planches, (lomme l'indique 
le titre détaillé*, ce volume donne la description d'ouvrages 
d'Arithmétique publiés avant 1601, avec de nombreuses plan- 
ches reproduisant des anciens textes, des figures et des titres de 
volumes. Réunis et décrits avec autant de compétence que de 
soin, ces documents sont d'un grantl intérêt pour tous ceux qui 
étudient cette ])arlie de l'histoire des mathémati(jues ; ils peuvent, 
en quelque sorte, servir de textes originaux. Les clichés (|u'on 
vient d'éditer permettront aux professeurs tle donner une forme 
très vivante à leurs' leçons ou conférences. 



CHRONIQUE 



Commission internationale de l'enseignement mathématique. 

1. - REUNION DE BRUXELLES 

Une réunion partielle de la Commission aura lieu à Bruxelles le 
mercredi 10 août. Elle est principalement destinée à réunir les 
délégués de la Belgique et des pays limitrophes, et à provoquer 
entre eux un échange de vues sur les questions à l'étude dans les 
divers pays. Mais il est bien entendu que tous les délégués qui 
pourront se rendre à Bruxelles à cette époque seront les bienve- 
nus ; cette invitation s'adresse aussi aux membres des différentes 
sous-commissions nationales et à tous ceux qui collaborent aux 
travaux de la Commission. Voici, dans ses gi'andes lignes, le pro- 
gramme de la réunion. 

Séanck du Comité cextkal ; mardi août, ii 9 h. du matin el 
éventuellement à 4 h. de l'après-midi. 



• Hara Arithinctica, a catalogue of the arilhmetios writtcn liclore the year MDCI, wilh a 
clascription of thosc in the librarv of George-Arthur Plimpton of New-York, by David Eug. 
S.MlTil, of Teachers (Collège Coluinhia Unlversity. (linn and C.onipanv. i)ul)lisliers. lîoston 
and London. 



C II U O \ loi E -IWW 

Hkimon l'itKi'AiiA ioiiu: ; inaidi soir,!) août a <S li. ' ., iLe lieu sera 
indiqué iillérieureincnt dans le programme dcfinitil' (jui scia 
adressé aux déléj^ués au "commeueement de juirij. — Celte léu- 
nion, qui est principalement destinée aux présentations, permet- 
tra aux délégués de prendre conlacl. 

Si:ance des i)i';lk(;lks-; mei'credi malin à i) li., sall<' llavensteiii 
(pelilc salle . .'5, rue Havenslein, près la IMaee Royale. 

Ordre du jour : 1. Alloi'iition tlii présidoiil. 

2. Etal des travaux dans lesTpriiicipaiix pays ; pi'ésenla- 

lion des rapports partiels déjà terminés. 

3. Discussion générale sur l'oru^anisalion des travaux. 
'». Préavis sur la réunion de 1911. 

Les membres des sous-coiiimissions nationales seront les bien- 
venus à celte séance. 

Séance (jkxéiîale publique ; mercredi 10 avril, a 4 h. de l'après- 
midi, salle Ravenstein, .'^. rue Ravenstein, près la Place Royale. 

Ordre du jour : 1. Allocution d'un représentant de la Belgique. 

2. Discours de M. F. Klein, Président de la Commission. 

sur le but de la Commission et sur renseignement 
en général. 

3. Rapide aperçu de l'étal des travaux dans les diii'éients 

pays, par le Secrétaire-général. 

4. Conférence de M. C. Bouklet (Paris) sur la pénétra- 

tion réciproque des mathématiques pures et des 
mathématiques appliquées dans l'enseignement se- 
condaire. 

Les adhésions et les demandes de renseignements doivent être 
adressées au secrétaire-général. 

II. - SOUS-COMMISSIONS NATIONALES 

Alleiiia^'ne. — La délégation allemande compte pouvoir pré- 
senter à Bruxelles plusieurs nouveaux rapports partiels qui font 
suite au fascicule 1 des Abhandliingen (Voir Circulaire N° 2). 

Autriche. — Les rapports seront publiés sous le titre géné- 
ral licrichli' liber den nialhematischen UnterrichL in Oesterreich, 
veranlaszt durch die internationale Unterrichtskommission. (Ver- 
lag Ilolder, Wien). — Un premier fascicule (81 p.) vient de pa- 
raître; il contient, après une courte introduction de M. E. C/lbeiî. 
deux rapports concernant Tun les écoles réaies, Lautre les écoles 
primaires élémentaires et supérieures : 

Der inatheinati.se lie L nlerricht an den Realschnlen, von Schulral 
Franz Bbiscmann. 

Der niatheniati.sche L nlerricht an den Volks- tt. liiirger.scJuilen, 
von Schulrat Koiirad Kuaus. 



■llVi CHHOMQVE 

Nous donnerons un aperçu de ces raj)|)oi'ls dans un piochain 
numéro. 

France. — Un premiei- rapport vient d'èlre tenuiné. Il a été 
rédigé pai- M. A. de Saint-Cierniain. président de la délégation 
française, et a pour objet les Diplômes d'études supérieures de 
sciences mathétna tiques en France. Il est inséié dans le présent 
faseioule de V enseignement mathématique. 

Ilollaiitle. — La sous-coinniission s'est adjointe M. \.-C. 
OiJOTKNDoiîsr, direeteui- des études mathématiques de l'Académie 
militaire de Breda. 

Russie. — La delé<^ation russe nous informe qu'un oubli du 
eoj)isle a fait omettre sur la liste qu'elle nous a transmise, le nom 
de M. B. SoLLEUTiNSKi. uiembrc du Comité scientifujue du Minis- 
tère de rinstruetion publique et ancien Diiecteur de l'Rcole nor- 
male de (jatchina. 



L'enseignement scientifique à l'Exposition universelle 
de Bruxelles. 

(!omme joutes les branches de lactivité humaine, 1 instruction 
|)ublique tient toujours une place importante dans les expositions 
universelles. 11 en sera enct)re de même cette année à Bruxelles, 
dont l'exposition elle-même est un vaste enseignement. Au mo- 
ment où nous écrivons ces lignes, nous ne s()mmes pas encore 
renseignés d une manière complète sur la place que prend ren- 
seignement scientifique à l'Exposition. Nous savons ([ue plusieurs 
grands hJats y participent, mais nous ignoions dans (juelle me- 
sure. 

Nous pouvons cependant annoncer que l'enseignement scienti- 
fique sera particulièrement représenté dans la section allemande, 
où l'on trouvera des installations de laboratoires pour l'enseigne- 
ment des sciences naturelles Physique, (Chimie et Biologie dans 
les établissements secondaires. 

Des conféi'ences et séances de démonstration seront organisées 
les 11 et i2 août, au pavillon de la section allemande, sous les 
auspices de la Société allemande ])our l'avancement de renseigne- 
ment des sciences mathématiques et naturelles ( Verein ziir hôr- 
derun^ des mathem. u. nalunv. U/iter/-ichts^ i. Ou annonce les eon- 
terences de MM . 

TiiKUTLiciN et ScHWEiiiN(;, pour les Mat/w/i/atiqucs ; 

GlMMSEHL et JoHANNESSOX, poUI' la J^/l//siq/IC, 

et Bastian Scu.mid et Scn(»i:M(;ui:\, pour la liioloi^ie. 



' pour tout ot- qui cniK-prno ces si;iiices, s'iidrossor au pi-i'sidciil. .M. le l'rol'. D'' A. Til.Eii, 
Haïuboiii-';. 'M\. 



!iiit().\in c i: -j:!,-, 

I.t's (•(tiil'L'r(MU'('s amolli lieu le matin cl les séances de (h-inons- 
I i-alioii raprès-niidi. 

11 sci-ail très désirable (jne des stances analogues l'ussenl orya- 
nis('es à Bruxelles autoui' des journées des 10, 11 et 13 août, qui 
attireront sans doute tle nombreux professeurs de renseinnemcnt 
scientifique. S'il y a lien, V /ùisc/^/n'/ue/i/ nuiUiéniatique les annon- 
C(>ra dans son numéro du I.") juillet. 



Universités allemandes. - Thèses de doctorat. 

Pendant l'année sc()laire l',)()(S-lV)()S), les universités allemandes 
ont accepté les thèses ci-après : 

lierlin. — LicHTKXsTKiN, l>. « Zur Théorie der gcwohnliciien 
Dill'ei'entialgleichnngeu iind dei- j)artiellen Diirerentialgleicliungen 
/weiter Ordnung. Die l.osungen als Funktionen der Handweile 
und der Parameter. » 

liresldii. — FnEi:xn, E. « Kntwicklung willkiirliclier l'unktionen 
verni ittelst meromorpher. » 

(ioLDMAX, F. <i Pouceletsche Polygoue bei Kreisen. » 

Joi'Ki;, A. (' Synthetische Untersuchungen iiber lineare Kegel- 
schnittsysteme erst(;i'. zweiter uud dritter Stufe. » 

Kmf.m, F. « Uebei'Oerter von Treirgeraden entsprcîchender Slrali- 
b'u in eindeutig und lineai- verwandten Strahlengebildeu erstei l)is 
vierter Stut'e. » 

(j/c'ssc/i. — Li:i>i'i:ii. li. >< Ueber die invarianten Bildungeii \(»ii 
h'ormen mit digredienten Schichteu von Variabeln. » 

ScuMiiJT. K. « Untersuchungen iiber Kurven dritter Ordnung 
im Anschluss an eine (irassmannsche Erzeugungsweise. » 

\\ A(;xEU, R. «Ueber l)inare l)ilineare und qnaternare quadra- 
lische Formen. » 

(jôltingue. — Boltzk, F. « Grenzschichten an Rotationsk<)rpein 
in Fliissigkeiten mit kleiner Rcibung. )> 

llAiiit, A. " Zur Théorie der orthogonalen Funktionensysleme. ■ 

Ihi.exbliu;. W. u Ueber die geometrischen Figenschat"t<Mi der 
Kreisbogenvierecke. .>' 

Kocii, II. « Uelier die piaktische Anwendung der Runge-Kut- 
taschen .Méthode zur numerischen Intégration von Diflerential- 
gleichungen. » 

Scni.M.MACK, R. " .Vxiomatischc Untersuchungen id)i'r die \ Ck- 
toradilition. » 

SpEiSKii, .\. " Die I heoiie (h'r biiuireii (piatiratischen Formen 
mit Koefïizienten und l nbekannlen in einem beliebigen Zahl- 
korpei". » 

(jreifswdUl. — Tixkk, P. < Uci)er Scharen von x' l\ur\cii im 
gewohnliclicn Baume. » 



•2-A6 CliBOMQl'l-: 

IIacssleiter, h. « Zur Théorie dcr PlalTschen Système. » 

LiEK, 0. « Ueber Fliichenscharen, die durch Berïihrunystians- 
loimation in Kuivenschaieii iiberruhrbar sind. » 

\\ EiiNER, A. « L eher Système von drei PlalTschen Gleichiinocu 
im liaiime von fi'inf Dimensionen. » 

/lE.MKE, K. « L eber partielle Di(rerentiali>leichiiiii;en erstei" 
Oi'dnuno- mit Inteo;ralvereinen, die als Punktmaniiigfaltigkeiten 
/weifaeh aiisyedehnt sind. » 

Halh'. — BoLDMANX, (). » Zur Théorie der ubergeschlosseiien 
Gelenkmeehanismen. « 

.loNAs. II. -J. (( Uebei' \\ -Stiahlensysteme, Flacheiulel'ormation 
iind jiquidistante Kurvenseharen. » 

Jena. — Glxtzel, F. « Ueber Gi'uppierungen und Realitatsver- 
haltnisse gewisser Punkte bei Raumkurven vierter Ordnungerster 
Spezies. » 

Rœgneiî, m. (( Die Steiner'sche Tlypoeykloide. » 

Kiel. — .Iansen, II. *< Liickenlose Aiistulhing des R« mit gitter- 
forniig angeordneteii /^-dimensionalen Quadern. » 

Neuexdori-'f, R. « Ueber Kreispunktpolarkurven. » 

Konigsberg. — Niumaxn, A. i< Ueber qnadratische Verwandt- 
schaften in Ebene und Raum, insbesondere Kreis- und Kugelvei- 
wandtsehaften. » 

Leipzig. — FonsTEit, R. « Beitràge zur spezielleren Théorie der 
Rieniannschen T^-Funktionen 3"''' Ordnung. » 

Meyeh, C. « Zur Théorie des logarithmischen Potentials. » 

Munich. — BEinvAi.i). L. « Kriimmungseigenschaften der Brenn- 
Hachen eines geradlinigen Strahlensystems und der in ihm ent- 
haltenen Regelflaehen. » 

BoH.M, F. <( Parabolisehe Met'rik im hyperbolischen Raum. » 

BuiiMESTER. H. « Untersuchung der wahren Hellegleichen auT 
der Kugel nach deni Lommel-Seeligerschen Satz. » 

Derye, p. « Dei- Lichtdruok auf Kugeln von beliebigen Material. » 

De(;exhart, II. « Ueber einige zu zwei ternaien (juadratischen 
Formcn in Beziehung stehende Konnexe. » 

I](»\vLAxu, L.-A. « Anwendung biniirer Invarianten zur Bestim- 
mung der Wendetangenten einer Kurvc dritter Ordnung. » 

Xckther. F. «Ueber rollende Bewegung einer Kugel auf Rota- 
tionsllaehen. » 

ScHMiD, A. '< Anwendung der Cauchy-Lipschitzen Méthode aut" 
lineare partielle Dillerentialgleichungen. » 

Zaim'. r. « Untersuchung eines speziellen Falles der Drei- und 
\ icrkorperproblems. " 

liostdck. — .Iecke, 1{.-1I. « Beitriige zur Géométrie dor Bewe- 

Laxge, m. « ^ eifinlaclite Formelii tiir tlic Irigonometrisehe 
Durehreehnung o|)lischcr Système. » 



r u HoyKtu E -rM 

,S(riisl>i)itr<j;. — Mai.kssa, G. « Fokale lu^eDschaften korrelativi.'i' 
('ii'uiiflrfebilde. » 

Tii/iingiie. — Caspkh, M. « Uebei' die Daisltdlharkcit der honio- 
inorphen F'ornicnschaaieii diiirh Poincaré'schi'ii Z-Reihcii. » 

Fmiz, II. <i Die Darsteliiiny- willkiiilioher Fmiktioiu'ii iii Anwcii- 
<lun<r aut" die Slalistik. •» 

(Khi.kh, II. « Leber die Gleiciinngssystenie, welche man ans 
einer Matrix variabler Klemente durch Xullselzen der Detcrini- 
iianten gegebener Ordnung erhâlt. » 

Il nrzboi(/i(. — \\ iddkh, ^Y. « Untersnohungen iiber die allye- 
lienieinsle lineai'e Substitution mit voroeoebciies plcv Potenz. ■ 

Zii.MN(;, J. « Uebei' die iiiliiiitesimale Detorniation derMininial- 
Ibiohen. » 

Nouvelles diverses. — Nominations et distinctions 

Alleiiiag'ne. — Associalion des natui-alisles et inédeiins aUe- 
nidiids ; Association aileniande des mathématiciens. — L'Associa- 
tion aUemande des mathématiciens siégera cette année à Ka-nigs- 
In'rg, du 18 au 24 septembre, en même temps que l'Association 
des naturalistes et médecins allemands. Parmi les conférences 
générales organisées par celle-ci, signalons celle de M. Planck 
Berlin) sur la Physique et les théories mécaniques modernes. Les 
communications d'ordre mathématique seront piésentées à l'une 
des sections: 1. Mathématiques et Astronomie. — 2. Physi(|ue. 
Instruments et Mathématiques appliquées, ou 11. Enseignement 
des sciences mathématiques et naturelles. 

— M. CAnATHÉoDORY, profcsseur à l'Ecole technique supéi'ieure 
de Hanovre, a été nommé professeur titulaire à l'Ecole technique 
supérieure de Breslau. 

M. G. Fabeh a été nommé professeur titulaire de malhématicjues 
à l'Ecole technique supérieure de Stuttgart. 

M. Havsdohff, de l'Université de Leipzig, a été nommé ])rofes- 
seur extraordinaire de Mathématiques à l'Université de Bonn. 

M. O. Perhox, de Municli, est nommé professeur extraoï'dinairt* 
à l'Université de Tubingue. 

Priiuit-docents. — Ont été admis en qualité de j)rivat-docents 
pour les mathématifjues, MM. A. Haar et H. ^^ eyl, à l'Université 
de Gœttingue, et M. \N . Schxee, à l'Université de Breslau. 

Angleterre. — La British Association for the Advancement of 
Science se réunira celte année à Shejfield, à partir du ol août. La 
Section des Sciences mathématiques et physiques sera j)rési(lc<' 
par M. le Prof. Honsox, de l'L'niversité de Cambridge. 

- MM. L.-X.-G. Filon (Londres) et G. -IL IIaudv Uand)ridg(' 
ont clt' nommés membres de la Société Royale de Londres. 



•1-M< .V O T i: s ET DOC U M E N T N 

Beljific|ue. — M. A. (Ion, professeur de inathémati(]ues w 
I Athénée r()yal de Lièi>e, a éfc nommé membre de la Société 
royale des Sciences de Liè<>e. 

Danemark. — M. II. IIregaiu), pi-otesseur à l'Académie mili- 
taire, est nommé professeur à l'Université de Copenhaoue, en 
I (Miiplacenient de M. le Professeur Zecthen, qui prendra sa retraite 
a la lin de cette année universitaire. 

Etat s-XJiiÎ!!*. — M. Edw. K.vsxEit a été promu professeur titu- 
laire de Mathématiques à l'Université (^olumbia de New-York. 

MM. W.-B. Carveh, A. Ranum et F.-B. Shaupe ont été nommés 
piofesseurs adjoints à l'Université Cornell, Ithaca. 

France. — L' Association française pour l\n>ancenient des 
.Vr/e/îce.s tiendra sa réunion annuelle à Toulouse, au mois d'août. 
La Section de MafluMuaticpies et d'Astronomie sera présidée par 
M. K. Bei.ot. 



NOTES i:t documents 



ANGLETERRE 

Enseignement de la géométrie et de l'algèbre graphique 
dans les écoles secondaires ^ 

Les observalions faites par les toiiclionnaires du « Boai'd of Edncalioii i> 
sur l'enseignement de la géométrie dans les différentes écoles permettent 
de formuler des appréciations sur les résultats obtenus avec la nouvelle 
méthode d'enseignement. L'influence de la réforme est généralement bonne. 
Cependant, si la majorité des maîtres ne se sont pas suffisamment tlétachés 
de la tradition euclidienne en ce qu'elle a de fâcheux, quelques-uns ont été 
à lopposé en saciitiant complètement, en faveur des applications pratiques, 
renseignement de la méthode de déduction ; or, cette méthode devi-ait être 
I élément essentiel de l'enseignement de la géométrie à l'école. (I reste beau- 
coup à faire pour obtenir partout les meilleurs résultats; cependant, on peut 
d'ores et déjà se féliciter de ce que la mémorisation inintelligente a disparu. 
Les connaissances des élèves sont souvent très limitées et il leur manque de 
la réflexion, mais la majorité d'entre eux comprennent ce qu ils font. 

La multiplicité des méthodes d enseignement pour les mêmes sujets dans 
les diverses écoles facilite des comparaisons qui permettent de faire profiler 
les unes des expériences des autres. Ces différences sont parfois très consi- 



• Circular711 du Board of Education, mars 19l>9. — Traduit et pulslié avec l'autorisation 
de //. M. Statioiiery Office. (Héd). 



.^ () I !■: s E T l)()( (' M E .\ T s 2;i",t 

<Ic'mm1)1i's ; l'crlaiiics érolcs parconirul en une année le clianip des iivi'cs I el 
II d lùiclide, tandis que d'awti-es |la niajoi-ilé peut-èlrel nielleiil liois aiiN 
ponr le même programme. 

Si à un li-avail plus lenl eorrespoudait un travail plus approfondi et un 
dévelop|)emcnt plus complet de l'intelligence, cela n'aurait pas d'importance, 
mais I inverse est généralement vrai. Cela ne provient pas du plus ou moins 
grand nombre d'heures accordées à l'enseignement ou des capacités dillc 
rentes des maîtres, mais des méthodes employées, mélhodes dont les bases 
emanenl de conceptions difPérenles sur le programme nécessaire pour Ir 
1«'' enseignement. 

II faut se pénétrer de plus eu plus de l'idée que la géométrie d Eudidc 
llelle qu'elle est généralement envisagée) n'embrasse qu'un champ très i-es- 
ticint qui devrait être traité dans toutes les écoles secondaires. Les raisons 
pour lesquelles cela ne se fait pas encore se trouvent dans le système d'en- 
seignement des premiers éléments. Cette circulaire a pour hul principal 
d'attirer l'attention sur la question. 

La compréhension du sujet nécessite la division de l'enseignement en 
trois degi'és successifs correspondant à ce qui se fait pendant les trois jjre- 
mières années dans les écoles où le travail est lent. 

Le ]<''' degré traite des notions géométriques fondamentales et est généra- 
lement intitulé : exercices pratiques préliminaires. 

Le 2""^ degré envisage quelques conceptions fondamenlales de la géo- 
métrie. 

Le 3"ie comprend une étude plus complète de celles-ci et en outre l'intro- 
duction de la déduction. 

Pour faire œuvre utile, il est indispensable d'entrei- parfois dans des dé- 
tails insignifiants en apparence; mais ce sont précisément ces détails qui 
sont à la base de la plupart des difficultés que rencontrent les maîtres dans 
leur enseignement. 

Pkf.miek df:i;kf. 

Il est assez généralement reconnu que le premier enseignement en géo- 
métrie doit avoir pour but de familiariser avec les notions géométriques 
fondamentales, solides, surfaces, lignes, point, direction, angle, etc., el 
d'initier à 1 usage des instruments en géométrie. Il doit donc consister sur- 
tout en observations et exercices pratiques. La diversité des opinions sur le 
choix des sujets et te développement à leur donner dans cette première étude 
est due principalement h une idée trop confuse du but proposé et de ses re- 
lations avec le liavail « théorique » qui doit suivre. Ce premier degré est 
souvent démesurément long, sans résultats patents et le travail théori(|ii( 
est développé indépendamment du reste. Ces écueils seraient évités par une 
corrélation convenable entre la théorie et la pratique. 

Le but de cette première étude est la compréheusion complète des notions 
fondaujentaies en géométrie. La familiarisation avec les constructions géo- 
métriques et l'habileté dans I emploi des instruments n'y sont que des con- 
sidérations d ordre secondaire atteintes plus aisément plus tard lorsque la 
compréhension des propositions ,^^éomélriques I exigera. 

La plupart des maîtres sont d'accord sur la méthode d enseignement des 
pren)ières notions, c esl-à-dire des notions de solides, surfaces, lignes et 
points en y associant les idées de volumes, aires et longueurs. Ces notions 
sont nalui-eliciiienl données sans définitions, celles-ci n étant en tout cas in- 



2iO .V () TE S ET DOC C M E .V / .s 

Irodiiiles que plus lard lorsque 1 élève a uue conception claire de la chose à 
<lélînir. La déiinilion pourra alors être uu bon exercice de composition. 
L'essentiel est de doiuu'i- \\\w idée nette du sujet et d obtenir un emploi 
oxact des noms. 

On peut se servir avec succès au début de questions telles que : « Com- 
bien faut-il de mesures pour décrire cette boite?» On amène ainsi aisément 
à la notion des 3 dimensions d'un solide. On continuera avec des exemples 
concrets et variés dont quelques-uns semblent à première vue faire excep- 
tion (une balle, un crayon), deux des dimensions étant numériquement égales; 
on comparera avec le nombre de mesures nécessaires pour donner les di- 
mensions d un plancher ou celles d'une page d'un livre (en opposition à une 
feuillei et cela jasqu à la distinction géométrique claire entre les solides et 
les surfaces. 

Il conviendra de poser à cet effet des questions telles que : « Combien de 
laces, d arêtes, de sommets a un cube, un cylindre, un cône. etc. ? ♦ 

Le travail pratique consistera surtout en fabrication de solides en carton 
et en dessins de ces corps dans des positions simples. 

Les adjectifs qualificatifs (plane, courbe, droit) pourront également être 
employés. Définir le mot «droit» serait une pei-le de temps; les élèves se- 
ront généralement déjà familiarisés avec la notion de surface plane et il 
suffira de ne pas permettre un usage incorrect des termes. Le temps à con- 
sacrer à cette première partie et le développement à y donner aux construc- 
tions dépend naturellement de 1 âge des élèves. Pour de jeunes enfants on 
se bornerait aux cartonnages en laissant de côté la partie abstraite du sujet. 
Pour des élèves de 12 ans et pins la partie abstraite est la plus importante, 
le travail manuel se bornant à la construction occasionnelle d'un solide fait 
à la maison. Il est superflu de donner des indications pour la construction 
des fîgui-es planes (carrés, triangles, etc.) qui sont comprises dans la cons- 
truction d'un solide, les élèves les trouvent laciiement eux-mêmes et ces 
indications ne serviraient qu'à distraire l'allenlion du point principal : le 
solide. 

Il ne faut pas oublier que ce travail est commun au début de l'enseigne- 
ment mathématique et scientifique et il faut éviter soit une répétition inutile 
des mêmes sujets, soit une difféi'ence trop radicale de méthode. 

La notion de direction vient ensuite ; elle est rarement aussi bien traitée 
et il en résulte plus tard des diflicultés pour les angles et les parallèles, 
l'allé est aussi difficile à discuter et encore plus à définir à un point do vue 
abstrait que celle de couleur. 

De même que les enfants acquièrent la notion des couleurs en les obser- 
vant et en les nommant, de même ils acquéreronl la notion de direction, 
d une façon claire, en observant et en nommant certaines directions fonda- 
mentales telles que verticale, nord, sud, etc. 

Au début on évitera l'usage de la représentation sur le papier. On intro- 
duira la question ainsi : m Montrez une ligne verticale, comment vériiiez-vous 
si elle est verticale ou non ? » ce qui conduit à la connaissance du fil à plomb. 
Ensuite : « Montrez une ligne horizontale, comment vérifier quelle est hori- 
zontale :' » Celle vérification doit être indéj^endante de la verticale, ce qui 
suggère l'idée du niveau d'eau. 

Vient ensuite la question : « Pcul-on dessiner des lignes verticales sur le 
mur, sur le pupilre, sur le plancher et de même poui- les lignes horizon- 
tales. 



j\ O T E S ET DOC U M E jX T S 2 ', | 

Puis: Combien do lignes verticales peul-on tracer par un point:'» ((Com- 
bien d'horizontales?» et ainsi de suite pour les différentes dii-ections (nord, 
sud. est, ouest). Les élèves chercheront l'orientation des fenêtres de la 
chambre et de leur propre position dans celle-ci. 

Le maître pourra poser ensuite la (juestion : <( Toutes les lignes verticales 
«inl-elles la même direction ? » idem pour les horizontales ; il amènera ainsi 
.1 la compréhension des parallèles comme lignes de même direction. 

Le maître ne devia pas tolérer, et encore moins piatiquer l'emploi inexact 
des termes, par exemple : perpendiculaire pour vei'lical, plane pour de ni- 
veau ou horizontal ; il s'assurera que les élèves n'ont pas l'idée que la direc- 
tion du nord peut être autre chose qu'une horizontale. 

La notion d'angle vient ensuite. Elle est généralement traitée d une ma- 
nière assez satisfaisante; cependant il se présente parfois des difTicultés dues 
en partie à une notion insuffisante de la direction, en partie a une représen- 
tation prématurée des angles sur le papier. On pourrait avec avantage con- 
sidérer non seulement la rotation d'une ligne ou de l'une des branches d'un 
compas, ainsi que cela se fait assez généralement, mais aussi la rotation 
d'une personne sur elie-méme ou de la terre autour de son axe. Des ques- 
tions simples telles que: «De quel angle tournez-vous au commandement : 
à droite ? » aideront plus à une conception claire de l'angle qu'un grand 
nombre d'exercices avec rapporteur sur le papier. Des élèves qui sont cen- 
sés savoir tout ce qui concerne les angles sont souvent embarrassés par la 
question ; o Un homme se dirigeant vers le nord tourne à droite de 40°, 
dessiner son parcours. » Ils montrent ainsi que la préoccupation des nom- 
bres les a empêchés de saisir la chose elle-même. 

La notion générale d angle acquise, les élèves estimeront des angles par 
comparaison avec l'angle droit ou la circonférence entière avant d'appren- 
dre à se servir du rapporteur; ils devront également prendre l'habitude, 
lorsqu ils mesureront un angle avec le rapporteur, d'en estimer d'abord ap- 
proximativement la valeur; il éviteront ainsi des erreurs grossières dues à 
une lecture fausse du rapporteur. 

Les exercices de mesure d'angle tracés au hasard devront être générale- 
ment laissés de côté; pour le maître ils sont difficiles et longs à bien véri- 
fier et sont avantageusement remplacés par la mesure d'angles obtenus par 
la construction de triangles. Le mieux est de proposer des problèmes tels 

que : (( Construire un triangle dont les côtés sont et mesurer le plus 

grand angle. » Le maître en connaît la solution, il peut aisémei»t vérifier le 
travail de chaque élève, et pour ceux-ci. il est préférable de n'avoir pas à se 
prt'Occuper uniquement de la difficulté du maniement du rapporteur. 

Les notions fondamentales ayant leur place dans le premier degré sont 
ainsi traitées. 11 est cependant d'usage courant d introduire encore un grand 
nombre d'exercices pratiques comprenant non seulement la ^construction de 
triangles, la recherclie de hauteur et de dislances, mais aussi de bissectrices 
de lignes et d'angles, de dessins, de tangentes à des cercles et même parfois 
de problèmes de similitude, ceci avant de faire aucun essai d'étude de la 
géométrie comme science proprement dite. On consacre souvent une année, 
quelquefois deux, à cette étude. On peut généralement les considérer comme 
du temps perdu. Lorsque cette étude est faite avant l'étude théorique, les 
constructions difficiles deviennent facilement des recettes et les plus faciles 
un amusement avec le compas. Dans les cas où une pratique plus grande du 
dessin géométrique est désirable, elle pourra s'acquérir plus avantageuse- 

I/Rnscignenirnl niatliom.. li" iiiirK'C ; Ittln. 1" 



242 NOTES ET DOC UMEN T .S 

ment en dessinant des plans, dos élévations, des sections de solides simples, 
exercices qui développent l'iniaginalion géométrique, mais sont indépen- 
dants de la géométrie déductive. A moins que cette étude n'ait été commen- 
cée à un âge exceptionnellement tendre, il n'y a pas de raison pour que les 
principes tondamentaux acquis, les élèves ne s'attaquent pas direclemeiit au 
développement ihéoi'ique du suje! accompagné d'exercices appropriés. 

Il y a encore des doutes sur l'opportunité des définitions, des axiomes ol 
des postulats. Les maîtres ayant personnellement étudié celle question sont 
rares, et les indications des manuels en usage sont peu satisfaisantes. Les 
définitions peuvent être considérées comme un but en elles-mêmes et il 
est peut-être utile de faire formuler aux élèves la définilioii de choses 
qu ils connaissent déjà, comme un carré, un cercle, un plan. La mémori- 
sation do définitions obtenues intelligemment et exprimées sous une forme 
élégante a certainement de la valeur; mais ce ne sont que des buts secon- 
daires, les progrès en géométrie n'en dépondent pas. Certains termes 
sont indéfinissables, comme dimension, direction, même peut-être angle, et 
devront être traités de la manière déjà indiquée. Un grand nombre de termes, 
tels adjacents, allerne, extérieur, diagonale, obtus, aigu, peuvent être intro- 
duits incidemment et n'ont pas besoin de définition ; il suffit de n'en pas 
permetti-c un faux emploi. Lorsque le maître parle d'un segment, il ne faut 
pas que l'élève se représente un secteur ou qu il confonde les termes inscrit 
et circonscrit. Les explications nécessaires se donneront aisément au moyen 
du dessin. L'élève n'apprendra rien de neuf par ces définitions et, sauf peut- 
être pour quelques-unes de celles du premier groupe mentionné, n'éprou- 
vera pas le besoin de les avoir sous une forme explicite. Certaines notion.^ 
pourront cependant être définies à priori et cela de diverses manières. Par 
exemple, l'ellipse peut être définie comme la section d'un cône ou par les 
propriétés des foyers et directrice, ou encore des deux distances focales, 
etc.; définitions qui, à première vue, ne semblent pas amener au même ré- 
sultat. 

11 est essentiel d'avoir à la base de toute démonstration une définition 
déterminée (dont le choix est une pure conventioni et de se limiter à celle- 
là jusqu'au moment où les autres propriétés qui auraient également pu ser- 
vir de définition en auront été déduites. Le parallélogi-ammo peut également 
être défini de plusieurs manières : par ses propriétés de parallélisme, par 
celle d'égalité des côtés opposés ou par celle d'égalité des angles opposés. 
Pour pouvoir faire une démonstration se rapportant au parallélogramme ou 
pour démontrer qu une figure donnée est un parallélogramme, 1 élève doit 
savoir exactement ce qu'il peut supposer connu et ce qu'il doit démontrer, 
il est donc indispensable de convenir d'une définition particulière. Les défi- 
nitions dont une connaissance imparfaite peuvent entraver les progrès de 
1 élève eu géométrie sont donc celles dont le choix est uniquement une affaire 
de convention comme celle du parallélogramme. Toutes les autres peuvent 
être employées ou exclues à volonté, elles ne sont pas indispensables. 

Les axiomes sont encore moins nécessaires et il est peut-être préférable 
de les laisser complètement de côté. C'est vrai soit pour les axiomes géné- 
raux soit pour les axiomes géométriques, pour des raisons diverses. 

L'énoncé abstrait : « Deux choses qui sont égales à une même chose sont 
égales entre elles » n'aidera en rien un élève qui a de la peine à conclure que 
si A := B et B =: C il s'ensuit que A = C. Pour qu'il la réalise absolument 
il faut que cette conclusion lui apparaisse comme une chose évidente, sans 



,V () T E S E r l) () C ( M E N T S 2 ', :{ 

le secours d'aucuiiL' auloritô exlérieuro. De ruèine si uu élève ne se reiul pas 
compte de l'évidence du fait : si 2 .r = 10 alors x= 5, le renvoi à un axiome 
ne le convaincra pas. Formuler de tels axiomes peut être un exercice inté- 
ressant, mais n'est pas nécessaire au progrès en géométrie et, imposé ;i 
cette période des éludes, peut devenir un obstacle sérieux au progrès (d'au- 
tant plus que ce geni-e de travail est antipathique à la plupart des élèvesl. 

Foui- les axiomes géométriques le cas est encore plus grave. Non seule- 
ment ils ne sont pas nécessaires à la conception des théorèmes et démons- 
trations présentés à l'élève d une nianière convenable, mais sous la l'orme 
<lonnéo par Euclide, et qui est encore en usage, ils ne sont ni sufllsanls, ni 
nécessaires à lédification de la géométrie. Au reste, létude de ces axiomes 
a donné naissance à une nouvelle branche de la science, branche semée de 
iliffuMiltés et de points délicats, qui n'est familière qu'à un petit nombre de 
savants, lesquels ne sont pas encore d'accord. Cela ne i-entre dans le cadre 
ni de la compréhension, ni du champ naturel d'activité des élèves. Cepen- 
dant, continuer à enseigner que toute géométrie repose sur les axiomes 
d'Euclide. serait faux aussi bien qu'inutile. 

DEUXlii.ME DEGRÉ. 

La notion d'angle acquise, les théorèmes fondamentaux concernant les 
angles peuvent être introduits et, comme suite naturelle, 1 égalité des trian- 
gles en y joignant un grand nombre d'exercices, notamment la construc- 
tion de triangles avec diverses données et la résolution de problèmes de 
hauteurs et distances au moyen du dessin. II faudra commencer à exiger le 
soin et la correction du dessin. C'est par la comparaison avec les résultats 
numériques que les élèves apprendront à apprécier la valeur, non seule- 
ment d un travail exact, mais aussi de la possession de bons instruments. 

Ce ne seront naturellement pas les seuls avantagés de cette étude; il faut 
premièrement faire observer que 3 données sont nécessaires et suffisantes 
pour déterminer un triangle. Les questions de hauteurs et distances (dans 
des cas qui ne soient pas trop simples) sont également un très bon exercice 
de développement, soit de l'imagination, soit de la faculté de compréhension 
et de représentation graphique d'un fait. 

Le second degré consiste donc à établir les théorèmes fondamentau.x, 
soit dans le le-" livre d'Euclide 13-15, 27-29, 32 ; ainsi que 4, 8 et 26. 

Les maîtres seront probablement tous d'accord que ces éléments acquis, 
les progrès peuvent être relativement rapides, mais que les élèves passent 
précisément trop de temps, sans résultat satisfaisant, sur ces théorèmes 
eux-mêmes. En effet, on" y consacre fréquemment une année entière. Un des 
aigumenls principaux mis en avant en faveur de cette méthode est le déve- 
loppement des facultés qu'elle entraîne, mais en réalité le travail subséquent 
est supérieur dans les écoles où ces théorèmes sont traités plus'rapidement. 

L'ordre dans lequel ces théorèmes sont présentés varie avec les métho- 
des. Evidemment l'unité du sujet exigerait que ces théorèmes soient pris 
simultanément ou en 2 groupes, ainsi qu'il a déjà été indiqué ; l'un conte- 
nant tous les faits fondamentaux concernant les angles, l'autre les 3 cas 
d'égalité des triangles. Le défaut essentiel de Tordre d Euclide au point de 
vue de l'enseignement est la séparation de théorèmes étroitement liés sui- 
vant ainsi non pas l'ordre naturel du sujet, mais un ordre tout artificiel 
ayant pour but de faciliter les démonstrations logiques. La majorité des 



2U y on: S et documems 

manuels ncliiellement en usage suivent l'oidre naturel, quelques-uns cepen- 
dant n'ont pas encore abandonné coniplètemenl l'ordre peu pi-alique d'Eu- 
elide. Cependant même les auteurs qui suivent un ordre naturel ne se sont 
pas débariassés tout à fait des diflicullés inhérentes aux démonstrations 
euclidiennes. Ils se voient tous obligés d'introduire un théorème supplé- 
mentaire (généralement I. 5) avant I. 8 détruisant ainsi l'unité du groupe 4, 
8 et 26. Presque tous se servent encore de la démonstration d'Euclide pour 
le théorème I. 13 (leur l^"" théorème) ; démonstration qui donne beaucoup 
de mal soit aux maîtres, soit aux élèves et qui est rendue complètement 
inutile par l'idée moderne d'angle. Ils donnent également une démonstration 
pour I. 29, alors que celle-ci est si difHcile qu'un livre très connu l'a mar- 
quée comme devant être laissée de côté dans une première lecture. Tous 
ces théorèmes rentrent du reste dans le champ des connaissances de ceux 
(|ui ont suivi le cours préliminaire d'exercices. Ces propositions semblent 
évidentes aux élèves (prépaies par un bon cours préliminaire) et les soi- 
ilisant démonstrations les rendent non pas plus évidentes, mais plus 
obscures. Il faut plus que partout ailleurs se rappeler qu'Euclide a écrit 
non pas pour des enfants, mais pour des adultes. Commencer un sujet en 
cherchant à démontrer aux élèves ce qui, à leur avis, ne nécessite aucune 
preuve est le bon moyeu de leur faire croire que toute la suite sera artifi- 
cielle et irréelle. Il vaut mieux n'aborder les démonstrations euclidiennes, 
(• est-à-dire déduclives, qu'au moment où leur nécessité se fait sentir, soft 
après les théorèmes fondamentaux, la démonstration étant alors une opéra- 
lion naturelle qui n'est sujette à aucune règle arbitraire ou artificielle. 

De ces théorèmes fondamentaux dépendent toutes les déductions qui sui- 
vront, 1 essentiel en ce qui les concerne n'est donc pas de les analyser et de 
les réduire au nombre minimum d'axiomes ou de postulats (méthode d'Eu- 
clide), mais de les présenter de telle sorte que leur vérité soit aussi évi- 
dente pour l'élève que la différence entre le noir et le blanc ou entre sa 
main gauche et sa main droite. Tout procédé qui ne permet pas d'arriver 
à une notion claire et complète de ceci est défectueux qu'elle que soit sa 
valeur logique et provoque fatalement des erreurs giossières dans les tra- 
vaux subséquents par défaut de compréhension des théorèmes fondamentau.x 
si laboi'ieusemcnt démonlrés. 

Les preuves euclidiennes de ces théorèmes n'ont donc pas leur place au 
début, l'attention devant être concentrée non pas sur des preuves formelles,, 
mais sur la représentation exacte et évidente des théorèmes eux-mêmes. 

La meilleure méthode à employer pour atteindre ce but est une considé- 
ration de détails sur lesquels l'opinion des maîtres peut naturellement diver- 
ger. 

L'expérience semble cependant prouver que le mieux est de procéder 
comme suit : 

Angles et parallèles. 

Le théorème I. 13 ne nécessite plus aucune démonstration, bien que 
peu d'auteurs se soient rendus compte soit de ce fait, soit de la raison pour 
laquelle la méthode d'Eudide nécessitait une démonstration. Euclide consi- 
dérait comme évidente la possibilité de l'addition des angles et le fait que 
2 angles AOP et POB sont ensemble égaux à un angle AOB. Il ne pouvait 
pas l'appliquer au cas où AOB vaut 180° car pour lui un tel angle n'existait 
j)as ; cela I obligeait à subdiviser ses angles de la même façon que si, inca- 



NOT E S E T 1) () C U M E NT S 2 4 5 

cables de coinploi" plus loin que 9, nous voulions déniontror (|no (i -j- 'i = 5 
-|- 5 nous serions alors obligés de dire % z=z h -\- \ donc 

6 + 4 = 5 + 1 + 4 
cl 

5 = 1 + 4 
<l'où 

5 + 5rrz5 + l + 'i 
et 

6 + 4 = 5 + 5 

Un tel procédé est déjà peu allrayant pour un enfant, mais lorsque de 
plus chaque symbole, qui avait une signification propre, doit être remplacé 
par 3 lettres (dans un ordre déterminé) désignant un ;ingie, il est très natu- 
rel qu il y trouve de grandes difficultés. 

Pour la même raison I. 14 n a pas besoin de démonstration. Les proprié- 
tés cependant doivent être formulées et leur énoncé appris afin de pouvoir 
servir comme instrument dans une argumentation. 

Le théorème 15 peut être démontré sans aucune difficulté par déduction, 
mais il est préférable, la propriété à démontrer étant évidente, de réserver 
l'exercice de la déduction à un cas plus opportun, c'est-à-dire dans le- 
quel la vérité du théorème soit moins évidente de sorte que la nécessité 
d'une démonstration devienne apparente. 

Les théorèmes 27-29 ainsi que 32 peuvent être présentés au moyen de la 
rotation. La méthode ordinaire basée sur la rotation d'une droite est bonne, 
mais il vaut peut-être encore mieux amener les élèves à se représenter un 
homme marchant le long d'une ligne brisée (27-29) ou autour d une figure 
(32 cor. 2). Ceux qui s occupent de rechercher les principes à la base des 
mathématiques ne sont pas d'accord sur la valeur de cette méthode en ~tant 
que démonstration ; pour le maître d'école la question ne se pose pas. Pour 
lui, le point essentiel est d'arriver à faire saisir ces théorèmes à ses élèves 
et cela de la manière la plus claire et la plus durable possible. De plus, en 
présentant ainsi les choses, les vérités géométriques sont associées non pas 
seulement avec le dessin, mais avec les circonstances ordinaires de la vie. 

L expérience démontre que par celte méthode les théorèmes apparaissent 
aux élèves comme des faits naturels dont ils se rendent mailres en fort peu 
de temps. 

Triangles égaux. 

De l'avis de la plupart des maîtres, l'introduc.iiou du procédé de superpo- 
sition à cette période des études entraîne une perte de temps considérable 
et beaucoup d'ennuis, lesquels ne sont pas compensés par les résultats 
obtenus. En effet, l'examen des travaux subséquents des élèves révèle sou- 
vent des erreurs très grossières qui montrent c(ue l'impression produite par 
cette étude a été très superficielle. 

L égalité des triangles peut cire traitée avec succès comme suit : Le mai- 
Ire dessine un triangle sur le tableau noir et demande : « Quels éléments de 
ce triangle faut-il mesurer pour pouvoir le reproduire ? » Suit la construc- 
tion pas à pas du second triangle en mettant en évidence la propriété que 
3 mesures (choisies convenablement) le déterminent sans ambiguïté. Ce pro- 
cédé esl évidemment le même que celui de superposition, mais la cons- 



•1 'if> yOTES ET 1)0 C U ME NTS 

Iriictioa graduelle de la seconde fig-ure est aisée à suivre et le fait que 3 
conditions déterminent un triangle en découle tout naturellement ; tandis 
que la comparaison de 2 ligures déjà dessinées est pins difiicile à effectuer 
et à saisir pour un débutant. 

Grâce à cette mélhode, quelques minutes suffisent à une classe pour com- 
prendre les 3 théorèmes d égalité, ce qui permettra d'insister immédiatement 
sur leur utilité. Les élèves apprendront naturellement les énoncés de ces 
théorèmes. Au besoin on donnera plus tard les démonstrations classiques, 
alors que leur élude ne présentera plus pour lélève les mêmes difficultés. 

Le deuxième degré, c'est-à-dire la présentation des théorèmes fondamen- 
taux étant ainsi condensé en quelques leçons, il sera préférable de ne pas 
interrompre l'ordre des études par des problèmes théoriques. Il faudra par 
contre faire faire des exercices pratiques, spécialement sur des questions 
de hauteurs et distances ; mais tout travail de déduction sera laissé de 
côté jusqu'à complète possession des théorèmes fondamentaux, instruments 
(]ui permettront de résoudre les problèmes qui suivront. Intercaler des 
problèmes théoriques |sauf peut-être uu ou deux sur les angles après la 
l^e partie et avant la 2"»e concernant l'égalité) tend plutôt à affaiblir limpres- 
sioii qu'il est essentiel que ces théorèmes produisent. 

Troisiè.me degré. 

Jusqu à ce moment 1 étude de la géométrie devait être basée uniquement 
sur une observation minutieuse de choses familières, sur l'expérience et sur 
I intuition directe ; base qui remplace les définitions, postulats et axiomes 
géométriques d'Iiuclide ainsi que sa manière de traiter certains théorèmes. 

Dorénavant, bien que l'intuition et l'expérience soient encore utilisées pour 
trouver les théorèmes, il s'y adjoindra une démonstration déductive absolue, 
basée sur les théorèmes fondamentaux précités. 

Il est inutile de faire de longs développements sur cette 3">« période qui 
doit être le développement général de la déduction à la suite des théorèmes 
fondamentaux. Les différences entre un bon et un mauvais enseignement 
restent naturellement très grandes, mais les méthodes ne peuvent guère 
différer d'une façon essentielle. Quelques points cependant méritent d'être 
relevés. Chaque domaine nouveau sera, autant que possible, amené par un 
travail personnel. Des théorèmes nouveaux seront suggérés au moyen de 
problèmes. Le but est bien létude des théorèmes classiques, mais ceux-ci 
seront appris plus facilement et avec plus d intérêt si les démonslralions en 
ont été préalablement découvertes. 

Les théorèmes seront pris, dans la mesure du possible, par groupes. 

Souvent, au lieu de présenter à une classe un théorème tout énoncé qu'il 
ne reste plus qu'à démontrer, il sera possible de poser des questions qui 
amènent les élèves à énoncer eux-mêmes le théorème. Par exemple, au lieu 
de dire ; « Démontrez que si la diagonale d un parallélogramme est bissec- 
trice de l'angle, la figure est un losange », il vaudra mieux demander : 
« Esl-il vrai que la diagonale d'un parallélogramme est bissectrice de 
l'angle? La réponse donnée, on continuera; « Pour que ce soit le cas, de 
quel genre doit être le parallélogramme ? ». Après réponse; « Faites-en la 
démonstration ». On demandera de même : « Quelle est la relation entre les 
côtés opposés d'un parallélogramme ? » plutôt que de dire, le théorème 
suivant est : « Les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux ». Ce 



iV o r E s E r I) () c u m e n t s •_> '. : 

[nocédé facililc l;i recherche de la «lémonslration et, ce qui est plus impor- 
tant, développe l'observation et l'imagination des élèves et les amène à con- 
sidérer les diflerents cas possibles dans une ligure. 

A mesure que les études progressent, il devient plus important de con- 
nailre les liiéorèmes eux-mêmes que leur démonstration. 

Dans les revisions, il sera bon de demander : « Quels théorèmes em- 
ployez-vous pour démontrer tel ou tel autre théorème ? » C'est un critérium 
ollicace des connaissances et en même temps cela aide à faire du tout un 
édifice logique. 

Les exercices ne doivent pas être considérés comme un but. Leur iin[)or- 
tance varie avec les sujets, elle est maximum lorsqu'une nouvelle notion 
doit être assimilée. Ainsi lorsque les notions de lieux, enveloj:)pes, pro- 
portions, similitude seront introduites, les exercices occuperont une place 
importante. A part cela, lorsque les premiers éléments du sujet sont ter- 
minés, ils diminuent d'importance et l'attention devra en premier lieu se 
porter sur le développement de la puissance géométrique et logique. 

11 faut reconnaître que si l'étude d'un sujet ne développe pas la faculté 
de résoudre des problèmes nouveaux, elle est inutile. Lors même que les 
examinateurs continueraient à laisser passer les candidats qui se bornent à 
répéter les démonstrations qu'ils ont apprises accompagnées de définitions, 
les maîtres ne devraient pas s'en contenter; la seule preuve valable d acqui- 
sition de connaissances est la faculté de les appliquer à des sujets nouveaux. 

Les problèmes introduisant des notions nouvelles à considérer en premier 
lieu sont ceux qui utilisent l'égalité des triangles avec, bien entendu, les 
théorèmes fondamentaux sur les angles et les parallèles. Presque tous les 
élèves peuvent apprendre à les résoudre et jusque-là rien d'autre n'est 
digne d'attirer leur attention. 

Il est très important de cultiver lliabilude de considérer les modifications 
successives d une figure : « Qu'arrive-t-il aux diagonales d'un parallélo- 
gramme si l'angle compris entre les côtés adjacents varie? » « Qu'arrive-t-il 
à la distance entre 2 points lorsque l'un d entre eux se meut le long d'une 
circonférence de cercle, de même pour la corde d'un cercle s'éloignant du 
centre, etc. 

Ceci est spécialement important en ce qui concerne les théorèmes prêtant 
à des erreurs lorsque la mémoire seule est enjeu, par exemple pour ceux 
concernant les rectangles obtenus par l'intersection des cordes d'un cercle 
ou ceux concernant le carré construit sur le S"»^ côté d'un triangle. La notion 
de changement ou de mouvement doit être introduite aussi souvent que pos- 
sible. C'est ce qui fait l'une des supériorités de lidée moderne de la tan- 
gente sur celle d'Euclide. C'est également pour cette raison que la recherche 
de lieux géométriques est un si bon exercice. 

Il faudra, autant que possible, que les exercices dépassent la théorie. De 
même que les hauteurs et distances sont résolues graphiquement longtemps 
avant d'être obtenues par la trigonométrie, de même on donnera des lieux 
et des enveloppes ii tracer, sans s'inquiéter de savoir s'ils donnent des 
droites ou des cercles ou s'ils appartiennent au programme parcouru dans 
la théorie. Ce travail est utile non seulement au point de vue éducatif, mais 
par rapport d'un nouvel instrument de travail. 

Les meilleurs exercices sont souvent ceux qui se font sans instruments 
ou même sans papier-, ni crayon. Pour répondre à la question : « Les diago- 
nales d'un parallélogramme sont-elles égales ? » il n est pas nécessaire de 



248 .XOTES E T D O C LM E y T S 

dessiner laborieusoincnt plusieurs piirallélogramnies exacis II suKit d eu 
esquisser quelques-uns ou mieux encore, de se les représenter menlaleuient. 
Un délaut des cours de géométrie de bien des écoles est de les limiter 
exclusivement à la géométrie à 2 dimensions. Même lorsque la géométrie 
des solides ne doit pas être traitée, il faut saisir toutes les occasions de 
diminuer la dépendance do l'élève vis-à-vis de la représentation graphique. 
On étendra ainsi à l'espace des questions telles que : (. Quel est le lieu des 
points équidistants de 2 points donnés, des points à une distance constante 
d'une droite donnée ou d'un point donné. Outre cela, on trouvera le temps 
de donner un aperçu rapide de géométrie des solides lorsque les pre- 
miers degrés des études auront été franchis rapidement et convenablement. 
Le onzième livre d'Euclide a la réputation d'être ennuyeux et difficile; 
tout ce qu'il contient d'important peut être traité beaucoup plus rapidement, 
surtout en faisant un usage fréquent de l'idée de mouvement d'une ligne ou 
d'un plan. Il faudrait de même introduire l'étude des solides, étude qui 
serait beaucoup facilitée par le f;iil que les grandes lignes auraient été ren- 
dues familières dès le début. 



GRAPHIQUES 

Il est maintenant usuel d adjoindre plus ou moins de travail graphique à 
I algèbre. On fait entrer ainsi un élément de réalité dans un sujet souvent 
très abstrait et irréel, ce qui ne peut avoir que de bous résultats. Il est 
rare de rencontrer des gens ayant une idée précise sur la place que cette 
étude doit occuper et sur les avantages qui doivent en résulter. Elle est trop 
fréquemment considérée comme un fardeau additionnel qui ne trouve place 
qu en sacrifiant autre chose. Cela provient en grande partie de la manière 
dont ce sujet est traité dans les manuels, seuls guides des nombreux maîtres 
non spécialistes. Le procédé habituel consiste à commeucr r par déterminer 
des points isolés, puis à rechercher l'aire des triangles et des diverses 
figures formées par ces points, ensuite à représenter des équations du 1'='" 
degré en les amenant à la forme réduite et enfin à résoudre graphiquement 
des systèmes simples de 2 équations simultanées. Dans tout ceci il n'y a 
pas grand chose qui ait une influence capitale sur l'étude des principes de 
I algèbre ordinaire. La résolution graphique d'équations simples soulève, 
avec raison, une objection que l'élève exprime parfois : « Pourquoi employer 
des procédés relativement compliqués alors que la méthode directe serait 
plus simple : » En général, la méthode graphique n'est appliquée aux fonc- 
tions du 2">e degré que lorsque l'étude du 2rac degré est abordée d'une 
manière générale. Là encore on se préoccupe beaucoup trop de la solution 
d'équations qui, pour la plupart, se résolvent plus aisément algébriquement. 
On enseigne trop rarement aux élèves qu'ils peuvent employer la méthode 
graphique pour la résolution d'équations de degré égal ou supérieur au 3n^«^ 
ou encore d'autres expressions qu'ils ne pourraient résoudre autrement. 
Quelquefois, lorsque l'étude en est poussée plus loin, le but proposé est la 
réduction de l'équation du 2nie degré à la forme réduite, recherche du centre, 
des asymptotes et des axes. Cette étude est alors considérée non pas au 
point de vue de 1 algèbre élémentaire, mais à celui de la géométrie analy- 
tique : de telle sorte que de la façon dont elle est présentée dans la plupart 
des manuels, elle n'est qu'un chapitre prématuré de géométrie analytique. 



Non; s K r d o r v m e n r s 2'fVt 

Dans ce cns on peiil, avec justice, regarder le travail graphique comme une 
adjonction au travail ordinaire et qui ne fait rien ou presque rien pour 
rendre celui-ci plus facile ou plus inteilic^ent, il vaut alors peut-être mieux 
le laisser de côté. Il existe cependant un meilleur moyen apparammenl peu 
connu des maîtres. Pour l'exposer en entier, il faudrait non pas se contenter 
d ajouter un chapitre ou doux aux manuels existants déjà comme l'ont fait 
leurs auteurs, mais écrire un nouveau traité d'algèbre. Cela sortirait du 
cadre de la présente circulaire; il faut se borner ici à noter quelques faits 
saillants. 

La méthode grapiiique peut être introduite très tôt, au moment de la 
transition entre l'arithmétique et l'algèbre. 

La représentation graphique des statistiques, si elle n'est pas déjà connue, 
sera expliquée et feia le sujet de quelques exercices ; on se bornera naturel- 
lement à des statistiques on rapport avec les connaissances réelles des 
élèves. 

Les élèves réaliseront expérimentalement la difl'érence entre une simple 
repi'oduction d'une série do valeurs discontinues et probablement sans liai- 
sons, comme les températures raaxima d'une suite de jours successifs, et un 
graphique continu admettant I usage de l'interpolation. 

Il tant ensuite passer des simples statistiques à d autres questions telles 
que : 

La distance entre Londres et Bristol étant de 120 milles, quelles seroni 

les vitesses moyennes des trains parcourant cette distance en 2, 3, 4 

heures ? Représenter graphiquement les résultats. 

On poussera la question plus loin en continuant à faire varier le temps 

de parcours et comme de cette manière, on s'éloigne des vitesses réelles d'un 

train, on pourra, pour obtenir une courbe complète, employer à l'une des 

extrémités les vitesses du son et de la lumière et à l'autre extrémité celles 

d'un cycliste, d une voiture, d'un fourgon, d'un piéton. On voit ainsi l'utilité 

, „ ' • , -u • 120 . . , ... 

de 1 expression algébrique — ainsi que toutes ses valeurs représentées 

graphiquement, et on donne incidemment d'une façon simple et efficace la 
conception nouvelle d inlîni et du zéro mathématique. D'autres exemples 
seroni fournis par les problèmes des livres d'arithmétique, spécialement 
ceux du chapitre des « proportions ». Ces questions comprendront naturel- 
lement le cas de proportion directe et inverse (tel que la valeur d'une somme 
placée à intérêts simples i où il y a accroissement proportionnel et les inté- 
rêts composés où il n'y a pas de proportionnalité. 

Cette méthode a une grande valeur pour l'étude de l'arithmétique, la 
signillcation de proportion direcle et inverse étant mise en évidence, ainsi 
que le fait que ces relations n'existent pas toujours. 

On acquiert ainsi une grande habitude du calcul mental et ce qui est 
encore plus important cela oblige à résoudre plusieurs cas d'un même pro- 
blème. L'élève apprend ainsi par expérience qu'à un travail exact corres- 
pond un résultat graphique rationnel et il est graduellement initié à la notion 
de continuité. 

1 20 

Ine fois qu une expression algébrique analogue à — a été tormulée, le 

maître pourra donner de telles expressions presque au hasard et laisser les 
élèves les reproduire graphiquement. Un bon exemple pour le début est 
(.r — 2){x — 4) qui entraine de suite plusieurs remarques : la signilication 



1^50 NOTES ET DOCUMENTS 

des parenthèses, la loi des sigues dans la multiplication, la représentation 
graphique des valeurs négatives et l'extension de l'application du terme 
« j: » aux valeurs négatives. Au début, il vaut mieux ne pas introduire la 
lettre « y » comme nom de la fonction de x. 

Les élèves conimeltront d'ailleurs bien des erreurs, soit d'arithmétique, 
soit d'interprétation, mais ces difficultés seront vile surmontées et une fois 
que les élèves ont expérimenté eux-mêmes qu'un travail minutieux donne 
des courbes continues, la bataille est gagnée. 

Il faut naturellement de la variété ; tandis que les élèves moins avancés 
traiteront des cas simples, les autres s'attaqueront à des fonctions plus 
compliquées, par ex. : 

\x — 2m^ — 6) 
{X — '2\{x — 4| \x — 6l ou —- 

\x — 4) 

Les élèves se rendront alors compte qu'ils peuvent représenter graphi- 
quement toute fonction algébrique explicite. Il vaudra généralement mieux 
s'en tenir à la forme en facteurs indiquée ci-dessus; les notions d'arithmé- 
tique impliquées sont alors beaucoup plus sim])les et les élèves ont plus de 
liberté pour s attacher au travail essentiel consistant à tracer la courbe. Ils 
atteignent ainsi plus rapidement le but, soit la réalisation de la continuité 
et la constatation de la rationalité et de 1 enchaînement des lois de larith- 
métique ou de l'algèbre. 

Ce travail remplacera avantageusement les évaluations ennuyeuses et sans 
signification que l'on trouve dans le l*^"" chapitre des manuels ordinaires 
d'algèbre. 

Lorsque les élèves ont appris à travailler d'une façon satisfaisante on 
pourra leur proposer quelques formes linéaires (par exemple 2 .r -|- 5). 11 
est préférable de ne pas commencer, comme cela se fait généralement, avec 
de telles formes, car il est important que dès le début toutes les formes 
soient considérées indifféremment comme abordables parles élèves ; déplus 
le fait que les fonctions du l"^"" degré sont représentées par une ligne droite 
fera beaucoup plus d'impression s'il est appuyé d'une série d'exemples plus 
généraux où ce n est pas le cas que s'il est seul connu. 

Naturellement les fonctions seront d'abord calculées pour des valeurs 
entières de .r ; dans des cas simples, ce sera suffisant pour faire apparaître 
la courbe. Cependant, afin d affermir encore chez les élèves 1 idée de la con- 
tinuité d'une courbe et quelquefois d obtenir- la forme de la courbe plus 
complètement, on introduira des valeurs fractionnaires de .r. On pourra 
demander : « Quelle valeur la fonction a-t-elle pour x = 3 '/î ? » Après avoir 
cherché la valeur par le dessin, les élèves la vérilieront par le calcul. 

Lorsque les élèves auront dessiné une courbe, par exemple : (x — 2i(.r — 4 1 
il faudra leur faire résoudre une équation telle que [x — 2) (a; — 4| ^ 5. 
Cela donne des indications nouvelles sur la notion si importante de l'équa- 
tion elle-même. La première solution obtenue sera approximative. 11 faudra 
immédiatement la véi'ifier arithmétiquement, la comparaison du résultat et 
de la courbe permettra de reconnaître le sens de 1 erreur. Il pourra être né- 
cessaire, soit de dessiner de noirveau la courbe, soit même de la dessiner à 
une autre échelle ; les nreilleuis élèves devront arriver à un résultat exact 
à la 2'"e décimale près. Cela entraîne des exercices arithmétiques sur les 
fractions et les décimales, ainsi que de l'exactitude dans les mesures et le 
dessin. Les élèves plus avancés jjoui-r'oiit aussi r'ésoudre quelques éqirations 



NOTE S ET T) O C U ME N T S 2 5 1 

• l'un degré égal ou siipcrieur au 3""^, ils se rendront ainsi coniple de la 
puissance de la méthode qu'ils ont entre les mains. 

Tout ceci pourra fort bien se faire dès le début et indépendamment de 
renseignement ordinairi; de l'algèbre. Les élèves se rendront ainsi évidem- 
ment maîtres des notions essentielles de l'algèbre, soit la coliérence dans les 
résultats et par conséquent la rationalité des lois fondamentales et la signi- 
fication des équations. 

Le travail graphique ne comprendra rien de plus, car il ne doit pas être 
un but, mais un moyen. Toutes les méthodes particulières, la réduction à 
des formes spéciales ou la considération approfondie de cas spéciaux doi- 
vent être renvoyées à plus tard. 

Indiquons en passant qu'il vaut uiieu.x ne pas faire les pi-emicres construc- 
tions gr-aphiques sur du papier quadrillé. Les élèves se serviront d'abord de 
papiers unis ou de tableaux noirs et marqueront les mesures au jugé ou à 
laide d'une règle graduée. Puis, lorsque l'idée directrice sera bien nette dans 
leur esprit, on les initiera à l'usage du papier quadrillé comme moyen sim- 
plilîcaleur. 

La méthode de représentation graphique, une fois acquise, elle sera rap- 
pelée de temps à autre par un exercice, généralement une équation à résou- 
dre ; son utilité est également notable en algèbre. 

On peut donner un exemple qui montrera la meilleure manière dont on 
peut traiter un point, considéré comme difficile, celui des indices fraction- 
naires et négatifs. L'emploi des graphiques pour le calcul des logarithmes 
est maintenant assez général, mais l'utilité de son application à cette période 
plus précoce a rarement été reconnue. 

Supposons qu'il s'agisse d'initier une classe à l'extension de la notion 
d indice. Si le maître dit à ses élèves : « Tracez la courbe 2^ », ceux-ci 
chercheront naturellement les valeurs pour x valant' 2, 4, 8, 16, etc., et ils 
joindront tout naturellement les points correspondant par une courbe. 

Cela suggérera de suite la question : « De quel droit tracez-vous cette 
courbe, que signifie 2 '"* ? » Cela n'a pas de signification, mais la courbe lui 
donne une valeur soit 2.8. Demandez ensuite d'oii peut provenir une expres- 
.3 

sion telle que 2", soit en prenant la racine carrée de 2 . Ce résultat correspond 

à la valeur donnée par la courbe. On prendra également d autres cas tels 

:, 4 

» 2 ,Tî 
i[ue 2 et z . 

Remarquons ensuite que la courbe s'arrête brusquement à x =: L jusqu'ici 
les courbes ne s'arrêtaient pas brusquement. Où semble-t-elle aller ? évi- 
demment pas à l'origine ; cela amènera à la considération de 2 puis de 2"" , etc. 

Cette méthode donnera aux élèves une idée ferme et précise de la ration- 
nalité de l'extension des définitions, idée qui est rarement obtenue par les 
méthodes ordinaires et permettra ainsi de ne pas aborder encore les démons- 
ti'alions (jui prouvent que les nouvelles définitions se conforment aux lois 
des indices; tlémonsti'ations que les élèves trouvent difficiles à cette période 
de leurs études et qui sont par conséquent peu convaincantes et psychologi- 
quement fausses. 

La signification des indices fractionnaires et négatifs étant établie, les 

I I .i 

élèves peuvent iracer les courbes 10 , 10 , 10", 10 , 10 et employer leurs 



252 iXOTES ET DOCUMENTS 

graphiques à la recherche des indices des puissances de 10 donnaul les 
nombres naturels ; ils obtiennent donc les éléments d'une table de loga- 
rithmes. L'exactitude peut facilement être poussée jusqu'à la 2'"« décimale. 
L'introduction des tables à 4 décimales sera alors aisée. 

De même, lorsque des expressions du 2<^^ degré sont considérées simul- 
tanément, on y joindra leur interprétation graphique. La forme xy = t" sera 
déjà familière. La forme a:*-|-r* = c* devra être interprétée. Il ne sera géné- 
ralement pas nécessaire d'aller plus loin. On traitera cependant encore le 
principe do tangence dépendant de l'égalité des racines ainsi que le cas plus 
étendu d'intersection en points réels et imaginaires, le chapitre ordinaire 
sur les racines des équations du 2"ie degré étant sans cela ennuyeux et sans 
but et n ayant aucun contact avec l'expérience. 

[..'acquisition approfondie et précoce de l'habitude de la représentation 
graphique facilite dans une large mesure les débuts de la trigonométrie et 
de la mécanique. En tant que cela concerne l'algèbre élémentaire tout ce 
qui a une réelle valeur a été suffisamment indiqué. 



RESUME 

Premier degré. 

Familiariser avec les notions géoinclriques fondamentales et arriver à une 
conception claire de celles-ci, cela en observant les faits ordinaires de la vie 
et au moyen d'exercices pratiques. Le développement et le degré d'exacti- 
tude de ces travaux pratiques devra naturellement s inspirer de ce but. 

Les matières à traiter sont: les solides, surfaces, ligues, points, volumes. 
aires, longueurs, direction, angle, parallélisme. 

Les exercices pratiques de modèles de figures planes seront laissés de 
côté; les constructions seront apprises plus tard. 

I>es définitions seront évitées, mais on exigera un usage exact des termes. 

Les axiomes et les postulats ne seront ni appris ni même mentionnés. 

Deuxième degré. 

Pour bâtir la géométrie déduclive, la connaissance de certains théorèmes 
fondamentaux sur les angles, les parallèles et l'égalité des triangles est 
nécessaire, parce qu'elle offre une base plus large que celle d' « axiome et 
postulat » d'Euclide. Ces théorèmes se baseront sur l'intuition et seront 
étayés d'exercices pratiques . les énoncés en seront appris avec exactitude. 

Le dessin devra être minutieusement correct et sa précision véridée 
numériquement. 

Les problèmes théoriques seront laissés de côté. 

Jroisième degré. 

Cours logique de géométrie déduclive basé sur les principes et théorè- 
mes fondamentaux accompagnés de travaux originaux. Des théorèmes nou- 
veaux seront mis en lumière par des problèmes théoriques. Les exercices 
pratiques seront multipliés lorsqu'il y a une idée nouvelle à assimiler. 

[^e travail pratique ne doit jamais être un but, il doit généralement pré- 



Il I li 1. 1 o c /{ A p II 1 1: 25:{ 

céder les connaissances et peut avec avantage aller au delà do ce qui doii 
être li-ailé dans la tliéorie. 

L'élève doit être mis en état de résoudre des pioblèmcs théoriques. 

Un cours de géométrie dos solides est à recommander. 

GltAPHIQUES. 

Ce travail servira d'introduction explicative à l'algèbre élémentaire cl 
non d'introduction à la géométrie analytique. 

Le premier travail graphique, après le tracé ordinaire de statistiques dis- 
continues devra comprendre des fonctions explicites non linéaires illuslraul 
la nature des expressions algébriques en général. 

La résolution des équations devra être suivie de la vérification ariliiincli- 
(|ue des résultats. 

f^e travail graphique ne doit pas être un but, mais un moyeu. 

Mars 1909 W.-N. Bruck 



Principal Assistant Secrelai-y 



iTradiielion Je M"" H. Masson. Genève, i 



bibliographie: 



o. Blu.mk.nthal, — Principes de la théorie des fonctions entières d'ordre 

infini. — 1 vol. gr. in-H'^ de VI-150 pages; 5 l'r. 50 : Gauthier-Villars, Paris. 

En analysant, dans un article voisin, la Théorie de la croissance, de 
.M. Borel, j essaie de donner une idée de 1 importance de cette notion quant 
à l'étude des fonctions. Le livre de M. Blumenthal, paraissant en même 
temps, fournit à point un nouvel exemple de toute première qualité. La 
décomposition des fonctions entières en facteurs primaires conduisit tout 
d abord à attacher une gi-ande importance à la notion du genre; toutefois 
les problèmes les plus divers (par exemple le prolongement analytique 
d'a[)rès la méthode de M. Mittag-Leffler) réintroduisirent des fonctions dont 
la distribution des zéros était dillicile à préciser et d'autre part, ce qu'il 
importait de connaître était surtout leur mode de croissance. Aussi les 
recherches s'orientèrent dans cette direction et la notion d ordre s imposa à 
son tour de façon impérieuse. Los fonctions entières d'ordre fini croissent 
exponentiellement ; il y a des fonctions d'ordre nul qui croissent moins vite 
et des fonctions d'ordre infini à croissance plus rapide. C'est surtout à ces 
dernières que l'auteur s attache en essayant de montrer que ses résultats 
peuvent comprendre comme cas particuliers ceux qui sont relatifs à l'ordre 
fini. 

lue des notions fondamentales introduites dans ce livre est celle de 
fonction-type ; c est une fonction de comparaison adjointe à celle qu'il s'agit 
d étudier et qui permet une étude plus simple à une foule de points de vue. 



254 K I n l.l OC. HA P II I K 

par exemple quant à la décoinposilioii en facteurs primaires, mais dont la 
croissance est cependant comparable à celle de la fonction primilivemenl 
considérée. D'où des vues tout à fait nouvelles sur les produits canoniques 
dues, en Allemagne, à M. Blumenliial lui-même et, en France, à M. Denjoy. 
Enfin, cette notion de la fonclion-type aide encore à revenir sur les im- 
portants théorèmes dont lidée première revient à M. Picard, lesquels ne 
concernaient d abord que les valeurs exceptionnelles d'une fonction uni- 
forme au voisinage d ime singularité essentielle et qui, maintenant, ont été 
étendus jusqu'à concerner en même temps l'ordre d'une fonction et la dis- 
Iribulion de ses valeurs. On voit, par ces quelques citations, quelle est la 
profondevir des recherches abordées dans ce volume. Cela n'empêche pas 
qu'il est écrit d'une façon fort claire bien que le français soit une langue 
étrangère pour l'auteur. Parfois les formules sont un peu compliquées, mais 
dans des théories aussi neuves, cela vaut mieux que d'introduire un symbo- 
lisme nouveau dont on ne sait jamais s'il sera consacré par l'usage. 

A. BuHi. (Tonlousel. 

M. BocHER. — Einfûhrung in die hôhere Algebra. (Traduction allemande 
de H. Beck avec une préface de E. Stuuy.) — 1 vol. gr. in-8o de XII- 
3i8 pages, B. G. Teubner, Leipzig. 

Cette introduction à 1 algèbre supérieure ne vise pas toutes les parties 
de l'algèbre, mais plus particulièrement la théorie des formes. Elle semble 
excellemment faite ; elle est d'ailleurs aussi élémentaire que possible et 
mérite en tous points les éloges que lui décerne M. Sludy dans la préface 
de la présente traduction. Les quantités complexes les plus générales sont 
introduites sous forme de matrices, mais 1 idée préliminaire est d'une ori- 
gine si simple que le premier exemple est formé par la réunion de 5 che- 
vaux, 3. vaches et 7 montons (p. 65). 

Dans l'étude des transformations linéaires, quadratiques, etc. . . . l'auteur 
non seulement parle le langage géométrique, mais il fait de la géométrie en 
étudiant par exemple les propriétés du rapport ou anharmonique et celles des 
faisceaux de coniques. Mêmes remarques pour les surfaces du second 
degré. En outre il choisit ses notations avec beaucoup d'art, ce qui lui per- 
met d'écrire toujours automatiquement non seulement les formes primitives 
mais toutes les expressions adjointes telles que dérivées partielles, résul- 
tants, discriminants, plus grands communs diviseurs, etc. . . . En résumé, 
bon ouvrage d initiation, très facile à lire et à comprendre. Le texte est 
d'ailleurs coupé par de nombreux el excellents exercices. 

A. BuHL (Toulouse). 

I]. BoKEL. — Leçons sur la théorie de la croissance, professées à la Faculté 
des Sciences de Paris, recueillies et rédigées par A. Denjoy. — 1 vol. gr. 
in-8o de VHI-170 pages; 5 fr. 50. Gauthier-Villars, Paris. 

Les fonctions de plus on plus complexes conçues par les géomètres, 
qu'elles soient des créations de leur esprit ou des nécessités imposées, par 
exemple, par des équations difféienlielles, ne peuvent plus, depuis long- 
temps déjà, être représentées par les anciens symboles. De plus, elles n'ont 
f)as forcément des propriétés exactes et l'étude de leurs propriétés appro- 
chées doit surtout se faire par comparaison avec les fonctions élémentaires. 

Tel est l'objet de la théorie de la croissance. Les transcendantes qui ser- 



H I li I. I O r, li A l> Il I E -Ihh 

veut lie eoinparaison sont d'iiboid rexponeiilielle el le logarithme ; la réité- 
ration de rexpoiientielle nous offre des types croissant de plus en plus vite, 
au (Iclii desquels il y " d'ailleurs des fonctions croissant plus vite encore, 
la conception de ces dernières étant toutefois, impossible ou au moins inutile 
dans l'olat actuel de l'Analyse. Ces simples indications montrent non seule- 
ment lutilité mais encore la. curiosité qui s'attache à l'étude de la croissance. 
Supposons maintenant étudiée la croissance d'une cei'taine fonction ana- 
lytique. Que pouvons-nous en conclure quant à la croissance de sa dérivée 
ou de son intégrale ? C est là un problème qui évidemment s'est déjà ren- 
coutié bien souvent et dont les géomètres se sont lii-és au hasard d'inspi- 
rations particulières. M. Borel cherche quelques généralités ; de plus, dans 
ces dernières années, des travaux, comme ceux de M. P. Boutroux sur les 
fonctions entières, ont nécessité l'étude approfondie de la croissance de 
certaines intégrales. Le tout permet déjà l'existence des grandes lignes 
d une théorie. I>'étude de la croissance des termes d'une série permet d'ob- 
tenir bien plus que ne donnent les anciens critères de convergence ; nous 
pouvons, par exemple, reconnaître si une série divergente converge asymp- 
totiquement el, à propos de séries asymptotiques, M. Borel est revenu très 
élégamment sur les propriétés de la fonction gamma. Je signale aussi la 
croissance des fonctions entières comparée à celle de leurs zéros. Un der- 
nier chapitre sur les applications arithmétiques est du plus puissant inté- 
rêt. Comme je l'ai dit plus haut, la notion de croissance permet de définir 
des fonctions que d'autre part on ne peut connaître : un paradoxe semblable 
se présente au début de la théorie des nombres incommensurables et, dès 
lors. 1 approximation de ceux-ci par des nombres rationnels ressemble de 
manière frappante à la représentation approchée d'une fonction par une 
autre dont la croissance est connue. On conçoit tout ce que ce rapproche- 
ment peut avoir de fécond, d'autant plus que M. Borel, loin de le laisser 
dans I abstrait, l'illustre élégamment en analysant' la transcendance des 
nombres e et -. A. Blhi. iToulousel. 

E. A. FoLËT. — Leçons élémentaires sur la théorie des fonctions ana- 
lytiques. — Deuxième édition, iome II. — 1 vol. gr. in-8o de XII-265 
pages; 9 fr. Gauthier-Villars, Paris. 

Le succès de cet ouvrage, signalé déjà lors de la publication de la 
seconde édition du tome premier*, s'affirme plus que jamais tant par l'élé- 
gance que met l'auteur à rassembler les éléments essentiels de l'analyse 
actuelle que par le soin qu'il met à ne laisser échapper aucune publication 
utile au sujet, celle-ci étant au moins indiquée par une note en bas de page. 
Il serait difficile d'analyser cette seconde édition en citant seulement les 
adjonctions faites à la première, tant les remaniements sont importants. Il 
ne sera d'ailleurs pas superflu de suivre une nouvelle fois la pensée de 
Fauteur: son but est assurément de mettre le lecteur à même de travailler 
dans laualyse moderne sans l'obliger à se débrouiller dans le fatras des 
mémoires trop rigoureux. Aussi, après une étude des fonctions uniformes, 
puis des procédés susceptibles d'uniformiser les fonctions multiformes 
Itransformations diverses, usage des surfaces de Hiemanni, il aborde la 
notion de série envisagée des différents points de vue d'où elle pont servir 



' Voir l'aiLilyse de ce tome dans VEiiseign. math., t. .\. p. 352, 19(18. 



25*; H I H I.IOC, KA l» n I K 

:i définir la fonction. Pour los séries enlicrps. lo pins faraud soin est allacli<'> 
an mode de croissance des coenicicnts (lernmes de ("ancliy, Harlaniaid. 
Horeli. ce qni n'enipèclie nnllenieiit d'obtenir certains dévelop|)crnenls de 
manière rapide et L'léf^aMl<' (piand les théorèmes Jondamenlanx ont assuré 
la convergence et l'nnicilé dn résnltat. 

Les séries qui peuvent ulilemeni se siihsiilucr aux séries entières, sont 
étudiées ensuite. La pr«'tnière place appartient sans doute aux séries tri- 
gonométrifjues ; il faut leur ajouter toutes les expressions qui se sont suhs- 
titui'es aux précédentes séries quand elles ne convergeaient pas ; nous arri- 
vons ainsi aux séries sommables v\ aux séries des polynômes analyti(|ues 
dont on pressent l'existence, celle-ci devant éiro vci ilablement appridoiidie 
dans le tome suivant. 

L étude des transcendantes élémentaires est conduite avec une très granrle 
t.icililé jusqu'aux fonctions eulérietmcs et jns(|n';i la série liypergéoniél ri(|iie 
à laquelle se rattachent ittimédialiimnl les loncl ions spli('ri(jues et csliii- 
dri(|ues : quant à la représentation soys forme de pi-oduils (!<■ celles des 
fondions précéd(;nles qui sont entières, j'aurais à peine hesoin de le men- 
tionnei- si ceci ne m amenait à signaler par contraste fie bicMi curieux j)ro- 
duils pour les fonctions inverses telles (pu; \v. logarithme et l'aie cosinus; 
je les ignorais totalement et j'imagine (|ue bien des lecteurs dans mon cas 
ne les verront pas sans intérêt (p. I.'io). 

Si la théorie des séries sim|iles prépare; admirablement les parties les 
plus élénienl.iires de la théorie des fonctions, on peut demander de même à 
celle des séries multiples de [)r('|)arer des notions plus élevées telles (|ue 
celles des fonctions thêta de .lacobi à une ou plusieurs variables. Ij'eiichaî- 
nement est encore extrèrnenieiil rertiar(|{ial)le el c est avec moins fie 60 pages 
fjiu; la théoi-ie se développe cl aboiilil à des résultats aussi remarquables. 
Un derniei' chapitre a trail aux fonclions di'diiies par des intégrales; les 
formulf.'s de Uiernaiiti el (ireen eu sont les preiniers élémeiils (pii aboulis- 
seiil au lliiMucine de Cauchy avec loiiles les |)r('caulions dont l'eiilonre 
.NL (ioursal. La notion d'intégrale est (die-même soigneusement élu<liée 
avec les perfectifjtmemeuts dus à Riemann, |)uis à ^L^L Darboux el I.,ebes- 
gue. Combien fut judicifMix el sûr le choix d(! lauteur pour (pi'il puisse 
nous présfMilfîr tant de clios(!S ! Quelle fiufîssc fl espi-il n a-l-il pas eu pour" 
fairf; rie chacune un pelil bijou. A. Huui. ( l'oulouse). 

IL l'oiNCAUK. — Leçons de Mécanique céleste, professées à la Sorbonne. — 

Tome IIP. Théorie des nitirees. rr'digi'c par I']. Kichot, ing(Miieur-h y<lro- 
graphe fie la marine. — 1 vf)I. gr. in-H" fie 'i72 pages av(;c (i7 (igures et 
2 cartes hf)rs texte. fiautliier-Villars. Paris 1910. 




' Voir cIîinH yiliisrij^n . math. \vs iiiiiilvsi's <li'S leriKs I (!'. \\\\. l'.tdll, p. U'tHI ol II il'. .\ I 
l'MIU. |). 231 1. 



li I II I I () c. n A i> Il I /•; 



2') 7 



iil passer du syslriiic de poiiils 
simulas se ri'iiiplai'enl par des 



iiièine [lefiiide (|iu' 1 osci I la I inii propre, il y a rrsoïKinci' . et c'esl précisé- 
iiieiil l<' r(")le capilal de la résoiiaiiee (|iie M. l'oiiirare clierclie iiiiini'-diale- 
iiieiit à ineltre eu Iiiiiiière. 

(a's proliniiiiaires élanl élai)lis. on y 
inalériels au ras du iiiilien ronliiiii: li 
iiiléi^rales. 

Los pr«Muières mart'es pi-opi-eineut dites dont rétiulo vient i! ahord. sont 
les marées à 1res longue période (]ni ont d'ailleurs pour eas-Iiiuite les 
uiar('-es pnreuieni statiques, mais, dans ee domaine, la simplicité n'est pas 
aussi Irlande i|u on l'a cru pendant longtemps. Un astronome de l'Observa- 
toire <lii (îap, M. llougli, a étudié l'influence du frollemeiil d'une mauière 
(|iii eondiiil maintenant à diviser les marées stali([ues en deux sortes ; la 
première sorte répond à l'ancieime idée d'écpiilibre, mais, dans les marées 
de la seronii(> sorte, l'i'Hjuilihre. n'est qu apparent, la masse piMivant èti-e 
parcourue pai" des courants n alti-raut pas I ('lat de la surface. 

tenant à 1 élude des marées d_vnamii|ues, elle est savanuuent divisi'c eu 
plusieurs étapes. Nous parlons d'abord d un simple problème d'Iiydro- 
dynami(|ue, à apparence très classi([ue, dans !e(|uel il ne s'agit (pie des 
oscillations d'uTi li(|uide pesant dans un vase lixe : on passe ensuite au cas 
où ce li([uide recouvre une sphère non tournante, puis une sphère tour- 
nante. Le cas général est ainsi préparé par des théories <|ui ne se com|)li- 
(pienl que progressivement. Les cé-lèbres résultats dus à I,aplace ont élt'- 
complétés par M. Hough. dont les travaux sont liabilenii ni resunu's par 
.M. l'oincaré : ils permetli'ut aussi de revenir sur l(>s marées slali(|iies et de 
déciller déllnitivement (le linlIiuMice di\ l'rottement i|iianl à la classilical ion 
de la inai'(''e dans rnue des sortes mentionnées pins liaul. 

lùdin, si le cas nalui'el est excessivement compli(|iie, il ne tani pas oul)lier 
(ju'il est compris entre le cas limite où la mer l'ccouvrirait toute une sphère 
et celui où l'eau ne serait emprisonnée que dans des canaux étroits, (^es 
deux cas-limites admettent des tlu-ories suflisammenl couq)Iètes permettant 
de pousser les calculs jus([u'au bout, et leur développeuu'nl, ell'ectné par 
M. l'oincaré, est cei'taiuemcnl ce (pi il y a d(^ mieux pour ai'river à se taire 
une idée du phénomène réel. 

Tout ce (|ui précède |)eul n être consiib'ré, si l'on veut, que comme un 
perfectionnement des méthodes anciennes. Au contraire, une nouveauté d un 
intérêt capilal est constituée pai* l'application de la méthode de Fredholm à 
lintégration des équations aux dérivées pariielles du problème des marées. 
M. Poincaré rappelle brièvement en (|uoi consiste celte méthode; i! 1 ap- 
|)lique à (pi(d(|ues jiroblèmes tels (pie celui de DirichliM, lesquels — ([Uidle 
ii'oiiie ! — semblent trèis simples à C(')té de ceux (pi il laiidrail résoudre 
maintenant. Il exj)Ose ses propres travaux et perliu-lionne en des points 
tr('S importanls une méthode qui, malgré son caractère gt'uéial. ne s a|)pli- 
(piait pas aux marées sans de profondes modifications. II expose aussi la 
méthode de Kilz, fondée sur le calcul des variations, iai|uellc, convenable- 
ment perfeclionnée, rendrait peut-être des services analogues à celle de 
l'fedholm. Sans doule, ces méthodes sont surtout théori(|ues ; on se «le- 
inande quelle fonction on pourrait bien y introduire pour repi-ésenlei-, par 
exemple, la pi'ofondcMir de la mer, mais, là encore, l'intérêt n est probable- 
ment pas du côté de l'excessive généralité. II ne faut pas oublier ipie les 
résultats les plus élégants obtenus jns(]n'ici correspondent au cas de la pi'o- 
fondeur constante on fonction de la seule latiliide. \'A de tels résultais ont 



L'iMisoigncnioiit inatlK'iii., 12'' aiiiii'i' ; l'JIO. 



258 RI BLIOG HAPIIIE 

encore bien besoin de compléments ou même de démonstrations véritable- 
ment rigoureuses ; c'est là surtout ce qu il faut commencer par demander 
aux méthodes nouvelles. 

Le nouvel ouvrage de M. Poiocaré est divisé en cinq parties; tout ce que 
je viens de dire concerne la première qui est de beaucoup la plus impor- 
tante. Les autres n'en sont que des compléments qu'on peut analyser plus 
rapidement. 

La seconde paitie traite des méthodes pratiques de prédiction des marées. 
(]'est l'analyse harmonique de Laplace qui consiste à ne demander à la 
théorie que la forme analytique du résultat. Les constantes qui y figurent 
sont déterminées pai- l'observation. Il y a là un procédé qu ou retrouve en 
astronomie dans beaucoup d'autres cas (par exemple dans l'étude de la 
réfraction) : ici il est assez curieux, surtout à cause des dispositions ciné- 
maliques imaginées pour profiter des indications des marégraphos avec 
économie de calculs. 

La troisième partie fait une synthèse dos observations et les compare 
avec la théorie. Il y a là l'étude géographique des marées et celles des 
oscillations propres produites artificiellement dans de petits bassins dont 
on peut faire varier la forme. Ici se placent aussi les foPt belles planches 
jointes à l'ouvrage. Ce sont des planisphères indiquant la distribution des 
marées semi-diurnes, et celles des lignes colidales (lieu des points où la 
marée se produit à la même heure). 

La quatrième partie traite des marées fluviales. Si l'on suppose les dépla- 
cements très petits et le froltemeut négligeable, la marée fluviale est régie 
par 1 équation des cordes vibrantes, mais ce cas est trop simple pour don- 
ner quoi que ce soit qui coïncide avec l'observation. En deuxième approxi- 
mation on néglige le frottement qui correspond à une onde principale, mais 
en le faisant intervenir sur une grande longueur de fleuve de manière à 
éteindre une onde pai-asite. Alors apparaît une explication assez satisfai- 
sante pour le mascaret. En troisième approximation, il faut maintenir le 
frottemeut, mais, si l'on se borne alors aux petits déplacements, on tombe 
sur l'équation des télégraphistes. 

La cinquième et dernière partie de 1 ouvrage a trait à 1 influence des 
marées sur la rotation des astres. Nous y trouvons notamment la question 
de la rotation lunaire et celle, probablement analogue, qui porte à croire 
que Mercure et Vénus ont un jour sidéral égal à l'année solaire. J insiste, 
avant de terminer, sur la rédaction extrêmement soignée et consciencieuse 
due à M. Fichot ; il est même hors de doute que, dans les parties pratiques, 
il a adjoint toute son expérience d'hydrographe à la haute science de 
M. Poiucaré. A. Buhl (Toulouse]. 



C. RiQuiEK. — Les systèmes d'équations aux dérivées partielles. — 1 vol. 
gr. in-8° de XXV 1 1-590 [jages avec ligures : 20 fV. Gauthior-Villars, Paris. 

Voici un ouvrage qui, par son esprit, doit s'imposer à l'attention des 
géomètres. On sait les extraordinaires difficultés rencontrées dans l'étude 
des équations aux dérivées partielles ; ces difficultés entraînèrent une limi- 
tation des problèmes et, comme ceux de la physique mathématique n'exi- 
geaient que la considération des cas où les variables étaient réelles, le point 
de vue analytique pur se trouva délaissé. C'est surtout ce point de vue qui 
est repris aujourd'hui par M. Riquier. Dirigé dans celle voie par les Ira- 



li I n 1. 1 () c, li A i> Il I !■: 25'.i 

vaux lie M. Mi'imv, iivcc lc(|iul il collahoiM biinlùl, \.v |)1'()Icsslmii- de Caeii 
a |)iil)li('' 11110 iri-aiidf (|iiaiitilr de iiionioires qui se Irouvenl aujonrd'luii ras- 
sonihlés avec de nombreuses adjonclions destinées à former un loni homo- 
ijène. An fond il s'agit surtout de tliéorèmes d'existence; un système diffé- 
rentiel donné perniel-il toujours le calcul des dérivées «les fonctions incon- 
nues de manirir i|ii(' lusage des conditions initiales permette linalemenl la 
fnnnalion de déx eloj)peineiits layioriens ? Il faut d'abord distinguer soigneu- 
semeiil ce qu ou entend par conditions initiales; certains systèmes s accom- 
modent de celles-ci quelles qu'elles soient, d'où l'idée de passivité due à 
M. Mérav; fi aiiti'PS ne s'accommodent que de conditions initiales particulières. 
Ces dilficullés franchies, ohlicnl-on des développeiiienis tayloricns conver- 
gents ? C'est la question capitale j)Oiir laquelle Caucliy et Mme dp Kowa- 
lowsky donnaient déjà des théorèmes. Les méthodes de M. Méray donnèrent 
des développements pour lesquels la chose n'était pas aisée à trancher et 
qui furent le point de départ des travaux de M. Riquier. Ce dernier les 
poursuit avijonrd'hui jusqu'au seuil du problème du prolongement analy- 
tique et, si ce dernier problème est aujourd hui fort avancé pour les fonc- 
tions d'uue variable, il est presque entièrement à faire quant à celles de 
plusieurs variables qui, ne l'oublions pas, sont pour M. Riquier indiffé- 
reinmenl imaginaires ou réelles. On voit donc le champ de recherches nou- 
velles que peut ouvrir cet ouvrage. 

Je nie hâte d'ajouter aussi qu'en dehors de théorèmes d'existence, tou- 
jours forcément assez abstraits, 1 auteur a traité d'intéressantes applications, 
notamment le problème de la déformation finie dans 1 hyperespace ; il y a là 
des exemples cui'ieux et naturels de systèmes qui ne sont pas immédiate- 
ment passifs. De plus, de grands efforts ont été faits pour rendre cet ou- 
vrage accessible aux lecteurs non spécialisés dans les études précédentes. 
C'est ainsi qu'il débute par des chapitres sur la continuité et les séries 
entières à une ou plusieurs variables. La terminologie est celle de M. Méray 
auquel M. Ricjuier fait d'ailleurs de fréquents emprunts. Par bien des côtés 
les Leiyrts publiées par 1 ancien professeur de Dijon sont complétées aujour- 
d'hui par le professeur de Caen. Tous ceux qui connaissent l'œuvre de 
M. Méray verront en M. Riquier un savant continuateur; ceux qui ne la 
connaissent pas peuvent néanmoins prendre ce dernier comme initiateur. 

A. BiHL (Toulouse). 



H. 1'oinc;aiîi;. — Savants et écrivains. — l vol. iu-18, 280 p., :! fr. 50; 

|-]ni('s| flaminarioii, Paris. 

M. Poincaré a réuni sous ce titre plusieurs biographies de savants, entre 
autres celles de Curie, de Laguerrc, d'Hermite, de Halphen, de Tisserand, 
de Bertrand, de VVeiersti-ass, de Lord Kelvin, etc. Bien que la carrière du 
savant soit rarement remplie d aventures i-etentissantes, sa psychologie 
iiitillectuelle et morale mérite d'être étudiée. Leurs physionomies, malgré 
(|ii(l(|iies trails communs, sont variées et originales. Ce sont autant d'exem- 
ples et d enseignements réconfortanis pour ceux qui entrent dans la carrière 
scieiitifi(|iie et auxquels il convient de signaler ces })elles Notices. 

L'auteur a cru pouvoir placer en tète de ce volume l'éloge de Sully Prud- 
homme qu'il a prononcé à l'Académie [•"rancaise ; ce poète délicat qui aimait 
la science aurait sans doute accepté de figurer dans cette société. 



260 H I B f.I UC, H A P H I E 

K. Lkbon. — Gaston DarboUX, hioçiapliie, Ijibliot^rapliic analylique des 
écrits (Colloclion dos Savdnts du jour]. — I fasc. gr. in-8o, 72 p. ; 7 ix\\ 
Gautliier-Villars, Paris. 

Ce livro a été présenlé à l'Aradômio des Scieiiocs, dans la séance du 
17 janvier 1910, par M. llinile Picahd, président. (|iii s'est exprimé en ces 
ternies : 

« Je dépose sur le Bureau, de la part de M. Lehon, un ouviago inlilulé 
« Gaston DARBOix.qui renl'erme une Biographie et une Bihliograpliie anaty- 
« tique des écrits de M. Darboux M. Lebon a entrepris de publier une série 
« de petits volumes de nature analogue, sous le titre général de Savants du 
a jour. Déjà, il y a quelques mois, le premier volume de celte série, con- 
« sacré à Henri Poiucaré, a été présenté à l'Académie. Dans l'opuscule actuel, 
« on trouvera une très intéressante biographie de notre secrétaire perpétuel. 
« avec une vue générale de son oeuvre scientifique. La liste des mémoires et on- 
ce vrages, qui ont été distribués en sept sections, a été établie avec un soin 
« extrême. Leur énumération constituerait déjà un document précieux, mais 
« M. Lebon ne s'en est pas tenu là 11 donne quelquefois un court résumé 
« du travail mentionné, et indique les analyses dont il a t'ai.l l'objet. La col- 
« lection, dont iVL Lrnesl Lebon vient de publier les deux premiers volumes, 
« rendra certainement les plus grands services aux chercheurs et aux histo- 
« riens de la science. » 

En faisant précéder les principales sections d'appréciations dues à des 
savants, M. Lebon a su donner à son ouvrage une forme qui intéressera non 
seulement les chercheurs, mais aussi les personnes qui désirent connaître 
seulement dans leur ensemble les travaux des grands savants qui font l'objet 
de cette utile collection. 

Désiré André. — Des notations mathématiques; énumération, choix e( usage. 
— 1 vol. gv. in-8'\ XYIII-501 p.-, 16 fr. ; Gauthier-Villars, Paris. 

Parmi les nombreuses publications mathématiques de cet hivei-, le présent 
ouvrage compte certainement au nombre des plus importants par l'objet traité, 
et des plus remarquables parla somme de travail qu'il représente. Les ma- 
thématiciens ont toujours cherché à adapter la notation au sujet traité, mais 
personne n'a eu l'idée de faire une étude d'ensemble des notations. L'ouvrage 
de M. André vient donc combler une lacune, car c'est le premier qui ait été 
écrit sur ce sujet. Il sera lu et consulté avec un vif intérêt non seulement 
par les mathématiciens, mais aussi par les philosophes et par tous ceux qui 
s'int(''ressent aux sciences exactes. 

An cours de sa longue carrière de professeur et de savant. M. André a 
réuni et annoté de nombreuses fiches sur les notations mathématiques. C'est 
donc le fruit d'un long et minutieux travail qu'il nous présente aujourd'hui. 

Dans un intéressant discours préliminaire l'auteur indique l objet et le fnit 
de sou ouvrage. Celui-ci se compose de trois parties : énumération, choix et 
usage. « La première, dit-il, est la science des notations; la deuxième, l'art 
de les choisir; la troisième, l'art de les employer. » 

La première, l énumération, fait connaître les notations actuellement usi- 
tées, la manière de les écrire, de les disposer, de les rendre absolument 
correctes. Elle présente successivement les signes des grandeurs, les signes 
du calcul, les signes des objets et les signes de rédaction. 

Dans la deuxième partie, l'auteur s'occupe du choix des signes; il donne 



/.' / />' A / () C. li A l> // / E 2r, I 

les règles à suivre on vue do résoudre la qucsliou : un syslènif d'objels élaiit 
donné, le représenler par le système de signes le meilleur possible. Four 
être excellenls, les signes doivent satisfaire aux conditions suivantes : netteté, 
pr(''cision, rappel des propriétés de l'objet, rappel des rappoils enli-e les 
objets. 

La troisième partie est consacrée à l'usage des signes. Elle enseigne com- 
ment on doit utiliser les signes en envisageant d'abord les expressions, puis 
les relations, et enfin le mécanisme algébrique. 

L'ouvrage de M. André embrasse l'ensemble des branches mathématiques 
en se bornant aux notations usitées couramment, sans s arrêter à celles qu'on 
emploie qu'à titre exceptionnel ou qui sont simplement proposées. 

On ne saurait trop recommander l'étude de ce livre non seulement à ceux 
([ui écrivent en mathématiques, mais aussi à ceux qui enseignent. C'est tout 
au début des études mathématiques qu il faut initier et habituer les élèves à 
une écriture correcte et à des notation bien choisies. H. F. 

O. DzioBKK. — 'Vôrlesungen ùber Differential-u. Integralrechnung. — 1 vol. 

gr..in-8«: 6iSp., avec J.'jO lig. ; relié; M. 16; B. G. TeubiRM-, Leipzig. 

Ces leçons de calcul différentiel et intégral s'adressent aux étudiants des 
écoles techniques supérieures et correspondent à peu près à l'enseignement 
que donne l'auteur depuis de nombreuses années à Charlotteubourg. Elles 
comprennent trois parties. 

La Première Partie (p. 1-167), intitulée Introduction au calcul différentiel 
et intégral, contient le calcul des différences, l'étude des fonctions élémen- 
taires, de la notion de continuité et des séries. Dans la Deuxième Partie 
sont réunies les notions essentielles du Calcul différentiel avec ses applica- 
tions analytiques el géométriques. Puis vient, dans la Troisième Partie, le 
Calcul intégral avec les éléments de la théorie des équations différentielles. 

Dans un ouvrage destiné aux écoles techniques les exercices numérit|ues 
et les applications doivent avoir une large place. M. Dziobek n'y a pas 
manqué. Dans le texte même de nombreux exemples ont été intercalés et 
chacun des 42 paragraphes se termine par des problèmes à résoudre, dont 
on trouve la solution dans l'Appendice placé à la fin du volume. 

Enst. Bauer. — 'Vorlesungen Ûber Âlgebra, herausgegebcn vom mathcma- 

tischen Verein Miinrhen. Mit einem Bildnis Guslav Bauers. Zweile Auflagc. 

— 1 vol. gr. in-8o, 366 p. ; relié, 12 M. ; B. G. Teubner, I>eipzig. 

C'est une nouvelle édition, entièrement revue, des leçons d'algèbre du pro- 
fesseur Bauer. décédé il y a quatre ans. !']lle a été publiée, sous les auspices 
de la Société mathématique de Munich, par M. K. Doehlemann, avec la colla- 
boration de MM. \\'iRTiNGER, Voss et Perron. En rééditant ce traité, les 
mathématiciens munichois rendent à la fois un bel hommage à la mémoire 
du savant professeur et un grand service à de nouvelles générations d'étu- 
diants en leur fournissant un excellent ouvrage d'introduction à l'étude de 
lalgèbre supérieure. 

Ce traité est principalement consacré à l'étude de la Théorie des équa- 
tions et de celle de déterminants. On y trouve tout d'abord les propi-iélés 
générales des équations algébriques, puis la résolution algébrique des équa- 
tions et enfin la résolution arithmétique, qui se termine par un chapitre entiè- 
rement consacré à la méthode de Graeffe. 

La dernière partie traite de la théorie et des applications des déterminants. 



262 RI RI. 10 G RAPHIE 

F. DiNGKi DEv — Sammlung von Âufgaben zur Anwendung der Differen- 
tiaî- und Integralrechnung. Ersler Toil. — I vol. iii-8'>, relié, 202 p. ; 
6 M. ; B. G. i'eubnei'. Leipzig. 

II existe de nombreux recueils de prohlèmes de Calcul dilîércntiel cl in- 
féjrral. mais ils se bornent, pour la plupart, à des applications théoriques 
appartenant à I Analyse et à la Géométrie. Cette nouvelle collection envisage 
plus particulièrement la Géométrie et les mathématiques appliquées, notam- 
ment la Physique et les sciences techniques. xV ce titre elle est appelée à 
jouer un rôle utile dans les cours de mathématiques générales. 

Ce premier volume est consacré aux applications du Calcul différentiel. 
Au début de chaque paragraphe l'auteur résume les notions théoriques 
utiles à la résolution des problèmes. Ceux-ci sont ensuite résolus ; s il v 
a lieu, l'auteur se borne à quelques indications sur la marche à suivre ou il 
donne simplement les résultats. 

La table analytique qui termine le volume permettra de trouver immédia- 
tement des problèmes sur tel sujet donué. 

O.-D. Chwolson. — Traité de Physique. Ouvrage traduit. sur les édifions 
russe et allemande, par \i. Davaux. Edition revue et considérablement 
augmentée par I auteur. Tome IV, 1<='' fasc. : Champ électrique constant. 
— 1 vol. gr. in-S", 430 p.; 12 fr. ; A. Hermann, Paris. 

Nous avons déjà attiré l'attention de nos lecteurs sur ce Traité de Phy- 
sique, qui est caractérisé par l'esprit moderne de son exposition, et nous 
leur avons signalé les fascicules qui intéressent les mathématiciens. 

Ce premier fascicule du Tome IV a pour objet l'étude des phénomènes 
concernant le champ électrique constant. Par suite de la situation tout à 
fait singulière dans laquelle se trouvent actuellement la science des phéno- 
mènes électriques et magnétiques, le tome IV offre un intérêt tout particu- 
lier. On se trouve en effet aujourd'hui en présence de trois points de vue 
dans cette science : la structure extérieure, les applications et la théorie des 
phénomènes. L'auteur examine ces questions en toute sincérité au début de 
l'ouvrage, en passant en revue les différentes théories actuellement en 
présence. 

Antonio Cabrkira. — Les mathématiques en Portugal. Deuxième défense 
des travaux de Antonio Cabreira. — 1 vol. in-8'^ XXXIX-118 p., eu vente 
chez l'auteur, rue des Taipas, T. C, Lisbonne. 

Dans celte brochure, M. A. Cabreira présente la défense de ses travaux, 
pour répoudre aux critiques de M. R. Guimaraes. Nous avons donné, dans le 
no du 15 mars 1910, I analyse de l'ouvrage où M. Guimaraes attaque les tra- 
vaux de M. Cabreira. L impartialité exige que la brochure de M. Cabreira 
soit signalée aux lecteurs de celte analyse. E. Lebon (Paris). 

Atti del IV Congresso internazionale dei Matematici (Roma, 6-11 aprile 
l'.lijHj, pubbiicati per cura del Segrelariu Générale G. Castelnuovo. — 
y volumes, gr. in-8», 35 fr. ; Tip. délia R. Accademia dei Lincei ; en com- 
mission chez E. Lœscher & C'«, Rome. 

Faisons un peu de statistique. 

Aux quatre f'ongrès internalionaux des mathématiciens qui eurent lieu 
dans les années 1887 iZurich), 1900 (Paris), 1904 (lleidelberg) et 1908 (Rome), 



BULLETIN Bl B LlUGltAPU IQU K 263 

assistèrent respectivement 242, 242, 396 et 688 personnes. Les Comptes 
rendus des trois premiers forment pour eliacun un voliiinc de .'îl'i, '154 et 
766 pages ; tandis que pour le dernier ils rcmplissenl li-ois torts volumes, 
dont le nombre total des pages moule à 1122. Dans ces Comptes rendus, les 
communications scientifiques arrivent respectivement à 32, 32, 78 et 125; 
en outre, ils renferment le texte des conférences générales qui furent deux 
dans le premier congrès, cinq dans le second, quatre dans le troisième 
(en dehors de la commémoration de Jacobi lue par M. ICcf.nigsbkrger) et dix 
dans le dernier (sans compter le Rapport sur le Prix Guccîia). Or si l'arith- 
mélique n'est pas une opinion et si la statistique n'est pas une science in- 
digne de ce nom, ces données nous semblent prouver que le succès de ces 
réunions périodiques de savants suit une ligne qui monte rapidement; c'est 
donc un devoir de rappeler les noms de MM. Laisant et Lemoine qui, les 
premiers, mirent à l'ordre du jour l'épineuse question de leur organisation 
(voyez L'Intermédiaire des inalhéinaliciens, T. I, 1894, p. 113) et qui dé- 
ployèrent une activité bien dirigée pour qu on arrivât à un accord inter- 
national sur ce sujet. Et il est facile de prévoir que le prochain Congrès 
(Cambridge, 1912) ne sera pas inférieur aux précédents; il est encore à 
souhaiter qu'il réussisse à resserrer encore les liens entre les mathéinali- 
ciens anglais et leurs collègues du continent. 

L'importance des Comptes rendus des trois premiers Congrès est bien 
connue par tout le monde; on les trouve dans toute bibliothèque, publique 
ou privée, fréquentées par les mathématiciens, et ils sont bien souvent con- 
sultés et cités. Or, sans crainte d'être démenti, nous pouvons afllrmer que 
les Comptes rendus du Congrès de Rome auront le même sort. Cela paraît 
évident à tous ceux qui participèrent à cette réunion; mais pour la démon- 
trer à tout le monde il faudrait que nous fassions une analyse détaillée des 
trois beaux volumes que nous avons sous les yeux. Malh(Hireusement cela 
est impossible eu raison des limites forcément restreintes d'une analyse 
bibliographique, et c'est même inutile dans cette revue qui, un mois après 
le Congrès, a déjà donné un compte rendu détaillé embrassant 40 pages. 
Bornous-nous donc à remarquer qu'à ces volumes devront à l'avenir avoir 
recours tous ceux qui s'intéressent à deux grandes questions dont la solu- 
tion a été esquissée à Rome : c'est-à-dire l'unilication des notations vecto- 
rielles et la détermination des lignes générales d'une réforme de l'enseigne- 
ment des mathématiques dans les écoles secondaires dont, depuis quel([ues 
années, on a reconnu la nécessité dans tous les pays civilisés. Comme sur 
ces questions les lecteurs de V Enseignement niathém. ont été déjà minutieu- 
sement renseignés, nous terminons cette courte Note eu souhaitant que la 
ville où l'esprit de Newto-n plane encore puisse voir le couronnement d'un 
édifice dont les bases furent posées dans la ville éternelle. 

G. LoRiA (Gènes). 



BULLhyriN BIBLIOGRAPHIQUE 



I^ivres nouveaux : 

Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées, édition 

française publiée sous la diicction de .1. .\Ioi.k , lonie H, o'' \o\. : Equations 
différentielles ordinaires, fasc. 1. Sommaire : Existence de 1 intégrale gêné- 



264 BUI.LETiy R I H II O G R A P II I Q V E 

raie. Déd-rminalion d'une intégrale parliculiôro par ses valeurs initiales; 
exposé par P. Painlevk, Paris. — Méliiodes d'intégrations élénienlaires. 
Etude des équations difFérenlielles ordinaiics au point de vue formel; ex- 
posé par K. Vessiot, I,yon. — 1 fasc. in" 8, 170 p.; B. G. Teubner, Leipzig. 
Gauthier-Villars, Paris. 

F. BoHNF.RT. — Elementare Stéréométrie. SaninUan^ Schubert} 2. Audage. 

— 1 vol. p. in-8' relié, 18o p. : 2 M. 'lU ; G. .1. Goschcn. Lt-ipzig. 

J. HoRN. — Einfùhrung in die Théorie der partiellen Differential- 
gleichungen. f Samnilung Schubert). — l vol. p. in-8'\ relié, 363 p.; 10 M.; 
(i. ,1. Gusdieu, Leipzig. 

H. Schubert. — Elementare Arithmetik und Algebra.f .Srt/«/H/M//^' Schubert) 

•2. .\uHage. — 1 vol. p. in-S". relié, 2;!n p. ; 2 .M. SU, (i. J. Cioschen, Leipzig. 

F. PosKE. — Ueber die Notwendigkeit der Errichtung einer Zentral- 
anstalt fur den naturwissenschaftlichen Unterricht. — 1 tase. in-S", 20 p.; 
M. 0.60; B. G. Teubner. Leipzig. 

H. -F Ti.MEKui.NG. — Ueber Ursprung und Bedeutung der darstellenden 
Géométrie. I Festrecie bei der ôffentlichen Preis\'erteilung der herzoglichen 
technischen Ilochschule Brauiischweig). — 1 fasc. in-S», 16 p.; F. Vieweg, 
Biaunschweig. 

H. Kreis. — Einige Anwendungen der Matricestheorie. — 1 l'asc. in-8", 

65 p.; Ziegier, Winlerllioui'. 

Wilhelm Ahrens. — Latein oder DeutSCh? Die « Sprachenfrage » bei der 
Herausgabe der Werke I.eunhard Eulers -- 1 "t'asc. in-S», 76 p.: 1 M. 60; 
Karl Peters, Magdebuiirg. 

S. Dannagher. — Die geometrischen Grundlagen der freien Perspektive. 
1 fas«;. in-4". 34 p. ; Huber, Frauenfeld. 

Louis CouTURAT. — Intcmaciona Matematikal Lexiko en Ido, Germana, 
Angla, Franca e Italiana. — 1 t'asc. in-4o, 36 p.: 1 M. 50; Fischer, Jena. 

B. Lefebure s. j. — Cours d'Algèbre élémentaire à I usage des cours 
moyens et des classes d'Humanités. 3^' édiliou. In-8" (21-24) de VlII-608 p. 
et Recueil d'exercices et de problèmes d'Algèbre élémentaire. 3« édition. 

In-8" (21-1 4l 280 p.; 2 iV 50. Dessaiu. Liège; ( laulliier-Villars, Paris. 

P. Dlhe.m. — "Thermodynamique et Chimie. — 1 vol. gr. in-8", .\1I- 

579 p. avec 173 lig. -, 16 ir. i 18 fr., rcliél; A. llermaun & lils, Paris. 

.[.A. DicouRDEMA.N( m: — Traité pratique des poids et mesures des 
peuples anciens et des Arabes. — In-8'j de Vlll-l'ii p., 5 tv. ; Gauiliier- 
Villars, Paris. 

A. Cabreika. — Les Mathématiques en Portugal, deuxième dét'en.se de 
ses travaux. — In-16, 118 p., en vente chez Fauleur, rue das Taipas, T, G, 
Lisbonne. 

P.-L. MoNTEiL. — Théorie du Point. Géométrie curviligne. — 1 fasc. 
in-4°, 78 p.; 3 fr. 50; Librairie militaire, R. Ciiapelot & C'"", Paris. 

P. V. ScH.EWËN. — Jacobi de Billy. Doctrin<e analyticte. Inventum novuin. 
Ferniats Briefen an Billy enlnommen, herausgegeben u. iiberseizt von P. v. 
Schiéwen. — 1 vol. in-S», 142 p.; 3 M.; Otto Salle, Berlin. 

Berichte ùber den mathematischen Unterricht in Œsterreich. Vcianlasst 

durch die iuternalionale uialheuialisehe rnliirichlskominission. Ilefl 1 : 
Der matheniatische Unterricht an den Realsidiuleu, von Franz Berg.mann. — 
Der mathematische Unterricht an den "Volks- und Biirgerschtilen, von 
Konrad Kraus. — Mit eineni BegleilvvorI von M. Czibek. — 1 fasc. in-S», 
81 p. ; Alfred Hôlder, Vienne. 



QUEL NOMBRE CONVIENDRAIT LE MIEUX COMME 
BASE DU SYSTEME DE NUMÉRATION ? 



SOMMAiKE : 

Intrudiiction. 

I. Point de rwe de la di\'isihUit<:. 

a) Les règles de divisibilité. 

b) Les développements finis dans les divisions. 

II. /.(' mnnhie des éléntenls fixes sentant à construire tout le sys- 

tème. 

a) L'e.\pression verbale îles nombres. 
h I L expression écrite des nombi-es. 

ni. A« clarté dans la représentation des nombres. 

ai La difliculté d'écrire les nombres et de les relire. 
h I La dilliculté de saisir un nombre avec précision et à 
première vue. 
1" Influence des diviseurs de la base. 
2" Avantage des petits nombres. 
cl Résultats des expériences. 

IV. Réunion de plusieurs signes en un seul. 

V. Point de ^nte de la pratique. 

aj Apprendre à calculer. 

b) Pratiquer l'art du calcul. 
cl Notice historique. 

VI. Point de vue évolutionniste. 

a) Evaluation de l'avantage des grandes bases. 
bj Comment piocèdenl les grands calculateurs. 
cj Souplesse des systèmes ayant pour base une puissance 
entière et positive de 2. 
liemarr/ues. 

Introduction. 

I/art de calculer étant d'une grande importance pour toutes les 
classes de la population, il est d'un haut intérêt de donner une 
réponse aussi complète que possible à la question : r/iiel nombre 
conwiendrail-ille mieii.r de choisir comme base du si/sfc/ne de numé- 
ration .' Cette ([uestion a surtout une importance piatique, car 
pour le mathématicien, l'art de calculer consiste plutôt à éviter les 
calculs. 

11 n'est pas étonnant que cette cjucslion de la ineillcuro hase du 

L'Enseignement niathéni., 12' annoe ; 1910. 19 



266 L.-G. D U PASQU I i:n 

système de numération ait été discutée très souvent, qu'elle ait 
provoqué de noml)roux travaux sur ce sujet. Ce n'est pas notre but 
d'en donner une analyse ; cela nous mèneiait trop loin. Nous ne 
nous attacherons pas non plus à l'ordre chron()lof>ique, d'autant 
moins que le résultat auquel nous arriverons, diffère de la réponse 
que la oi«Tide majorité des auteurs donne ;i la question. 11 nous 
parait surtout que la j)lupart ne tiennent pas du tout ou pas sutli- 
samment compte des essais prati(|ues qui ont été faits dans ce 
domaine, et ce sont ces expériences qui nous paraissent justement 
avoii' une importance capitale. 

Commençons par rappeler brièvement la définition connue d'un 
« système de numération à base h » ; il y a lieu de distinguer d'une 
part la niinié/afion parlée, d'autre part la numération écrite. Dans 
la numération parlée, il faut: 1" un nom particulier pour chaque 
unité simple, c'est-à-dire pour les nombres 

1. 2, 3 /. — 1 : 

2° un nom particulier pour chacune des unités d'ordre supérieur, 
c'est-à-dire pour les nombres 

A. />-', h^. h*. 



3° au moyen de ces éléments fixes, choisis une fois pour toutes, 
on compose le nom de n'importe quel autre nombre d'après un 
schéma invariable et qui peut se représenter par l'expression 

(1) ao + a,- h + «2 • !>■' + a, ■ h^ + h, ■ h' + .•• + «„ • /'" 

ordonnée suivant les puissances entières et positives de la base b, 
et où les coeflicients 



Oo. rti. fl». "3. "4. 



sont tous des nombres entiers non négatifs et plus petits que la 
base 

(2) ^ rt^. < /> (; = 1, 2, 3, 4 ) 



Dans la numération écrite, nous ferons exclusivement usage du 
« principe de position » qu'appliquent actuellement les peuples 
civilisés pour écrire les nombres. Le symbole 

'3) «„«„_! ((ia^OidiOo . 

en vertu de ce principe de position, n'est qu'une abréviation de 
l'expression (1) avec les inégalités (2). 

Ceci étant posé, nous examinerons quelle base b serait la plus 
avantageuse. La question doit être envisagée à plusieurs points 



.s rs TF; m E de nu m É R a T I O X 267 

de viit'. C.erlaincs léllexions siinposeiit de suite, même à qui se 
IxMiie à nu examen siiperliciel ; il en est d'autres, et précisément 
les plus impoilantes, (jui ont ('chapp*' à la plupart des auteurs 
traitant celle ([ueslion, on du moins n'ont pas é-lé appréciées à 
leur juste valeur. Nous nous placerons successivemeiit à six points 
de vue dillérents, afin d'élucider la question sous toutes ses faces. 

I. — Point de vue de la divisibilité. 

C'est lui qui se j)résente en premici' lieu, aussi sCst-il imposé à 
tous ceux qui ont étudié notre questi()n. 

a). — Les règles de la divisibilité de?, nombres entiers dérivent et 
dépendent de la divisibilité du nombre b choisi comme base et de 
ses autres propriétés arithmétiques. Ces règles changent avec la 
base. Un griet'bien connu contre le système décimal est par exem- 
ple le fait que la règle de divisibilité par 7 est trop compliquée 
pour donner des avantages bien grands dans son application pra- 
tique. A ce point de vue, les nombres possédant beaucoup de divi- 
seurs seraient à préférer, donc les multiples de 6, spécialement le 
nombre 6 lui-même, car il donne des règles de divisibilité très 
simples pour 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, etc. 

Remarquons cependant que telle règle de divisibilité simple 
dans le système décimal deviendra peut-être compliquée dans un 
système à base quelconque, par exemple la divisibilité par 5 dans 
le système duo-décimal, ou la divisibilité par 11 dans le système 
à base 18. Aucune base ne saurait satisfaire ici à toutes les exi- 
gences. Nous dirons donc que dans ce domaine, les avantages et 
les désavantages se compensent à peu près. Nous dirons en plus 
que ni les uns, ni les autres n'ont une grande importance et ne 
tirent à conséquence. Preuve : l'avantage que la divisibilité et les 
i-estes de la division par 2 et par 5 ressortent clairement des 
chiffres loinains, est loin d'être assez considérable pour compen- 
ser les grands défauts de cette numération. Tout ce que l'on a su 
tirer des règles de divisil)ilité se réduit, jusqu'ici, à quelques 
avantages de calcul et à des preuves. Chaque base ayant ses règles 
de divisibilité données, entraîne ses avantages particuliers, ses 
pieuves particulières. 

b). — La division doit donner autant que possible des déve- 
loppements finis. C'est même l'un des grands griefs contre le 
système décimal; la division par 3 y donne des fractions infinies, 
et l'on a relativement souvent affaire à des tiers ou à des fractions 
dont le dénominateur contient 3 comme facteui- premier; on est 
alors oblige', lorsqu'on veut employer des fractions « systéma- 
tiques », (c'est-à-dire dans notre système de nunKM-ation des 
fractions « décimales »l, de se contenter de résultats plus ou moins 
aj^proximatifs, d'évaluer l'ordre de grandeur des erreurs commises. 



268 L .-(. . I) U P A S Q U I E li 

Mais ici encoi'o. il faut dire (|ii aucune base ne peut satisfaire à 
toutes les exigences, car elle devrait contenii' comme iacteurs 

jireinicrs les nombres 2, 3, 5, 7. II ; c'est dire quelle devrait 

être très grande, et nous venons plus loin que de telles bases 
sont impossibles. Quel c[ue st>it donc le choix au(juel on s'arrête, 
les développements infinis se |>résenleront toujours dans un grand 
nombie de cas. 

Le résultat le plus certain aucpiel on arrive en partant de ce 
point de vue. c'est que la base du système de numéiation doit être 
ii/i itonibre pair. Kn elTet : le nombre 2 se distingue de tous les 
autres par tant de propiiétés lemarquables, le nombre 2 ligure si 
souvent dans les formules théoriques, il entre si souvent comme 
diviseur dans les calculs de la pratique (pie toute base impaire 
entraînerait des désavantages très sensibles. 

Doit-on préférer une base renfermant, à côté du nombre 2, le 
facteur premier 3 ou plutôt le facteur pi-emier 5 ? ou bien une 
base renfermant une puissance de 2 supérieure à la première ? 
ou. à côté de 2", une puissance supérieure d'un autre facteur pre- 
mier? Devrait-on, par exemple, préférer 18 ou 24 à 12? ou bien 
20 à 10? Il est bien diiricile de trancher de telles questions à 
priori, si l'on voulait tenir compte uniquement de la divisibilité. 

Si ces considérations devaient décider à elles seules du choix 
d'une base, le système par G ou par 12 réunirait sans doute une 
majorité; mais il y aurait probablement une très forte minorité 
pour faire observer combien les avantages que le meilleur des 
systèmes présente sur ses concurrents ont peu de valeur. 

En se plaçant uniquement au point de vue de la divisibilité, on 
arrive ainsi finalement à la conclusion suivante : La base h du 
système de numération doit être un nombre pair en tout cas, un 
nombre à beaucoup de diviseurs, un nombre contenant le plus pos- 
sible de facteurs premiers. — Ce premier point de vue est donc 
favorable aux grandes bases. 

11. — Le nombre des éléments fixes servant à construire 
tout le système. 

Nous venons de montrer que les considérations de divisibilité 
militent en faveur d'un grand nombre pair, mais qu'elles laissent 
encore beaucoup de place à l'arbitraire, qu'elles sont loin de 
donner à notre question une réponse univoque et décisive; il faut 
d(Mic considérei- encore d'autres moments, entre autres le nombre 
des éléments fixes qui servent à la construction même du 
système. 

Nous posons comme principe que ce nombre doit être aussi 
restreint que possible. — 11 y a de nouveau lieu de distinguer 
entre la numération parlée et la numération écrite. 



> }■ .s T E M E n E N U M É H A TIO .\ 



269 



a). - L'e.vpressioii s'erhale des nonihies. — Comme nous lavons 
lappelé plus haut, ou doit inventer un nom spécial dahoid poui- 

cliaque unité simple 1, 2. 3 \b-i , ensuite pour chacune des 

unités des dillérenls ordies : b, b^, b\ b^ L'on voit immédia- 
tement que le nombre de ces noms primitifs au moyen desquels 
on compose celui de tous les autres nombres dépend de la limite 
jusqu'à laquelle on veut pousser la numération, et qu'il augmente 
indefinituent avec cette limite; il dcpctid en outre de la base; si 
celle-ci est petite, par exemple, il faut avoii' à disposition peu de 
noms seulement pour les unités simples, mais davantage pour les 
jiuissances de la base. Il y a là deux facteurs dont l'un tend à 
diminuer, l'autre à augmenter le nombre de noms nécessaires. 

Prenons comme exemple le système binaire ou dyadi(jue et 
supposons ([uon veuille pousser la numération jusqu'à mille; on 
aura besoin de noms spéciaux pour les nombres suivants : 1, 2, 4, 
8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, donc de 10 noms. Pour compter jus- 
qu'à lOUO dans le système quaternaire, il faut des noms pour 
1. 2, 3. 4, 16, 64, 2.Ï6, donc 7 noms en tout, puisqu'à l'aide du 
schéma 

"O + «1 • ^ + «J 't- + «3 • i' + (I* ■ 'i* 

on est alors en état de composer le nom de tous les nombres jus- 
qu'à 1000 et même jusqu'à 1023). Dans notre système décimal, on 
a besoin de 12 noms, savoir 9 pour les unités simples, puis dix, 
cent, mille, si l'on veut pouvoir compter jusqu'à mille. En pour- 
suivant de cette façon l'idée, on arrive au tableau suivant donnant 
le nombre des noms nécessaires pour former un système de numé- 
ration parlée, 

la base du système étant 



La nuiiiéra- 
tion étant pous- 
sée jiisqu a 


2 


3 


4 


5 


6 


8 


10 


12 


16 


20 


24 


30 


60 


100 




10' 


10 


8 


7 


8 


8 


10 


12 


13 


17 


21 


25 


31 


60 


100 


... . 


1 0« 


•20 


li 


12 


12 


12 


13 


15 


16 


19 


23 


27 


33 ' 62 102 

1 1 1 


10' 


30 


20 


t: 


16 


16 


16 


18 


19 


2-' 


25 


'■.9 


35 


64 


103 




I0'2 


iO 


27 


22 


21 


20 


20 


21 


22 


2'i 


28 


31 


37 


65 


105 

1 


1()18 


tiO 


39 


32 


29 


28 


26 


27 


27 


29 


32 


36 


41 


69 


108 





270 f..'G. Dl' PASO LIER 

11 serait facile crotendre ce tableau, et si nous ne l'avons pas 
fait, c'est parce qu'on n"a pour ainsi dire jamais occasion ou 
besoin, dans la vie pratique, d'énoncer des nombres supérieurs au 
milliard, encore moins des nombres au delà de 10'**. 11 ressort 
donc du tableau ci-dessus que pour employer le minimum de 
noms dans la numération parlée, on devrait arrêter le choix de la 
base à l'un des nombres 4, G, 8 ou 10 puisque les nombres 
impairs sont à exclure comme bases). 

b). — L'expression écrite des nombres. — Plus la base d'un sys- 
tème numéral est grande, moins il faut de chiflVes pour écrire un 
nombre donné. Les calculateurs appuieront toujours sur ce fait, 
car il constitue un très grand avantage des systèmes à grande 
base puisque, dans ces derniers, tous les calculs peuvent s'effec- 
tuer en un nombre moins grand d'opérations. 

Cherchons à évaluer numériquement cet avantage des grandes 
bases et, dans ce but. considéions un nombre enjier //, choisi à 
volonté, mais fixe. 

Supposons que dans le premier système, à base b, il faille 
j^ chiffres pour représenter le nombre n. Si le premier chiffre 

^j— 1 
est 1 et tous les autres zéro, on obtiendra è' . C'est le plus petit 

des nombres à /S chifl'res. Le plus grand est égal k b — i. 
Les inégalités suivantes ont donc lieu : 

// < // < // . 

Quel que soit n, il existera par consétiuent une grandeur non 
négative «j, moindre (|ue l'unité, et telle que 

« = // . ^ i. < 1 . 

Supposons maintenant que dans un deuxième système de numé- 
ration, dont la base soit <-/. il faille « chilfres pour représenter le 
même nombre n. Celui-ci sera au minimum rt*""\ au maximum 
a* — 1, d'où les inégalités 

« ^ n <i a 

Il existera donc une quantité f, non négative et moindre que 
l'unité et telle, que 

n = a ^ , avec la condilioTi ^ £ <^ 1 . 

Nous pouvons donc poser légalité : 

a =: 



•s }■ s /• /:' M /•; /> /■: .V U M !■: H AT lO A' 



271 



(1 Ou 

(a — 1 4- i\ log « = (,'i — 1 + £i) log b 

'"K » _ i^ — 1 + ^1 
log b a — 1 + î 

Les quantités ( — l + f,l et ( — l+f étant en valeur absolue 
moindres que liiuité, le rappoil ci-dessus peut être, en moyenne^ 

^ . . . . 

égalé à^ ; il n eu dillère que d une quantité négligeable, surtout 

lorsque j!? et a ne sont pas très petits. L'égalité ci-dessus exprime 
le théorème suivant : le nombre des chiffres nécessaires pour 
représenter un nombre donné diminue en raison inverse du loga- 
rithme de la base. Autrement dit : si Ton représente un même 
nombre n une pi-emière fois au moyen de a chiffres dans un sys- 
tème à base «, une deuxième fois au moyen de ^ chilfres dans un 
système à base è, une troisième fois au moyen de y chiffres dans 
un système a base r, etc.. on aura, en moyenne, les égalités 



lOtr (l = y • los ^ ^ Y • lo 



g c 



constante. 



L'égalité : j^log/;^ constante montre clairement c|ue le nombre 
des chilfres diminue à mesure que la base augmente, mais elle 
montj-e aussi que cette diminution est très lente; on sait en effet 
{{ue la fonction logarithmique croît avec rargnineiit, même au 
delà de toute limite, mais moins rapidement que nimporte fjuelle 
puissance. Ce fait est illustré par le petit tableau suivant qui 
donne le nombie des chiffres nécessaires pour écrire un nombre 
n qui a six chiffres dans notre système décimal : 

100000 ^ n -^ 999999 . 



Pour écrire ce même nombre /?, 



il faul un nombre 


2 


3 


i 


6 


8 


10 


16 


32 


100 


1000 


l 000000 


(le chiffres égal à 


17 


11 


9 


7 


6 
















à 


à 


à 


à 


à 


6 


5 


i 


3 


2 


1 




•10 


l.'{ 


10 


8 


■j 















Kn partant uni(picinent de ce point de vue, on arrive ainsi à la 
conclusion : la base b doit être aussi grande cpie possible. 



272 r..-G. nu PASO U I E H 



III. — La clarté dans la représentation des nombres. 

Il y a bien dauties choses à considérer que la divisibilité et le 
nombre des chillVes. Il est évident qu'il ne sullit pas de compter 
ces derniers, mais qu'il l'aut tenir compte aussi de leur deti^ré plus 
ou moins grand de simplicité. En recherchant à ce point de vue 
si un système peut èti-e regardé comme avantageux, on n"est pas 
tenu de toujours employer nos chilIVes conventionnels dits « ai'a- 
bes » ; on se servira au contraire, pour cha(|ue base, du système 
de signes qui sera le plus commode. Nous aurons à considérer : 

a). — La difficulté d'écrire les nombres et de les relire. Cette diffi- 
culté e«t un pi'oduit de deux ("acteurs. Le premier est le nombre 
des signes. Loisqu'un nombre est écrit avec beaucoup de chi lires, 
il est plus difficile de le concevoir avec précision, de le saisir 
exactement, que lorsqu'il s'écrit avec peu de chilïVes; et puisque 
le nombre des chiffres diminue quand la base augmente, puis- 
qu'il est inversement proportionnel au logarithme de la base, 
c'est une raison pour prétéier une base aussi grande que possible. 

IjC deuxième facteur est la dilTiculté décrire les signes de ma- 
nière à ce qu'ils se distinguent lacilemeiit les uns des autres, et 
de les relire ensuite. Or, le nombre total des signes différents 
entre eux étant égal à la base elle-même, ce deuxième facteur 
croît évidemment avec la base; mais il croît beaucoup plus rapi- 
dement qu'elle. 11 n'est cependant pas si facile d'en donner une 
expression numérique précise, comme n )us sommes en état de le 
faire pour le premier facteur; nous pouvons seulement dire : le 
deuxième milite en faveur des petites bases. 

La résultante de ces deux facteurs dépend de la quantité dont 
le deuxième croît; elle fait pencher la balance du c«'tlé des ])etites 
bases. 

b). — La difficulté de saisir un nombre avec précision et à pre- 
mière vue, de reconnaître immédiatement ses propriétés arithmé- 
tiques élémentaires. Ici aussi, l'on doit tenii' compte de plusieurs 
facteurs. 

1" D'abord, la base doit contenir autant de diviseurs que possible. 
Cluupie divisibilité de la base facilite en elfet la lecture des nom- 
bres, car les multiples de ces diviseurs sont en queU[ue sorte des 
points de repère. Ainsi, dans notre système décimal, les multiples 
de 5 constituent de ces points d'orientation dans la suite ininter- 
rompue des nombres, de même les inultij)les de 2. S'il s'agissait 
uniquement décrire des nombres ou de copier des nombres déjà 
écrits, on pouriait piendre pour base des nombies assez grands 
sans recoui'ir à des signes troj) compliqués ; mais il s'agit surtout 
de comprendre ce qui est écrit; à la seule vue d'un signe, on doit 
savoir quel est son rang, quelles sont les propriétés arithmétiques 



s )' .S' r i: M E 1) E s L ■ .)/ E H A T I O .\ 273 

les plus simples du nombre en (piestion. (^est cette lectuic (pii se 
trouve facilitée, quand la base contient beaucoup de diviseurs. On 
manqueraitde ces j)ointsd'orientation, si la base était un <^rand nom- 
bre premier; on aurait alors une suite de nombres se ressemblant 
tous, et en lisant un nombre, il serait plus dillicile tle se rendre 
compte immé<lialem('nt de ses pi'opiiétes arithméticpies. Hi<Mi (piil 
soit dillicile d'exprimer par une foiniule mathéniati([ue cette dépen- 
dance enti-e la divisibilité de la base et la l'acilité dembrasser 
d'un seul coup d'oeil l'ensemble des propriétés arithmétiques dun 
nombre écrit, il est hors de doute que cette dépendance existe et 
qu'elle milite en faveur des bases possédant beaucoup de divi- 
seurs, spécialement en laveur des multi|)les de (i. 

2" Il y a ensuite le l'ait que les petits nombres sont plus faciles à 
dominer que les grands. Voici ce que nous entendons : La plu- 
j)art des hommes ne peuvent juger que d'un très petit nombre 
dObjets semblables, à première vue et sans les compter. Kn voyant 
par exemple sur un rayon d'une bibliothèque des volumes alignés, 
tous seml)lablement reliés et de même grandeur, tout le monde 
saura dire immédiatement s'il y en a 1 ou 3, ou bien 3 ou 4, d'une 
façon tout intuitive et sans avoir besoin de compter. Mais rares 
sont les personnes qui savent distinguer ainsi au premier coup 
d'œil entre 9 et 10 unités de même espèce, ou entre l.ô et IG. sans 
avoir besoin de compter. 11 n'est pas non ])lus facile de diviser à 
vue-d'œil un intei-valle en 10 parties égales. Par un long exercice, 
on arrive, il est vrai, à faire des progrès surprenants dans ce 
domaine, mais beaucoup d'observateurs, nrème très habiles, ont 
conscience de commencer par une division préalable en 2 ou en 
4 parties. — Oi', dans les systèmes de numération à très petite 
base, cba<[ue signe simple correspond à un nombic dont la signi- 
fication est immédiatement claire à la plupart d'entre nous. Ce 
fait constitue un avantage considérable des systèmes à très petite 
base, un avantage capable de compenser à lui seul l'emploi d'un 
plus grand nombre de signes. 

Remarcpions enfin que s'il est difficile de juger avec une préci- 
sion mathématique des avantages (jue présentent les systèmes qui 
ont pour base un nombre très grand, en tant qu'il s'agit d'écrire 
et de lire les nombres, on peut alTirmer qu'ils ne sont pas bien 
considérables et qu'à ce troisième point de vue de la clarté dans 
la représentation des nombres, les avantages des systèmes à petite 
base semblent 1 em|)ortei'. 

c). — Résultats des expériences. A ce point de vue, des essais 
ont été faits par quelques math<''maticiens et pédagogues. Les ex- 
périences praticpies les plus étendues sont sans doute celles qu'a 
entreprises M. T. \. Thiele, ancien professeur d'astrono- 
mie à l'Université de Ccqx'nhague, avec (pielques-uns de ses 
élèves. (On sait cjue les observations astr()ii(»mi(|ues donnent lien 



274 L -G . I) U P A S Ql 1ER 

h de très longs calculs.) Ces expériinentateiirs se sont habitués à 
un système à hase 30 et pendant longtemps ont ellectuë des cal- 
culs dans ce système. Comme il fallait 'M) signes piimitifs pour 
rej)résenter les unités simples et le zéro, ils ont piolilc de la cir- 
conslance que l'alphahet nous oITie une série de signes dont Tor- 
dre est hien connu, et ont employé comme chitlVes les lettres de 
l'alphabet, avec quelques suppléments empruntés à des alphabets 
éti'angers. Après avoir vécu dans ce système à grande base, ils ont 
tiré de leurs expériences les conclusions suivantes : 

1 H est presque impossible, dans un pareil système, d'effectuer 
les calculs d'une manière indépendante, sans l'aide de tables. 

« Le petit livret », ou table de Pythagore, se compose de 
29-r:=84l l'ègles, et c'est un travail presque surhumain de les 
apprendre par cœur, de s'en rendre maître de façon à n'avoir 
aucune hésitation. 

2 L'écriture et la lecture des nombres deviennent dilliciles ; 
pour éviter des confusions, il faut que les signes soient écrits avec 
une grande précision. 

3 La connaissance que la piatique orilinaire nous fait acquérir 
de l'ordre de succession des lettres est tout à fait insudisante. 
lorsqu il s agit de juger immédiatement lequel de 2 nombres est 
le plus grand. 11 devient dilïicile d'avoir conscience, à la seule vue 
d'un signe, des propriétés ai'ithmétiqucs les plus simples du nom- 
bre représenté par ce signe ; par exemple, ces expéi'imentateurs 
avai<'nt grande peine à se lappeler quels signes représentaient les 
nombres j)aiis. ou les multiples de 3, ou les multijiles de 5, ou de 
6, etc. 

Les conclusions à tirei' de ces expériences, confirmées du reste 
par plusieurs autres, sont : 

al L'avantage d'écrire les nombres avec moins de chiffres se 
trouve non seulement compensé, mais de beaucoup surpassé par 
la dilliculté de distinguer les uns des autres les nombreux chiffres 
d un système à gi-ande base. 

b) Les difïicultés en ce cpii concerne l'éciiture et la lecture des 
nombres, surtout la difficulté d'apprendre par cœur les tables 
de Pythagore correspondantes, croissent en même temps cjue la 
base, mais avec une l'apidité telle que la limite de ce (jui est 
humainement possible ne dépasse guère 30. 

IV. — Réunion de plusieurs signes en un seuL 

Xous venons de faire remarcpier cpie dans un système de numé- 
ration à grande base, on a besoin de beaucoup de signes, qu'il faut 
donc lecoui'ir à des signes compliqués, que c'est là un désavantage. 
(Jn pourrait ètix' tenté de faire \o raisonnement inverse et de conclure 
ainsi : dans un système à petite base, on a besoin dépende signes seu- 



.s YSr E M E I) E N U M E H A T I () N 2 7 r. 

lemcnt, donc on peut choisir des sif^iies simples, et c'est un avan- 
tage. Foute vi'iiiseinhlable (jue soit cette conclusion, on manque de 
faits expérimentaux pour la coi roborci-. M. Thiele et ses élèves 
ont fait et tout encoie île nombreux calculs dans des systèmes à 
très petite base, mais ils n'ont pas choisi les si<rnes les plus sim- 
ples possibles; ils ont pris comme chill'res des signes ne dillerant 
que très peu de nos « chiil'res arabes » et n'ont obtenu ainsi d'au- 
tre avantage que de pouvoir écrire couramment les nombres 
composés. 

Si Ton voulait choisir les meilleuis signes j)i»ssil)les, il faudrait 
tenir compte de certaines considérations secondaires ; par exem- 
ple, il faudrait que chaque signe, quoique simple, saute aux yeux, 
il faudrait surtout qu'on puisse corriger facilement et avec préci- 
sion les signes mal écrits, si possible sans être obligé d'eflacer ; 
il faudrait donc (pie les chiffies, tout en se distinguant nettement 
les uns des autres, puissent être facilement transformés les uns 
dans les autres. 

Proposons-nous de prendre comme base du système de numé- 
ration, au lieu du nombie b, l'une de ses puissances, par exemple 
b'^. On voit clairement que cela revient à grouper les chiffres deux 
par deux. Imaginons qu'on veuille écrire le nombre 120401 de 
notre système décimal dans le système centésimal; il ne faudra 
que 3 chiffres au lieu de 0, et l'on pourrait les représenter par 
(12); (04); (01). Prendre comme base b^ revient à giouper les 
chiffres 3 par 3. Le même nombre s'écrirait par exemple dans le 
système millésimal au moyen de 2 chiffres seulement : 120 ; '40! . 
Au point de vue de la clarté ou de la simplicité de l'écriture, cela 
reviendrait à peu près au même que d'employer la base b, puisque 
l'avantage d'employer un nombre moins grand de chiffres, serait 
compensé exactement par la gène d'avoir à écrire séparément cha- 
cun des signes composés du système. 

Cette méthode de prendre comme base une puissance du nom- 
bre primitif, présente de réels avantages uniquement dans les 
systèmes à très petite base ; car on peut alors choisir comme 
chiffres primitifs des signes très simples, puis apporter quelque 
simplification dans les signes composés, en réunissant deux ou 
trois signes en un seul trait continu. Prenons comme exemple le 
système binaire ou dyadique. Représentons zéro et un, les deux 
seuls chiffres de ce système, de 'a façon suivante : le ^ un » par 
un Irait vertical aWani [\ volonté soit de haut en bas: I, soit de 
bas en haut : / ; le zéro par un demi-cercle : u. Les nombres 
entiers positifs s'écriront alors : 

I. lu. II, \KJ^. \y^\, W^, 111. \ ^ Kj Kj . I u ul. 

1, -1. o, 1. 5, 6, 7. s. '.). 

I *^i u. I <^il. Il u u 

tu, 11, \1 



276 L.-G . DU P A SQU 1ER 

Considérons le nombre 

I ul u ulllllll . 
écrit avec 12 (^hillVes dans le système binaire, égal à 

1 + 1.2 + 1.4 + 1.8 H- I.Ki + 1.32 -f 1.6'» + 1.512 + 1.20'.8 = 2687 

dans le système décimal. Si nous prenons comme base 4, ce qui 
revient à grouppr les signes 2 pai- 2, nous pourrons écrire le même 
nombie U U "| V V V . c'est-ii-dire au moyen de 6 chiffres. Pre- 
nant comme l)ase 2^ = <S, nous réunirons les chifl'res .i par 3 et 
pourrons écrire le même nombre L| ""I M M , donc au moyen de 
4 chiflres. Prenant comme base 2* =^ 16, nous pourrons re])résen- 
ter le même nombre par 3 chift'res : LL "M W . Cette simplifica- 
tion dans récriture nest pas possible, si Ion emploie nos chiffres 
usuels dits ai'abes ; elle exige en plus que les signes primordiaux 
soient simples et pas trop nombreux. En un mot : elle milite en 
faveur des petites bases, et même très fortement, car dans ces sys- 
tèmes à très petite base, il sera aisé de passer de la base A à la 
base h'^ et d'éviter ainsi le désavantage dun trop grand nombre de 
chiffres. Citons à ce propos une étude intéressante et très origi- 
nale que M. G. Peano publia en 1898 dans les « Atti délia 
R. Accademia délie Scienze di Torino », vol. 34, intitulée : « La 
numerazione [binaria applicata alla stenografia ». L'auteur y ex- 
pose entre autres une méthode permettant de réunir 8 chiffres 
à la fois, ce qui revient à opérer avec la base 2** = 256. 

Résumons toutes les considérations précédentes. Les résultats 
acquis se bornent en somme à ceci : 

1) La base d'un système de numération doit être un nombre pair. 

2) Les nombres supérieurs à ?,0 sont e.iclus comme base. 

3) Les petites bases ont plusieurs avantages sur les grandes, 
mais c'est seulement dans des points d'ordre secondaire que le choix 
de la base fait une différence^ sensible. Dans d'autres points, avan- 
tages et désavantages se tiennent à peu près en équilibre, quand 
on compare les différents systèmes. 

En somme, nous n'avons oljtenu d'autre résultat (|ue le droit de 
faire abstraction d une série de considérations que Ion a souvent 
cherché à faire prévaloir, suitout en faveur du système duo- 
décimal, mais avec peu do raison, comme nous croyons l'avoir 
montré. 

Nous n'avons pas encore abordé le point de vue qui est capital 
selon nous pour décider de la (piestion : celui de la pratique. 



>' )' .V 7' /•; .1/ !■: I) !■: .\ u m i: ha t i o .\ 



27: 



V. — Point de vue de la pratique. 

Nous le caracléi-isoiis pai- la doiihli.' (jiiestion suivante : dans 
quel système de luiniéiatioii est-il le plus .lacile dapixendre à 
calculer et de piaticpicr Fai-t du calcul .' 

a). — Appreiulre a calculer. Ou sait cjue reuseii>uenieiit du cal- 
cid comprend deux parties. Dahord une partie proprement mathé- 
matique, où il s'agit d'exposer et de faire comprendre (juekpies 
vëi'ités aritlini('>ti(|ues (dcmcntaires ; elle est commune à toutes les 
bases, et pour cette raison, nous ne nous y airèterons pas. 

Ensuite une partie qui doit être apprise par cœur, savoir les 
tables d'addition et de multiplication. Voyons en premier lieu 
combien de règles ces tables comprennent dans le système à base 
h. — En fait de tables d'addition, il faut savoir par cœur les résul- 
tats de 




3 + 3 





cest-à-dire : en tout 



\b — Il + (i!, — 2| f [h — 3| + + 2 + 1 = 



h<h — Il 



résultats particuliers. — En fait de tables de multiplication, le 
nombre ci-dessus est diminué de b — 1), puisque les résultats de 
la multiplication par 1 sotit tous remplacés par une seule règle; 
il faut savoir par c(eui' combien font : 



2, 2 . 3, 
3 . 3, 



c'est-à-dire 



(h — Il \h 



lA _ 1) (I, — 1) 



résultats particuliers, ce (pii porte leur nombre total à 



I /,,/, _ Il 4- 1 (/, _ J, (/, _ 21 = yh — \\' 



278 L.-G . DU PASQUIE l{ 

Donc, on faisant abstraction des propositions oënérales rela- 
tives aux proprit'tés particulières de zéro et de un, ce sont [b — 1)'^ 
résultats qu'on doit se graver dans la mémoire. Nous constatons 
donc ce premier fait important : 

Le nombre des résultats particuliers croit aussi rapidement que 
le carré de la base (plus exactement que [b — 1)^). Exemples : 
Dans le système binaire ou dyadique. dont la base est la plus 
petite j)ossible : b^='l. il suilit de se rappeler une seule chose, 
c'est que 1 + i s'écrit 10. 

Le système par 4 ou quaternaii'e demande qu on se rappelle 9 règles : 

six pour 1 addition : 1 + 1 = 2. 1 + 2=3. 1 + 3 r= 10 

2 + 2 = 10. 2 + 3=11 

trois pour la multiplication : 2.2 = 10. 2.3 =: 12 

3.3 = 21 . 

Le systènne par 6 demande l'application de 25 règles. 

Notre système décimal » » » 81 » 

Le système duodécimal » » » 121 » 

)) par 16 1) )/ » 225 o 

» par 30 » » » 841 » , etc. 

Examinons en second lieu le travail de mémoire qu'exige l'as- 
similation de tous ces résultats. Il ne suffît pas d'en acquérir une 
connaissance approximative et de pouvoir l'épondre après un 
moment de réflexion. 11 faut au contraire se rendre complètement 
maître de la matière. On doit avoir à tout moment la réponse 
prête et sans jamais se tromper ; autrement, on ne saurait calculer 
utilement et avoii- confiance dans 1 exactitude des résultats. Le 
nombre des résultats particuliers qu'on doit se rappeler ne donne 
donc lui-même en aucune façon la mesure de la grandeur et de la 
difficulté du travail d'appropriation. — Pour chaque résultat nou- 
veau, cette difficulté est déterminée par le nombre de ceux qu'on 
s'est déjà approprié, puisque tous doivent être indépendants de 
ce dernier; voilà pourquoi il convient plutôt de piendre pour 
mesure de cette difficulté le carré du nombre des résultats parti- 
culiers ; et comme ce nombre augmente aussi rapidement que 
le carré de la base (nous venons de démontrer qu'il est égal 
k (b — 1^1, la difficulté d'assimilation, elle, croît comme la qua- 
trième puissance de la base proportionnelle à b — l)*). — Cette 
évaluation i-este encore au-dessous de la réalité. En effet, ce qu'on 
a une fois appris, il faut le fixer par un exercice très long et qui 
doit être continué jusqu'à ce que chaque résultat particulier se 
soit présenté assez souvent pour êti-e définitivement gravé dans la 
mémoire. Ce dei'nier travail est d'autant plus long que la base 



>• }■ .s T K M i: n i: y ( m /■: n a t ion 2:9 

choisie exige la ron naissance diin nombre plus considérable de 
ces résultats. Si donc on veut évaluer niathernati(|ueinent la gran- 
deui- de ce travail, d'assimilation, on doit admettre, dpwx bases 
dillerentes étant données, (jue les diilicultés qu"<'lles présentent 
poui- le travail d'appropriation des tables correspondantes sont 
entre elles dans un lapport plus grand que le rapport de leur 
quatrième puissance. Ce rapport correspond à peu près à celui de 
leur cinquième puissance. Xous exprimerons ce résultat j)ar le 
théorème suivant : 

Deux bases différentes étant données, les difficultés que présente 
le travail d'appropriation des tables correspondantes sont entre 
elles à peu près dans le rapport des cinq/iiémes puissances des 
bases. Les bases étant désignées par a et è. le rapport en question 
sera exprimé par cr' : b^ |^plus exactement par a — 1)" : (b — 1)^]. 

Comme application de ce résultat, comparons quelques systè- 
mes avec notre système décimal a = 10 . 

D'abord le système binaire (è = 2) ; en comparaison du système 
décimal, l'exercice du calcul dans le système binaire ne coûterait 
pour ainsi dire aucune peine, puisque le rapport en question se 
réduit à 1'* : 9'^ = 1 : .59U4U. 

Dans le 'système quaternaire, le rapport en question devient 
(4 — 1)^ : ,10 — 1 ^= 1 : 3" = 1 : 24.3. C'est dire qu'il coûterait en 
moyenne 243 fois moins de peine et de travail d'apprendre à 
calculer dans le système par quatre que dans le système décimal. 

Pour le système à base fi, le rapport en question est 

l6 — 1,5 ; ,10 — ll^ = b^ : 9'=" = 3125 : .59049 = 1 : 18.8 .. 

Autrement dit : il est à peu près 18 fois plus facile d'apprendre à 
calculer dans le système sénaire que dans notre système décimal. 
Pour le système duodécimal, ce rapport devient 

112 — 1|5 : ilO — 11* = 11' : 95 = 16I0.Î] : 59049 = 2,7... : 1 

11 faut donc sacrilier environ 2 ',2 f^i^ P^^'s '^^^ tem|)s et de j)eine 
pour apprendre à calculer dans le système duodécimal ([u'il n'en 
faut déjà pour notre système décimal. 

Dans le système à base 16, ce même rapport est 

lô' : 9'' = 55 : :{' = :3125 : 243 = 12,8... : 1 

et dans le système de numération à base 30 : 

295 : 9' = 20 511 149 : 59 049 = 347,3... : 1 

En songeant combien de temps et de peine un enfant et son 
maître d'arithmétique doivent sacrifier, en moyenne, pour (pie 



280 !..-(.. DU P A S QUIER 

l'enfant arrive à calculer couramment, en pensant ensuite qu'il 
faudrait y mettre encore au moins 340 fois plus de temps et 
d'elForts. on comprend mieux (juune telle base est impossible, à 
plus i'orle raison une plus ^rande encore, surtout que ce travail 
ne se borne pas à une première appropriation* mais qu'il est 
nécessaire de s'exercer souvent pour conserver la pratique acquise. 
— L'expérience des calculateurs de Copenhaoue, de M. T. N. 
Tliiele et de ses élèves, s'accorde bien avec les évaluations précé- 
dentes ; elle vient corroborer nos déductions théoriques. Théorie 
et pratique conduisent toutes deux au résultat suivant : pour que 
l'art du calcul s'apprenne avec un niinimani d'efforts dans un 
minimum de temps, il faut que la base du si/stème de numération 
soit aussi petite que possible. 

b). ^ Pratiquer l'art du calcul. — Tout calculateur, si exercé 
soit-il, opérera plus rapidement ou plus sûrement avec les nom- 
bres 1, 2, 3 qu'avec 7, 8 ou 9, suitout quand il s'agit de multiplier 
ou de diviser. Copier un nombre ou calculer son double ou son 
triple, se fait avec beaucoup plus de promptitude et de sûreté que 
calculer le septuple ou loctuple de ce même nombre. Nous pen- 
sons que même le plus habile calculateur n'arrive pas à calculer 
aussi vite, ni surtout aussi sûrement, avec les grands chiflVes 
^7, 8, 9) qu'avec les petits (1, 2, 3j. Or, si la base du système de 
numération était par exemple 4, on n'aurait jamais à opérer 
qu'avec 1, 2, 3; ce qui revient à dire que pour multiplier ou divi- 
ser, on n'aurait jamais autre chose à faire (hormis l'addition et la 
soustraction; qu'à copier un nombre ou écrire son double ou son 
triple ; cela entraînerait une rapidité considérable et une très 
grande sûreté des opérations. L'avantage par rapport à la rapidité 
des calculs et à la sûreté qu'on acquiert est si grand que M.Thiele 
par exemple, lorsqu'il devait faire beaucoup de calculs sur des 
nombres donnés une fois j)our toutes, tels que résultats d'obser- 
vations astronomiques, préférait transformer ces nombres dans le 
système cjuaternaire, puis effectuer tous les calculs dans ce der- 
nier système, puis retransformer les résultats dans le système 
décimal; il arrivait de cette façon plus vite et surtout plus sûre- 
ment au but qu'en calculant entièrement dans le système décimal. 

La routine une fois acquise, il s'agit de la conserver. Pour cela, 
il faut s'exercer beaucoup et souvent, surtout après des périodes 
pendant lesquelles on n'a pas ou très peu calculé. Or, plus la 
base est grande, plus cet exercice doit être prolongé et répété ; 
l'oubli, faute d'un exercice suffisant, est beaucoup moins à craindre 
et en tout cas moins prononcé et plus facile à réparer pour les 
systèmes à petite base. C'est encore une raison, et une très forte, 
pour préférer ces derniers. 

Voici donc la conclusion qui s'impose avec force quand on se 
place au point de vue de la pratique : la base du système de numé- 



.s- l' s TE ME DE AU M É li AT 10 N 28 1 

ration doit être aussi petite que possible. — A notre avis, ce point 
(le vue pratique, pourtant si fondamental, n'a pas été sutïisanmient 
reinarcpH' et mis en lumière par presque tous les auteurs qui ont 
traité cette (pieslion. l'n grand nombre d'entre eux arrive, par 
exemple, à la conclusion qu'il faudrait introduiie le système duo- 
d«'cimal ! Selon nous, ce serait un malheur, puisque cela obligerait 
l'humanité à sacrifier encore deux et demi fois plus de temps 
pour apprendre à calculer. 

l/inq)ortant nous j)aiait être la réponse à la (juestion suivante : 
la mémoire humaine est-elle assez foi'te, en moyenne, pour poi'ter 
le fardeau du système décimal ? Il serait intéressant d'avoir des 
renseignements précis sur le temps (nécessairement long) qu'on 
emploie pour apprendre à chaque enfant les tables du système 
décimal, ainsi que des données sur le temps au bout duquel on a 
oublié une partie essentielle de ce que l'on a appris. Il y a sans 
doute des dillérences extrêmement grandes tlans les dispositions 
des individus pour le calcul ; il y a des hommes pour qui le sys- 
tème décimal avec ses 81 règles est comme un jeu, mais leur nom- 
bre est bien restreint. Si Ton prend au hasard une nombreuse 
société humaine, la majorité des membres ne possédera presque 
jamais pleinement la j)ratique élémentaire du calcul. La plupart 
des hommes ont naturellement, une fois dans leur vie, appris par 
cœur les tables de Pythagore; mais faute de s'exercer suffisamment, 
surtout dans la multiplication, ils les oublient plus ou moins ; 
pour la plupart, c'est un effort que d'effectuer une multiplication 
ou une division (jnelque peu étendue, ils ne la font pas sans 
difliculté et sans une ceitaine méfiance quant au résultat. On 
peut soutenir la thèse que le système décimal n'a pas réussi à 
devenir la propriété pleine et entière de toute la partie civilisée 
de l'humanité. Nous ne citerons comme preuve que l'expérience 
suivante que nous avons si souvent eu l'occasion de faire et que 
plusieurs professeurs de mathématiques nous ont confirmée : 
prenez une classe d'une trentaine délèves d'une de nos écoles 
moyennes ; faites-leur faire quelques simples multiplications ou 
divisions avec des nombres donnés de quatre ou cinq chilfres ; la 
classe vous fournira une dizaine de résultats différents, et aucun 
élève ne sera fermement c(Mivaincu d'avoir le résultat juste. Même 
si vous faites faire une simple addition de plusieurs nombres de 
cinq ou six chilfres (pji se rencontrent pourtant couramment dans 
la prali(iue, il est l'are que la classe obtienne le résultat juste avec 
l'unanimité désirable et désirée; et le temps nécessaire pour 
etlectuer ces calculs est hors de propf)rfion avec leur caractère 
élémentaire. 

Nous explicpions ce phénomène attristant en grande j)arfie par 
le fait suivant : le système décimal s'approche beaucoup trop de 
la limite de ce <pie la méirioire humaine peut, en moyenne, s'assi- 

L'Ensoigneincnt iiiiilhi'in., 12' année -, liHO. 2(1 



282 L.-G. DU PASQ LIE li 

niiler et retenir de façon durable dans ce domaine. La question 
que nous formulions plus haut semble devoir être tranchée dans 
le sens négatif. .*>/ l'on i'ei/t (jiie l'art du calcul devienne familier à 
chacun, dans son ensemble et non seulement dans lune de ses 
parties, il faut remplacer 10 par une base plus petite. 

c). — Notice historique. — L'un des premiers qui soit arrivé à 
la même conclusion, ii la suite d'expériences personnelles, est 
sans doute M. (3. Lehmann, professeur de mathématiques au 
Gymnase Saint-Xicolas à Leipziij;. Il a recommandé surtout le 
système sénaire [b = 6) et a publié une série de petits écrits sur 
cette question dans les années de 1870 à 1873. Lehmann était 
d'abord, comme il raconte lui-même, partisan convaincu du sys- 
tème duodécimal qui le séduisait, ainsi que tant d'autres, par ses 
avantages de divisibilité ; un beau jour, le D' Lehmann eut l'idée 
d'essayer le système à base 6 ; ce nouveau système excita vive- 
ment son enthousiasme, car il présentait non seulement de grands 
avantages de divisibilité, mais il s'apprenait avec une facilité 
énorme, en comparaison du système duodécimal ; d'après nos 
évaluations ci-dessus, il faut en moyenne à peu près 50 fois moins 
de peine, puisque 

11^ : 5* = 161 051 : 3125 = 51,5... : 1 

Lehmann ne connaissait pas ce rapport exact, mais il trouva que 
les mêmes élèves qui avaient tant de peine à pratiquer couramment 
le système duodécimal et l'oubliaient si facilement, arrivaient 
beaucoup plus rapidement à la même routine dans le système 
sénaire et ne la perdait pas si vite. Il baptisa son nouveau sys- 
tème de numération « les nombres Seh » (die Sehzahlen), « seh » 
étant une abréviation de « sechs » qui est le nom allemand pour 
six. Lehmann était si enchanté de sa découverte qu'il fit répandre, 
parmi le public de Leipzig et ailleurs, un « appel » imprimé à 
des milliers d'exemplaires et portant le titre significatif: « révo- 
lution des nombres » (Révolution der Zahlen, oder die Seh in 
Schrift und Sprache eingefùhrt von D'" Otto Lehmann, Mathema- 
tikus am S'-Nicolaigymnasium in Leipzig). 

Voici, à titre de curiosité, la traduction française du commen- 
cement de cet appel : «Appel! Ecoutez, citoyens de Leipzig! 
écoutez, habitants de l'Allemagne ! écoutez, vous tous, gens let- 
trés et cultivés de toutes les nations ! Au nom de l'humanité en- 
tière, au nom de toutes les générations à venir, je vous adresse 
mon appel ! Rt quand vous vous serez convaincus, comme j'ose 
m'y attendre, de la facilité de calculer avec les nombres Seh, unis- 
sez votre voix à la mienne pour introduire les nombres Seh dans 
le langage écrit et parlé. Qui donc serait appelé à faire le premier 
pas sinon vous, porteurs de la culture, promoteurs de la civilisa- 
tion ?...» 



s Y s TE M K l> K y U M E H A T I (> X 28:j 

Cet appel chaleureux du nialliéuiaticien Lehmaun neut pas un 
succès pratique très grand, pour des raisons (jue nous n'avons 
pas à analyser ici ; l'opinion publique s'émut davanlajie de la 
révolution à Paris que de la « révolution des nombres ». Plus 
tard, Lehmann publia un « Beiblatt zur Révolution der Zahlen », 
en 1872, un « Zweiles Beiblatl zur Révolution dor Zahlen » parus 
tous deux chez lleinr. Ilunger, Bosenstrasse, 1, Leipzig). Un ami 
plus fortuné que Lehmann et à qui ce dernier lit partager son en- 
thousiasme « sénaire » avança les fonds nécessaires, de sorte que 
l'inventeur put publier des tables étendues : tables de logarithmes, 
tables dos fonctions trigonométriques, etc. dans le système à base 
6. KUes furent imprimées en caractères « lehmanniens » chez 
C.-A\ . Vollrath, éditées par J.-J. Weber, et portent comme date, 
également en chiffres de Lehmann. 12 4 1. c"est-à-dire : 

1 . 1 + • fi + 4 • 6- + 2 • 6' -f- 1 6* = 1873. 

Lehmann voulait réfoimer à cette occasion non seulement le 
système de numération, mais encore toutes les monnaies et la di- 
vision du quadrant ; il fait à ce sujet des propositions concrètes 
ingénieuses et utilisant les avantages de son système de numéra- 
tion. U reconnut plus tard lui-même qu'en adressant son appel à 
toutes les couches sociales et au nom de toutes les générations à 
venir, il avait fait une bévue ; dans un de ses « suppléments », il 
écrit entre autres : « Si l'un ou l'autre trouvait que certains passa- 
ges écrits par moi sont exagérés ou excentric|ues, je ne nierai pas 
qu'une sorte d'enthousiasme pour la bonne cause m'ait dicté, par- 
ci par-là, des paroles exaltées. Mais j'espère que l'on ne mécon- 
naîtra pas la bonne intention ; j'espère surtout que l'on ne croira 
pas que mon exaltation (! ?i ait dégénéré en véritable hallucination. 
J'ai la conscience de décidément vouloir le bien et la conviction 
aussi en somme de vouloir le bi'en...^) 

Les nombres « seh » du docteur Lehmann peuvent certainement 
soulever plusieurs critiques. Ainsi les signes qu'il a choisis sont 
loin d'être les meilleurs possibles ; ils ont l'avantage de pouvoir 
être écrits d'un seul trait de plume, mais ils sont encore plus com- 
pliqués et en partie plus faciles à confondre que nos chiffres dits 
arabes. Mais Lehmann a raison sur un point capital, et c'est pour- 
quoi nous Lavons mentionné, savoir : il y aurait très grand avan- 
tage il substituer au système décimal non pas le système duodéci- 
mal, mais le système à base 6. Seulement, dans son enthousiasme 
exagéré pour son système, il oublie de rechercher s'il n'y en au- 
rait pas d'autres encore préf('*rables au système sénaire. 

Nous ne nous arrêterons pas à tous les autres auteurs ayant 
écrit sur les différents systèmes de numération ; ils ne font pas 
sullisamment ressortir l'importance du point de vue de la pratitpie, 
cette dilliculté d'acquérir et de maintenir la routine du calcul. Du 



284 1..-G. DUPA S QUI ER 

reste, la liste en serait longue et nous écarterait trop du sujet net- 
tement délimité de cette étude. 

Le système répondant le mieux à cette exigence serait naturel- 
lement le système binaire. l,à, il n'y aurait pour de bonnes raisons 
rien à oublier, puisque toutes les tables se réduisent à cette seule 
règle : 1 + 1 s'écrit 10. En effectuant des divisions binaires, on 
n'aurait jamais ces tâtonnements ennuyeux qui se présentent sou- 
vent dans le système décimal, a fo/tio/-i dans d'autres systèmes à 
base encore plus grande que 10. Slais le plus sensible désavantage 
du système binaire est le grand nombie de mots qu'il faut pour 
énoncer les nombres, surtout les nombreux chitlVes nécessaires à 
leur écriture : vingt chill'res pour représenter un million, nombre 
assez fréquemment employé, c'est décidément trop long et incom- 
mode. On pouriait obvier à cet inconvénient, comme nous l'avons 
indiqué plus baut, en réunissant plusieurs chiffres en un seul. La 
méthode préconisée par M, G. Peano permet de rassembler huit 
signes à la fois et de passer ainsi à la base 2" ou 256, par une figure 
octogonale composée de rayons partant tous d'un même centre. 
C'est renoncer à la simplicité caractéristicjue du système dyadique. 
[SI. Peano tire de cette numération, soit dit en passant, tout un 
système de sténographie, très ingénieux et original ; il a même 
résolu par ce moyen le problème insoluble jusqu'alors de cons- 
truire une machine à écrire pour la sténographie' . 

Le succès du système binaire dépendrait du reste en grande 
partie de l'heureux choix de ses deux chifï'res. Les essais ont 
échoué jusqu'ici. Si l'on voulait opérer avec une machine à calcul, 
le système binaire l'emporterait sur tous les autres, car la diffi- 
culté des opérations croit en même temps que le nombre des 
chiffres. 

Après le système dyadique, puisqu'il faut un nombre pair comme 
base, vient le système quaternaire. Tout ce qu'il y a à ajiprendre 
là se réduit à 9 règles. C'est si peu que nous doutons que queU[u'un 
puisse oublier les tables de ce système, s'il consacre une demi- 
heure à les apprendre et quelques heures à faire des multiplications 
et des divisions quaternaires. Et quelques heures, c'est si peu de 
chose en comparaison du temps que nous avons tous mis à nous 
approprier le système décimal ! Nous devons faire observer, en 
recommandant un pareil essai, que chacun peut le faire sans crain- 
dre que sa facilité de calculer dans le système décimal en soufï're 
le moins du monde, ou qu'il en vienne à confondre les deux sys- 
tèmes ; on ne doit naturellement pas écrire les chiffres tout à fait 
de même manière dans les deux systèmes, mais il suflit, d'un 
autre côté, qu'on puisse reconnaître, quelque temps après l'exécu- 



* Voir sa note en italien, citée pins haut, publiée tlans les Actes de l'.^cad. Roy. d. Sciences 
de Turin, vol. 34, 1898-'.t9. 



>• r s T E M E I) E N U M E H A T I ON 285 

tioii, dans (juel système de iiuméiatioii le calcul a été fait. N'étant 
pas sur que d'auti-es emploient les mêmes chifTres que nous, 
nous nous abstenons de les publier, de même que les tables que 
nous avons calcub-es directement dans le système quateiiiaire, 
pour nous y exercer. 

Mentionnons le premier auteur ayant proposé un système de 
numération à base 4. C'est sans doute Erhard Weigel, né aWe'i- 
den, en 162.") et mort en KîOO; il l'ut professeur à l'université de 
léna où le philosophe l.eil)niz fut son plus célèbre auditeur. Bien 
que jouissatit à cette éj)oque d'une grande renommée, Erhard 
Weigel n'était nullement un mathématicien au génie profond. II 
considérait son « Tetractys ' » comme son œuvre principale et le 
recommanda dans plusieurs écrits, spécialement en 1673, au 
monde savant d'alors. Tetrartys n'est autre chose que le système 
de numération à base 4. Weigel pense qu'on doit le pi-éférer au 
système décimal, parce que selon lui la division en 10 parties est 
artilicielle, tandis que la division en quatre parties est la plus 
naturelle, ce qu'il cherche à prouver par des exemples très artifi- 
ciels. La lecture de cet ouvrage vous laisse l'impression que 
Weigel l'a écrit avant tout dans le but de se faire remarquer, de 
l)araitre original, de se rendre populaire. Au beau milieu du texte 
latin, il piopose des noms allemands: « Secht » pour 4^; «Schock» 
pour 4^, ((( Schock » est du reste le mot allemand pour « soixan- 
taine ») ; plus tard, Weigel remplace aussi le mot quatre par un 
néologisme : « Erff », d'où les formations «Zwerff» pour 2'4 et 
« Dreil' » pour 3-4. Quelques-uns de ces termes ont été repris par 
d'autres qui ont traité le sujet d'un système non décimal de 
numération et que nous passons sous silence. 

Il ne s'agit point de savoir quel nombre ou quel système est le 
plus « naturel », question bien difficile à trancher, si l'on ne veut 
pas jouer sur des mots ; il s'agit de décider quel système de 
numération est le plus avantageux et le plus commode pour la 
pratique. 

Quant au système sénaire, il faut à peu près 12 fois plus de 
travail pour y arriver à la même habileté que dans le système à 
base 4. En effet : (6 — li ^ : 4 — 1) ^ = 3125 : 243 = 12,8... : 1. 
Les expérimentateurs de Copenhague ont appris le système 
sénaire d'après les indications du mathématicien Lehmann et s'y 
sont exercés assez longtemps pour rect)nnaître les grands avan- 
tages de ce système sur notre système décimal. Mais a|)rès avoir 
essayé le système quatei-naire, ils ont complètement mis de côté 
le système à base 6. 



* 'I Erhardi Weigelii, Artiiim Architectonicarum Supremi Directoris et Prof. Piibl.Tetnictys, 
sumniiim tum Arilhmcticae tiiin Philosophia; discursivae coinpendiuni, artis niagnae scicndi 
genuina radix ». lenae MDCLXXMI. 



286 L.-G. DUPASQ LIER 

Résumons les considérations (|u"inipose la pratique : si Ton se 
place exclusivement au j)oint de vue de la ditliculté à surmonter 
pour apprendre à calculer, pour acquérir et maintenir la routine 
du calcul, le système décimal doit être absolument condamné et 
remplacé aussi tôt que possible par le système à base 4 (ce der- 
nier a en outre ravanta<j^e de pouvoir èti-e pialifjué à côté du sys- 
tème décimal). Vis-à-vis du système quateinaire, le système déci- 
mal se présente comme étant la seule cause de cet enseignement 
si pénible et si difficile qui tourmente la jeunesse scolaire et con- 
tinuera, hélas, à tourmenter les enfants de bien des générations 
encore, et pourtant il naboutit à d'autre résultat qu'à une pra- 
tique sulïisante de l'addition et de la soustraction, tandis que la 
multiplication et la division s'oublient plus ou moins, faute de 
l'exercice constant que le système décimal exige à un beaucoup 
plus haut degré que les systèmes à base plus petite. M. T. N. 
Thiele exprime ses réflexions en écrivant : « Le système décimal 
forme un triste contraste avec ce principe démocratique que les 
institutions sociales doivent favoriser également tout le monde, 
non pas seulement de petites minorités ». 

Faut-il donc croire, en revanche, que le système décimal favo- 
rise effectivement « l'aristocratie des calculateurs ? » Nous éluci- 
derons cette question en nous plaçant à un sixième et dernier 
point de vue. 

VI. — Point de vue évolutionniste. 

Pour 'I l'homme moyen », le système décimal est à rejeter abso- 
lument : nous pensons l'avoir démontré ci-dessus. Mais qu'en est- 
il pour les grands calculateurs? Le petit nombre de ceux qui sont 
doués des facultés relativement grandes qu'exige le système déci- 
mal acquièrent-ils dans le calcul une habileté telle qu'ils ne pour- 
raient calculer aussi bien, et encore mieux, dans d'autres systèmes ? 

a). — Tous les bons calculateurs veulent une base aussi grande 
que possible, pour la raison que nous avons déjà indiquée plus 
haut (voir II, b). Là, nous avons montré comment le nombre des 
signes nécessaires pour représenter un nombre diminue quand la 
base augmente ; nous devons ajouter maintenant, qu'en même 
temps diminue aussi le nombre des « opérations partielles » dont 
tout calcul se compose. En effet, toute opération sur de grands 
nombres se compose d'opérations partielles ou intermédiaires. 
Prenons comme exemple deux nombres à six chifiVes, tels que 
a = 213465, c = 926543. Pour former la somnie a -|- c, on addi- 
tionnera d'abord les unités simples 5 -|- 3, puis les dizaines 6 -(- 4, 
puis les centaines 4 -|- 5, etc., c'est-à-dire qu'il y aura au moins 
six opérations partielles à effectuer. — De même, pour former la 
différence a — c. — Pour trouver le produit a . c, il faut multi- 



N }' .S- T E M E I) E NI M E H ATI O A 2H7 

plier le imilliplicaiide a craboid par 3, puis par 4, puis par 5, etc., 
enfin par 9, donc séparément par chacun des chifl'res du multipli- 
cateur c, ce qui exi<ife au moins 36 opérations partielles, ensuite 
additionner ces six protluils, ce qui demande de nouveau 27 opé- 
rations au moins. La f'ormati<Mi du produit de deux nombres à six 
chillVes exige donc, au" minimum. (i3 opérations intermédiaires. 
Or, en diminuant le nombre des chiffres, on diminue le nombre 
des opérations partielles. C'est dire qu'on augmente non seule- 
ment la rapidité des calculs, mais aussi leur degré de confiance, 
puiscpion diminue les chances d'erreurs. 

Cherchons à évaluer cet avantage en nombres précis. Pour les 
additions et les soustractions, le rapport du nombre des opéra- 
tions partielles est à peu près le même que celui du nombre des 
chiffres, donc, comme nous l'avons prouvé plus haut (voir II, 6), 
inversement proportionnel au logarithme des bases. ^ Pour les 
multiplications et les divisions, le rapport en question devient 
plus favorable aux grandes bases; on peut approximativement 
l'égaler au carré du rapport précédent ; en d'autres termes : lors- 
qu'il s'agit de multiplication ou de division, le nombre des opé- 
rations intermédiaires croit en raison inverse du carré du loga- 
rithme de la base. — Appliquons cette évaluation aux systèmes 
décimal et quaternaire. 1/avantage du premier sur le deuxième 
est exprimé pour les additions par le rapport log 10 : log 4 .^^ 5 : 3, 
pour les multiplications par le rapport (log 10)^ : (log 4)^, pres- 
que équivalent à 3 : 1. 

Autrement dit : en employant le système décimal plutôt ([ue le 
système quaternaire, on gagne en rapidité de calcul à peu près 
66^/3"/„ sur les additions et presque 200" „ sur les multiplications. 
Cet avantage prononcé des grandes bases est contrebalancé par 
un fait que nous avons également fait ressortir (voir V, h\ c'est 
que même le calculateur le plus habile ne pourrait opérer aussi 
vite ni aussi sûrement avec les grands chiffres qu'avec les petits ; 
mais cette différence en faveur des petites bases ne compense 
certainement pas l'autre, et tous les bons calculateurs seront 
d'accord pour préférer une grande base à une petite. Le système 
à base 16 par exemple, en* comparaison de notre système décimal, 
ferait gagner en rapidité de calcul 20 "/q sur les additions et 44 % 
sur les multiplications, puisque le rapport log 16 : log 10 est à 
peu près égal au rapport 6 : 5. 

Nous avons donc deux paitis adverses dans le monde des gens 
(jui ont à calculer : d'un c(\té une petite minorité, nous l'appelions 
tout à l'heure « l'aristocratie des calculateurs » ; ce sont ceux qui 
sont doués d'une grande facilité de calcul; ils voudraient tous 
remplacer la base 10 par une plus grande, ils désirent en vérité 
une base aussi grande cjue possible. — D'un autie côté une im- 
mense majorit*'. nous [pourrions l'appeler « la démocratie des cal- 



288 I..-G.DUPASQUIER 

ciilateurs » ; c'est la grande masse de eeiix dont les facultés ne se 
portent pas vers le calcul numérique; ceux-là voudraient tous 
remplacer la base 10 par une plus petite, eux désirent une base 
aussi petite que possible. — Aristocrates et démocrates peuvent 
faire valoir de très bonnes raisons; et comme une base doit être 
fixée, la même pour tout le monde, il pourrait sembler au premier 
abord que démocrates et aristocrates idans ce domaine comme 
dans d autres défendront chacun sa cause si bien que ce qui 
existe, cest-à-dire le système décimal, continuera à exister indé- 
finiment. 

b). — Hn examinant de près comment procède « l'aristocratie des 
calculateurs », on arrive cependant à un tout autre résultat : on 
voit (juil y a moyen de contenter les deux partis! On constate 
d'abord qu il y a une énorme différence entre les membres de 
cette aristocratie-là. et qu'avec beaucoup d'exercice, il est possible 
de faire des progrès surprenants. On constate ensuite que les 
grands calculateurs opèrent toujours en réunissant les chiffres 
deux par deux, ou trois par trois, si possible même quatre pai- 
quatie ; les bons calculateurs arrivent à opérer avec les nombres 
de deux chiffres aussi couivimment et avec la même habileté qu'un 
calculateur «< moyen » avec les nombres d'un seul chiffre. En d'au- 
tres termes : les bons calculateurs ne se contentent pas du sys- 
tème décimal, mais opèrent dans le système centésimal ou millé- 
simal. ils s'efforcent d'atteindre les plus hauts degrés de l'échelle 
10, 10-\ 10\ 10^ 

C'est du reste ce que font tous ceux qui emploient les grandes 
tables publiées par Crelle, lesquelles contiennent les produits 
deux par deux de tous les nombres entiers jusqu'à 1000 fois 1000. 
En reprenant notre exemple de ci-dessus : 213 46.5 . 926 543, et 
posant, pour abréger et en même temps généraliser : \a) = 213, 
[b] = 465, (c) = 926, [d] = 543, au lieu d'avoir à multiplier deux 
nombres de six chiffres, c'est comme si l'on n'avait affaire qu'à 
deux nombres de deux chiffres : 





{a}(b) 




{c){d) 




X 




X 




X 


X 







(Chaque point représente un cliillre, et chaque croix un résultat 
à trouver dans la table, donc un nombre de (J ou 7 chiffres, dans 
notre exemple particulier.) Au lieu d'un minimum de 63 opéra- 
tions intermédiaires, on n'en a plus que 14 à effectuer, et même 



s Y S T K M E DE NU M E H A TION 2S9 

seulement 7, si, en additionnant les résultats partiels, on prend 
également les ehillVes 3 par .'>. Bien qu'on perde beaucoup de 
temps à feuilleter le «ri-os volume des tables, 1 avantage est encore 
considérable; sans cette perte de temps, il aurait pour expression 
approchée (log 1000)^ : (log 10)^ :== 9 : 1. Un grand nombre de 
calculateurs font ainsi, .grâce à ces tables étendues, en (juelque 
sorte un usage journalier du système à base 1000. 

(( L'aristocratie des calculateurs » sait donc l'oit bien se pro- 
curer les grandes bases dont elle a besoin, mais elle est gênée par 
les ditlicultés de l'exécution. Additionner de tète des nombres de 
2 chi lires, ce n'est pas bien ditllcile. mais peu nombreux sont 
ceux qui peuvent multiplier de tète et sans hésitation un nombie 
de 2 chillVes |)ai- un chillVe, .à plus forte raison |jar un autre nom- 
bre de 2chin'res. 11 n'est pas donné à chacun détendre son « petit 
livret » jusqu'à 100 fois 100. Les grands calculateurs sont aussi 
mécontents du système décimal et ne le défendront pas; niais ils 
ne se plaignent point de ce que la base 10 soit trop grande en 
elle-même, ils se plaignent plutôt de ce qu'il faille monter si 
haut pour atteindre les degrés suivants de léchelle, de ce que 10 
soit trop grand pour que ses jouissances puissent être d'un usage 
commode comme bases d'un système numéral. 

Ainsi, tous les calculateurs, grands et petits, bons et mauvais, 
sont mécontents du système décimal, mais pour des raisons dilFé- 
rentes. Or, il y a un moyen de les contenter tous en satisfaisant ;( 
ces diverses exigences; et ce moyen consiste dans le chou- d'une 
base beaucoup plus petite que 10. Des deux seules qui pourraient 
entrer le plus sérieusement en question : 4 ou G, nous pensons 
que 4 serait la meilleure. En comparaison du point de vue de la 
pratique, toutes les autres considérations, comme nous l'avons 
montré plus haut, entre autres celles de divisibilité, jouent un 
rôle secondaire. Et à ce point de vue, le système quaternaire est 
en moyenne douze fois plus facile à apprendre que le système 
sénaire (voir V c). Comme on n'aurait jamais à opérer qu'avec 
1, 2 ou 3, et que toutes les tables quaternaires se réduisent à neuf 
règles, la sûreté des calculs serait beaucoup plus grande et la 
routine du calcul une fois acquise s'oublierait beaucoup moins 
vite et demanderait beaucoup moins d'exercice dans le premier 
système que dans le second. On jjourrait aussi, avec plus de faci- 
lité, trouver en fait de chilfres des signes simples qu'il serait pos- 
sible de réunir deux par deux, voire même trois par trois, d'un 
seul trait de plum(\ 

c). — Mais l'avantage le plus considéiablc du système quater- 
naire nous paraît résider dans sa grande souplesse. \ oici ce (|ue 
nous entendons: si le peuple était en possession du système qua- 
ternaire, la majorité en resterait peut-être à la base 4, se familiari- 
sant avec l'art du calcul à un beaucoup plus haut degré que ce 



290 r. .- G . /) U P A S QUIEJi 

nest le cas actuellement dans le système décimal. En plus : toutes 
les bonnes écoles amèneraient insensiblement leurs élèves à mul- 
tiplier de tête et sans hésitation un nombre d'un chiffre par un 
nombre de deux chiffres, et cela correspondrait à peu près, en ce 
qui concerne la rapidité et la sûreté des opérations numériques, 
à l'usage d'un système à base 8. Tout calculateur habile étendrait 
son (( «rrand livret» jusqu'à 16 fois 16, réunissant fou/ours 
deux chiffres en un seul; il passerait ainsi de la base 4 à la base 
16. Les plus doués en arriveraient à multiplier de tète un nombre 
de deux chiffres par un de trois, ce qui correspondrait à l'usage 
de la base 32, et additionneraient toujours trois chiffres à la fois. 
Quelques-uns prendraient aussi pour les multiplications les chiffres 
3 par 3, passant ainsi à la base 6^i. L'exercice d'un système servi- 
rait de préparation pour passer cà un autre à base plus élevée. 
Chacun pourrait trouver, par des degrés presque insensibles, le 
système le mieux approprié à ses facultés et à ses besoins. Ce 
passage successif d'un système à un autre, ce perfectionnement 
gradriel, a une importance que l'on n'estime pas toujours à sa 
juste valeur. 

L importance éminente de < l'entraînement: > est connue ; le 
sportsman aussi bien que l'homme de science l'apprécient. S'agit- 
il d'acquérir une habileté déterminée, dans n'importe quel domaine, 
tout le monde sait quelle est l'importance d'un développement 
graduel pour acquérir l'habileté en question peu à peu, par petits 
degrés successifs. Or. l'art du calcul numérique tient à la fois du 
sport et de la science, et pour passer maître dans cet art. l'entraî- 
nement graduel est plus qu'utile : il est nécessaire. Mais voilà 
que ce développement graduel est fortement entravé, et à tous les 
degrés, par un mal fondamental : le système décimal. Pour les 
commençants et les calculateurs médiocres, la base 10 est beau- 
coup trop grande ; pour les calculateurs hors ligne, cette même 
base 10 est trop étroite en elle-même, mais trop grande tout de 

même, parce que ses puissances successives 100, 1000, , sont 

trop éloignées l'une de l'autre pour cjue le passage de l'une à l'au- 
tre constitue un « entraînement graduel ». — Dans le système 
quaternaiie, il n'y a pas de sauts si brusques, puisque les puissan- 
ces successives de 4 sont des nombres beaucoup plus rapprocfiés 
les uns des autres que ne le sont les puissances successives de 10. 

Cette souplesse est naturellement maximale dans le système 
binaire, puisqu'il a la base la plus petite possible. C'est parmi les 
systèmes à base 2" dérivés du système binaire par un groupement 
des chiffres n à n, que chacun trouverait le plus facilement, par 
degrés insensibles, le système le mieux aj)propriéà ses aptitudes. 
Dans la série de ces puissances, 4 et 16 ont sans doute, au point 
de vue de la numération, la plus grande importance pour la pra- 
tique. — Du reste, ces systèmes à base 2" présentent une série de 



s y s T E M E I) E ^' U M E RATIO N 20 1 

beautés et de proj)riétés élégantes qui ont déjà captivé l'intérêt 
de plus d'un mathématicien et attiré l'attention de plus d'un 
chercheur de curiosités arithmétiques, mais dans le détail 
desquelles le sujet de notre étude aussi bien que le cadre de ce 
travail ne nous permettent pas d'entrer. 

d). Résumons brièvement les conclusions aiix(|nellt's conduit 
l'ensemble des considérations (jue nous avons laites : 

i) De tous les points de vue auxquels on peut se placer pour 
étudier et comparer entre eux les différents systèmes de numé- 
ration, le plus important est celui de la pratique, lorsqu'il s'agit 
de décider de la question : quel nombre conviendrait-il le mieux 
de choisir comme base ? 

2i La base doit ètie un nombre pair aussi petit que possible. 

3 Ktant données les limites de la mémoire humaine et ce qu'en 
moyenne elle peut s'assimiler de façon durable, c'est le nombre 
4 qu'il conviendrait le mieux de choisir comme base du système 
de numération. 

4) Les avantages principaux du système à base 4 système qua- 
ternaire ou tétradiquei sont les suivants : 

a) Il s'apprend en moyenne environ 240 fois plus facilement 
que le système décimal. Abstraction faite du système binaire ou 
dyadique. et 3 étant exclu comme base, c'est le système quater- 
naire qui est de beaucoup le plus facile à s'appropiier. 

b) Une fois appris, il s'oublie le moins vite, car toutes les tables 
se réduisent à 9 règles. 

c) Pour conserver la routine du calcul une fois acquise, il faut 
beaucoup moins d'exercice que dans n'importe quel autre système 
à base plus grande. 

d) Puisqu'on n'a jamais à y opérer qu'avec les nombres 1, 2 ou 3, 
les calculs s'y font avec une facilité et une sûreté plus grandes 
que dans tout système à base supérieure. 

e) U possède une grande souplesse, la série 4, 16, 64,... des 
puissances de la base 4 permettant à chacun de choisir parmi les 
systèmes à base k'^ celui qui convient le mieux à ses aptitudes et 
à ses besoins. Tout calculateur habile ferait usage de la base 16, 
en groupant les chiffres quaternaires deux par deux. 

Remarques. 

1) — Même dans un dc'tail amusant, les systèmes par 4 et par 
16 trouvent une « justilication » qui n'est pas sans intérêt : elle 
se rapporte à lart si simple de compter sur les doigts. Cet art 
fut l'origine du système décimal. C'est dans cette particularité 
que l'homme naît avec 5 doigts à chaque main et à chaque pied 
qu'il faut chercher l'explication naturelle du fait surprenant, rpie 



292 L.-G. DU PASQUIER 

tous les peuples de la terre chez Icscjuels le degré de la civilisa- 
tion a permis d'en arriver à un véritable « système » de numéra- 
tion, ont comme base de ce système l'un des trois nombres 5, 
ou 10, ou 20 à deux exceptions près!. En se basant là-dessus, 
on a pu écrire « lart de compter sur les doigts est le plus ferme 
rempart du système décimal ». — La question apparaît tout de 
même sous une autre face h qui fait glisser le pouce le long de 
chacun des autres doigts, en comptant dans le système quater- 
naire ou sexdécimal, mettant une unité pour chaque phalange et 
une pour hi racine de chaque doigt. 

2) — S il s agissait elVectivement d'une réforme, il faudrait natu- 
rellement changer non seulement les noms des nombres en les 
adaptant à la base 4 (ou 16), mais aussi nos chiffres dits « arabes « ; 
il n'y aurait aucune raison de conserver ces signes compliqués et 
peu commodes. On en choisirait au contraire d'aulres plus .s//>/ples. 
en tenant compte des facteurs qu'il y a à considérer et que nous 
avons indiqués dans le cours de cette étude. Tout en étant sim- 
ples et se distinguant nettement les uns des autres, s'écrivant cha- 
cun d'un seul trait de plume, ils devraient avoir la propriété de pou- 
voir être facilement transformés les uns dans les autres, de façon 
à permettre de coiriger des signes mal écrits ou faux sans qu'on 
ait besoin de gratter; ils devraient surtout pouvoir se lier commo- 
dément deux par deux en constituant, ainsi groupés, de nouveaux 
signes simples (les chiffres de la base 16) s'écrivant aussi d'un 
seul trait de plume. — Pour différentes raisons, nous nous abstien- 
drons de rendre compte des nombieux essais dont nous avons eu 
connaissance justju'ici, et de faire des propositions concrètes. 
Nous serons obligé envers quiconque voudra nous communiquer 
des renseignements ou des essais personnels dans ce sens. 

3) — Une réforme est naturellement désirable, mais nous ne pen- 
sons pas qu'elle soit possible. On a dans presque tous les domai- 
nes des preuves indubitables de la force extraordinaire des idées 
conservatrices, et cette force en elle-même est déjà si grande que 
sans doute ni nos contemporains, ni nos descendants n'oseront 
jamais entreprendre d'échanger notre mauvais système de numé- 
ration contre un bon ! Les dilHcultés ii surmonter ne seraient du 
reste pas petites ; elles doivent j)aiaitre immenses: à ceux qui 
auraient le plus à gagner à un changement et qui souiïrent le 
plus de l'état de choses actuel, c'est-à-dire aux gens peu instruits. 
— Maintenant que le système décimal a été introduit dans pres- 
que tous les systèmes de monnaie et de mesure de toutes sortes, 
il faut poursuivre partout ces réformes. Nous sommes de ceux qui 
pensent (jue mieux vaut employer un seul système, même mau- 
vais, d'une manière rationnelle, générale et conséquente, plutôt 
qu'un mélange (pielcon<jue de systèmes différents. Mais nous pen- 
sons (fu'on aurait mieux fait encore si, avant de monopoliser le 



c () y s TRI (• TU) y s novv k i. /. e s -iww 

système déciinal, on en avail compare les (|iialil('savcc celles (I au- 
tres systèmes. Les consideiations (|iie nous faisons valoir dans 
cette étude permettent dentrevcur rimniensité de la perte de 
temps et d'ellorts causée à Ihumanité civilisée, par le fait qu'on 
n a pas choisi la meilleure hase possihle pour le système de 
numération. 

Nous avons voulu donnei un exemple montrant qu on a sou- 
vent raison de ne pas accepter aveuglément les tiaditions du 
hon vieux temps, que tout n'est pas hou dans ce (|ue nous a 
légué un passé lointain. 

L. Gustave Du Pasqlieh (Zurich). 



COiNSTRUCTlONS DE PLANIMETRIE 

SOLUTIONS NOLVELLKS DK l'ROBLÈMKS COMPLIQUÉS FAH DES 
CONDITIONS DAKTICULIERES 



Les solutions géométriques peuvent être jugées à des points de 
vue bien ditTérents : 

Tandis que le /^/•o/ê.s\sc///' s'inquiète de la valeur pédagogitjue, de 
la clarté et de la simplicité ; — le dessinateur pratique, préfère la 
rapidité, l'exactitude et la facilité d'assimilation ; — le savant con- 
sidère l'importance que la construction peut avoir pour la théorie, 
il recherche des ailinités organiques, il examine quels services 
peuvent rendre divers instruments et se propose, comme en géo- 
métrographie, d'atteindre économiquement le résultat par un mi- 
nimum de lignes auxiliaires. 

On ne saurait exiger de toute solution (ju'elle soit également 
satisfaisante à des points de vue aussi dilférents, quehpiefois 
même opposés. INIais certains problèmes, pour ne pas donner cette 
triple satisfaction, n'en présentent pas moins un tiiple intérêt ; 
tels sont, croyons-nous, ceux qui sont traités ci-dessous. 

Kn présentant ce matériel, que nous croyons absolument neuf, 
nous n'avons pas l'intention de comparer les jugements portés à 
dilférents points de vue sur <|uelques constructions, mais nous 
espérons procurer aux mathématiques scolaires la matière d'exer- 
cices simples, faciles à saisir et à exécuter. Telle de nos solutions 
pourra être utile au constructeur, et peut-être, enfin, ne sera pas 
sans intérêt au point de vue scientifi(iue. 



29^ 



F. REDL 



Oïl trouvera une certaine eoliésion logique qui ne se rencontre 
pas par hasard. 

Nous espérons montrer qu'en Géométrie il ne s'agit pas de 
mémorisation formaliste, mais que toute construction donne à 
l'élève l'occasion de taire travailler son talent inventif; et ce n'est 
qu'ainsi que le savoir se transforme en activité, développe l'esprit. 

Nous voudrions montrera l'élève que les mathématiques ne sont 
pas un instrument de martyr (comme l'alfirment ses détracteurs), 
mais, qu'au contraire, par le développement naturel et la combi- 
naison des propriétés des figures, elles sont une source de vie 
attrayante et féconde. L'enseignement doit .montrer aux élèves 
que le monde est aux audacieux. 

1. — Construire la bissectrice d'un angle dont on ne peut atteindre 
le sommet ifig. 1). 

a) Choisissons, sur les côtés /, et L-^ qui déterminent l'angle A, 
2 segments égaux PQ' et P'Q, puis menons d'une part les paral- 
lèles à PQ par P' et Q' ; d'autre part les parallèles à P'Q' par P 
et Q. 




Fig. 1. 



Fig. 2. 



Les intersections de ces 2 paires de parallèles donnent 2 points 
K et K' de la bissectrice cherchée. En effet, si nous désignons par 
T l'intersection de P'K avec l^ , nous voyons que 



P'Q : TP = AP' : AT , 



et puisque P'Q = PQ' 



Mais : 
donc 



PQ' : TP = AP' : AT . 
PQ' : TP = KP' : TK , 



AP' : AT 



KP' : TK , 



C O N S TliU C TI () .V s- ;V OUVK I. I. K S 295 

ce (jui moiitic (|iic K apparliciit à la hisseclricc clierchée, on 
montrerait de même (jne K' s'y trouve aussi. 

Si /, et /, sont très voisins et faiblement convergents, il est j)ré- 
férable creilectuer une translation d'un des côtés, puis d'appliquer 
la construction. En élevant ensuite 4 perpendiculaires à la bissec- 
trice ainsi consiruile on -obtient facilement celle ([ue l'on cherche. 

HiiinarcjHe : \\\\' est l'axe perspectif des ponctuelles semblables 
déterminées par les sej^inents homologues PQ et P'Q'; et peut 
èti-e construit comme tel. (Utilisé dans la fig. 4.) 

Problème inverse. — Connaissant la bissectrice d'un angle, 
reporter sur les côtés deux segments égaux à partir de deux points 
donnés, dans le même sens, ou en sens inverse; en construisant 
des parallèles seulement. 

Soit par exemple à reporter PQ' à partir de Q dans le sens du 
sommet. 

11 suffit de mener par Q' une parallèle à PQ jusqu'à son inter- 
section K' avec la bissectrice, puis une nouvelle parallèle à K'Q 
par Q' ; cette dernière coujiera le côté AQ au point cherché P'. 

Si l'on se proposait de reporter PQ' en sens inverse sur P'Q 
on utiliserait le point K comme nous venons d'utiliser K' ; — les 
points P et P' joueraient alors le même rôle que Q' et Q. 

h) Une construction connue, mais difficilement applicable dans 
le cas de petits angles, consiste à mener à l'intérieur de l'angle 
une parallèle quelconcjue à chaque côté, la bissectrice de leur 
angle partage la diagonale du parallélogramme en 2 segments 
qu'on intervertit. Par le point ainsi obtenu on mène une parallèle 
à la bissectrice auxiliaire, ce sera la bissectrice cherchée. 

On peut modifier cette construction : 

Mener à chaque côté une paire de parallèles qui interceptent 
sur les côtés des segments égaux PQ' et P'Q. On obtient ainsi un 
losange A'A"BB' dont une diagonale BB' est perpendiculaire à la 
bissectrice cherchée, tandis que l'autre A'A" lui est parallèle ^fig. 2); 

Au lieu d'intervertir les segments déterminés sur PP' et QQ', 
on peut mener 2 parallèles à BB' et déterminer 2 points de la 
bissectrice comme le montre la fig. 2. 

Pour rendre ce deuxième procédé applicable aux petits angles, 
nous déterminerons A'A" comme suit : par rapport au milieu de 
PP', le point S dans la fig. 1 est symétrique de K et dans la fig. 2 
A' est symétrique de yV. 

Si dans la fig. 2 nous dessinions le point S d'intersection de 
PQ et de P'Q' ainsi (jue le point K de la bissectrice ffig. 1 nous 
aurions SA' = et || KA et ces 2 segments sont équidistants du 
milieu de PP'; d'où nous déduisons facilement que SA' est bis- 
sectrice des angles PA'P' et QA"Q'. (Le point A" n'est plus visible 
dans la figure.) 

Dans la fig. 3 désignons le point S par S, ; — j)our les mêmes 



296 



F. UEDL 



raisons que S,, les points S., et S, appartiennent à la bissectrice 
des angles PA'P' respectivement RA"R'. 

La droite A'A" est ainsi déterminée d'une nouvelle manière. 

Nous avons démontré du même coup que la droite de Pascal de 
Phexatrone PR'OP'IÎQ'; — dans le cas où PO = PK = P'Q' 
= P'H' ; — est parallèle à la bissectrice de l'angle A. La ligne de 
Pascal partage les diagonales PP' ; QQ' et RR' dans le même rap- 
port que cette bissectrice; — les segments devant toutefois être 
intervertis. 

La figure .'3 donne un exemple de faisceaux peispectifs dont les 
sommets P et P' coïncident avec les points d intersection du rayon 
commun et des supports AP et AP' des ponctuelles égales déter- 
minées par les segments homologues PQ =: P'Q'. 




vÀA- 



La détermination de la bissectrice, dans le cas de petits angles, 
sera plus exacte si on a soin de transporter les segments égaux 
PR et P'R' sur les côtés, à des distances égales et sulïisamment 
grandes pour que S, et S3 soient assez écartés. 

L'emploi déjà mentionné de perpendiculaires à Taxe perspectif 
conduit à la bissectrice cheichée. 

On pourrait éviter l'emploi de ces perpendiculaires en ne cons- 
truisant pas les ponctuelles égales sur les côtés eux-mêmes, mais 
sur des parallèles à ces côtés, choisies de telle sorte qu'elles se 



r () y s r II i' (■ r I () s s , v o rv i: 1. 1. k s 20 : 

coiipciit dans la ligule; — par exemple dans la li^. 2 sur IMV et 
P'B. l/axe perspec'lif de ces poiicliKdIes donne initni'dialeinent 
la hissoolrice dr raiiglc PAP'. 

Les points d'intersection des côtes donnes et des parallèles 
auxiliaires étant des points honiolotrues, cette simplification sera 
peu favoral)le dans le cas de petits angles. 

Dc'siLjnons iintei'section de 1 axe perspectif" S, S.,S., avec PP' par 
T, , avec AP' par T., et avec AP par T.,, en appliciuant le théo- 
rème de Carnol à la transversale TjT.iTg du trianii^le APP', nous 
aurons : 

AT3 F'l\ V'V^ _ 
PT3 ■ P"l\ ■ AT, ~ ^ 
d Oii 

PTs ATs P'l\ AP' PT, PA + (P'A — P'Tsi 



P'Tj ATj ■ P'Ti ~ AP ~ P'A — (PTs — PA) ~~ P'Tj 

ce qui montie que 

PTs = P^ ; FTs = PÂ 

RT3 = R'Â ; R'Tj = RÂ 

QT3 = Q^V ; (yTs = QÂ 

Que nous pouvons exprimer: 

Théorème : ha distance d'un point quelconque de l'une des ponc- 
tuelles au sommet de l'angle A est égale à la distance du point 
homologue de l'autre ponctuelle au point d'intersection de cette 
seconde ponctuelle avec l'a.ve perspectif. 

Cette proposition se justifie très simplement au point de vue 
projectif : on voit que les points des deux ponctuelles confondus 
en A sont les homologues de T., et T.^ . l>es segments homologues 
PA et P' r, seront donc égaux à cause de l'égalité des ponctuelles. 

Les points ;i l'infini des deux ponctuelles étant homologues, 
PX'^ et P'X^ se coupent en un |)oint A' de l'axe perspectif", donc 

■ PT3 = FÂ = AT . 

La réciproque est également vraie. 

Si le point T2 est situé dans les limites de la figure, on peut fa- 
cilement déterminer A' à l'aide du c(Hupas ; puis(|ue P'A' = AP 
= T.,P', il suffira de couper l'axe perspectif |)ar un cercle de 
rayon P' 1., et de centre P'. Puisque AP est aussi égal à BP. le 
point B se trouvera à l'intersection de PA' et du cercle tie rayon 
?'\\ et de centre P. 

L'Enseignoinciit inatli<'-ni., r2« année; 1910. 21 



298 



F. H EDI. 



1 



°^ 



l;\ 



X 



:U 



y m 



;U 



9ûQ 



1 



Fin menant par B la jiarallèle à Taxe 
perspectif, on obtient la bissectrice de 
l'an^j^le A. 

Si dans la lig. 3 on mène par P une 
parallèle à RP' et par P' une parallèle 
à PQ', elles se coupent en un point K, 
de la bissectrice extérieure de l'angle 
PAP'. 

Le point d'intersection ^ de RP' et de 
P(^' appartient à la bissectrice exté- 
rieure de l'angle PA'P', car AK, = et 
Il A'X 

Les segments AK, et :V2 sont équi- 
distants du milieu de PP'. 

A'^est Taxe perspectifdes ponctuelles 
égales déterminées sur les côtés AP et 
AP' par les segments PR-= P'Q'. 

La bissectrice extérieure de PAP' est 
l'axe perspectif" des ponctuelles sem- 
blables caractérisées par RP' et Q'P. 

Si A'^" coupe AP au point J^ et AP' 
en J^ on aura, comme plus haut : 



et 



AF' = PT, = PA' =z PA3 
ÂP = ~\~\\ = "Fa' = Fa, 



Nous ne nous occuperons pas des con- 
structions qui résulteraient de ces rela- 
tions, car elles ne nous conduiraient à 
rien de nouveau. 



IL — Construire la bissectrice d'angles 

très obtus. 
Déterminer le sommet de très petits angles. 

La détermination exacte de la bissec- 
trice d'un angle très ttblus présente des 
difficultés spéciales parce que le sommet 
en est mal déterminé. Il est impossible 
d'éviter absolument les causes d'erreurs. 
On peut y tendre en employant des règles 
très soigneusement véiidées pour pro- 
longer le plus possible les côtés — toutes 
les constructions devront ètie elïectuées 
en traits très fins. 



r () \ s T II i ■ c r I () y s no r v e i. i. i: s 2'.»'.» 

PropDsons-iioiis (le (.•onshuiie la hisscclrice de 1 angle AS^A, ; 
les lio!ies poinlillées sont les prolongements des cùlés. (I^es points 
A et A, des certes ne sont plus visibles dans la (it>". -i.) 

Si AB, = A,B , iaxe perspectif des ponctuelles semblables 
A, H, C>, ... et A, , 13, , C, . ... sera la bissectrice cbercht'e. 

I/liabileté du dessinateur consistera à cboisir C et C, pour que 
que BC, et B,C. ne deviennent pas trop petits et pour que, d'autre 
part, l'angle CSC, ne soit pas trop obtus. 

Si on le veut, on peut se contenter de déterminer un seul point 
de la bissectrice; il i-emplacera le sommet dans les constructions 
qui suivent. 

Si l'on se propose simplement de déterminer le sommet de Sx, 
on peut éviter le t ranspoit des grands segments AB, = A^B; car 
on obtiendra une appro.ximation suHisante en prenant AB =:^ A, B, ; 
le théorème de Carnot nous montre qu'alors AB, et A,B se trou- 
vent égaux à très peu de chose près, — et cela d'autant mieux 
que les points correspondants auront été choisis symétriques par 
rapport à Sx autant que f'aii-e se peut. Par exemple AB égal à BSx 
et A,B, égal à B,Sx. Si l'on prend AB == BSx = B, Sx = A, B, , 
on obtient l'axe de symétrie. 

L'hypothèse que AB = A,B, fait dégénérer appioximativement 
la similitude des ponctuelles en égalité, et pour choisir C et C, 
on se bornera à prendre BC = B,C, (voir fig. 4 . 

L'axe perspectif n'est plus la bissectrice, mais détermine néan- 
moins le sommet avec une approximation suffisante. Cette cons- 
truction est certainement exacte au point de vue théorique. 



III. — Théorèmes simples sur le quadrangle plan 
et applications à la construction. 

1. — DkMONS lltATlON" OES PHOPHIÉtÉS. 

Xous nous proposons de généraliser par la projection parallèle 
les propriétés des figuies 1, 3 et ciuelques autres qui s'y rattachent 
immédiateir.ent. 

On sait que lors de projections parallèles, les propriétés pro- 
jectives des figures, et en outre les théorèmes basés exclusivement 
sur le paiallélisme ou sui- des propriétés de parallélogrammes, 
subsistent. 

La projection parallèle des figures 1 et 3 détruit l'égalité des 
segments PQ', P'Q; — respectivement PQ, P'Q' — et l'axe pers- 
pectif des ponctuelles semblables PQ ... ; P'Q' ... ; cesse d'être la 
bissectrice de l'angle PAP' lig. 1). Les autres propriétés subsis- 
tent. 



300 /•'. H EDI. 

ai I.ors(iiU' la fii^iue i aura été tianslormée par projection pa- 
rallèle, KK' passera encore par le point A diiitersection de /, 
et /j. 

En prolonireant \\V et K'Q' d'une part, KP' et K'Q d'autre part, 
on forme un parallélooranime circonscrit au quadrangle PP'QQ' 
dont la diagonale KK' passe par A. 

On peut considérer cette propriété comme cas particulier du 
théorcme de BiiiAXCUoN : puisque les cùtés de l'hexaifone 
KP(^1\.'( VF'K passent alternativement par deux points infiniment 
éloignés, les droites KK'; PQ' ; QP', de jonction des sommets 
opposés doivent se coupei' en un même point. 

Si nous désignons par T le point d'intersection de KP' avec AP 
et par T' celui de K'Q' avec AP' les segments situés sur les paral- 
lèles P'T et Q'T' forment la proposition 

P'K : KT = T'K' : K'Q' 

car les rapports anharmoniques des points situés sur AT' et sur 
AQ' sont égaux, de même que ceux des groupes sur Q'T' et TP' 
pour cause de parallélisme. De cette proposition résulte le théo- 
rème en question. 

On peut encore le démontrer en appliquant, aux triangles ho- 
mologues le théorème de Desargues qui dit que la deuxième dia- 
gonale du parallélogramme circonscrit cité plus haut passe par le 
point d'inteisection de la paire de côtés opposés PP' et Q(^' du 
quadrangle. 

Les quadrangles PQQ'P' et PQP'Q' appartiennent aussi au sys- 
tème des quatre points PP'QQ'. 

Si l'on dessine comme ci-dessus les parallélogrammes circons- 
crits à ces quadrangles, le théorème appliqué à ce nouveau pa- 
rallélogramme nous montre que leurs diagonales passent par les 
points d'intersection des côtés opposés des quadrilatères corres- 
pondants. 

Les six diagonales des parallélogrammes ainsi obtenues sont 
les axes perspectifs des ponctuelles semblables qu'on forme 
lorsque dans les trois quadrilatères on considère les segments de 
diagonales dans deux sens comme homologues. Le théorème 
d'Kuler montre que 



K'K2 = V'Çy^ -f Q'I'-' + P'Q'2 _^ pQÏ _ p'pï _ Q'Q2 

bj Imaginons (jue dans la figure 3 on ait dessiné comme dans la 
figure 1 pour les paires de points homologues I*P' et RR' les points 
K et K' de la bissectrice de l'angle A ; en outre, qu'on ait construit 
pour la paire HR' le point A" analogue de A' et qu'enfin on pro- 
jette parallèlement toute la figure; nous constatons, comme dans 



coNsriiucTioy s nouvelles 301 

la fiyure 2, que 

AK = el II A'S, ol AK' =r et || A"S, 

d Où résulte que les six dia^'onales introduites sous la lettre a) 
sont égales et parallèles deux à deux. 

De plus, les axes perspectifs AB et 8,8583 sont équidistants 
aussi bien du milieu de PP' que de celui de RR' ; par suite, la 
droite joignant ces milieux partage aussi en deux parties égales 
le segment A8, , par exemple, et Ion voit avec évidence éclatante 
le théorème de Gauss : 

Les milieux des trois diagonales du quadrilatère coniplet 
PRP'R'P sont en ligne droite. 

(■/ Si dans la projection parallèle de la figure 1 on piolonge les 
droite QK' et PQ' jusqu'à leur intersection X et de même Q'K' 
et P'Q jusqu'à leur inteisection en Y, la droite XY sera parallèle 
àPPCcar 

AK : AK' = AP : AX = At" : AY . 

On démontrerait de même (pi'on obtient une deuxième paral- 
lèle à PP' en joignant le point X, d'intersection de PQ avec une 
parallèle à P'Q passant par Q' au point d'intersection Y, de P'Q' 
avec une ])arallèle à PQ' par Q. Ce qui nous permet de mener une 
parallèle à un cùté d'un quadrangle conqDlet. 

d) Dans la projection parallèle de la figure 1, menons par S une 
droite quelconque cjui coupe les côtés AP et AP' en M et M' ; puis 
par M' une parallèle à PQ et par M une parallèle à P'Q', ces deux 
parallèles coupent les côtés en X et N' : les trois points A, K et JS' 
sont situés en ligne droite. 

Réciproquement à une droite passant par K correspond une 
droite par 8. 

On obtiendrait d'une manière analogue une parallèle à XX' pas- 
sant par le point K'. 

Pour le démontrer, il sulfit de considérer que les segments M8 
et M'8 sont pi-ojelés de deux manières sur XX' par les côtés du 
parallélogramme SPKP' et les droites MN' et M'X. 

Le parallélogramme inscrit dans le quadrangle et dont les côtés 
sont parallèles aux diagonales du quadrangle nous permet de 
construire le sixième côté dont on ne connaît pas les sommets 
d'un «juadrangle complet déterminé par la position de cinq côtés. 

licniarque. Le centre du parallélogramme PKP'S se trouve sur 
la ligne de Gauss du (jnadrilatère MXX'M'M. 

Désignons par ABCDKL" les sommets du quadrilatère complet 
de la figure 5. 

Si I* et P' divisent les côtés opposés DA et BC en segments pro- 
portionnels dirigés dans le nn-me sens, PP' est une diagonale 



S02 



/'. RE 1)1. 



d'un parallélograinme inscrit dans le quadranffle ABCD et ayant 
ses cotés parallMcs aux diagonales AC et BD. 






:>^ 



> a 



ti- 



Des diagonales du parallélogramme circonscrit au quadrangle 
ACDB et formé des parallèles aux côtés opposés AD et BC , — 



< • () y s T II r ( r I o \ s x o r v i-: 1. 1. 1: s 3o:i 

F'F" est celle (jui passe par' le point 1'' (riuteisoclion des côtés 
opposés AB et CD . Le prolonj^ement de la dinj^onale éj^ale et 
parallèle ¥JV" du j)arallél()ji;Tainnie formé des parallèles aux côtés 
opposés AB et CD passe par K (voir fig. 5). 

Les liLfnes pointillées projettent sur la diagonale F'F" les rap- 
ports égaux des segments déterminés par P et P' , donc se cou- 
[)ent sur celte diagonale. 

Ou reconnaît immédiatement que le centre M du parallélo- 
gramme PP'EP" , c'est-à-dire le milieu de PP' est équidistant des 
droites KE' et FF' et que, — d'après ce qui précède, — il se trouve 
sur la tlroite de Gauss du quadrilatère ABCDA. Les milieux des 
segments RF, EF', EF" et EP", c'est-à-dire les milieux de EF, AC, 
BD et PP' sont situés sur une droite. 

Ce qui nous permet d'énoncer le nouveau théorème général : 

Si dans les 3 quadrangles simples formés des côtés d'un quadri- 
hilere complet on considère comme segments honiologues de ponc- 
tuelles projectiles semblables les côtés opposés, dirigés dans le 
même sens, — (au contraire de ce qui se fait lors de la construc- 
tion par tangentes de la parabole exinscrite au quadrilatère); — 
on forme 6 paires de ponctuelles dans lesquelles les milieux des seg- 
ments déterminés par des paires de points correspondants sont 
situés sur la droite de (jauss du quadrilatère. 

Ce théorème est appli(pié à la construction dans la figure 12. 

Corollaire. La droite de Gauss du quadrangle partage les côtés 
opposés des trois quadrilatères en segments homologues. Elle est 
donc tangent aux six paraboles obtenues comme enveloppes à 
laide des six paires de ponctuelles. 

2. Applications de ces piiopriétés a la construction. 

a) Joindre un point donné P an point d'intersection A de 2 droites 
qui ne se coupent pas dans les limites de la figure. 

La projection parallèle de la fîg. 1 donne le principe de la solu- 
tion. Si le point donné est l'un des points K ou K' . la construc- 
tion consiste à déterminer l'autre : 

On clioisira de préférence des lignes de construction rectangu- 
laires, afin de pouvoir les tracer par simple translation d'équerre 
(fig. 6 . Des 2 constructions possibles, on préférera celle qui se 
dirige vers le sommet de l'angle. 

Une des plus anciennes solutions de ce problème est due à 
Lambert, mais elle devient impraticable quand le point donné est 
trop voisin de la bissectrice. Elle consiste à construire 2 triangles 
homologues dont les sommets sont.'ià3sur les 2 droites données; 
2 côtés homologues se trouvent également sur ces droites, tandis 
que les deux autres paires déterminent l'axe d'homologie, c'est- 
à-(lii'e la di'oite cherchée. 



304 



REDl. 



Considéi'ons un des soinnicts situés sur /, ou l^ comme point 
donné P (jnil s'agirait de joindre au centre dhoniologie déterminé 
par l'intersection inaccessible de 2 droites et cju'on j^eut considé- 
rer comme centre de 2 ponctuelles persj)ectives situées sur/, et /._;, 
dont l'axe coïncide avec l'axe d'homologie de la construction de 
Lambert. On obtient ainsi le point peispoctif ii P et la droite 
cherchée. 

Cette construction est encore praticable lorsque celle de Lam- 
bert ne lest plus, elle détei'iniue doublement le j)oint auxiliaire 
nécessaire, d'où une preuve. Le cas particulier où les supports 
des ponctuelles sont parallèles est résolu du même coup. 

b) Droite joignant deux points très rapprochés (fig. 7 et 8). 

La (ig. 7 montre la con- 
struction de AB à l'aide d'un 
point auxiliaire C. 

Nous avons mené par B 
deux droites" i-ectangulaires 
convenablement choisies ; 
nous imaginons que B soit 
déteiminé par l'intersection 
supposée inaccessible de ces 
2 droites rectangulaires et 
nous appliquons la construc- 
tion de la fig. (> ; c'est-à-dire 
que nous faisons partir de A 
2 traits rectangulaires cou- 
dés en X et Y ; — Y' et X' 
qui se coupent en C et for- 
ment nn hexagone dont B est 
point de Brianchon. 
Dans la fig. 8. nous considérons les points voisins, C et xV comme 
déterminés par l'intersection des droites bd^ et b^d . P^n appli- 
quant au quadrangle ABCD la construction indiquée plus haut 
sous la lettre c), on obtient à l'aide de 2 jjarallèles une droite XY 
ou X,Y, parallèle à AC . 

On utilise souvent dans ce pr<»l)lèinc la cou figuration de Des- 
argues, qui nécessite 2 droites de plus pour déterminer le point 
auxiliaire, et lune d'elles se trouve précisément aussi mal déter- 
minée par 2 points voisins. 

c) Joindre les points d'intersection de '2 poires de droites qui ne 
se coupent pas dans les limites de la figure. 

Soient^'", et g.^ ; /, et /., les droites dont on veut joindic les |)()ints 
d'intersection. Dans la figure 9. nous avons apj)li(iué 2 lois la 
construction de la figure (J. 

Si le point V seulement était inaccessible et qu'il s'agisse de le 
joindie au point L , les di-oites l^ et l.^ joueraient le rôle des" lignes 




Fig. 8. 



r O V .s T H fj r T ION s N ou V E I. I. E S :{(!,-) 

brisées auxiliaires de la lii^'. (i cl partant de E elles deteriniiient un 
point de la droite cherehée après avoir élé coudées 2 t'ois sur les 
eûtes ix. et ^., suivant KBiNL et I^DN'L . 

D'une manière analotjue^, et g.^ déterminent le point (1 . 

I^n vertu de ce (jue nous avons dit à piopos de la lig. (S, il faut 
(jue I.(î soit parallèle \\ M'N' et à MX , d'où une première vériiica- 
tioii. 

Ou peut en introduire ilautres ; en joignant le point d'inter- 
section S de MD et de M'B à celui de N'I) et de NB on obtient 
une parallèle à LG , et les points milieux de BD ; de M'N ; 
de .\'M ; de MM' et de NX' sont èquidistants de ces deux droites. 




Fig. 9. 



La droite joignant les milieux de DB et de MM' étant la ligne de 
Gauss du quadrilatère DMBM'I) , elle partage en 2 parties égales 
la diagonale SE . 

On pourrait se servir de la parallèle de vérification menée par 
S, pour la contruclion, en menant par exemple par le milieu de 
BD 2 droites quelcoii(|ues et en utilisant Téquidistance. 

On |)eut déterminer au moyen de parallèles seulement les points 
éfiuidistants correspondants aux points d'intersection de la j)aial- 
lèle de vérification avec if, et l^ . 

On obtient encore une parallèle à EF en joignant le point D au 
point d'intersection des parallèles à g^ et /., menées par M et M' . 

La (lisj)osition défavorable des éléments donnés dans la fig. 10 
ne jMMinet pas rap|)lieation immi^diate de la construction ci-des- 



306 



F . n E D r. 



sus, on pourra procéder connue suit : on a considéré C comme 
point donné, les derniers segments des 2 lignes brisées qui 
devraient déterminer le point auxiliaire X de AC ont été prolon- 
gés en arrière jusqu'aux intersections G, et G.^ avec ^>-, et ^., pour 
foi-mer le parallélogramme G^XG^C dans lequel on voit que le 
milieu M de G^G.^ est un point de la droite cherchée AC . 

On pourra joindre le point M à A ou à C d'après la construction 
de la figure 6. 

Si cette constiuction est diflicilement exécutable, on peut, 
comme dans la fig. 10 applicjuer la construction de la (ig. 8 pour 
déteiininer à l'aide de M une paralicle PQ à AC 




G 2 



Pour cela nous menons par M 2 perpendiculaires quelconques 
et nous appliquons la règle énoncée plus haut sous la lettre c. 

Cette construction est réversible, c'est-à-dire que la parallèle 
PQ à AC peut permettre de déterminer le milieu M de AC. 

Dans la ligure 11 on utilise cette construction de la parallèle, 
et la construction inverse pour joindre les 2 points très éloignés 
S et T. 

Ce cas diilicile est ainsi très simplement résolu dans un mini- 
mum d'espace et avec une grande exactitude, vérifiée d'ailleurs 
par la double disposition possible. 

La construction résultant de la propriété citée au ^ précédent 
sous c) n'a pas été appliquée à la lettre, on a remplacé un des 2 
sommets à joindre par un point de la droite qui les relie, ce qui 
revient évidemment au même. 

Ainsi dans la (igui-e 11, P est remplacé par R' respectivement R") 
pour déterminer la parallèle Q'N' (respectivement Q"X" à ST. 

On applique la construction inverse pour déterminer le point 



c () xs m u c Ti () y s .\o i vi-: /, /, /•• > 



:{(i7 



(rinteisi'ctioii X de PQ et de S'I" en utilisant à jranelie le point Q' 
et à droite (i". 

i{emai(iuons la marche générale de la constiiielion : nous avons 
mené suecessivement : P'Q' || PQ ; O'K' [| QQ" ; R'N' || pp" • 
QN'II PI>' et enfin Q'X'JIST. 

F>e point cherché X est à l'intersection de P{j et de P'X'. 




Fis. II. 



Par le point d'intersection de deux droites qui se coupent hors 
des limites delà fii^iire, mener une parallèle ii une troisième droite. 

D'après ce qui précède nous pourrons résoudre le problème, 
c'est-à-dire déterminer un point de la parallèle cherchée à l'aide 




Fig. \i. 



308 



F. RE 1)1. 



du point d'intersection de la troisième droite avec une des deux 
autres, tandis que la plupart des méthodes connues ne sont appli- 
cables que si les points d'intersection de la troisième avec les 
deux premières sont accessibles. 

Dans le cas où les 2 j)oints d'intersection se trouvent dans les 
limites du dessin, 2 dispositions nous seront possibles. 

Le problème peut encore être résolu par application de la cons- 
truction 9 dont il constitue le cas particulier où l'un des points 
inaccessibles est infiniment éloigné ; c'est l'autre qu'on considé- 
rera comme point donné. 

Dans la ligure 12 nous appliquons ce qui a été dit sous la lettre 



A 



B 



h 



Dl 



T..^-.- - 



D 



G 



G 



Fie. 13. 



l2 



H 



d), du paragraphe précédent, à la construction de la droite de 
jonction des points inaccessibles B et D au moyen de parallélo- 
grammes. 

Si comme dans la figure 13 on connaît le jjoint K d'intersection 
des diagonales AC et BD, on construira, — pour trouver les points 
correspondants sur GH, — des parallélogrammes dont 2 diago- 
nales coïncident, sont parallèles à GH et partagent en 2 parties 
égales la distance de R à cette droite. Ces diagonales sont déter- 
minées par 2 de leurs 4 extrémités [1 et 3 par exemple , il suilira 
de prolonger dune longueur égale à eux-mêmes 2 rayons menés 
du point l> à la droite (1,3), par exemple l'^i = IF. 



C O N S TRUCTIO .\ S N (J U V E /, /, E S 



309 



IV. — Par un point donné, mener une parallèle à une droite donnée 
au moyen de la régie et d'un cercle lixe dont on connaît le centre. 

I,a construction suivante n"a |)Oui' but que de niontrei' la possi- 
bilil(' th('oi'i(|ue du piol)lènie. 

Dans la (i<^uie 14 nous avons résolu le cas général où la droite 
donnée MX ne coupe pas le cercle en le ramenant au cas plus 
simple oii ces deux éléments se coupent. 

Pour cela joignons le point donné Q à un point quelconque P 
de la droite donnée MX. Quand nous aurons montré comment on 




peut déterminer le milieu O de PQ au moyen du parallélogramme 
PSQT il ne restera plus (juà prolonger NO jusqu'à son intersec- 
tion N' avec PP'. De même Tintersection de MO et de PS nous 
donne un deuxième point M' de la parallèle cherchée, d'où une 
vérification. 

Nous sommes donc ramenés à construire par le point P une 
parallèle à la di-oite QS coupant le cercle donné et par (^ une 
paralhde à PS (|ui le coupe également. 

Le point S est choisi arbitrairement sur la circonférence; soient 
t et s les points d'intersection de SP et de SQ avec la circonfé- 
rence ; déterminons les points /' e/ .s' (|ui leur sont diamétrale- 



310 . F. HE ni. 



ment opposés, menons <'Q et a'P qui coupeiont encore le cercle 
en t" et s" ; cherchons enfin le point S' diamétralement opposé à S. 

Les points d'intersection P' de .s.v" avec S'/ et Q' de tL" avec S's 
déterminent les parallèles cherchées PP' et QQ'. 

Cette construction se justifie simplement, pour PP' par exem- 
ple, en considérant que les quadrangles PP's"^ et s"tSs sont for- 
més de cordes et que les angles en s" , t (respct. t" et s), sont 
droits. 

La construction connue de Steiner est plus compliquée : elle 
consiste à mener par un point quelconcpie de la circonférence une 
parallèle à un diamètre quelconque PP' en appliquant les pro- 
priétés du trapèze ; puis une deuxième corde parallèle et symé- 
trique de la première par rapport au diamètre PP'. Ces 3 paral- 
lèles déterminent sur la droite »■ qui porte le segment à partager, 
3 points équidistants, qu'on utilise pour mener par le point donné 
une parallèle à la droite g grâce aux propriétés du trapèze. 

Enfin seulement à l'aide de cette parallèle k'g et par une troi- 
sième utilisation de trapèze on partage le segment donné. 



Nous espérons que les constructions exposées ci-dessus auront 
quelque utilité dans le monde scolaire. A la suite des critiques 
formulées par le mouvement contemporain de réforme de ce do- 
maine, les maîtres de mathématiques s'efTorcent de se borner au 
plus essentiel pour donner une notion aussi claire que possible 
de la discipline mathématique. A ce point de vue nous croyons 
que les solutions ci-dessus sont propres à éveiller le désir d'in- 
vention chez les élèves, à leur donner le respect de la force des 
mathématiques et le sentiment qu'ils se trouvent au seuil de la 
plus sublime des Sciences. 

Franz Redl iTriibenbach, Basse-Autriche). 

Traduction du D' Eug. Chatiîlai.n iLa Chaux-de-Fonds). 



MKLAXCKS KT COHKKSrONDANCK 



Sur le principe d'induction complète. 

Au nioiiient oii j'ai ôciMt la .Note iiiséiée dans le niiméi'o de no- 
vembre 1909 de V Enseit(neinent, jif^norais ([ue la question avait 
déjà été résolue par M. Zermelo de la façon la plus heureuse dans 
les Acta mathematica Tome XXXII, fasc. 2, p. 185,.' 

M. Zermelo ne prend j)as, il est vrai, le principe de riiidueliou 
complète comme élément de déliiiition poui- le type ordinal ot\ 
mais il rapporte ce principe à une propriété exactement équiva- 
lente des ensembles ordonnés de ce type, savoir celle de consti- 
tuer des « chaînes sim|)les », c'est-à-dire de ne pouvoir être divisés 
eu parties « séparées », deux parties étant dites séparées lors- 
quaucun des éléments de lune n'a son image frélémeiif (jni le 
suit immédiatement dans l'autre et réciproquement. 

Cette notion d'enchaînement et celle d'induction complète se 
rapportent uniquement aux ensembles ordonnés ayant un premier 
élément et dans lesquels à tout élément en- correspond un autre 
qui le suit immédiatement. Si un tel ensemble M est divisé en 
parties séparées, chacune de celles-ci contient les imajj^es de tous 
ses éléments, puisque ces images ne peuvent, d'après la définition 
même des parties séparées, appartenir à d'autres parties. Celle de 
ces parties M^ qui contient l'élément initial devrait donc, si M 
satisfaisait au principe d'induction complète, être identique à M, 
qui ne pourrait donc pas être divisé en parties séparées. 

M. Zermelo donne de la réciproque la démonstration suivante : 

Les parties M, de ^I qui contiennent l'élément initial e et l'imaire 
de chacun de leiiis éléments ont une partie commune M^ ([ui pos- 
sède les pro|)riétés suivantes : i° M^ figure parmi les ensembles M, ; 
car il contient e et les images de tous ses éléments, puisque tout 
élément a de Mq appartient à tous les M, et. par suite, il en est de 
même de son image (i\ (jui appartient donc bien à la partie com- 
mune M„; 2" à l'exception de e, tout élément de M^ est l'image 
d'un élément de cet ensemble; sans cela, en supprimant un élé- 
ment en M„ on obtiendrait un ensemble Mj . ce qui est contraire à 
la dt'finilion de M^ . 

Si M^ ne se confond pas avec M, s(»it Pi = M — M„ rnisi inble 
complémentaire. Il icsulte des propriétés tle M,, <[u"au( un cliMncnt 



:{ 1 2 M i: I. A y (: e s k r i ■ o b n k n p o y n a y c e 

de Mq ne peut être limaire d un élément de K et réciproquement, 
c'est-à-dire que les parties M^ et R sont séparées. Par conséquent, 
lorsque M ne peut être divisé en parties séparées, M„ se confond 
avec M et il en est par suite de même de tout ensemble M, , c'est- 
à-dire que le principe d'induction complète est satisfait. 

On peut encore donner une autre forme au principe d'induction 
complète. Si l'on appelle «segment» d'un ensemble ordonné un 
sous-ensemble contenant tous les éléments qui pi'écèdent ses élé- 
ments, on reconnaît fiicilement que, pour un ensemble ordonné 
M ayant un premier élément et dans lequel tout élément a un 
suivant immédiat, un segment est un sous-ensemble qui contient 
l'élément initial et les suivants de tous ses éléments à l'exception 
du dernier s'il en existe un. Dès lors il est clair que l'induction 
complète équivaut à la propriété suivante : tout segment de M qui 
n'est pas identique à l'ensemble total n an dernier élément. 

11 reste à démontrer que l'ensemble des nombres entiers finis 
oi'donné suivant les grandeurs est du type ordina4 m. C est ce que 
fait M. Zermelo en définissant ces nombres comme puissances ou 
nombres cardinaux des ensembles finis, ceux-ci étant eux-mêmes 
définis par la propriété de pouvoir être " doublement bien ordon- 
nés » ; un ensetnble ordonné est dit doublement bien ordonné si 
tout sous-ensemble a à la fois un premier et un dernier élément. 
Les types de ces ensembles sont évidemment les segments du 
type o). 

La question du principe de l'induction complète se trouve bien 
ainsi définitivement résolue, et cela dans la voie ([n'indiquait déjà 
le bon sens. 

G. (.oMiîEiîiAc Limoges). 



CHRONIQUE 



Commission internationale de l'enseignement mathématique. 

1. — RKUNIOX DE BRUXELLES 
i) et 10 août 1910. 

Séance du Comité central. 

Mardi 9 août, à 9 h. du matin et éventuellement à 4 h. de 
l'après-midi. 

Réunion piîÉpakatoike. 

Mardi soir, 9 août à 8 h. ^^ (Brasserie « aux Ïrois-Suisses », 
(1*'' étage) rue des Princes, en face du Théâtre de la Monnaie). — 
Cette réunion, qui est principalement destinée aux présentations, 
permettra aux mathématiciens de prendre contact. 

Séance des délégués 
et des membres des sous-commissions nationales. 

Mercredi 10 août, à 9 h. du matin, salle Ravenstein (petite salle), 
3, rue Ravenstein, près la Place Royale. 

Séance générale publique. 

Mercredi 10 août, à 4 h. de l'après-midi, salle Ravenstein, 3, rue 
Ravenstein, près la Place Royale. 

Ordre du jour : 

1. Allocution d'un représentant de la Belt^^ique. 

2. Discours de M. F. Klein, Président de la Commission, sur le Lut de la 
Commission et sur l'euseignemont en général. 

3. Rapide aperçu de l'état des travaux dans les difléi-cnls pays, par le 
Secrétaire-général. 

4. Conférence de M. C. Bouklet (Paris) sur la pénétration réciproque des 
mathématiques pures et des mathématiques appliquées dans renseignement 
secondaire. 

Les adhésions et les demandes de renseignements doivent être 
adressées au secrétaire-général de la Commission, M. IL Fehr, 
Florissant, 72, Genève. 

L'Enseijjnoinent mntliém., 12" année ; 191 0. 22 



314 cniiOMOiE 

II. - SOUS-COMMISSIONS NATIONALES 

Aulriclie. — La sous-coin mission aiUiichionne vient de pu- 
blier le second fascicule de ses rapports : Berichte iiber den ma- 
theinatischen Unlerricht in Oesterreich, veranlaszt diirch die In- 
ternationale Matheniatische Lnteiiichtskomniission i Vei-laii- Ilolder, 
Wien. Ileft 2 52 p.). — Il contient les trois rapports suivants : 

Der niathenidlische L'ntenicht an den liildiiniisanstalten fiii- 
Lehrer iind Lehrerinnen, von D' Theodor Konhath, Professer ani 
K. K. Zivil-Miidchenpensionat in Wien. (L'enseignement mathé- 
matique dans les écoles normales d'instituteurs et d'institutrices.) 

Der matheniatische und phi/sikalische Lnterricht an den hôheren 
Handehschulen, von Professor Myron Doi.inski, ^^ien. (L'ensei- 
gnement des mathématifiues et de la Physique dans les écoles 
supérieures de commerce, p. 29 à 41.) 

Der matheniatische Lnterricht an der hôheren Forstlehranstall 
Reichstadt, von Professor Milos Adamicka, Reichstadt. (L'Ensei- 
gnement mathématique à l'Ecole supérieure forestière de Reich- 
stadt. p. 43-51. i 

L'enseignement scientifique à l'Exposition universelle de Bruxelles. 
I. — Une visite a l Exposition. 

Le numéro de mai 19 10 de Y Enseignement mathématique a déjà 
signalé l'importance de la section d'enseignement du compar- 
timent allemand de l'P^xposition universelle. Cette section ne 
comporte en eifet pas moins de 23 compartiments groupés en- 
semble et contenant une collection imposante d'objets et de docu- 
ments les plus divers relatifs surtout à l'instruction primaire et 
moyenne. Là se trouve réuni tout ce qui concerne le mobilier, le 
matériel scolaire, les travaux d'élèves, etc. Les collections d'ins- 
truments de physique et de préparations biologiques sont parti- 
culièrement riches et montrent que les méthodes d'enseignement 
s'orientent de plus en plus dans le sens de l'observation et de 
l'expérience. Elles ont été organisées par MM. Grimsehl (Ham- 
bourg) et JoHANNEssoN (Berlin) pour la Physique et MM. Schoe- 
xicHEN (Berlin I et B. Schmidt (Zwickau) pour la Biologie. 

Quant aux mathématiques, on sait que cette branche n'exige 
pas grand matéiiel, à moins qu'on n'y comprenne aussi l'outillagi.' 
des cours de dessin. Aussi les modèles de formes géométriques, de 
sections coniques et quelques appareils de démonstration pour 
l'astronomie ne sont qu'en nombre relativement restreint en com- 
paraison du matériel des sciences expérimentales. Par suite, le 
matliématicien s'attarde de préférence aux cahiers d'élèves et aux 
programmes de cours; et, bien que la manière de faire et de cor- 



CIIHONIQUE :MÔ 

iii;ei' des devoiis, de composer et d'exécuter des jiroiframmes soil 
connue parce que des livres et des articles de revue ont paiu sur 
ce sujet, il est bon encore de trouver toutes ces choses réunies et 
de les voir dans leur cadre. Mais il n'est évidemment pas possible 
ici d'entrer dans des détails. 

Un fait qui montre bien l'importance de cette Cnterr/c/its-Aiis- 
stelliin^ allemande, c'est que le catalogue des objets exposés 
forme deux gros volumes de 300 et 170 pages' mis obligeamment 
à la disposition des personnes que la chose intéresse par M. Mosch, 
commissaire de la section d'enseignement. Le ro//<//?e / contient 
la desci'iption détaillée de l'Exposition ; ses différents chapitres 
sont précédés chacun d'un exposé signé par un spécialiste et l'In- 
troduction de l'ouvrage est due à la plume autorisée d'un [)éda- 
gogue bien connu. Prof. D"" Rudolf Lehmann (Posen); il a été tra- 
duit en français. Le premier chapitre du catalogue est consacré 
au Bureau de renseignements annexé depuis 1904 à l'Université 
de Berlin (Aintliche akadeinische A(iskiinftstelle) qui expose plu- 
sieurs bibliothèques d'ouvrages spéciaux. Le vo/tt/ne II renferme 
les catalogues des trois bibliothèques se trouvant à l'Exposition 
d'enseignement: la bibliothèque pour les maîtres des écoles se- 
condaires, la bibliothèque des élèves d'écoles secondaires et la 
bibliothèque d'hygiène scolaire. 

Le compaitiment allemand n'est pas le seul où l'enseignement 
scientifique occupe une place, mais c'est celui où l'intérêt péda- 
gogique est le plus concentré. Ailleurs des poitefeuilles de cro- 
quis et d'épurés, comme ceux de l'Ecole d'artisans de Luxem- 
bourg, des documents relatifs à l'art de l'ingénieur ou aux travaux 
publics, par exemple ceux du compartiment italien, se rattachent 
directement ou indirectement à'I'enseignement. 

La Belgique surtout, qui organisa l'Exposition, se devait de ne 
pas rester en dessous de ce que pouvaient montier les nations 
invitées et son exhibition est étendue et variée. Les établissements 
d'instruction supérieure, moyenne et primaire remplissent, de 
leurs envois très intéressants, des locaux nombreux et aménagés 
avec goût. L'intérêt pédagogique y est moins exclusif, semble-t-il, 
que dans la section allemande et se combine heureusement avec 
l'intérêt historique, artisti(iue ou sociologique. 

Exposition-Musée des Associations et Congrès inte/natiofidu.v. — 
Signalons à cette place une exposition d'un grand intérêt, qui se 
rattache à l'F^xposition universelle, et quia été faite en connexion 
avec les congrès internationaux qui auront lieu à Bruxelles en 1010. 
Organisée par V Of/ice centra/ des Institutions internationales, elle 
est installée au Palais du Cinquantenaire, dette exposition a pour 
but de montrer les progrès accomplis en toute matière dans le 



1 h'iihrer durcit die AiisslcUung (Coiiiniissionsverlag der Weidmannsrhen Hiichhiiiulliing, 
iierliiii. I. A/z/i/fr (Ciiiitlc). — Il Mibliollii-ks-Katalogo. 



316 CniiOMQVE 

domaine de lorijanisation internationale, Klle comprend les mé- 
thodes, les programmes, les moyens mis en œuvre, les travaux 
accomplis et les résultats obtenus. 

II. — CoNFÉnENCES SLR l'eNSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE. 

Rappelons ici, en les complétant, les renseignements concer- 
nant les séances publiques qui vont être organisées à l'occasion 
de l'Exposition et auxcjuelles sont invités tous ceux qui s'inté- 
ressent aux progrès de l'enseignement des sciences mathéma- 
tiques, physiques et naturelles. 

I. — Mercredi 10 août, à 4 h. de laprès-midi, salle Raven- 
stein. 3, rue Ravenstein. près la Place Royale. — Séance orga- 
nisée par la Commission internationale de l'enseignement mathé- 
matique. Elle comprendra notamment une conférence de M. C. 
BoLRLET Paris sur ht pénétration réciproque des mathématiques 
pures et des mathématiques appliquées dans l'enseignement secon- 
daire. 

II. — Jeudi il et vendredi 12 août. — Conférences sur l'ensei- 
gnement scientifique et séances de démonstration organisées à 
l'Exposition, au pavillon de la section allemande, sous les aus- 
pices de la Société allemande pour l'avancement de l'enseigne- 
ment des sciences mathématiques et naturelles / Fe/'ei/i zur Fôrde- 
rnng der matheni. u. naturw. Unterrichts), présidée par M. Thaer 
(Hambourg . On annonce les conférences de MM. 

Treutleix et Schwerixg, pour les Mathématiques ; 
Grimsehl et PosKE, pour la Physique ; 
et Bastian Schmid et Schoexichex. pour la Biologie. 
Les conférences auront lieu le matin à 10 h., et les séances de 
démonstration laprès-midi à 4 h. 

III. — Samedi 13 et dimanche 14 août. — Conférences sur l'en- 
seignement technique organisées à l'Exposition, section française, 
sous les auspices du Ministère français du Commerce et de l'In- 
dustrie avec le concours de l'Ecole française de Bruxelles. Répar- 
ties sur les matinées du samedi et du dimanche, elles seront sui- 
vies, l'après-midi, de séances de démonstration. 

Samedi matin. — Les progrès de l'aviation en France, les écoles d avia- 
tion, par M. C. BouRLET, Professeur an Conservatoire national des arts et 
métiers | Paris). 

L'organisation de l'enseignement technique pratique en France, par M. Jou- 
GLET, Ingénieur à lEcole des arts et métiers d'Aix-en-Provence. 

Dimanche matin. — L'enseignement de l'électricité industrielle dans les 
Ecoles pratiques d'industrie en France, par M. Beaufils, Directeur de l'Erole 
pratique d'industrie de Saint-Etienne. 

L enseignement manuel dans les Ecoles pratiques et les écoles d'arts et 
métiers en France. 



eu noy i<) u E 317 



111. — I.Ks CoN(;iti:s. 



C(>N(;iiÈS INTERNATIONAI, DE i/kNSICK; NK.M KN I .M(»YI:N. — Llindï 15 Ct 

mardi 1(5 août. — Painii les noinbieux (loiigi'cs (|iii viennent sié- 
ger à Bruxelles au cours de lélé 1910, il y a lieu de signaler ici 
en première ligne, le Congres international de l'enseignement 
moyen, qui suivra immédiatement les séances indiquées plus haut. 
Il sera organisé par le Comité central de la Fédération de l'ensei- 
gnement nioijen officiel de Belgique, sous la présidence de M. E. 
DiscAii.LEs. piofesseur éinérile de l'Etat à Gantl. Placé sous le pa- 
tronage du Gouvernement belge, ce Congrès a pour but : 

al de resserrer les liens qui unissent les membres du personnel 
de l'enseignement secondaire international; 

bi de démontrer l'importance de cet enseignement au point de 
vue social, d'en aiïirmer la vitalité et les progrès qu'il na cessé 
de réaliser. 

roules les communications relatives à ce Congrès doivent être 
adressées au Secrétaire-général, M. V. ^YnTMA^^, professeur 
d'Athénée, rue Neuve, Genval (Brabant). 

Mentionnons en outre les réunions suivantes : 

Congrès international de l'Ensei(;nement technique supérieur, 
du 9 au 12 septembre. — Secrétaire-général : M. Fontaine, 27, 
place de Louvain, Bruxelles. 

Congrès international de Radiologie et d'Electricité, du 13 
au 15 septembre. — Ce Congrès comprend trois sections : l. Ter- 
minologie. — Radioniétrie. — II. Sciences physiques. — III. Sciences 
biologiques. — Secrétariat-général : 1, rue de la Prévôté. Bru- 
xelles. 

Association internationale des Académies. 

(Constituée en 1901 à Paris, sous la présidence de M. Darboux,. 
l'Association internationale des Académies tient dos assemlilées 
générales trimestrielles. La dernière réunion vient d'avoir lieu à 
Rome le 9 mai 1910, sous la présidence de M. Blaserna, président 
de l'Académie de Lincei. C'est cette dernière qui joue le rôle 
d'Académie directrice pour la période 1908-1910. 

Nous avons signalé en son temps la fondation de cette Associa- 
tion qui est appelée à jouer un rôle ti'ès utile dans certaines entre- 
prises scienti(i(|ues ou littéraires d'un caractère international. 
Parmi les conclusions votées à Rome, nous nous bornerons à 
signaler celles-ci : 

li Le patronage accordé au Comité international pour la publi- 
cation des constantes physico-chimiques. 

2 L'approbation donnée aux dispositions |)rises par la Société 
helvétique des Sciences naturelles, relativement ;i la publication 
des œuvres d'Euler. 



318 CHRONIQUE 

o [.'admission de la Société helvétique des Sciences naturelles 
parmi les Académies associées, ce qui porte à 20 le nombre de ces 
dernières. 



Les travaux de la Section de Mathématiques et d'Astronomie 
du Congrès des naturalistes et médecins russes. 

Réunion de Moscou, 10-19 janvier 1910. 

Mathématiques. 
Première séance. Li Jtiruner. 

KoTELxiKOF, A. -P. : 1) Généralisation de la moyenne arithmé- 
tico-géométrique. 2) Construction graphique des périodes dune 
intégrale elliptique. 

GuERNETE, N.-N. (M"") : Sur le calcul des variations. 

TscHAPLYGVix, S. -A. : Sur le calcul approché des intégrales des 
équations dilTérentielles. 

TscHiSTiAKoiF, J.-J. : Généralisation dun théorème d'Euler dans 
la théorie des nombres. 

Seconde séance. 12 jan^ner. 

JoLKovsKY, N.-G. : Application de la méthode de KirchhofF au 
calcul des aéroplanés. 

KoLossoFF, G.-W. : Application de la théorie des fonctions 
dune variable complexe à l'intégration de l'équation hyperhar- 
monique y.^yj// = , quand les conditions sur le contour sont 
données. 

Leibexson, L.-S. : Détermination de l'élasticité de la terre sup- 
posée hétérogène. 

La sous-section discute ensuite le projet du règlement de l'Asso- 
ciation russe pour Tavancement des Sciences. Après une discus- 
sion à laquelle prirent part MM. S. -A. Tschaplyguin, D.-M. Sixt- 
soF, A.-N. Chapochmkoff, N.-G. Joukovsky, V.-V. Bobymx, elle 
approuve les principes qui servent de base au projet. 

Troisième séance. 13 janvier. 

Rabixovitsch, g. : Sur la fonction vectorielle linéaire et ses ap- 
plications. 

Stankievitsch, J-W. : Sur quelques applications de la transfor- 
mation de contact. 

Sintsof, D.-M. : Etude sur la théoiie des connexes. 

Wi.AssoF, A.-C. : Détermination géométrique des courbes algé- 
briques, des surfaces et des formes à plusieurs dimensions d'or- 
dre supérieur en général. 



ciiiioyiQUE 31 y 

Quatrième séance. 17, janvier. 

V.-V.BoBYXiN propose de créer des ('ongrès j)aitiels de mathé- 
maticiens russes. 

Pi- EUT Eli, ri.-\\. : Sur les points imiplaiiaires des surfaces algé- 
briques. 

La(;oltinsky, M.-N. : Sur riiitétiiatiou des équations diiïéren- 
tielles algébriques. 

SiNTSOF, D.-M. : Rapport sur rorganisation tle la bibliogiaphie 
mathémati(iue russe courante. 

Cinquième séance, il] janvier. 

ScHATOcNovsKY, S.-O. : Sirr les congruences suivant le système 
de modules. 

GïNTHEH, \.-M. : Sur la théorie des caractéristiques des systè- 
mes d'équations différentielles partielles à une fonction inconnue 
de m variables indépendantes. 

Floroff, p. -S. : Méthode de calcul de n à cinq décimales utile 
pour l'enseignement dans les écoles secondaires. 

Séance générale. U] janvier. 

Backluxd, O.-A. : De l'état actuel de la mécanique céleste. 

Stekloff, W.-A. : Sur les équations de la physique mathéma- 
tique. 

Krvloff, A.-N. : Sur l'intégrateur des équations différentielles 
ordinaires. 

Kolossoff, G.-W. : Problème plan de la théorie mathématique 
de l'élasticité. 

Sixième séance. Il janvier. 

Gegalkix, .I.-J. : Sur les ensembles infinis. 

BoBYMx, V.-V. : Sur les attaques anciennes et modernes comte 
Léon Tolstoï) contre les mathématiques pures. 

Résumé, présenté par le secrétaire D.-Th. Egoroff, de la com- 
munication de M. P. -M. Anotschenko, sur la méthode élémentaire 
de résolution des équations. 

Guerssevaxoff, N.-M. : Sur la nomographie. 

Septième séance. iH janvier. 

BoRYxiN, V.-V. : Sur les méthodes naturelles et les méthodes 
artificielles de la restauration des démonstrations anciennes de 
quelcjues propositions mathématiques. 

Gravé, D.-A. : Sur le calcul de tables des indices pour le second 
millier. 

SixTSOF, D.-M. : Sur les systèmes de courbes liées à la coïnci- 
dence principale du connexe Kipui. 



320 CniiO.MQl'E 

Rhiienfest, p. -S. : Sui' deux (|iieslions iriésolublos de physique 
niaf héinatiqne. 

La (in de la dernière séance a élc consacrée à la discussion de 
la proposition de M. V.-V. Bobvnix tendant à créer les Congrès 
partiels de mathématiciens russes. Après une discussion à la- 
quelle prennent part MM. V.-V. Bobyxix, D.-M. Sintsof, D.-D. 

MoRDOLKHAY-BoLTOVSKY, S.-J. ScHATOUNOVSKY, T.-A. AfFANASSIEFF- 

Ehrexkest M'""!, p. -S. Ehrexfest, D.-Th. FCcoroff, rassemblée, 
sur la proposition de M. Lakhtix, adopte la résolution suivante : 
La sous-seclion de Mathématiques demande à la Société mathé- 
maticjue tic Moscou de se charger de la mission d'élaborer un 
plan d'organisation et de le réaliser avec le concours des autres 
sociétés mathématiques. 

Mécaxique. 

Prémunie séance, ii janvier. 

(ioiîiAïscHEF, D.-X. : Pour le problème du mouvement d'un 
solide. 

TiMoscHEXKO, S. -P. : Application des coordonnées normales à 
la recherche de la flexion des verges et des plaques. 

MiLowiTCH, A.-J. : Théorie tourbillonnaire d'appai'cil directeur 
et de puits de la turbine. 

PoLiAKOFF, R.-B. : Expériences sur les forces agissant sur les 
tarières spirales dans le travail relatif à.la fonte et à l'acier. 

Lakhtix. N.-K. : Sur l'organisation de la Section russe de la 
Société Internationale de Texamen des matériaux. 

Seconde séance, ib jam'ier. 

DixxiK, A.-N. : Sur le choc des corps élastiques. 
AiMîAMOFF, X.-ÎNL : Sur la résistance à la contraction des corps 
dans le cas des obstacles à la dilatation latéi-ale. 

GoxTARKFF, D.-A. : Sur quelques phénomènes mécaniques. 

Troisième séance. IH janvier. 

Belsetzky, S.-J. : Théorie des fermes. 

Chei.iapix, S.-J. : Expériences confirmant la théorie du mouve- 
ment d'eau dans le sable. 

AiiiiAMOFF, N.-M. : Sur l'enseignement des mathématiques dans 
les écoles techniques. 

Astronomie. 
Première séance. LL janvier. 

KosTixsKv, S.-C. : Sur l'application de la photographie à l'as- 
tronomie. 

Orloff, S.-B. : Résultats de l'élaboration des photographies de 
la comète de Morehouse suivant la théorie de Brcdikhin. 



(■ Il H().\ I o r !■: :vi\ 

Xkich.kik. X.-Tli. : Inléuralion des c'([iiati<>iis du inom cmciil 
|)eitiirl)aleiir par séries. 

Seconde séance, lô Janvier. 

I^ANoi'i", A.-N. : Gravitalioii universelle considéiée comme une 
toiu'fioii du temps et les conséquences qui en découlent. 

MiKHAVi.owsKY, A. -A. : Sur les déterminations de l'intensité de 
la giavilé, exécutées par les expéditions de l'Observatoire de 
Kazan. 

Bavkki-, C.-L. : Un an et demi de l'activité du Cercle des ama- 
teurs d'Astronomie à Moscou. 

Géo(; n A l'ii 1 1: i> n v s i o i k et Météoh o lo(; i i; . 
Sous-section de la navigation aérienne. 

Première séance, l'.î Janvier. 

.louKovsKY, X.-G. : Chargement des machines à vol et la théo- 
rie tourbillonnaire de la vis de propulsion. 

RiABOuscHiNSKY, D.-P. : Sur le coup dn courant illimite ii la 
plaque. 

ScHAnsKY, A.-X. : Terminologie aéronavale. 

Seconde séance. Lk Janvier. 

HiABOuscHixsKY, D.-P. : Sur les vis de propulsion aériennes. 
Yahkowsky, W.-J. : Sur l'unité aérodynamique. 
Teketschexko, Th. -Th. : Construction de la monoplane du sys- 
tème de Th.- Th. Teretschenko. 

Troisième séance. 15 Janvier. 

.Iolkovsky, X.-G. : L'état actnel de l'aérodynamique liée à la na- 
vigation aérienne. 

KowAXKO, A. -M. : Snr les flottes aériennes. 

KiKATscHEFi-, M. -M. : Résultats des ascensions des ballons- 
sondes en Rnssie. 

Quatrième séance. 16 Janvier. 

.louKovsKY, X.-G. : Stabilité des machines à vol. 

Mendei.éei K, V.-D. : Préférence d'oinitoptère sur les autres ma- 
chines à vol. 

ScHii{.M(>x, .1. : Aéro])lanes et la comparaison de cenx-ci avec les 
ornitoptères. 

KoLsxETZoï-, Y.-V. : Sur les recherches de ratmosj)hère exécutées 
parles Russes en jours internationaux des ans 1907, IDO.S et 1909. 

BocBEKHiN, B.-M. : Moteurs légers des machines à vol. 

Gi.oHA, X.-P. : Sur la marche de l'homme et le vol de l'oiseau. 

'/AorsrixsKY, M.-\\ . : Sur la construction des aéroplanes. 



3-22 CHRONIQUE 

Cinquième séance : il janvier. 

Zaolstixsky, M.-W. : Sur la construction des aéroplanes. 
OuLiAxix, S. -A. : Cerf-volant pour l'ascension des hommes et 
de la photoiifraphie automatique. 

Si.viènie séance. IH jain>ier. 

Olliamn, s. -A. : Cerf-volant pour l'ascension des hommes et de 
la photographie automatique. 

BocHEKiiix, B.-M. : De la technique des vis de propulsion. 
Zayoxtz, .1. : Sur la pénétration dans la contrée du pôle Nord. 

V.-V. BoBYXix (iNIoscou). 

Association allemande pour l'avancement de l'enseignement 
des Sciences mathématiques et naturelles. 

Le Verein zur Fôrdernni^- des niathematischen iind natiir^vissen- 
schaftlichen Unteirichts vient de tenir sa réunion annuelle à 
Posen, du 16 au 18 mai, sous la présidence dhonneur de M. le 
Prof. F. PiETZKER Nordhausen , assisté de M. le prof. A. TnAEn 
Hambourg), président. Nous devons nous borner à mentionner 
ici par leur titre les communications d'ordre mathématique. 

^VITTIXG (Dresde) : La Commission internationale de l'ensei- 
gnement mathématique et la sous-commission allemande. — Les 
Mathématiques dans les classes supérieures avec discussion). 

Gebhardt Dresde) : Les notions historiques dans l'enseigne- 
ment mathématique. 

BiiucHER Biebrich^ : Le rôle de l'intuition en Algèbre. 

BocHow (Nordhausen) : Représentation stéréométrique des nom- 
bres. 

BôTTCHER Leipzig) : Calendrier pour la période 1800 à 2000. 

Jaxsen (Hambourg) : La stabilité des aréoplanes. 

ScHtJLKE (Kônigsberg) : Sur la géométrie modeine. 

Louis Raffy, 

La science française vient de faire une perte sensible en la per- 
sonne de M. Louis Rafï'y, professeur à la Faculté des Sciences de 
Paris, décédé le 9 juin, à l'jige de 55 ans. La carrière du savant 
était entièrement consacrée à la science et à l'enseignement de la 
Géométrie infinitésimale qu'il donnait avec tant de soin à la Sor- 
bonne. Elle a été rappelée sur la tombe en termes émus par 
M. Appell, doyen de la Faculté des Sciences, et par M. Bricard, 
au nom de la Société mathématique, en deux discours dont voici 
les principaux passages : 



c II R () x I ou E wn 

« Louis [lalï'y naquit à Toulouse le 21 mars 1855; devenu Pari- 
sien à l'îJge de trois ans, il eut la bonne fortune de le rester, son 
activité' son travail et son mérite scientifique lui ayant valu la 
rare faveur de faire toute sa carrière enti-e la Sorhonne et l'Ecole 
normale supérieure. Au Lycée, Louis Rady eut de brillants succès 
en lettres comme en sciences; c'est pourquoi il hésita pour le 
choix d'une carrière... Il se décida pour les sciences et dès lors se 
livra à l'étude des mathématiques avec la volonté tenace, la con- 
science prescjue rude qu'il apportait à tout ce qu'il faisait. 11 fut 
reçu à l'Ecole nornjale supérieure en 1879. En 1883 il était reçu 
docteur: sa thèse sur la détermination du genre d'une courbe par 
des opérations rationnelles, fut particulièrement lemaïquée par 
Hermite; quelques mois après, reçu agrégé des mathématiques, 
il fut attaché à la Faculté des Sciences comme chargé de confé- 
rences pour l'agrégation, puis il fut appelé à une conférence à 
l'Ecole normale. Dès lors sa carrière se déroule entre sa chère 
Sorbonne et sa chère Ecole. 

« L. RafFy avait définitivement trouvé Savoie dans la Géométrie 
infinitésimale, qu'il n'a cessé de cultiver et d'enrichir jusqu'à son 
dernier jour; ses travaux sur les surfaces et les lignes courbes, 
sur la déformation des surfaces, se succédaient sans interruption, 
remanjués par le monde savant, récompensés par l'Académie. 
Dans son enseignement, il était profondément pénétré de ses de- 
voirs : il préparait ses cours et ses conférences avec un soin mi- 
nutieux, aimant ses élèves, s'intéressant au détail de leur'travail, 
corrigeant et annotant leurs copies avec une conscience admi- 
rable, apportant aux examens une haute idée de sa mission. 

« ^ommé professeur adjoint en 1899, il fut en 1904 titularisé à 
la Sorbonne dans une chaire AWpplication de l'aïuilyse à la Géo- 
métrie créée pour lui. Ses leçons furent publiées dans un ouvrage 
remarquable par sa composition, par sa précision et par la per- 
fection de la langue. 

« Ainsi arrivé au terme de ses ambitions, n'ayant recherché au- 
cune fonction en dehors de son service à ILtiiversité auquel il 
consacrait toutes ses forces, il pouvait espérer une belle fin de 

carrière entouré d'une famille tendrement aimée H y a trois 

semaines il dût cesser complètement tout service et fut enlevé ra- 
pidement à l'affection des siens Dans l'affreuse tristesse d'une 

telle séparation, tous les professeurs et les étudiants de la Faculté 
sont unis dans un même sentiment d'admiration pour une vie si 
droite, si pure, si courageuse; de douleui' et de deuil devant une 
fin si prématurée. » 

M. BiucARD parla ensuite au nom de la Société nuithéniatique de 
France pour adresser un adieu supième à celui ([ui fut si long- 
temps l'un de ses membres les plus actifs et les plus dévoués. Dès 
son admission en 1883, Louis RafFy portait un intérêt tout parti- 



324 CHRONIQUE 

culicr à la Sociélé et depuis ne cessa de lui lendce des services. 
« Coujme secrétaire, il s'occupa de la rédaction du Bulletin jusque 
vers 1900. Appelé à la présidence en 1002 par le vœu unanime de 
ses collègues, il reprit quelque temps après les fonctions de se- 
ciétaire qu'il a conservées jusqu'à sa mort. Non seulement il ré- 
tligeait notre Bulletin avec autant de conscience que d'habileté, 
mais rien de ce qui touchait la vie de la Société ne le laissait indif- 
férent, et l'on peut dire justement qu'il en était l'àme, ne man- 
([uant presque aucune séance et faisant de f'ré(|uentes communi- 
cations c[ui constituaient l'un de leurs plus sérieux atti'aits. Par 
laflection qu'il portait à la Société, L. Rall'y montrait un beau 
trait de son caractère, je veux dire l'amour de la science pour elle- 
même et non pas seulement pour les succès qu'il y remportait. Je 
n'oublierai j)as enfin que durant de longues années nous avons pu 
apprécier ce (jue valait l'homme à côté du savant, son obligeance 
inépuisable, son ardeur à défendre les idées qu'il croyait justes. 
Le souvenir de L. Ralfy, de tout ce qu'il a fait pour notre Société 
et rêvait de faire, ne s'évanouira pas de notre mémoire. » 

Nouvelles diverses. — Nominations et distinctions 

Allemag'iie. — M. Th. Alrhecht, de l'Institut géodésique de 
Potsdam, a été nommé membre correspondant de l'Académie des 
Sciences de Paris. 

M. G. Hessi-nbeiu: a été nommé professeur de Géométrie des- 
criptive à l'Ecole technique supérieure de Breslau. 

Angleterre. — M. F. .Iacksox et M"'' M. Pick ont été nom- 
més professeurs adjoints de Mathématiques pures à l'Univeisity 
Collège de Londres, et M. P. -F. EvEnirr, professeur adjoint ho- 
noraire du même Collège. 

]\L J.-ll. Jeaxs a été nommé lecturer en Mathématiques de la 
fondation Stokes à l'Université de Cambridge. 

Autriche. — M. G. Rosmamth a été nommé professeur extra- 
ordinaire pour la Théorie des assurances et la Statistique mathé- 
matique à l'Ecole technique supérieure allemande de Prague. 

Bclgic|uc. — Un comité présidé par M. J. Bounvin a remis, 
le 5 juin 1010, à l'Université de Gand, le buste en bronze de feu 
.1. Massac, le savant regretté auquel ï Enseignement mathématique 
a consacré plusieurs notices. Le Comité avait obtenu une sous- 
cription de l'Institut de France. 

Etîitw-L-'iiis. — MM. HiTcnixsoN et V. Sxyueh ont été nom- 
més professeurs titulaires à la Cornell University. 

MM. BuitxsiDE, de l'Université du Wisconsin, et M. Fite, de 
l'Université Cornell, et Hawks, de l'Université Yale, ont été nom- 



(' I! Il ON I n UE 325 

inrs professeurs de MatluMiialiqiies à 1 Tiiiveisili'' (l<»liiml)ia, à 
.New- York. 

M. IIawkswokth a été noninK' professeur de .Mal heniaticines su- 
périeures à l'Université de Pittshoury-. 

M. K.-\V. PoNzzEii a été nommé professeur extraordinaire de 
Mathémalicpies appliquées à rUniversit('' Stanford Califoinie . 

M. (]li.-L. l*ooR a été nommé professeui- de Mécanique céleste à 
ILniversité Columbia à New-York. 

Université de Chicago. M. O. Bolza, désirant retournei- en Eu- 
rope pour habiter Fribour^' (Brist>au!, restera attaché à l'Univer- 
sité en (jualité de professeur non-iésidant. 

Italie. — R. Accademia délie Scienze di To/i/io. M. Max No- 
THER lErlanoen) a été élu associé étranger. MM. .1. Boussinesq 
(Paris], E. (]avai.li (Naplesi, V. Ceruli.i (Teranio-ltalie), Sir G. -H. 
Darwin (Cambridoe), F. Exriques (Boloone), G.-B. Guccia (Pa- 
ïenne), T. Levi-Civita (Padone), C. Neumaxx Eeipzio), ont été 
nommés membres correspondants. 

— M. G. Lauricella, professeur d'Analyse infinitésimale à 
l'Université de Catane, a accepté l'appel qui lui a été adressé par 
l'Université de Rome pour la chaire d'Analyse supérieure, restée 
vacante après le décès de (^errlti. 

Privat-docents : Ont été admis en qualité de privat-docents : 
M. C. AiMoxETTi, pour la Géodésie, à l'Université de Turin; 
M. G. FoRxi, pour la Géodésie, à l'Institut technique supérieur 
de Milan; M. E. Silla, pour la Mécanique rationnelle, à l'Univer- 
sité de Rome. 

Suisse. — Société helvétique des Sciences naturelles. Ea 93'^ 
session annuelle se tiendra à Bàle du 4 au 7 septembre 1910, sous 
la présidence de iNE le Prof. Vox der Muhll. E'ne section sera spé- 
cialement consacrée aux communications concernant les mathé- 
matiques pures et appliquées; elle sera présidée par M. le Prof. 
R. Fueter. A cette occasion il sera créé une Société mathématique 
suisse, due à l'initiative de MM. H. Fehr (Genève), R. Fueter 
(Bàle) et M. Grossmann (Zurich). Plus de 80 adhésions sont déjà 
parvenues au Comité provisoire. 

Ea Société helvétique des Sciences naturelles vient d'èti-e ad- 
mise au nombre des académies formant l'Association internatio- 
nale des Académies. Il n'y a en effet pas d'Académie en Suisse, et 
les savants suisses ont toujours écarté tout projet tendant à la 
création d'une Académie. 

Université de (ienéve. — M. M. Plaxcuerel a été admis en qua- 
lité de privat-docent. 

Université de Xeuchdtel. — M. E. Gaberel. privat-docent, est 
nommé professeur extraordinaiie pour les cours sur la Ihéorie 
des fonctions. 



NOTES ET DOCUMENTS 



LES ÉCOLES RÉALES EN AUTRICHE 

I. - Les nouveaux plans d'études mathématiques. 

De nouveaux plaus d éludes' viennent d être adoptés en Autriche pour 
l'enseignement secondaire supérieur qui compreud trois types d'établisse- 
ments : les gymnases classiques, les gymnases réaux et les écoles réaies. 
Le programme des mathémaiiques étant à peu près le même dans les trois 
écoles, nous nous bornons à reproduire ici celui de l'école réale, qui com- 
prend en outre renseignement du dessin linéaire et de la Géométrie des- 
criptive. Selon l'habitude, ces programmes sont accompagnés d'observations 
destinées à montrer dans quel esprit ils doivent être appliqués. 

Le temps consacré aux malhéniatiques est de 3 heures par semaine dans 
les sept premières classes des gymnases classiques et réaux et de 2 heures 
dans la huitième. Il est bon d'ajouter que dans les classes supérieures le 
nombre des leçons par semaine est de 28 ou 29. 

Les écoles réaies comprennent sept classes, avec 33 heures de leçons 
par semaine dans les classes supérieures. Le temps consacré aux mathé- 
matiques est donné par le tableau suivant : 



Ecoles r.-ales : cla.sse : I II III IV 



Mathématiques 3 5 5 4 4 4 11»"- sem.) 5 

Dessin linéaire et Géomé- 3 (2m« sem.) 

trie descriptive 2233 3 2 



Le Décret concernant les écoles réaies a été promulgué par le ministre 
des Cultes et de rinstruclion publique en date du 8 avril 1909. Daus l'intro- 
duction on insiste sur la nécessité qu'il y avait de procéder à une revision 
fies programmes de 1898 en raison des progrès réalisés non seulement dans 
les diverses sciences, mais aussi dans la manièi-e de concevoir 1 enseigne- 
ment et ses méthodes. C'était le cas notamment pour les Mathématiques et 
le Dessin. 

Voici maintenant le plan d'études suivi des remarques générales pour les 
Mathématiques et la Géométrie descriptive. Nous devons le texte français à 
l'obligeance de M. J.-P. Dumur (Genève). 

N d. 1. R. 



* Ils sont «-n vente an K. k. Schulbiichcr-Vtrlag, Wien. 



.\ O T E S ET no eu M E NTS 327 



M athénia tiques. 



liiit de l'eriseigneinenl. Coniiaissaiicc loiidamonlak' c-l |)iali(|iic (ies mallié'- 
inali(iut'S l'iénienlaires, y compris la nolion de fonction et ses applications. 

l""^ classe, o lieures par semaine. 

Calcul. Les qnalre opérations londamenlales sur les nombres entiers 
concrets et abstraits en se bornant tout d abord à des nombres simples et 
en ne compliquant que peu à peu. Chiffres romains. Monnaies du pays, 
poids et mesures. Nombres décimaux, envisagés d'abord d'après le système 
de position des chiffres, plus tard comme fractions décimales en coi-rélation 
avec des exercices préparatoires sur le calcul des fractions. (Fractions ordi- 
naires, dont les dénominateurs sont composés d'un petit nombre de facteurs 
premiers simples, et que l'on applique à des exemples concrets sans faire 
intervenir les règles habituelles des fractions considérées comme classe 
particulière de nombres.) 

Etude de l espace. Exercices préparatoires sur les corps géométriques 
simples, principalement le cube et la sphère, usage du compas, de la règle, 
de 1 équerre, de l'échelle de réduction et du rapporteur. Mesure et dessin 
dos objets environnants. On familiarisera les élèves avec les propriétés et 
relations des plus simples ligures de l'espace (angles de 90°. 60°, triangles 
équiangles, rectangles, équiialéraux, etc.), droites et plans parallèles et 
perpendiculaires dans les surfaces et corps solides. 

Surface du carré, du rectangle, volume du cube, du parallélipipède droit, 
comme applications du système métrique. 

2™^ classe, 5 heures par semaine (comprenant le calcul, létude de l'espace 
et le dessin géométrique). 

Calcul. Mesures et divers autres sujets ; facteurs- premiers de nombres 
simples d'abord puis se compliquant peu à peu. Règles générales du calcul 
lies fractions ; transformation des fractions ordinaires en fractions déci- 
males et inversement. Pour terminer, grandeui's directement et inversement 
proportionnelles (ce qui conduira de la façon la plus simple à la notion de 
Jonction). Constante application au calcul des nombres décimaux concrets 
ilans un domaine de plus en plus étendu. Calculs d'intérêts les plus simples.' 

Etude de l'espace. Symétrie des figures de l'espace et des figures planes. 
Etude, par le moyen de constructions, des paramètres déterminant complè- 
tement une figure plane (à la place des démonstrations d'égalité). Applica- 
tions variées à des mesures en classe, et, si possible, en plein air. Triangles, 
quadrilatères, polygones (principalement réguliers) ; cercles. Les prismes 
droits, pyramides, cylindres et sphères qui s'y rattachent. On étudiera la 
sphère conformément aux exigences de l'enseignement de la géographie qui 
se fait en même temps. Déplacement des figures (leurs transformations de 
forme et de grandeur résultant de la variation des paramètres. 

Dessin géoméirlr/ue (2 heures consécutives par semaine). Exercices conti- 
nuels dans l'emploi des instruments de dessin. Problèmes de constructions 
corrélatifs de l'étude de l'espace, applications également au dessin d'orne- 
ments géométriques simples. 

3™* classe, 5 heures par semaine (comprenant 1 arithmétique, la géométrie 
et le dessin géométri(jue|. 

Eléments d'arilhméti([ue générale (Algèbre, Réd.l faisant suite à l'ensei- 



828 S OTE .S ET 1) O C U M E N F S 

guenu'ul du calcul ; énoncés des règles de calcul et représentation de ces 
règles à l'aide de lettres, tr;insformations les plus simples, exercices de 
substitutions (fréquentes preuves des opérations générales par la substitu- 
tion de chiffres spéciaux dans les données et les résultats). Nombres néga- 
tifs dans les applications non artillcielles les plus simples (llicrniomètre, 
baromètre, niveau d'eau, échelle des nombres). 

Relations entre les surfaces (comparaisons, transformations les plus 
simples, formules de mesure), volume du prisme droit et du cylindre. Me- 
sures et comparaisons des objets de la classe, du jardin d'école et, si pos- 
sible, opérations analogues en plein air. Théorème de Pylhagore avec 
d'abondantes démonstrations intuitives et applications aux figures planes el 
aux figures de l'espace les plus simples (par exemple diagonale du cube, 
hauteur de la pyramide régulière à base carrée). Pyramide (cône), sphère; 
surface et volume de ces corps (sans démonstration de ces formules pour 
la sphère). 

Nombreuses liaisons de l'enseignement arithmétique et géométrique. 
Représentation graphique des quatre opérations par des droites, des expres- 
sions \a -\- bf, \a — hf, [a -\- h) (a — b) , (a -\- />)' , etc., par le moyen de 
rectangles et de cubes. Extraction de la racine carrée et dé la racine cubique 
en vue des calculs de géométrie plane et de l'espace. Opérations abrégées. 
Estimation du degré d'exactitude à atteindre, basée sur la mesure effective 
des paramètres de détermination. Estimation de l'ordre de grandeur du 
résultat, comparaison des résultats de l'évaluation et du calcul par des me- 
sures et pesées de modèles. Nouvelles occasions de développer la notion de 
fonction : variation des longueurs, surfaces et volumes des figures el corps 
semblables comme la première, seconde et troisième puissance, ou comme la 
racine carrée et cubique des paramètres de détermination (cela par des con- 
sidérations indirectes et le dessin à la nouvelle échelle). Equations les plus 
simples en tant qu elles sont nécessaires aux calculs de géométrie plane el 
de l'espace de cette classe. 

Dessin géométrique (2 heures consécutives par semaine). Continuation et 
développement des exercices de la 2'n« classe. 

^me classe, 4 heures par semaine. 

Algèbre. Explication des lois concernant les opérations et de leurs rela- 
tions, exercices de transformations appliquées surtout à la résolution 
d'équations, y compris les preuves par la substitulion des résultats (numé- 
riques el algébriques) dans les équations primitives. Comme application à 
la notion de fonction on fera observer la variation des résultais obtenue par 
le changement des éléments de calculs. Elude plus approfondie du système 
décimal et exercices les plus simples sur d autres systèmes. Mesures, mul- 
tiples, fractions ; équations du premier degré à une et plusieurs incoimues ; 
rapports, proportions ; équalions du second degré en tant qu'elles sont né- 
cessaires à l'enseignement de la géoinétrie plane. Représentation graphique 
de la fonction linéaire el son utilisation à la résolution des équations du 
premier degré. 

Géométrie plane (jusqu'à la congruence el ses applications y comprises). 
Répétition et développement du champ précédent, avec explication des défi- 
nitions et démonstrations d'Euclide qu'on appliquera à des exemples carac- 
téristiques, le reste du champ se traitera surtout sous forme de problèmes. 
Résolution de problèmes de construction d'après diverses méthodes géné- 
rales (aussi par le moyen de constructions algébriques) à l'exclusion de tous 



.V O T E S ET DOC r M E NT S 329 

les problèmes ne se résolvanl qu'il l'aido d arliliccs. l'iohlriiu's dp calcul 
concernant le reste du champ trélude. 

5me classe, '» heures par semaine. 

Algèlire. Puissances et racines appliquées à des exemples non arlificieis. 
Kquatious du deuxième degré à une inconnue (et les plus simples à plusieurs 
inconnues). Equations de degrés supérieurs les plus faciles qui se ramènent 
sans artifice à celles du deuxième degré. Nombres irrationnels, imaginaires 
et complexes, en tant que la résolution de ces équations y conduit. Repré- 
sentation graphique de la fonction du deuxième degré et son application à 
la résolution des équations du deuxième degré. Logarithmes. 

Géométrie plane. Suite et fin du programme de la 4'"« classe. 

Géométrie dans l'espace : Propriétés fondamentales de l'angle solide en 
général et de l'angle trièdre en particulier (angle polaire). Propriétés, surface 
et volume du prisme (cylindre), dé la pyramide (cône), de la sphère, de leurs 
sections planes et de leurs volumes tronqués. Théorème d'Euler, polyèdres 
réguliers. 

6'"* classe, l'^'" semestre 4 heures, 2""^ semestre 3 heures par seniaine. 

Algèbre : Equations logai-ilhmiqucs et exponentielles les plus simples. Pro- 
gressions arilhméliques (du premier ordre), progressions géométriques, ap- 
plications de ces dernières principalement au calcul des intérêts composés 
et des rentes. 

Goniométrie, trigonométrie plane et sphérique : Les fonctions trigonomé- 
triques, leur représentation graphique, utilisée spécialement pour faire sai- 
sir les propriétés et relations de ces fonctions. Résolution des triangles. 
Comparaison continuelle des théorèmes et méthodes de la trigonométrie 
avec ceux de la géométrie plane et de l'espace. Principes de la trigonométrie 
sphérique, en se bornant aux relations et formules qui interviennent dans les 
applications du reste du champ (en ce qui concerne le triangle quelconque, 
principalement la loi des sinus et celle du cosinus). Diverses applications 
de la trigonométrie aux problèmes d'arpentage, de géographie, d'astrono- 
mie, etc., dans lesquels les paramètres de détermination seront autant que 
possible mesurés par les élèves eux-mêmes. 

7me classe, 5 heures par semaine. 

Algèbre : Permutations, arrangements, combinaisons dans les cas les plus 
simples. Binôme de Newton pour un exposant positif entiei*. Premières no- 
tions du calcul des probabilités avec applications aux problèmes les plus 
simples de l'assurance sur la vie. 

Géométrie analytique : Se relie aux représentations graphiques faites pré- 
cédemment de quelques fonctions données. Application de la méthode analy- 
tique aux lignes du premier et du deuxième degré et, à l'occasion, intiication 
des procédés géométriques appliqués aux mêmes figures. 

Etude plus approfondie des exercices de différentiation et d'intégration 
les plus simples du champ de mathématiques et de physique. Solutions ap- 
prochées d'équations algébriques (et à l'occasion d'équations transcendantes 
très simples) par des méthodes graphiques. 

Révision générale du domaine entier de renseignement mathématique, 
principalement des équations et des progressions, de la stéréométrie, trigo- 
nométrie et géométrie analytique. Développement plus approfondi de cer- 
tains sujets. A{)plications sur les différents domaines de l'enseignement et 
de la vie pratique plutôt (|ue des problèmes purement formalistes. 

Considérations historiques et philosophiques. 

L'Enseignement ni.itlii'ni., 1"J" ;mnro ; 1!I10. 23 



330 NOTES ET DOCUMENTS 

Travaux écrits : Dans toutes les classes trois épreuves par semestre, en 
outre, petits exercices à faire à la maison entre les leçons. Dans le cas où la 
leçon suivante a déjà lieu le lendemain, on supprimera ces tâches dans les 
classes inférieures ; dans les classes supérieures également, à moins qu'il 
n'y ait une après-midi de libre entre deux. Au besoin exercices faits et cor- 
rigés en classe. 

Obsekvations. 

Principales tendances du programme précédent : 

1. Adaptation au développement intellectuel réel des élèves. 

2. Simplification du champ d'éludé par la liaison des branches ayant des 
relations les unes avec les autres, spécialement l'arithmétique et la géométrie. 

3. Adaptation du programme de mathématiques aux branches correspon- 
dantes et aux applications de la vie réelle. 

4. Assimilation de l'idée de fonction en utilisant toutes les occasions qui 
se présentent dans renseignement mathématique jusqu'à l'étude de la varia- 
tion d'une fonction à l'aide du quotient différentiel. 

5. Développement de lintuition géométrique, facilité -par les travaux 
manuels des élèves (construction de modèles, mesures, etc.). 

6. On laissera de côté toute matière surannée ou reconnue comme inutile 
au point de vue didactique. 

L ensemble de renseignement mathématique a été conçu de façon que 
l'enseignement des trois premières classes constitue une étude préparatoire 
des nombres jusqu'aux débuts du calcul littéral, ainsi qu'une étude prépara- 
toire de l'espace à l'aide de représentations géométriques mises en valeur 
par leurs applications dans les autres branches (géographie, histoire natu- 
relle, etc.) et dans la vie ordinaire. L'enseignement de ces classes a pour 
but aussi de familiariser les élèves avec lemploi du langage arithmétique et 
géométrique (en omettant cependant les définitions formelles prématurées). 

A partir de la quatrième classe, on s'occupera de la liaison scientifique 
des notions et propositions individuelles de larithmétique et de la géométrie 
(eu évitant toutefois une représentation purement déductive). On dévelop- 
pera également peu à peu la notion de fonction et ses applications. 

Quelques remarques sont encore à faire relativement à chaque classe par- 
ticulière. 

Déjà à partir de renseignement du calcul des deux premières classes, on exi- 
gera cette sûreté dans le calcul des nombres dont le besoin se fait sentir 
également dans les degrés supérieurs de l'enseignement mathématique. Les 
principes de calcul devront s'acquérir par des exemples simples sur de 
petits nombres, puis on se perfectionnera dans le calcul mécanique par 
l'emploi de nombres un peu plus grands ; après quoi le calcul sur les plus 
grandes valeurs se fera sans difficulté dans la troisième classe à l'aide du 
calcul des puissances (base 10). 

On n'introduira pas le calcul abrégé avant la troisième classe, car ce 
n'est qu'à partir de cette classe qu'on lui trouve des applications. L'élève 
pourra alors aussi souvent que possible mesurer les paramètres de déter- 
mination (côtés de l'angle droit, diamètre du cercle, etc.) sur des figures 
dessinées par lui-même; il pourra se faire une idée de lexactitude souvent 
peu considérable des grandeurs données et calculées et sur la possibilité 
de négliger des décimales en tenant compte du degré d'exactitude à atteindre. 



A^ O TE S ET no C U M ENT S \\:\\ 

Les rapports et proportions ne deviennent uliles qu'à pcirlir de la plani- 
niétrie de la cinquième classe ; il suflira donc qu'on traite quelques-unes do 
leurs propriétés dans l'enseignement de l'arithmétique de la quatrième 
classe et que l'on s'occupe en particulier des proportions dans l'étude des 
équations. Par contre, un tel besoin ne se fait pas sentir en ce qui concerne 
le programme de la seconde classe dans laquelle les calculs simples et com- 
posés qui s étudient à la (in de l'année permettront d'arriver aux résultats 
d'une façon plus simple et plus claire que si l'on passe par les proportions. 

L étude de lespace de la troisième classe conduit aux prismes droits et 
cylindres correspondant aux figures planes. Il sera bon de déterminer les 
surfaces calculées par les pesées des prismes droits et cylindres qui leur 
correspondent et inversement de mesurer directement sur ces modèles les 
paramètres de détermination nécessaires aux calculs de ces surfaces. 

L'enseignement de 1 arithmétique de la quatrième classe renonce complè- 
tement à la soi-disant introduction scientifique de 1 arithmétique. On la 
remplacera avantageusement en considérant les relations qui existent entre 
les diverses opérations par la résolution des équations de détermination, 
cette résolution devant être faite d'abord par le retour aux opérations 
inverses puis par transposition mécanique. De semblables applications per- 
mettront aux élèves de saisir beaucoup plus facilement les nombreuses re- 
lations logiques des principes et des lois de larithmétique que ne sauraient 
le faire des absti-actions prématurées. 

La géométrie plane de la quatrième et de la cinquième classe devra se 
traiter d une façon analogue, les démonstrations rigoureuses ne devront se 
faire que pour un petit nombre de théorèmes, en faisant sentir à l'élève le 
besoin logique d'une telle démonstration. Mais, pour la plupart des autres 
théorèmes, il sufFir.i de signaler à l'élève la raison de la justesse de la pro- 
position sans insister, spécialement pour ceux qui lui paraissent plus ou 
moins évidents (comme la relation de l'angle au centre et de l'arc compris 
et beaucoup d'autres). Dans tous les cas, on évitera soigneusement d'obs- 
curcir les vérités géométriques par un pur formalisme. 

Les principes et lois concernant la position réciproque des droites et 
plans se traiteront dans l'enseignement de la géométrie descriptive (en 
partie aussi dans le cours préparatoire) et non dans l'enseignement systé- 
matique de la stéréométrie. Si l'on renonce aussi à traiter en détail la con- 
gruence et la symétrie des Irièdres, une fois que les élèves auront fait usage 
des connaissances acquises dans un enseignement précédent (spécialement 
dans la géométrie descriptive) le programme de la stéréométrie de la cin- 
quième classe pourra se faire sans aucune hâte en un semestre, d'autant 
plus que l'enseignement de la trigonométrie prévoit de nombreuses appli- 
cations stéréométriques. Mais l'enseignement sera considérablement sim- 
plifié lorsque l'on tiendra compte davantage des liens étroits qui unissent la 
stéréométrie et la géométrie descriptive ; cela permettra d'éviter de nom- 
breuses répétitions. 

On consacrera une année entière à la goniométrie el trigonométrie, étude 
qui présente aussi de nombreuses applications de géométrie plane et de 
l'espace. Par contre, il ne faudra pas s'égarer dans des transformations gonio- 
métriques compliquées ou dans des problèmes Irigonométriques se résol- 
vant à l'aide d artifices. 

L'introduction des fonctions trigonométriques devra se faire à l'aide de 
problèmes pratiques de planimétrie, en particulier sur le triangle rectangle. 



332 NOTES ET DOCUMENTS 

en se bornant tout d'abord à l'angle aigu. Après avoir acquis les formules 
fondamentales, on les appliquera immédiatement à la résolution du triangle 
rectangle; après cela seulement on continuera la géométrie. En ce qui touche 
aux calculs numériques, on fera bien de s'en tenir tout d'abord aux valeurs 
naturelles des fonctions (dont quelques-unes se trouvent à l'aide de certains 
triangles rectangles) et de n'utiliser les logarithmes de ces fonctions que 
pour les problèmes qui exigeraient autrement des calculs compliqués. 

Le programme de trigonométrie sphérique devra se relier d'une façon plus 
effective aux notions et considérations sur l'angle solide et la sphère étudiés 
en stéréométrie. Ce programme sera compris dans celui de la trigonométrie 
ordinaire en relation avec l'étude du triangle plan (en partie aussi avec celle 
du triangle rectangle). On insistera beaucoup plus sur les moyens d'acquérir 
une grande sûreté dans la résolution des questions de stéréométrie sphéri- 
que, plutôt que sur l'acquisition de formules mnémoniques compliquées tiont 
l'emploi ne serait avantageux que dans des problèmes qui dépassent le cadre 
de 1 activité scolaire. On se contentera du principe des sinus et de celui du 
cosinus, et si parfois l'élève est obligé de recourir à un détour pour arriver 
à la solution d'un problème, il y a cependant une moins grande dépense de 
force et de temps que s'il fallait acquérir tout cet appareil de formules. 

Dans l'étude des puissances et des racines il suffira d'indiquer les quel- 
ques principes simples qui justifient les formules en évitant les démonstra- 
tions étendues des différents théorèmes. 

I/étude de la fonction logarithmique se fera d'une façon plus commode 
par la représentation graphique plutôt que par les tables. A côté du point 
de vue théorique, il faut insister sur l'utilité des logarithmes dans le calcul 
et l'habile emploi des tables (à cinq ou à quatre décimales). 

Quoique dans le programme on ne signale que l'étude des fonctions qui se 
re)icontrent dans l'enseignement mathématique proprement dit, on s'occu- 
pera également des fonctions empiriques qui se présentent particulièrement 
dans renseignement de la physique, et de leur représentation graphique à 
l'aide de courbes (surfaces). Les élèves se rendront compte ainsi du rôle des 
mathématiques dans les phénomènes naturels 

L'étude de la géométrie analytique se trouve préparée dans une large 
mesure par les représentations graphiques des fonctions faites précédem- 
ment ; de sorte qu'il ne s'agit tout d'abord que d'une récapitulation géné- 
rale. On pourra par suite consacrer une plus grande attention aux sections 
coniques, d autant plus que cette étude se lie naturellement aux représenta- 
tions graphiques concernant les équations du second degré. 

Le programme du degré supérieur comprend un nombre relativement res- 
treint de sujets nouveaux et une revision générale de tout le domaine des 
années précédentes. Cette revision ne doit pas seulement constituer une sorte 
d'appendice ; la récapitulation de l'arithmétique, par exemple, se fera sous 
forme d'une étude générale des équations avec les représentations graphi- 
ques qui y correspondent. Puis, à l'occasion de la répétition des progres- 
sions, on introduira la théorie du binôme et des combinaisons qui s'y ratta- 
che. Le repassage de la géométrie analytique se fera à un point de vue 
général en la considérant comme une extension des relations de l'arithmé- 
tique et de la géométrie, relations déjà rendues familici-es aux élèves par 
les représentations graphiques. 

Il faut recommander dans toutes les classes le calcul mental, l'évaluation 
des relations de grandeurs et le calcul avec des nombres particuliers. Pour 



NOTES ET DOCUMENTS 333 

permettre aux élèves d'acquérir une certaine -habileté dans le calcul, il est 
utile que les maîtres des din'érentes branches s'entendent ])Our adoplei- un 
lanj^age et des notaliois uniformes. 

Dans les tlegrés inférieurs, il faut absolument laisser de côté les défini- 
tions formelles des notions .premières îles mathématiques, même dans les 
degrés moyens et supérieurs on devra procéder avec une grande précaution 
surtout pour les notions tout à fait générales et primitives comme la droite, 
le nombre, la grandeur. On se rendra beaucoup mieux compte si l'élève a 
bien saisi la portée de ces notions par l'usage qu'il en fera dans de nom- 
breuses applications plutôt qu'en lui faisant répéter des définitions apprises. 

On voit que les observations précédentes combattent vivement tout forma- 
lisme exagéré dans l'enseignement mathémathique ; elles s'adressent aussi 
tout spécialement à la façon d in-troduire dans l'enseignement le quotient 
différentiel. Il ne s'agit nullement de la difTérentiation systématique des fonc- 
tions élémentaires. Ces premiers principes de difTérentiation (et d'intégra- 
tion) doivent se faire principalement sous forme d'applications sur ce qui 
s'est fait précédemment ; on ne devra pas les présenter comme quelque 
chose de tout à fait nouveau, d'autant plus que l'élève s'en est déjà fait 
une première idée, comme par exemple dans l'enseignement de la physique 
à propos de la vitesse et de l'accélération. Il ne faut donc pas considérer 
ce chapitre comme une nouvelle charge pour l'élève, mais comme un moyen 
d'approfondir, et par cela même de simplifier le champ précédent. 

Le choix approprié des problèmes est d'une importance capitale sur les 
résultats de l'enseignement mathématique. Des problèmes trop difficiles ou 
trop faciles pourront nuire à ces résultats et I on devra éviter tout spéciale- 
ment tous les exemples purement formalistes, les opérations compliquées, 
les constructions et calculs de triangles dont les paramètres de détermina- 
tion sont peu commodes, la résolution d'équations à l'aide d'artifices, etc. 

Les problèmes à traiter sont bien plutôt ceux qui touchent aux difTérentes 
branches de renseignement et qui se présentent dans la vie courante. 

On consacrera deux heures par semaine au dessin géométrique dans la 
deuxième et la troisième classe. On cherchera avant tout à acquérir une 
grande habileté au dessin, ce qui est très important également pour la géo- 
métrie descriptive des degrés supérieurs. Les résultats dépendent en 
grande partie du choix des exercices. Pour le texte on emploiera lécriture 
ronde et pour les figures les caractères d'imprimerie. 

En ce qui concerne le temps à consacrer à l'arithmétique et à la géomé- 
trie, on s'arrangera à ce que l'étude de l'espace dans la première classe 
débute quatre semaines après le commencement de l'année scolaire. A partir 
de ce moment jusqu'à la fin de la quatrième classe on consacrera une heure 
par semaine à la géométrie ; à partir de la cinquième classe, le temps se 
partagera également entre I arithmétique et la géométrie, ordinairement 
d'une façon alternative. Dans la deuxième el la troisième classe le dessin 
géométrique doit être enseigné par le maître do mathématiques tout en étant 
considéié comme une branche à part. 



33i jXOTES et documents 



Dessin g'éoiuëtrique ' et Géométrie descriptive. 

Degrés inférieurs. 

But de l enseis;neincnt : Habileté (laiis le ilessin linéaii-e et dans l'exécution 
des problèmes de constructions géométriques ; représentation d'objets sim- 
ples par projections. 

2"'« classe, 2 heures pai- semaine, en corrélation avec le calcul et 1 étude 
de l'espace, v. le programme de mathématiques. 

3™* classe, 2 heures par semaine, en corrélation avec l'arithmétique et la 
géométrie, v. le programme de mathématiques. 

4mc classe, 3 heures par semaine. 

Représentation des sections coniques en se basant sur les propiiétés de 
leurs foyers. Tangentes en un point sur la courbe et par un point extérieur. 
Relations de position. Dessin de la base et de l'élévation de corps simples 
dans des positions particulières relativement aux plans de projection et en 
cherchant à développer le côté intuitif. Familiarisation des notions de pro- 
jections horizontales et verticales de points, lignes, etc. Détermination de la 
longueur et de l'inclinaison de droites et de la forme de figures rectilignes 
situées dans les plans de projection. Représentation de corps polyédriques 
dans des positions successives après rotation. Elévation et projections obli- 
ques de ces corps ; constructions simples concernant leurs ombres (ombre 
au soleil). 

Degrés supérieurs. 

But de l enseignement : Connaissance des principales lois et des princi- 
paux théorèmes de la méthode des projections orthogonales et des principes 
fondamentaux de la projection oblique et de la perspective y compris leurs 
applications à la représentation d'objets techniques simples. 

5'"e classe, 3 heures par semaine. 

L'enseignement est étroitement lié à celui de la 4'n« classe ; exécution sys- 
tématique des principaux problèmes de géométrie descriptive sur le point, 
la droite et le plan au moyen des projections verticale et horizontale, et 
d'autres projections latérales. Application de ces constructions à la résolution 
de divers problèmes, en particulier à la représentation de prismes et pyra- 
mides réguliers de forme et position données avec leurs ombres ; à l'obten- 
tion des sections planes, de prismes, pyramides et d'autres corps à surfaces 
planes ; intersection de ces corps et déteimination du solide commun dans 
les cas les plus simples. 

6">e classe, 3 heures par semaine. 

Représentation du cercle en projection normale, ombre portée sur des 
plans dans le cas de l'ombre au soleil. Projection oblique du cercle. Princi- 
pales propriétés constructives de l'ellipse considérée comme projection 
normale ou oblique du cercle, déduites des propriétés correspondantes du 
cercle. Représentation de cylindres et de cônes (principalement de cylindres 
et cônes de révolution) et d'autres corps composés, également en projec- 
tions obliques. Plans tangents aux surfaces coniques et cylindriques. Sections 
planes, réseaux et cas simples de pénétration de ces surfaces. Construction 



1 Plus exactement : (le.ssin géométrique dans les classes inférieures (Unterrealschule), géo- 
métrie descriptive dans les degrés supérieurs (Oberrealschule). 



N O T i: s ET DOC U MENT S 3:JÔ 

d'ombres dans le cas de l'ombre au soleil. Elude plus approfondie des sec- 
tions planes du cône de révolution ; déduction des propriétés constructives 
les plus importantes de ces sections. 

Repri'seutalion de la sphère, de ses sections planes et de ses plans tan- 
gents ; construction de la limite de lombre propre et rie l'ombre portée sur 
des plans dans le cas de l'onibre au soleil et do l'ombre au flambeau. 

7'"'' classe, 2 heures par semaine. 

Représentation des surfaces de révolution dont les axes sont perpendicu- 
laires à l'un des plans de projection, plans tangents et section plane. 

Les notions fondamentales de la peispective, autant qu'elles sont néces- 
saires à la représentation d'un objet à surfaces planes donné par ses pro- 
jections normales. 

Répétition et achèvement du programme de géométrie descriptive à l'aide 
de problèmes généraux présentant également un intérêt pratique. 

A partir de la 4">« classe petits exercices à la maison (sur cahier) de 
semaine à semaine. 

Observations. 

a) Remarques générales. 

Ce programme de l'enseignement de la géométrie descriptive nous montre 
que l'on cherche non seulement à développer une certaine habileté de cons- 
truction, indispensable aux études des écoles supérieures techniques, mais 
surtout une connaissance approfondie des représentations de l'espace, néces- 
saire non seulement dans les écoles supérieures, mais aussi dans la vie pra- 
tique. On atteindi-a ce but en insistant davantage sur la représentation des 
corps et eu rattachant les problèmes de construction à cette représentation. 
On ne se bornera pas seulement à considérer les principales formes que l'on 
traite en stéréométrie, mais on s'occupera également des formes de corps 
présentant uu caractère technique. La géométrie d"escriptive dans l'ensei- 
gnement des écoles réaies doit être plus qu'une simple méthode de résolu- 
tion des problèmes purement théoriques de la stéréométrie; il faut surtout 
que les élèves se rendent compte de la valeur de cette branche en ce qui 
concerne la vie pratique. 

Pour la réalisation de ce but il est nécessaire d'insister sur la représen- 
tation intuitive de l'espace et non pas sur ce que les élèves apprennent par' 
cœur diverses méthodes de construction. 11 n'y a qu'un petit nombre de 
constructions fondamentales, qui interviennent fréquemment, comme la dé- 
termination de la longueur d'une droite, le rabattement d'un plan, etc., sur 
lesquelles on s'arrêtera davantage ; on cherchera à les exécuter de la façon 
la plus rapide et avec le moins grand nombre de lignes possible. Pour les 
autres constructions on laissera une plus grande liberté à l'élève qui pourra 
même choisir une méthode plus longue pourvu qu elle conduise au résultat 
voulu. 

Chaque construction doit être accompagnée d'explications concernant la 
ligure de l'espace correspondante. En procédant ainsi l'élève se rendra 
compte peu à peu que c'est la ligure de lespace qui joue le rôle essentiel. 

Il faut accorder une grande attention à l'enseignement du dessin, étant 
donné surtout le peu d heures dont on dispose. Le maître cherchera à 
perfectionner ses élèves dans l'emploi des instruments de dessin, de la 
règle et de léquerre à dessiner et prêchera aussi par l'exemple. Il faut 
recommander tout spécialement que le maître exécute ordinairement lui- 



336 A' O T ES ET DOC C ME XTS 

même les figures au tableau noii-, aussi bien et aussi exatlement que possi- 
ble, à l'aide de l'équerre et du compas. Le dessin à main levée des ligures 
sur le tableau noir doit être évité autant que possible. L'élève doit en eflel 
se rendre compte que ces figures ne sont pas seulement une simple repré- 
sentation des figures de l'espace comme celles qui sont destinées à la démons- 
tration des théorèmes de géométrie, mais que les résultats en ce qui con- 
cerne leur forme et leurs dimensions présentent une grande importance, ef 
que de tels dessins remplacent souvent des calculs com|iliqués ou même 
impossibles à exécuter. La considération de 1 échelle de réduction, suivant 
laquelle les objets réels sont représentés, contribuera à développer cette 
idée. Par des exercices de dessin, on développera le travail individuel. 

Afin d'exposer son sujet d'une façon claire, le maître ne fera usage que 
d'expressions facilement compréhensibles et présentant vraiment une utilité 
directe. La question des notations a également son importance, il faudra 
s'entendre à ce sujet avec l<>s maîtres de mathématiques, les deux branches 
présentant de nombreux points communs. 

b) — Remarques particulières. 

4*"* classe. Pour faire concevoir aux élèves les notions de plan et d élé- 
vation, on placera un paraliélipipède droit, lune des faces parallèle au sol, 
l'autre au tableau noir, et on le fera dessiner par chaque élève, dans la po- 
sition où il le voit, puis comme le verrait un élève placé au fond de la classe, 
puis, enfin, comme il serait vu d'un élève placé à une très gi'ande distance 
et regardant perpendiculairement au tableau noir. On supposera le corps 
transparent. De cette façon, l'élève arrive à considérer l'élévalion d'un corps 
comme son image, telle que la verrait un observateur placé à une très 
grande distance du tableau et regardant perpendiculairement k ce tableau. 
On procédera de la même façon pour la notion du plan. On fera exécuter 
ensuite les projections de prismes et pyramides et de corps composés de 
prismes et de pjramides, puis de cylindres et cônes de révolution et de 
sphères dans les positions les plus simples relativement aux plans de pro- 
jection en utilisant au besoin des modèles. On obtiendra de cette façon les 
propositions les plus simples relatives aux pi-ojectious des droites et des 
surfaces. Ce n'est que lorsque les élèves auront acquis une sûreté suffisante 
dans l'exécution de ces dessins intuitifs qu'on les initiera à leur conception 
purement géométrique, en remarcjuant que les dessins géométriques ne 
correspondent jamais exactement aux objets tels qu on les observe. 

On obtiendra la rotation d'un corps autour d'un axe perpendiculaire à 1 un 
des plans de projection (ainsi qu un déplacement parallèle à l'un de ces 
plansi en utilisant la loi sur les dislances d un point aux plans de projec- 
tion. En répétant cette rotation deux ou trois fois en se servant alternative- 
ment d'axes perpendiculaires aux deux plans de projection, on pourra faire 
occuper à un corps une position quelconque relativement à ces plans et 
obtenir ainsi une représentation du corps qui permet d'en concevoir facile- 
ment la forme. 

On obtiendra le même résultat au moyen de pi-ojections latérales, c'est- 
à-dire par des projections normales sm- des plans perpendiculaires aux 
plans de projection primitifs. Par ce procédé, 1 élève apprend en outre un 
important principe de construction qui lui servira pour la résolution de 
problèmes ultérieurs. Du reste, il faut, dès à présent, habituer les élèves à 
considérer les projections verticale et latérale comme un système de pro- 
jections noi-males au même titre que les projections verticale et horizontale. 



NOTE .s ET DOC i' M E NT S Xi: 

Un excelloiil moyen pour donner aux élt-vcs une représentation claire d un 
corps donné par un système de projections orthogonales, c est de le leur faire 
dessiner en projection oblique. Supposons le corps, ou le système d'axes 
trirectangles qui lui correspond, placé tout d'abord parallèlement aux plans 
de projection ; pour en obtenir une projection oblique, il suffira de savoir 
que les arêtes parallèles se projettent parallèlement et sont réduites dans 
le même rapport. Que le maître n hésite pas non plus à faire exécuter des 
dessins au moyen de l'axonométrie oblique générale, pour lesquels la repré- 
sentation des axes et les rapports de réduction sont choisis arbitrairement. 
11 va sans dire qu'à ce propos on ne s'arrêtera pas sur la démonstration du 
théorème de Pohlke qui justifie ce procédé. L'élève apprendra ainsi à con- 
naître la façon d'obtenir ces figures explicatives qui sont d uà emploi si 
fréquent dans les différentes branches de l'enseignement. 

On appliquera aussi les projections latérales et obliques et les tracés des 
ombres à des objets techniques simples. 

Les notions et propositions de la stéréométrie qui sont nécessaires à 
l'étude des projections trouveront également place dans le programme de 
cette année. Il ne faut cependant pas rester trop longtemps sur la partie 
concernant les relations de position des droites et plans, l'intérêt des 
élèves pourrait en souffrir. Il est bien préférable d'étudier d'abord les 
corps de I espace où de telles relations interviennent et de faire sentir en- 
suite la nécessité d une définition exacte de ces relations. Il ne faudra 
cependant en aucune façon introduire ces notions et propositions tout d'une 
traite, mais on les présentera à mesure que leur utilité se fera sentir. 

5™* classe. C'est dans cette classe que se fait lintroduction systématique 
à la géométrie descriptive : au début, ou s'appuiera constamment sur le 
travail de la 4rae classe, puis on passera peu à peu à une façon de procéder 
plus abstraite. On ne s'arrêtera donc pas trop longtemps, pour commencer, 
au.x diverses positions du point dans les quatre dièdres. 

On considérera la construction des traces d'une droite comme un cas par- 
ticulier de l'intersection d'une droite et d un plan projetant (donné par une 
trace). Les plans non projetants se détermineront par deux droites quel- 
conques, ou par un triangle ou par un parallélogramme plutôt que par leurs 
traces, et les constructions s'exécuteront par le moyen des principales du 
plan (lignes de niveau et lignes de fronl| et non par les traces. Cette manière 
de représenter un plan est plus intuitive que si l'on se sert des traces, elle 
conduit moins facilement à des confusions et se rattache au dessin technique 
pratique dans lequel on n'emploie pour ainsi dire pas les traces. 

En ce qui concerne les chapitres sur les relations des points, droites et 
plans, on se bornera à traiter en détail les problèmes fondamentaux d une 
façon aussi claire que possible et Ion considérera les autres problèmes 
comme exercices sans pousser trop loin l'examen des cas particuliers. Une 
fois les problèmes fondamentaux résolus, on en montrera immédiatement 
les applications concernant les corps à surfaces planes qui ne seront pas 
traités séparément. Par 1 emploi de projections latérales on simplifiera con- 
sidérablement la résolution de beaucoup de problèmes. Il est préférable de 
ne pas traiter les trièdrcs dans cette classe. On répétera et 1 on compléteia 
les propositions de stéréométrie nécessaires au fur et à mesure qu'elles 
interviendront. 

•yme classe. Dans cette classe on s'occupera des compléments suivants : 
Propositions principales de la projection cotée, si on ne les a pas déjà trai- 



338 N OIES ET DOC IMEN TS 

tées dans la S""» classe ; examen de quelques applications pratiques, les 
trièdres (en employant l'angle polaire) et résolution graphique des triangles 
sphériques ; principes concernant la représentation axonométrique ortho- 
gonale des corps et la projection sléréographi(|ue, exécution de la vis. 

Comme applications utiles, il faut rec-ommander la construction de 
cadrans solaires et la représentation orthogonale des sphères terrestre et 
céleste avec leurs principaux cercles, l'axe n'étant pas vertical. 



II. — L'enseignement mathématique dans les écoles réaies 

d'(ij>rès le Rapport^ destiné 
à la Coininission internationale de l enseignement mathématique. 

Nous croyons intéresser nos lecteurs en résumant à cette place le rapport 
que la sous-commission autrichienne i'ient de consacrer aux écoles réaies. 
Ces étahlissements sont soumis à un nouveau plan d'études dont nous avions 
déjà préparé la traduction ci-dessus. 

Le rapport est divisé en trois parties A, B et C. 

A. But de l'exseigne.me.nt .mathé.viatique. Branches d'étude. 

\^ Introduction donne un aperçu rapide des transformations qu'a subi 
l'Ecole réale, depuis sa fondation (1851), sous l'influence des besoins de 
1 industrie. Dans les conditions actuelles des écoles réaies l'enseignement 
mathématique a pour but la pratique des mathématiques élémentaires, y 
compris la notion de fonction, comme préparation aux écoles supérieures ; 
il ne doit pas avoir en vue une culture spéciale, mais contribuer au déve- 
loppement général de l'esprit par la science. 

Les programmes actuels, du 8 avril 1909, qui remplacent ceux de 1899, 
présentent les tendances suivantes : 

1. Adaptation au degré de développement des élèves. 

2. Simplification des cours par un contact plus étroit entre les différentes 
branches, spécialement pour tous les degrés entre l'arithmétique et la géo- 
métrie. 

3. Adaptation complète des études mathématiques aux branches d'ensei- 
gnement correspondantes et aux divers domaines d'application de la vie 
courante. 

4. Compréhension des relations fonctionnelles développées par l'ensci- 
gnenienl mathématique. 

5. Culture de la représentation de lespace étayée sur une activité ma- 
nuelle correspondante (confection de modèles, mesurages, etc.) 

6. Suppression des matières surannées ou reconnues sans intérêt didac- 
tique, des détails insignifiants et de maintes répétitions, renvoi de parties 
détachées dans le programme (voir « Remarques » au sujet du plan normal 
d'étude de 1909). Les tâches ont été simplifiées et trois devoirs imposés par 
semestre (auparavant quatre). Les dispositions au sujet des tâches à faire à 
la maison données d'une leçon à l'autre n'ont pas changé. 



' Der mathematische i'ntcrricht an dcr liealschule von Sc-hiilrat Franz Bergmann fOlmiitz). 
Berichte ùber den inathcinutischcn Unterricht in Oesterreicti. Heft 1. 



N O T E S ET DOC U M E N T S 339 



Jî. Méthodes de l'Enseig.ne.mk.nt mathématique. 

Méthode de renseignement de iiirithinéti(fuc. — Outre les nombreux ou- 
vrages traitant de la méthode d'enseignement des mathématiques, le pro- 
fesseur trouvera des directions très sûres et des instructions didactiques 
dans la publication parue à l'occasion du « projet d'organisation des gyni- 
nases et écoles réaies autrichiens » de l'année 18 19 (voir les normes pour 
les gymnases et les écoles réaies d'Autriche par le D"" v. Makenzellek, I*-'"" 
et II"^"-' volumes), puis dans les Instructions pour l'enseignement dans les 
écoles réaies en Autriche, parues avec les programmes d étude des années 
1879 et 1899. Ces instructions renferment des avis précieux au sujet de 
renseignement daus toutes les branches. Elles contiennent des remarques 
préparatoires sur l'objet et le bql de cet enseignement, sur le programme 
en général, sur les examens, sur les devoirs à faire à la maison et à lécole, 
sur les manuels ; elles expliquent dans une partie spéciale les matières 
d instruction décrites sommairement dans le plan d étude et donnent des 
indications didactiques pour leur mise en pratique. Ce ne sont pas des 
normes lixes, invariables, restreignant l'individualité du professeur ; « elles 
n'ont pas pour but de régler en quoi que ce soit la marche de renseigne- 
ment ou de limiter le professeur éprouvé dans le champ de son expérience ». 
Le maître trouvera des conseils qui lui permettront d'éviter des tâtonne- 
ments, et des erreurs. Les principes du nouveau programme d'étude des 
écoles réaies ont été expliqués par des « remarques » spéciales et com- 
plètent ainsi en partie les instructions de 1 année 1899. 

Les « Instructions pour l'année 1899 » et les « Remarques au sujet du 
programme normal d'études de 1909 » (reproduites plus haut) constituent 
la base de lexposé des méthodes dans le rapport de M. Bergmann. 

Le manuel et le livre d'exercices. — L'enseignement de 1 arithmétique et 
de la géométrie est présenté d'après un manuel clair et méthodique. Celui- 
ci est cependant peu employé dans les leçons. En suivant 1 exposé à la 
planche noire, chaque élève reproduit dans un cahier tous les théorèmes, 
les règles et les exemples énoncés. Ce cahier, dont la tenue est contrôlée, 
constitue la base de l'enseignement dont il est la lidèle reproduction. 

Dans les classes inférieures, le manuel est surtout un livre d'exercices 
avec des notions concises et de cotirtes règles. Plus scientifique dans les 
classes supérieures, il contient tons les théorèmes et les exercices néces- 
saires, l'élève consultera à toute occasion ce guide pratique. 

Exercices à domicile. — Ce sont des exercices qui doivent être à la por- 
tée de tous les élèves ; ils- se donnent d'une leçon à l'autre d'après les pro- 
blèmes faits en classe. Au début de la leçon, le professeur parcourt et vé- 
rifie quelques-uns des cahiers d'exercices ; il interroge plusieurs élèves, 
soit en leur demandant des résultats, soit en leur faisant résoudre à la 
planche noire l'exercice avec d antres données. 

Modèles pour l'enseignement géométrique. — L'observation et le modèle 
sont à la base de l'enseignement du degré inférieur. Un cube d'environ 25 
cm. de côté sert pour la théorie des formes, comme point de départ de 
l'enseignement par les yeux ; il pourra être constitué par des bâtons en 
bois et un carré de carton. Le compas et le livre de classe donnent langle 
dans le plan ou l'espace. Les divers triangles, quadrilatères, polygones, 
cercles et secteurs avec les hauteurs, diagonales, lignes de symétrie et dia- 



340 NOTES ET DOC U ME N TS 

mètres sont faits avec des planchettes découpées, utilisées à l'instar d'une 
carte muette de géographie. Des modèles de pyramides et de prismes (hau- 
teur d'environ 30 cm.) : de la pyramide tronquée à 4 côtés avec son complé- 
ment, du cylindre et du cône circulaiies et de leurs dérivés, du cône tron- 
qué avec son complément, de la sphère, de la demi-sphère, des sections, 
segments et secteurs de sphère. 

Des modèles en bois ou en fil de fer pour la 11'"'^ classe représentent 2 
points, 2 lignes ou 2 triangles symétriques par rapport à une droite ou un 
plan, le cube, le prisme carré, la pyramide carrée avec leurs plans symé- 
triques, enfin la sphère avec équateur, parallèles el méridiens. Le trièdre 
et son origine, les angles congruents, les pyramides et prismes droits et 
obliques, les cônes et cylindres ainsi que les polyèdres réguliers sont re- 
présentés par des modèles en carton ou en bois. 

Dans la III">« classe, on utilise par exemple des modèles pour des figures 
équivalentes eu surface, telles que les parallélogrammes, triangles, trapèzes, 
rectangles; pour le théorème de Pythagore; pour le principe de Cavalieri ; 
pour la formule du cube des pyramides pai- la décomposition du prisme à 
3 côtés ; pour la surface du carré, pour le volume d'un cube-dont ou double 
ou triple le côté ou la face. Dans les classes supérieures, les modèles sont 
remplacés par la perspective et les projections. Pour la trigonométrie sphé- 
riquc on utilise un grand globe sur lequel on peut dessiner à la craie. Les 
appareils des collections réservées à l'enseignement de la physique servent 
aussi pour la représeulation des problèmes d'astronomie. 

C. E.KAMENS. 

Examen d'entrée. — C'est le premier e.xamen qu'a à subir le garçon de 
10 ans en entrant à l'école réale. 

L'examen de calcul écrit et oral comprend les nombres (écriture et lecture), 
les quatre opérations fondamentales avec nombres entiers ou décimaux 
simples. 

Examens d'orientation et de classement. — L'administration de l'ensei- 
gnement public a publié, par ordonnance du 11 juin 1908, des prescriptions 
pour un nouveau règlement des examens dans le but de simplifier les 
épreuves et les classifications. 

Les examens imposés dans les écoles moyennes sont ceux d' « orienta- 
tion » et de « classement ». Le but principal des premiers est le travail en 
commun, par le professeur et les élèves, des matières enseignées. L'examen 
d'orientation permet de revoir attentivement les diverses leçons, de les con- 
sidérer à plusieurs points de vue, de les relier entre elles et de les répéter 
concurremment. 

L'examen de classement par contre, passé après étude complète d\tn su- 
jet, permet au professeui- de juger des connaissances acquises par l'élève, 
surtout au point de vue scientifique. 

L'examen de maturité. — Le principal but de cet examen est la preuve 
de la maturité el du développement suffisant de l'inlelligeuce, permettant de 
commencer des études scientifiques telles que celles des Ecoles techniques 
supérieures. Tandis que les examens de classification cherchent à établir dans 
quelle mesure les élèves possèdent une partie déterminée des matières en- 
seignées, l'examen de maturité, par contre, embrasse l'ensemble des con- 
naissances acquises par l'élève à 1 Ecole réale supérieure. 



NOTES ET DOCUMENTS 341 

Le iiouve;iu décret concernant ces examens date dn 2*( février 1908. Il 
insiste snr le bnt de l'examen de maturité qui ne doit pas être un examen 
portant sur des détails, mais uniquement sur la culture générale acquise, 
sur le développement intellectuel atteint par le candidat. 

La commission d'examen se |)rononce d'après I impression d'ensemble des 
épreuves orales qui sont précédées d'épreuves écrites et en tenant compte 
des notes trimestrielles de la- dernière année. Lorsqu'un candidat échoue, il 
peut se présenter une seconde fois au bout d'un semestre ou d'une année ; 
mais il ne peut s'inscrire plus de deux fois à l'examen. 



Cours universitaires. 

ÉTATS-UNIS D'AMÉRIQUE 

Cours annuiicés pour l'année unis'ersitairc 1910-1911. 

University of Chicago (summer quarter, June 20 to September 2). — l'rof. 
E. H. MooRE : General analysis, 4 hours; Seminar on ihe foundations of 
mathematics, 4; Graphical methods in algebra, 4, ail second term. — Prof. 
L. E. Dickson : Theory of substitutions, 4 ; DiH'erenlial calculus, 5. — Prof. 
J. W. A. YouNG : Critical review of secondary mathematics, 4; Advanced 
algebra, 5. — Prof. G. A. Bliss : Functions of a complex variable, 4; Mo- 
dem analytic geometry, 4. — Prof. E. J. Wilczynski : Projective differen- 
tial geometry, 4: Intégral calculus, 5; Synoptic course in mathematics, 5. 
— Prof. A. L. Underhill : Differenlial équations, 5; Plane analytic geome- 
try, 5; Collège algebra, 5. 

Courses announced for the académie year 1910-1911. — Prof. E. H. Moore : 
Introduction to gênerai analysis : Theory of functions of infinitely many va- 
riables; Intégral équations in gênerai analysis; Seminar on the foundations 
of pure mathematics : each 2 hours throughout the year. — Prof. L. E. Dick- 
son : Finite groups, 4 h., I^t term; Général algebra, 4 h., 2"<1 term; Qua- 
dratic forms, 4 h.. 3'"'I term. — Prof. F. R. Moultok : Modem théories of 
analytic dillereutial équations with applications to celestial mechanics, 4 h., 
ali 3 lerms. — Prof. E. J. Wilczynski : Theory of plane curves, 4 h., 
l**' term; Projective dilFereutial geometry ol ruied surfaces and space curves, 
4 h., 2"'' term; Projective diCferential geometry of non-ruled surfaces and 
congruences, 4 h., 3"! term. — Prof. K. Laves : Analytic mechanics, 4 h. 
Ist and 2"'! terms. — Prof. H. E. Slaught : Differential équations, 4 h., 
l^t term. — Prol. G. A. Bliss : Elliptic intégrais, 4 h., 2"^ term; Theory of 
definite intégrais, 4 h., S""^ term; Fundamental existence theorems, 2 h., 2'>'' 
and 3'"<' lerms. — D"" A. C. Lunn : Hydrodynamics. 4 h., !«' term; Differen- 
tial équations of mathematical physics, the conduction of beat, 4 h., S^d term. 

Columbia University, New-York. — Prof. T. S. Fiske : Theory of func- 

lions of a roal variable, 3 h. : Functions defined by linear differential équa- 
tions, 3 h. — Prof. F. M. Cole ; Theory of functions of a complex variable, 
3 h. ; Theory of plane curves, 3 h. — Prof. James Maclay : Differential 
ecjualions, 3 h., 2'"' half-year ; DifTerenlial geomefiy, 3 h.. 2"'Mialf-year. 



3i2 NOTES ET DOCUMENTS 

Prof. D. E. Smith : Hislory of malliemalics, 2 h. ; Seminar in tlie history 

aiid leaching of inatheinalics. — Prof. C. J. Keyser : Modem théories in 
geometry, 3 li. : Principlcs of nialhcmatics, 3 h. — Prof. Edward K.\sner : 
Vector Ànaly.sis. 2 11., l»' lialf-year; Geomelry of differential équations, 2 h. 

Cornell University, dlhaca. Xew-Yorkl. — Prof. J. McMahon : Theory of 
probabililies, 2 ; Vcclor analysis, 2. — Prof. J. H. Taxner : Theory of equa- 
tious, 3. — Prof. J. I. HiTCHiNSON : Theory of functious of a complex varia- 
ble, 2. — Prof. V. Smder : Descriptive Geonietry, 3 ; Birational transfor- 
mations, 2, fîrst term. — Dr. F. R. Sharpr : Mechanics, 2. — Dr. W. B. 
Carvfr : Advanced ralculus, 3. — Dr. A. Ranum : Theory of groups, 2. — 
Dr. D. C. GiLi.KSPiE : Dilferenlial geonietry, 2. — Dr. C. F. Craig : Appli- 
cations to mechanics and physics, 2. — Dr. F. W. Oweks : Differential 
équations, 2. — Dr. J. V. McKelvey : Advanced analytic geonietry, 3. — Dr. 
E. E. Sii.vekman : Algebra of logic, 2. 

Johns Hopkins University iBaltimorel. — ProE F. Morley : Higher geo- 
nietry. 3 hours. lirst half year; Theory of functions. 3 hours, second half- 
year. — ProE A. Cohen : Differential équations, 2; Calculas of variations, 
2, first half-year. — ProE A. Coble : Theory of groups, "2; Theory of pro- 
baljililies. 2. second half-year. 

University of Illinois. — Prof. S. W. Shattuck : Differential équations, 
3 hours, first seinester. — ProE E. J. Townsend : Theory of functions of a 
complex variable, 3. — ProE G. A. Miller : Higher algebra, 3 hours, first 
semester : TVieory of groups, 3. — ProE E. J. Wilczynski : Synoptic course, 
3; Differential geonietry, 3. — Prof. H. L. Rietz : Actuarial theory. 3 hours, 
first seinester; Theory of statistics, 3. — ProE J. W. Young : EUiptic func- 
tions, 3. — ProE C. H. SisAM : Algebraic surfaces, 3. — D' A. R. Cra- 
thorne : Advanced calculus, 3 hours, second semester; Theory of linear dif- 
ferential équations, 3. — D"" R. L. Borger : Projeclive geometry, 3. — 
Df G. E. Wahlin : Partial differential équations, 3 bouts, second semester. 
D"" T. BucK : Solid analytic geometry, 3 hours, second semester. 

Siiminer of 1910. — Prof. G. A. Miller : Theory of équations and déter- 
minants, 5 hours; Elementary theory of groups. 3. — D^ E. H. Eytle : 
Teachers' course, 5. — D"" G. E. Wahli.n : Differential équations, 5. 

Indiana University. — ProE S. C. Davisson : Advanced calculus (a, «'. s). 
3 h. ; Fourier séries \a], 3 h. ; Fundamenlal concepts of mathematics («', s), 

2 h. — ProE D. A. Rothrock : Systems of geometry (a, w), 3 h. ; Calculus 
of variations (s. .smi, 3 h. ; History of mathematics («'), 3 h. — ProE U. S. 
Haxna : Theory of numbers (a\, 3 h. ; Substitution groups and Galois theory 
(w, s), 3 h. — .Mr. K. P. Williams : Functions defined by differential équa- 
tions (rt. tri, 2 h. ir/. Il', s. sin = autumn, winter. spring, summer.) 

Princeton University. — Prof. H. B. Fi.nk : Theory of algebraic numbers, 

3 hours, lir^l terni. — ProE H. D. Tiio.mpson : Coordinate geometry, 3. — 
Prof. E. P. Eisenhart : Mechanics, 3; Differential geometry, 3. — ProE O. 
Veblen : Linear groups and invariants, 3, second term ; Projective geometry, 
II, 3 hours, first term; Projective Geometry, I, 3. — ProE G. D. Birkhoff: 
Differential équations, 3; Differential équations of physics, 3. — Prof. E. 
Swift : Theory of functions of a complex variable, 1,3. — Prof. J. H. McL. 
NVedoirblkn : Theory of functions of a complex variable, II. 3, second term. 

Yale University, iNew-Haven, Conn.) — Prof. J. Pierpont : Abelian func- 



\ y A" .s- /: r nor u m e y r s ;i \ :i 

lions, 2; l'Iiormodyiiauiics, 2; Thooi'y of liinctious ot' a coniplex variable, 2 ; 
MoiliMii aiialytic goomoliv. 2. — Prof. P. V . Smith : Geometrical aiialysis, 1 , 
DilliM-enlial i^oumotry, 2 : Kloiueiitary diliVrcntial geometry, 2. — Prof. E. 
W. lÎRow.N : l'ioinontary mecliaiiics, 2, Advanced ineclianics, 2; Advanced 
calciilus, 3. — Prof. W. R. Longley : Calculus of variations, 2; Polen- 
tial iheory and harmonie aualysis. 1. — Dr. A. W. Graxville : Klenienlary 
dillorential équations. I. — Dr. G. M. Conwell : Fiuile groups, 2: Partial 
diirerential équations of pliysics, 1. — Dr. G. F. Gundei.finger : Advanced 
analvtic geouielry. 2. — Dr. 1). D. Lfib : Transformations of space. 2. 

ITALIE^ 

.innée itni\t'rsitaire 1910-1911. 

Bologna ; l'nîs'ersilii. — Arzela : Integrali di Lebesgne ; raeccanica supe- 
riore, .'!. — Donati : Elettroniagnetismo : equa/ioni pei corpi in moviinento 
dal punto di vista del postuiato di relatività, 3. — Pincherle : Operazioni 
lineari in générale, equazioni integrali ; equazioui diflerenziali lineari con 
riguardo spéciale aile equazioni del second'ordine (nel canipo coniplesso e 
nel i-eaie), 3. 

Catania ; Univcvsità. — Dk FRA.\H;nis ; Geometria ditl'erenziale con appii- 
cazioni alla geometria noneuclidea, i. — Lalricella : Teoria dellelasticifà . 
applicazioni varie, 4. — Peninacchietti : Meccanica céleste. 4. — Severim : 
Teoria délie funzioni, '\. 

Genova ; Vniversità. — Luvi -, Fondamenti délia teoria délie funzioni di 
variahile reale ; calcolo délie variazioni. 3. — Loria : Teoria dei gruppi di 
trasforniazioni. 3. — Tedo>k : Probleiui speciali di equilibrio c di niovi- 
nicnto dei corpi solidi elastici. 3. 

Napoli ; Università. — Amodeo : Sloria dellevo antico llno al 1200, 3. — 
Marcolo.m'.o : Omografie vettoriali e loro applicazioni allldronieccanica. 
ail Flasticità. ail Flettrodinaniica. 3. — Montesa.no : Teoria délie corrispon- 
denze biraziouali nello spazio ; la geometria délia retta e délie coniche nello 
spazio, \ '/a. — Pascal : Equazioni diflerenziali specialmenle iu rapporte 
alla teoria ilei gruppi di trasforniazioni. — Pi>iTO : Ottica (Isica con spéciale 
riguardo ai fenonieni di diflVazione. i '/a. — Torem.i : Teoria analitica dei 
numeri (série di Dirichlet, fuuzione Ç/.si di Rieinann, distribuzioue dei nu- 
mcri primi), 4 '/î- 

Padova ; Università. — D'Arcais : Teoria générale délie funzioni di varia- 
bili complosse ; funzioni ellittiche, 4. — Cisotti : Teoria malemalica dd- 
l'elasticità ed ap|ilicazioni tecniche. 3. — Favaro : La letlura délie male- 
matiche nello Studio di Padova dal secolo XIV" al XVII", 3. — Gazzamga : 
Teoria dei numeri, 3. — Lkvi-Civita : Meccanica statistica, teoria cinetica 
dei gas, 4 '/j. — Ricci : Metodi di calcolo dilTerenziale assoluto ; funzioni 
armonicbe e poliarmoniche ; teoria générale délia elasticità. 4. — Severi : 
Teoria délie funzioni algebriche di due variabili e dei loro integrali, 4. — 
Veronese : F"ondamenli di geometria, 4. 



' Les cours goni'i-aiix (lois que ceux d.Xnalyse .«Ijjcbriqiio cX iniinitésininle. do Goométrii' 
analytique, projoctivo. dosoriptive. Mécanique rationnelle. Géodésiel no sont |>as indiques 
dans la liste. 



34i BIBLIOGRAPHIE 

PalermO ; i'niversitd. — Bagnera : Eqiiazioni aile derivate parziali di se- 
condo ordine, 3. — Gebbia : Yibrazioni dei niezzi elaslici ; applicazioni al- 
1 acustica e ail ollica, 4*2 — Guccia : Teoria générale délie curve e délie 
superficie algebriche, « '2. — Yenturi : Moto dei pianeli altorno al sole ; 
moto dei pianeti atlorno al proprio centro di gravita, 4 '/a. 

Pavia ; Universilà. — Almansi : Teoria délia propagazione de! calore, 3. 
— Berzoi.ari : Georaeiria sopra una curva algebrica. 3. — Gerbaldi : Fun- 
zioni ellitliche, 3. — Vivanti : Teoria délie fiinzioni con applicazioiie aile 
trascendenti intiere, 3. 

Pisa ; Università. — Bertini : Proprietà fondamentali délia geometria so- 
pra una superficie, 3. — B:a.\chi : Preliminari sulle equazioni differenziali 
ordinarie ed a devivate parziali ; geometria inlinitesimale délie curve e délie 
superficie, 4 */2. — Dini : Funzioni di variabile compiessa ; funzioni ellittiche, 
4 '/î- — Maggi : Complementi di meccanica attinenti al metodo di Hamilton- 
Jacobi : teoria délia funzione potenziale e délie funzioni armoniche ; teoria 
dei campo vettoriale ; applicazioni, 4 '/s — Pizzetti : Interpoiazione e inte- 
grazione numerica ; generalilà di astrononiia sferica ; teoria délia figura dei 
pianeti, 3. 

Roma; UnU'ersità. — Bisconcini : Geometria difrerenziaie e question! di 
meccanica che vi si coUegano. 3. — Castelnuovo : Principi della geometria ; 
geometria non euclidea, 3. — Orlando : Fondamenti analitici della fisica 
matematica, 3. — Voltera : Equazioni della fisica matematica, 3. — Teorie 
di integrazione délie equazioni diflerenziali della niecauica céleste, 3. — 
X. N. : Aiialisi superiore, 3. 

Torino ; Università. — Boggio : Teoria délie equazioni integrali e dei 
potenziale, 3. — Sanma : Geometria non euciidea, 3. — Segre : Geometria 
deile Irasformazioni birazionali délie curve e superficie algebriche, 3. — 
SoMiGLiANA : Teoria dei potenziale ed applicazioni, 3. — X. X. : Analisi su- 
periore, 3. 



BIBLIOGRAPHIE 



p. Bachmann. — Niedere Zahlentheorie, Zweiter Teii : Additive Zahlen- 
theorie. — 1 vol., gr. in-8", X et 480 p., prix: M. 17, relié; B. G. Teub- 
ner, Leipzig '. 

Ce terme un peu vague, mais commode, d' n Additivc Zahlentheorie » que 
1 on doit à Kronecker, s'applique à un domaine très étendu qu il serait dif- 
ficile de délimiter d une manière précise. On peut cependant y distinguer 
deux champs d'études, deux groupes de problèmes appartenant à des types 
différents. Dans tous on a à faire à des sommes ; mais si dans certaines 
questions les addendes, qui servent d'éléments, sont supposés connus, dans 
d'autres, de beaucoup plus nombreuses et d'un abord plus difficile, il s'agit, 



' Le premier volume a été analysé dans YEnscigii. malhéin. du 15 mars 1903. 



HI H l,IO(: ItA PU I E 3'i5 

en remontant des sommes aux addcndes, de doroniposcr un nombre en élé- 
ments vérifiant un ensemble de conditions données. Quelques-uns de ces 
problèmes nous ont été légués par les anciens, un grand nombre ont été 
posés par Fermât, mais c'est le nom d'Kuler qu'on trouve à la tête de la 
plupart des travaux entrepris dans celte voie. Avec une patience iniînie, 
M. Bachmanu a Touillé tous les recoins de ce vaste domaine, et en reliant 
entre elles les recherches dispersées jusqu'ici dans les revues et les traités 
et cataloguées sous des noms did'ércnts, il a réussi à y introduire l'unité qui 
y faisait défaut. 

Nous avons dit que les recherches réunies par M. Bachmanu appartiennent 
à deux types différents. Celles du premier type sont exposées dans les deux 
premiers chapitres du livre intitulés : « Bildung der Zahlen auf additivem 
Wege » et « Rekurrenle Zahlenreihen ». Dans ces chapitres les termes des 
sommes dont on étudie les propriétés sont donnés soit directement, soit à 
l'aide de relations récurrentes. En prenant comme point de départ les termes 
des progressions arithmétiques, M. Bachmanu obtient d'abord, par la con- 
sidération de leurs sommes, les nombres polygonaux, à la suite desquels 
viennent se ranger des nombres d'une nature plus complexe. L'élude des 
sommes des puissances semblables des premiers nombres entiers l'amène à 
s'occuper des fameux nombres de Bernouili et d'Euler qui on fait l'objet de 
tant de remarquables travaux. Après avoir mis en relief leurs propriétés les 
plus connues, il établit les belles relations arithmétiques données par 
Kummer dans le t. 41 du Journ. f. Math, et les théorèmes de Lipschitz et 
de V. Staudt-Clausen. Tous ces nombres particuliers appartiennent à la ca- 
tégorie très élendue des suites définies à l'aide de relations récurrentes, 
dont M. Bachmann esquisse la théorie dans le chapitre suivant, en s'arrêtanl 
surtout sur les suites du second ordre de Lucas qui ont donné lieu à tant 
de belles et importantes applications et qui comprennent comme cas parti- 
culiers les nombres de Fermât, de Fibonacci et de Dupré, habituellement 
connus sous le nom de nombres de Pell. 

Tout le reste du volume est consacré à l'étude des problèmes inverses 
l'elatifs à la décomposition des nombres en sommes d'une forme particulière. 
Ici, l'intérêt principal est concentré depuis Euler non pas sur les décompo- 
sitions mêmes, mais sur le nombre des solutions possibles. L'étude du cas 
le plus simple où ce problème se traduit par des équations indéterminées 
du premier degré a été poussée très loin, grâce aux recherches de Cayley, 
Sylvester, Vahlen et v. Sterneck, basées comme celles d'Euler sur le déve- 
loppement des produits en séi'ies. Du reste dans cet ordre de recherches 
les procédés purement arithmétiques semblent insufOsaiits ; déjà dans la 
théorie des nombres de "Bernouili M. Bachmann a dû s'appuyer sur des 
développements en séries. Mais ici le rôle de l'analyse s'accentue ; il prend 
une importance encore plus grande dans l'étude des problèmes qui se tra- 
duisent par des équations indéterminées non linéaires. 

Ces difficiles questions sont abordées dans le chapitre Vil, consacré à la 
théorie de la décomposition en sommes de puissances semblables. Nous 
pénétrons daus un domaine très beau. En traitant de la décomposition en 
carrés, M. Bachmann nous fait connaître quelques-unes des célèbres for- 
mules de Jacobi et les recherches de Vahlen qui le conduisent au théorème 
classique sur la représentation des nombres par une somme de quatre car- 
rés. Est-il possible de généraliser ce résultat? Est-il vrai que tout nombre 
enlioi- est, comme le pensait Waring.'décomposable en une somme de puis- 

L'Enseigneinent niiithém., 12" année ; 1910, 2k 



346 fil H I.I OC, 1{ AP H I E 

sances /h'*™»» dont le nombre inaximuni ne dépend que de m? M. Hilberl 
vient récemment de trancher la question dans un mémoire des « Xaclir. d. 
Goll. ijes. » 1909, reproduit avec quelques modifications dans le t. 67 des 
« Matli. Annal. », mais les principes de celte belle démonstration appar- 
tiennent à une région trop élevée pour avoir pu trouver place dans l'excel- 
lent ouvrage de M. Bachmann. On y trouve en revanche un aperçu détaillé 
des recherches antérieures. — de Liouville à NVieferich — relatives à des 
cas particuliers. 

Un long chapitre est consacré aux célèbres formules que Liouville a don- 
nées sans démonstration dans une longue suite d'articles publiés dans le 
./. de Math, et dont une grande partie ont été établies par P. Pépin et tout 
récemment par Meissner. M. Bachmann en fait des applications intéressantes. 

Enfin, le dernier chapitre du livre est consacré au dernier théorème de 
Fermât sur lequel s'est portée de nouveau lattention des mathématiciens. 
On y trouve des indications intéressantes sur les méthodes appliquées à 
1 étude de ce grand problème. 

Mais je ne saurais énuniérer tous les sujets abordés dans le second vo- 
lume de la M Niederen Zahlentheorie » : tantôt creusés jusqu'au fond, tantôt 
simplement effleurés, ils sont traités avec une science et une érudition hors- 
ligne. L'excellent ouvrage de M. Bachmann s impose à l'attention de tous 
les mathématiciens. D. Miri.ma^off (Genève). 

Gùnther Bugge. — Strahlungserscheinungen u. Radioaktivitât (Bûcher der 
Nattirwissenschaft heransgegeben i-on Siegmitnd Giintkeri. — 1 vol. in-16. 
relié; 80 Pf. ; Phil. Reclam, jun., Leipzig. 

L'auteur a réuni dans ce petit opuscule les notions essentielles concer- 
nant les phénomènes des décharges électriques à travers les gaz et la radio- 
activité, ainsi que les effets connexes. L'exposé, d'un caractère purement 
descriptif, est clair; il est très condensé en raison même du caractère de 
cette collection. Le mathématicien qui voudra se renseigner rapidement sur 
ce sujet éminemment actuel, trouvera son compte dans ce petit ouvrage et 
saura sans doute gré à son auteur, fort bien informé, même sur des travaux 
très récents, à quelques exceptions près (rayons magnéto-cathodiques, par 
exemplei. A. Perrier (Leyde). 

J. BojKo. — Neue Tafel der Viertelquadrate aller natûrlichen Zahlen von 

1 bis 20000 zur Bildung aller môglichen Produkte im Bereiche 1. 1 bis 

10000. 10000. — 1 fasc. de 20 p. ; 1 fr. 50; Speidel, Zurich. 

Dans les applications de la théorie des moindres carrés il arrive souvent 

aux techniciens et aux astronomes d'être appelés à former des carrés et des 

produits. Les calculateurs ont sans doute été souvent amenés à établir, 

pour leur usage personnel, des tables qui leur permettent d'opérer plus 

rapidement. Un bon nombre de tables pareilles ont été publiées, mais les 

plus nouvelles ne sont pas toujours meilleures. 

Celle que nous avons sous les yeux semble répondre à un réel besoin. Je 
l'utilise de préférence à d'autres pour les calculs numériques de certains 
problèmes ; il va sans dire qu'elle ne peut pas convenir à tous les calculs, 
ce qu'on ne pourrait du reste exiger d'aucune table. Elle présente cependant 
l'avantage de convenir à des usages très variés tout en étant très condensée. 
En outre, le texte et les exemples permettent à chacun de se familiariser 
rapidement avec le maniement de ces tableaux. D'un prix très modique. 



m H l.l Oi.HA PII 1 1: 3'i7 

celle table se i-econiniamle é^alcmont par une ilispositioii très favorable des 
tableaux numériques. S. Maudf.rli (Soleure). 

B. Lrfebure s. J. — Cours d'Algèbre élémentaire à l'usage des cours 

nioveus et des classes d Himiaiiilcs. U'- cilii idn I11-8" l21-"2'i I de VIII-608 p. 

it Recueil d'exercices et de problèmes d'Algèbre élémentaire. 'M édition. 

In-8^' (21-111 280 p. ; 2 li-. ÔU. Dessain. Liège: Gaiilliier-Villars, Paris. 

Cet ouvrage présente, disposées dans leur plau normal et traitées avec les 
développements suffisants, les matières cjui 1 entrent dans le cadi-e tradition- 
nel de 1 Algèbre élémentaire. 

On a réuni en Appendice les questions étrangères au programme liabilnel 
des cours moyens ; le Binôme de Newton, aisément traité par les simples règles 
de la multiplication, les notions premières et toutes pratiques de la Théorie 
des déterminants, etc. On a, d'ailleurs, marqué d astérisques, dans toute la 
suite de lOuvrage, les matières que le professeur de Mathématiques dans 
les classes d'humanités peut, avec le moins d'inconvénient, faire omettre 
par ses élèves, soit dans une première étude, soit même peut-être définiti- 
vement. On a revu avec un soin particulier les chapitres consacrés aux ques- 
tions d'Algèbre financière; ces théories, relatives aux intérêts composés et 
aux Annuités, aux Rentes viagères et aux Assurances, intéresseront d'autres 
lecteurs encore que les élèves des cours élémentaires. Dans cette présente 
édition, la Table de survie, qui ouvre 1 étude des opérations viagères, est la 
Table belge HF (1904|, dressée par l'Actuariat de la Caisse générale d'Epar- 
gne et de Retraite. Le volume se termine par un choix très considérable de 
questions, extraites du Recueil d Exercices et de Problèmes, et par de nom- 
breuses Tables numériques. 

Le Recueil d exercices contient plusieurs milliers de questions, munies 
très souvent de leur clef de solution et accompagnées fréquemment de ren- 
seignements historiques. On a consacré de nombreuses pages aux exercices 
sur les Déterminants, sur les Maxima et les Minima, sur les questions d'in- 
térêts composés et sur les Opérations viagères. Les Tables numériques et 
le Formulaire d Algèbre qui figurent à la fin de ce volume, ont subi, dès la 
seconde édition, des améliorations et des additions qui ne sont pas, croyons- 
nous, sans utilité. Des additions, parfois importantes, ont été faites presque 
à chaque page dans cette troisième édition. 

Nous signalons ce Recueil aux professeurs désireux d'augmenter leur col- 
lection d exercices. Nous y renvoyons aussi l'élève qui a le goût des ques- 
tions intéressantes de Mathématiques. 

C. ScHOY. — Beitrâge zur konstruktiven Lôsung sphàrisch-astrono- 

mischer Aufgaben. — l vol. iu-8'\ iU p. avec li lîg. et 8 planches ; 

1 M. 60 ; B. G. Teubner. Leipzig. 

Tous ceux qui enseignent la trigonométrie plane et sphérique sauront gré 
a M. Schoy d avoir réuni et présenté sous une forme très accessible un cer- 
tain nombre fie problèmes d'astronomie sphérique. Parmi les problèmes 
classiques, ils y trouveront, entre autres, le remarquable problème de la 
construction des cadrans solaires d'après la méthode; des projections nor- 
males. L'auteur le présente sous une forme un peu différente de lexposé 
habituel et d'une manière extrêmement claire. Signalons également un bel 
exposé de la résolution graphique du problème de Douves. 

S. Maiderli (Soleure). 



3'i8 HIBLJOC.RAPHIE 

ScHVLTE-TicGEs 11. Mehi.ek. — Dic Hauptsâtze der Elementar-Mathematik. 

— Ausgabe B : Unterslufe. fur dio iinlorcn uiid niilderen Klassen der 
Vollanstiillen niid die Nichvollanslallen. 1908, relié, 2 Mk. — Oherstufe. 
fiir die obereii Klassen der Vollanslalteii, 3 vol.," I : Synihetische Géo- 
métrie der Kegelschnitle in engsler Verbindung mil neuerer und darstel- 
lender Géométrie; relié, 1 Mk. 50. — II: Arilbmelik, Trigonométrie, 
Stéréométrie: reliés. 1 Mk. 50. — III : Funktionale Géométrie Igraphische 
Darstellung von Funktionen, Analytisciie Géométrie der Ebene, Grundzùge 
der Differentiai- und Integrairechnungl ; relié, 1 Mk. 50. — Reimer, Berlin. 

Très répandu en Allemagne, notamment en Prusse où on l'a introduit dans 
plus de cent établissements, cet ahvégé de mathématiques mérite d être 
signalé au.v professeurs de l'enseignement secondaire d'autres pays. Il se 
recommande par ses qualités de clarté et de concision et par les problèmes et 
exercices qui accompagnent chaque sujet. Ou ti'ouve ci-dessus l'énumération 
des différents petits manuels qui embrassent lensemble des mathématiques 
des écoles secondaires supérieures, depuis l'Arithmétique et la Géométrie 
jusqu'aux éléments de Géométrie analytique et de Calcul différentiel et 
intégral. 

F. ScHUK. — Die Grundiagen der Géométrie. — 1 vol. in-S», 192 S; relié 
7 M. ; B. G. Teubner, Leipzig. 

Depuis que les mémoires fondamentaux de Hilbert ont ouvert de nou- 
velles voies aux recherches sur les fondements de la géométrie, on a publié 
de nombreux exposés systématiques de cette partie à la fois importante et 
intéressante de la géométrie. Dans le présent Ouvrage, l'auteur applique les 
méthodes modernes à un exposé des fondements de la géométrie dont le choix 
des axiomes se rapproche, dans une certaine mesure, des travaux de Pasch 
et de Peano. Après avoir introduit le postulat de la projectivité, il démontre 
le théorème des trièdres perspectifs et obtient ainsi les fondements qui lui 
permettent d'introduire les éléments idéaux. On est alors amené au théo- 
rème de Desargues sur les triangles perspectifs. Les postulats du mouve- 
ment conduisent à une démonstration originale du théorème de Pascal au 
moyen de 1 hyperboloïde à une nappe ; ils fournissent également les notions 
d'orthogonalilé de deux droites et la détermination du système polaire ab- 
solu dans le plan. Le théorème fondamental de projectivité une fois dé- 
montré, le calcul des segments projectifs conduit à une métrique générale 
(non-euclidienne). Celle-ci permet d'établir d'une manière particulièrement 
simple les formules de trigonométrie. Le volume se termine par un examen 
approfondi du postulat des parallèles et du postulat d'Archimède. 

Cet intéressant exposé est accompagné de nombreuses figures qui en fa- 
cilitent la lecture. 

Nous saisissons cette occasion pour informer déjà maintenant les profes- 
seurs des écoles moyennes suisses, que la commission chargée par la So- 
ciété suisse des professeurs de gymnase d organiser des cours de vacances 
a obtenu le concours de M. le professeur Schur. Les conférences auront 
lieu à Zurich du 9 au 14 octobre 1911. M. Grossma.nx (Zuricli). 

R. SippANTscniTscH. — Lehrbuch der Géométrie fiir Gymnasien und Real- 
gymnasien. Millelstufe : l^lanimelvie und Stéréométrie. — 1 vol. in-8", 



BULLETIN RlItLlOGRAPHlQlJE 349 

3i0 p., 349 fig., 1296 questions et problt'iiies ; cait.. 4 kr. 50 h.; 'l'i-mpsky, 
Vienne, 1910. 

Ce manuel forme le deuxième cycle ^ du cours de géométrie de iM. Sup- 
panlscliitsch ; il commence par une intéressante préface dans laquelle l'au- 
teur expose son but et donne un aperçu historique de l'évolution des mé- 
thodes d'enseignement de l"a géométrie élémentaire. Ce but est de «montrer 
comment i expérience extérieure conduit les sciences exactes à établir des 
notions dont les transformations logiques peuvent être appliquées de nou- 
veau à la nature >>. 

L'ouvrage est tout pénétré de l'esprit nouveau ; les translations et rota- 
tions sont utilisées fréquemment; l'auteur insiste souvent sur la «dépen- 
dance relative des grandeurs» et conduit peu à peu l'élève à la notion si 
importante de « fonction ». La représentation géométrique des fonctions 
linéaire et du second degré est même expliquée avec quelques détails dans 
un chapitre intitulé : « Verbindung der Algebra mit der Géométrie». Don- 
nons les titres des principales divisions du livre. 

En Planiméirie : 1, Segment, angle et circonférence. — 2. Le Triangle. — 
3. Les Parallèles. — 4. Symétrie et rotations. — 5. Polygones et circonfé- 
rence. — 6. Exercices de constructions. — 7. Similitude. — 8. Applica- 
tions à l'arpentage. — 9. Les Surfaces. — 10. Applications de l'algèbre à la 
géométrie. — 11. Longueur de la circonférence et surface du cercle. 

En stéréométrie : l. Projections droites et obliques. — 2. Points, droites 
et plans dans l'espace. — 3. Symétrie, trièdre. — 4. Prismes et cylindres, 
pyramides et cônes. — 5. Les Volumes. — 6. La Sphère. — 7. Le théorème 
d'Euler, polyèdres réguliers. 

Un Supplément de quelques pages est consacré à la notion difficile du 
nombre irrationnel et l'auteur termine son excellent manuel par un choix 
nombreux et bien ordonné de questions et problèmes. 

Aug. Lalive (La Chaux-de-F"onds). 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 



1 . Publications périodiques : 

Giornale di Matematiche di Battaglini. — L -C. Pellerano, Naples. 

Vol. 47. — I. A.MALDi : La sezione aurea in computisteria. — L. Amoroso : 
Dell'estensione del problema di Dirichlet per le funzioni di più variabili 
complesse. — J.-A. Bakrau : Sur une classe de diagrammes de configura- 
tions. — A. Bartorelli : Alcune considerazioni di calcolo utili per le appli- 
cazioni aile scienze sperimenlalti. — S. (.herubino : Sulle generatrici del 
gruppo alternato délie sostituzioni di n elemcnti. — Alcune formole arit- 



' Voir l'analyse du premier cycle (Arithmétique et Géomt'-trie), dans VEns. math., T. .\II. 
1910, p. 78. 



350 RULLETiy B l B I. I O G H A P II I Q U E 

meliche e loro applirazioni nella leoria dei gruppi di soslituzioni. — G. Cor- 
NAcciiiA : Sulla foiigriienza x. — U. Grudei.i : Ultime ricerche nella leoria 
(lelle figure di equilibiio di un loi'po fluido, omogeiieo ed iucompressibile, 
dotalo di niolo rolaiio. — Velocità aiigolare di un fluide, omogeneo ed 
incompressibile, rotaiile, limilalo da figura di equilibrio. — F. de Hel- 
GUERO : Sui numeri rapprcsoulali dalla forma quadratica binaria. — 
U!. Ducci : SuUe equazioni conlrareciproehe. — G. Gamberini : Una spé- 
ciale classe di matrici quadrate permutabili. — G. Guerritore : Calcolo 
délie funzioni di Lanu' flno a quelle di grado. — S. Minetola : Sulle com- 
binazioni con elcmenti non tuUi dislinli. — Principii di analisi combinaliria 
con applicazioni ai problemi di decomposizione e partizione dei numeri. - 
Sui numeri primi comj)resi lino ad un limite assegnato. — R. Occhipinti : 
Su una proprietà caracleristica délie funzioni isobariche. — L. Oklando : 
Sopra alcuue funzioni linearmente independenti. — G. Piro.ndini : Recen- 
sione Obras sobre matematica do D^ F. Gomez Teixeira. — G. Pucciano : 
Sulle condizioni di validità dei leorema di Caucby. — P. Quixtili : Sopra 
un'equazion analoga all'equazione secolare. — C. Rossi : Intorno ad alçune 
antiradialli délie curve. — Sulla ricerca dei limite di alcune successioni. — 
F. SiBiKA.Ni ; Sopra i polinomiti trigonometrici ed un delerminente rela- 
tive. — Sui sislemi di intcgrali indipendenli di m equazioni differeuziali 
lineari. — M. Sittignam : Le fuzioni inleredi génère finito p. 77. — A. Ter- 
RACixi : Nota su una classe di determinanti. — L. Tonelli : Sui teirema di 
Hadamard relativo al valor maggioraiite di un déterminante. — C. Votolo : 
Sulle equazioni differenziali a derivate parzialidel prim ordine. — G.-B. Zec- 
<;a : Sulla seconda polare mista dei punti ciclici di un piano rispetto ad un 
sistema di rette. 

C est par ce vuliiine que se termine la série des seize i'oluines dirigée par 
le regretté professeur Capelli, décédé le '28 janvier 1910. A partir du pro- 
chain volume, le « Giornale » sera publié sous la direction de M. Ernest 
Pascal, professeur à l'université de Naples, avec la collaboration de quel- 
ques-uns de ses collègues de la section mathématique. (Réd.) 

Jahrbuch ûber die Fortschritte der Mathematik. Horausgegeben von Em. 
Lampe. Band 38. Jahrgang 1907. — G. Reimer, Berlin, 1910. 

Heft 3. — Mechanik. — Mathem. Pliysik. — (ieodiisie. Astronomie, Météo- 
rologie. 

Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung, in Monatsheften 
herausgegeben von A. Gutz.mer. Band 19, 1910. — B.-G. Teubner, Leip- 
zig. 

IS'os 1 el 2 (Janvier-Février). — Friedi-ich Engel : Herniann Grassmann. — 
J. VN'ellstein : Das System der alternierenden Zaliien. — E. .Mlller : 
Anregiingen zur Ausgestaltung des darstellend-geometrisclien Unterrichts 
an lechnischen Hocbschulen und Universitiiten. — Félix Muller : Herrn 
P. Slackels Kritik meiner Abhandlung im 17. Bande der Jahresberichte. — 
P. Stackel : Umfang der einzelnen Abhandiungen Ijconhard Eulers. — 
Reinhold Muller : Uber die Momenlanbewegung eines ebenen ahnlich-ver- 
iuiderlichen Systems in seiner Ebene. — E. Waelsch : Uber die Kugel- 
funktionen des vierdimensionalen Ra unies und doppellbinare Formen. 

N"* 3 el 4 (mars-avril|. — Georg Pick : Uber die Differentialgleicluingen 
der hyperelliplischen Perioden. — Emmy Noether : Zur Invarianlenlheorie 



/,' i ■ l. I. i: T I X n I HLl () (, I! A l> Il lO U E .S5 1 

der Formel! von n Variabrln. — Gcorg Fauek : Uber die Orlhogonal- 
funklioneii des Hei ru llaai-. — l' riediich Iikgel : Uber Kurvenscharen, die 
zii einem gegebenen Did'eiciilialausdrucke kovariant sind. — P. Sciiaf- 
HEiTLiN : Die seiuikouvergoiilen Reilieii f'iir die Besseischeii Funklionen — 
Oskar Pekkon : Uber das Verhalten der Intégrale lineart r Differenzeiiglei- 
chungeii iin l'ncndiichen. = — Aug.-\V. Veltiîn : Die lùilwickinng der ellip- 
tischeu Fiinklionen. — Georg Faber : Uber slets konvorgoiile luleipolations- 
fonneln. — Angelegenheilen der Deuischen Mathcmatiker-Vereinigung. — 
Mitteilungen und Nachrichten. — I^itcrarisches. 

Nouvelles Annales de Mathématiques, dirigées parC.-A. I.aisa.nt, C. Bocr- 

i.i:t cl \\. Hkicaku, 1""^' st'i-ic. -- ( iaiilliior-Villars, l'aris. 

Tome X, janvier-avril 1910. — II. Iîricaru : Sur la « Géométrie des t'euil- 
k'ts I) do M. René de Saussure, élude analytique. — Emile Turrière : Appli- 
cation de l'équation des télégraphistes aux surfaces dont les images sphéri- 
ques des lignes de courbure sont des loxodromies. — Conséquences de 
doux théorèmes de M. Bricard, concernant les tangentes communes à deux 
quadriques. — E. Keraval : Surfaces partiellement cylindroïdes. -^ Tsurui- 
chi Hayashi : Sur une équation indéterminée. — G. Fontené : Sur les for- 
mules de quadrature de Cotes. — Généralisation d une formule d'Euler. — 
Amsler : Sur les suites récuri-entes. — H. Viltat : Sur les surfaces réglées 
rapportées à leurs asymptotiques. — Rebeix : Section plane d'un cône ou 
d'un cylindre à base elliplique, hyperbolique ou parabolique. — Auric : Sur 
la rectilicatioii approchée d'un arc de cercle. — Bricard : Sur un théorème 
de Manulieim. — Certificats de calcul différentiel et intégral, d'analyse su- 
périeure et de inécani<[ue. — Solutions de questions proposées. 

Revue de Métaphysique et de Morale, publiée par Xavier Léon. — Li- 
brairie Armand C din, Paris. 

ITn^e année, 1909. ^- L. Brunschvicg : Une phase du développement de la 
pensée mathématique. — H. Poincaré : La logique de l'infini. — A. Rey- 
.MOND : Note sur le théorème d'existence des nombres entiers et sur la défi- 
nition logistique du zéro. — J. Tannery : Pour la science livresque. 

Revue générale des Sciences pures et appliquées, dirigée par L. Olivier. 
— Librairie Armand Colin, Paris. 

30 janv. 1910. — H. Marchand : Les tendances nouvelles de l'enseigne- 
ment technique et professionnel en Amérique. 

15 février. — D. Savitch : Le calcul et l'observation de l'éclipsé de soleil 
du 17 avril 1912, visible en France. 

15 et 30 mars. — C P. Re.nard : L'aviation, l^^^ partie : Considérations 
générales. 2"»^ partie : Les moyens de réaliser le vol mécanique. 

2. Livres nouveaux : 

W. M. Baker and A. A. Boirne. — Public School Arithmetic. — 1 vol. 
in-8", 386 et L p. ; 3 s. 6 d. : or with answors, '1 s. (^ d. : G. Bell & Sons, 
London. 

H. Bouasse. — Cours de mécanique rationnelle et expérimentale, spé- 
cialement écrit pour les physiciens et les ingénieurs. — 1 vu!, gr. in-8", 
692 p. ; 20 fr. ; Ch. Delagrave, Paris. 



352 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

J. G. CoFFiN. — Vector Analysis. An Introduclion to Vector-Methods and 
their various Applications to Phyâics and Malhematics. — 1 vol. in-12 XIX 
et 248 p.. relié. 2 D. 50 10 sii. 6 . Jolin Wiley & Sons. New-York. 

G. CoMBEBiAC. — Les actions à distance. — 1 vol. i Collection Scienlia.i, 
p. in-8°, 89 p. ; 2 fr. ; Gauthiers-Villars. Paris. 

Gustaf ExESTRôM. — Yerzeichnis der Schrilten Leonhard Eulers. Ersie 
Lieferung. — 1 vol. in-8», 208 p. : 10 M. ; B. G Teubner. Leipzig. 

C. M. Jessop and G. \V. Cal.nt. — The éléments of hydrostatics. — 
1 vol. in-16, 126 p. : G. Bell & Sons. Londoii. 

Paul >ATORP. — Die loglschen Grundlagen der exakten Wissenschaften. 
— ( Sammlung Wissenschafl uiid Hypothèse i 1 vol. in-i6. il6 p. : 6 .M. 60; 
B. G. Teubner, Leipzig. 

Eugen Netto. — Die Determinanten. — i Sammlung : .Mathematisch- 
Phvsikalische Schriften fur Ingenieure und Studierende herausgegeben von 
E.J.A.HNKE.) 1 vol. in-8o, 129 p. ; relié. 3 M. 60: B. G. Teubner, Leipzig. 

Maurice d Ocacne. — Notions élémentaires sur la probabilité des er- 
reurs. — 1 fasc. gr. in-8o, 27 p. : G,iuthiers-Vill;irs. Paris. 

('.h. Pendlebuky. — Exercises and examination patpers in arithmetic, 
logarithms and mensuration. — 1 vol. in-lb. 212 p. . relié. 2 s. ti d. : se- 
veuth édition ; G. Bell À: Sons, Loudon 

G. Petit Bois. — Algébrette OU algèbre élémentaire simplifiée. — 1 vol. 

in-i6. 315 p. ; 2 fr. 50 : H. Vaillant-Carmnnne. Liège. 

H. PoiNCARÉ. — Leçons de mécanique céleste. — Tome III. Théorie des 
marées. — 1 vol. gr. in-8o, 472 p. : 16 fr. . Gauthiers-Villars, Paris. 
J. ScHicK. — Trifolium Hiberniae oder Diametristik der Fusspunkts- 

dreiecke. — 1 vol. p. iu-8'^ 156 p.. avec 85 fig. ; 6 M. : G. Franz, Municli 
et Leipzig. 

Schwab und Lesser. — Mathematisches Unterrichtswerk. — I. Band : 
Arithmetik und Algebra von Oskar Lesser : Lehr- und Uebungsbuch fur 
den Unterricht in der Arithmetik und Algebra. — Erster Teil : fur die 
mitlleren Klassen sàmtlicher hôheren Lehranstalten. — Zweite Auflage. 
1 vol. in-8o, 203 p.: relié. 2 M. 80: F. Tempsky, Vienne, et G. Freytag, 
Leipzig. 

R. Elliot Steel. — Practical Electricity and Magnetism, a first year's 
course. — 1 vol. in-16, 175 p. : 2 s. : G. Bell & Sons, London. 

Dr. Toulouse. — Henri Poincaré. Enquête médico-psychologique sur la 
supériorité intellectuelle. — 1 vol. iii-16. 204 p. ; 3 fr. 50: E. Flammarion, 
Paris. 

Heinrich Weber. — Encyklopàdie der elementaren Algebra und Ana- 
lysis. Erster Band der Encyklopàdie der Elemenlar-Mothematik, Dritte 
Auflage. — 1 vol. gr. in-8o, 531 p. : relié, 10 M.; B. G. Teubner, Leipzig. 

W. H. You.NG. — The fundamental theorems of the differential Calculus 

(Cambridge Tracts in malliematics anij inathc-malical pliysirs, >'" 11'. — 
1 fasc. in-8o, 72 p. ; 2 s. 6 d. : Lniversity Press. Cambridge. 

Fritz Reinixghaus. — Kalender-Reform-Vorschlag. — 1 broch.. Orell 

Fûssii. Zurich. 

Exposition allemande de l'enseignement à l'exposition universelle de 
Bruxelles 1910. Tome I_: Guide, 207 p.; tome II : Bibliotheks-Kataloge. 
170 p. — Weidmann, Berlin. 



r 



Commission internationale de l'enseignement mathématique. 



COMPTA KENDU 

DES 

SÉANCES DE LA COMMISSION 

ET DES 

CONFÉRENCES SUR L'ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE 
ET SUR L'ENSEIGNEMENT TECHNIQUE MOYEN 

faites à Bruxelles du 10 au 16 août 1910 à l occasion de l'Exposition universelle 

publié par 

II. Fehr 

Secrétaire-général do la Commission. 



INTRODUCTION 

Lorsqu'en décembre 1909 le Comité central décida d'organiser 
une réunion partielle de la Commission internationale de rensei- 
gnement mathématique, à l'occasion de l'Exposition universelle de 
Bruxelles, il se proposait avant tout de grouper les membres des 
sous-commissions nationales de la Belgique et des pays limitro- 
phes et de provoquer entre eux un échange de vues sur les travaux 
actuellement en préparation. Son appel a rencontré le meilleur 
accueil, non seulement dans les pays indiqués, mais auprès de la 
plupart des délégations ; et ce ne sont pas cinq, mais onze pays 
qui se trouvaient représentés à la séance des délégués par plus de 
trente membres des sous-commissions nationales. De nombreux 
professeurs de l'enseignement scientifique et technique étaient 
venus se joindre à eux pour suivre les conférences publiques qui 
avaient été annoncées pour les journées du 10 au i(i août. A c(Mé 
de l'Exposition proprement dite il y avait donc en quelque sorte 
une « Exposition-parlée », suivant le terme employé dans l'Avant- 
Propos de lAlbum édité sous le patronage du groupe des Congrès 
et gracieusement offert aux participants îles réunions internatio- 
nales. Ces séances augmentèrent encore l'attrait déjà très grand 

I.'Rnseignement mathém., 12" année ; 1910 ih 



354 COMMISSION INTERNATIONALE 

de 1 Exposition iiniveiselle d<int une partie, relativement petite il 
est vrai, mais non des moins iemai([uables, a été détruite brutale- 
ment par un incendie dans la nuit du 14 au 15 août. 

C'est à cet ensemble de belles conférences, réparties sur une 
semaine entière, que doit être attribué le syccès et l'aflluence de 
chacune d'entre elles. Le Comité central tient à renouveler ici ses 
remerciements à tous ceux qui ont contribué à leur réussite. 

Nous ne reparlerons pas des expositions denseigncmont présen- 
tées avec tant de soin dans les compartiments allemands, belges 
et français ; V Enseignement mathématique en a déjà donné un 
aperçu dans son numéro de juillet. Les pages qui vont suivre sont 
destinées à donner un compte rendu aussi fidèle que possible des 
séances qui se sont succédées, conformément au programme ci- 
après, que nous reproduisons afin d'orienter le lecteur. 

Nous répondons au vœu général des participants, en étendant 
ce compte rendu à l'ensemble des conférences qui ont eu lieu à 
Bruxelles du 10 au 16 août. Ce vœu est une nouvelle preuve du 
désir qu'ont les mathématiciens de rester en contact avec toutes 
les branches de l'enseignement scientifique et de l'enseignement 
moyen en général et de connaître les progrès réalisés dans les 
autres disciplines. Ces conférences forment en réalité un tout bien 
coordonné et elles ont d'ailleurs été organisées après entente 
entre les différents comités. 

Dans une Première Partie, consacrée à la Commission interna- 
tionale de l'enseignement mathématique, nous donnons un compte 
rendu de la séance des délégués avec un exposé de l'état actuel 
des travaux dans les principaux pays d'après les renseignements 
qui y ont été apportés. Puis vient la séance générale publique 
avec le texte complet de la belle conférence, dune remarquable 
clarté d'exposition, dans laquelle M. Bourlet examine la pénétra- 
tion réciproque des mathématiques pures et des mathématiques 
appliquées dans l'enseignement moyen. 

La Seconde Partie donne le résumé des conférences organisées 
dans la section allemande d'enseignement par la Société pour le 
progrès de l'enseignement des sciences mathématiques et natu- 
relles, sous le patronage du Ministère prussien de l'Instruction 
publique. 

La Troisième Partie contient le résumé des conférences sur l'en- 
seignement technique moyen, organisées dans la section française 
de l'Exposition de Bruxelles, sous le patronage de M. le Ministre 
du Commerce et de ITndustrie de la République française. 

fi^nfin dans la Quatrième Partie nous donnons un compte rendu 
sommaire du Congrès international de l'enseignement moyen. 

Voici le progamme de ces quatre groupes de conférences; il 
forme en même temps la Table des matières du présent compte 
rendu. 



INTRODUCTION ;J55 



I. — COMMISSION INTERNATIONALE DE L'ENSEIGNEMENT 

MATHÉMATIQUE p. 357 

Mardi 9 août : 

9 h. du malin et à 4 h. de l'après-midi : Séances du Comité centiaL 

8 '/2 h. du soir : Réunion préparaloire. 
Mercredi 10 août : 

9 h. du matin : Séance des délégués et des membres des sous-commis- 

sions nationales. 
4 h. de l'après-midi : Séance générale publique. 

Ordre du jour : 

1. Allocution du représentant de la Belgique, M. J. Ki.ompers, Directeur 
général au Ministère des Sciences et des Arls. 

2. Discours de M. E. Klefn. Président de la Commission, sur le but de la 
Commission et sur l'enseignement en général. 

3. Rapide aperçu de l'état des travau.v dans les différents pays, par M. 
H. Fehr, Secrétaire-général. 

4. Conférence de M. C. Bouklet, professeur au Conservatoire national 
des Arts et Métiers (Paris), sur la pénétration réciproque des mathématiques 
pures et des mathématiques appliquées dans l'enseignement secondaire. 

II. — CONFÉRENCES SUR L'ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE 

EN ALLEMAGNE . p. 387 

Jeudi 11 août : 

10 Uhr vormitlags : Begrùssungen. 

Dr. MoscH : Allgemeine Orienlierung iiber die deutscbe Unterrichts- 
ausstellung. 
10 '/z ^hi" vormittags : Geh. Rat. Tkeutlein, Karlsruhe : Uber geome- 
trischen Anschauungsunterricht mit Yorfùhrung von Modellen. 

11 '/4 Uhr vormittags : Dir. Grimsehl, Hamburg: Die physikalischen 

Schùleriibungen auf der Uhlenhorst in Hamburg. 

12 Uhr vormittags : Dr. Schoenischen-, Berlin : Selbsttatigkeit der Schil- 

ler im naturkundlichen Unterricht. Erlauterungen zur biologischen 
Ausslellung. 

4 Uhr nachmilags : Dir. Gri.msehl ; Physikalische Demonstrationeu in 
der Unterricht s- Au sstellung. 

4 ^/4 Uhr nachmittags : Dr. Schoenischen u. Dr. Bastian Schmid : Fùli- 
rung durch die biologische Ausstellung mit Demonstrationeu. 

6 Uhr nachmittags : Dr. Driesen, Charlottenburg : Bilder ans dem Schul- 
leben einer deutschen Grossstadt (kinematographisch-grammopho- 
nisch). 
Vendredi 12 août: 

10 Uhr vormittags : Geh. Rat Klein, Gœttingen : Die Arbeit der deut- 
schen Ausschusses der int. math. Unterrichtskommission. — Schil- 
lingsmodclle f. d. math. Unterricht. 

10 "4 Uhr vormittags : Prof. Poske, Berlin : Problème des physikali- 
schen Unlcrrichts ; physikalische Schùlerûbungen. 



356 COMMISSION INTERNATIONALE 

11 '2 Uhr vormillags : Dr. Bastian Schmid, Zwickau : Die Entwicklung 

des biologischen Unterrichts, seine Ziele und sein gegeiiwarliger 

Betrieb. 
4 Uhr nachmittags: Geh. Rai Ïkeutlkin u. Geh. Rat Klein: Demous- 

tratioii mathcmalisclier Modello. 
i 7» Uhr uachmittags : Prof. Poske, Dr. Mosch u. M. Drosten : Fùh- 

ruug durch die physikalische Ausslellung. 
6 Uhr nachmiltags : Dr. Sch.mid : Kinemalographische Vorfùhrung von 

biologischen Schùlerùbungen. 

III. — CONFÉRENCES SUR L'ENSEIGNE.MENT 

TECHNIQUE MOYEN EN FRANCE .... p. 393 

Samedi 13 août : 

9 Vs 'i- ■ Allocution de M. Chapsal, Commissaire général du Gouverne- 
ment français à l'Exposition. 

Conférence de M. Bovklet, Professeur au Conservatoire National des 
Arts et Métiers : Les Progrès de l'Aviation en France, les Ecoles 
d'Aviation (avec vues cinématographiques). 

11 h. : Conférence de M. Tramard, Directeur de l'Ecole pratique de 
Commerce et d'Industrie de Vienne (Isère) : L'Organisation du Tra- 
vail manuel dans les Ecoles pratiques d'industrie. 

3 h. après-midi : Promenade-conférence dans l'Exposition française 

d'Aviation sous la conduite de M. Bouklet. 

4 h. après-midi : Promenade-conférence dans l'Exposition française 

d Enseignement Technique sous la conduite de M. Tramard. 
Dimanche li août : 

9 '/n 11- '■ Conférence de M. Jouglet, Ingénieur de l'Ecole Nationale d'Arts 

et Métiers à Aix-en-Proveuce : L'Organisation de l'Enseignement 
technique pratique dans les Ecoles d'Arts et Métiers. 
11 h. : Conférence de M. Beaufils, Directeur de l'Ecole pratique d'In- 
dustrie de Saint-Etienne : L'Organisation de l'Enseignement de 
l'Electricité industrielle dans les Ecoles pratiques (avec expériences 
de démonstration). 

3 h. après-midi : Promenade-conférence dans l'Exposition française de 

Machines sous la conduite de M. Jouglet. 

4 h. après-midi : Promenade-conférence dans l'Exposition française 

d Electricité sous la conduite de M. Beaufils. 

IV. — CONGRÈS INTERxNATIONAL DE L ENSEIGNEMENT MOYEN 

p. 413 

Lundi 15 août : 

10 h.: Séance d ouverture, discours de M. Discailles, président. 

a) L'enseignement secondaire à l'étranger et en Belgique ; sa mis- 
sion, son importance, les progrès qu'il a réalisés. Conférences de 
MM. Jules Gautier, directeur honoraire de l'enseignement moyeu 
en France ; A. Thaer, président de la Société allemande pour le 
progrès de l'enseignement des sciences mathématiques et naturelles ; 
et J. Courtoy, président du corps professoral des écoles moyennes 
olficielles de Belgique. 



I 



SEANCE DES DELEGUES 357 

h) Garanties que les juridictions pédagogiques et administratives as- 
surent aux membres du personnel, par M. V. VVittman.n, secrétaire 
général de la Fédération de l'enseignement moyen ofliciel de Belgique. 
Mardi 16 aaiit : 

10 h. : Assemblée générale du Congrès. 

1. Création d'un Bureau international des P'édératious d'enseignement 
secondaire. 

2. Création et extension d'un Ofl'ice international déchange de jeunes gens 
dans le but de faciliter 1 étude pratique des langues vivantes. 

3 h.: Conférence par M. Chassaony. inspecteur général de l'enseigne- 
ment secondaire pour les sciences physiques, en France; Sujet; 
Modifications qui ont été apportées depuis 1902, en FVance, aux 
méthodes d'enseignement des sciences physiques. 
Cette conférence sera suivie d'une visite explicative à l'exposition du 
Ministère de l'Instruction publique Français. 

4 '/z h. : Visite des autres compartiments étrangers d'enseignement. 



PREMIERE PARTIE 

Commission internationale de l'enseignement mathématique. 

Réunion de Bruxelles, 9 et 10 aoiit. 



Séances du Comité central. — Le Comité central, composé de 
MM. Klein, Greenhill et Fehr, a tenu deux séances le mardi 
9 aoiJt, Tune le matin de 9 à 11 heures, l'autre, l'après-midi, de 
4 à 7 heures. Ces deux séances ont été consacrées tout d'abord 
aux affaires courantes concernant la réunion de Bruxelles, puis à 
l'examen des rapports et correspondances sur l'état des travaux 
dans les dix-huit pays participants. Le Comité s'est ensuite oc- 
cupé de ce qu'il conviendrait de faire dans la suite et en particu- 
lier du projet de réunir la Commission en 1911. 

Le même jour, à 11 heures et demie, les membres du Comité 
central, accompagnés de M. .1. Nf.ubeiu;, délégué de la Belgique, 
ont été reçus au Ministère des Sciences et des Arts par j\L 
T. KLo.MPEFts, Directeur général de l'enseignement moyen. 

Fiéiinion préparatoire. — Le soir, à 8 heures et demie, une réu- 
nion familière, organisée par le Comité central, groupait une pre- 
mière fois les membres des sous-commissions nationales aux- 
quels étaient venus se joindre les membres du Comité du Congrès 
international de l'enseignement moyen et de nombreux profes- 
seurs de Belgique et de l'étranger. Après des paroles de bien- 
venue adressées à l'assemblée par M. le prof. J. Neuberg, délégué 



358 COMMISSION I N T E R N A T l N A I. E 

belge, et M. V. Wittmaxn, secrétaire-général du Congrès inter- 
national de l'enseignement moyen, on entendit encore des dis- 
cours de MM. Klein, Bourlet et Fehr. Ce dernier a exprimé le 
vœu que la réunion de ce jour soit le point de départ d'une société 
mathématique belge, largement ouverte à tous ceux qui désirent 
travailler en commun aux progrès des sciences mathématiques et 
de leur enseignement. De pareils groupements existent dans la 
plupart des pays, et partout ils ont exercé une heureuse influence 
sur Tétude des questions d'ordre scientifique et pédagogic[ue. 

Séance des Délégués 
ET DES Membres des Sous-Commissions nationales. 

La séance a eu lieu mercredi 10 août, à 9 heures du matin, à la 
Salle Ravenstein, sous la présidence de M. le prof. F. Klein, as- 
sisté de Sir George Gheenhill, vice-président, et de M. H. Fehr, 
secrétaire-général. MM. De Donder et Lambot, de Bruxelles, ont 
bien voulu fonctionner comme secrétaires-adjoints. 

M. Klein ouvre la séance en souhaitant la bienvenue aux délé- 
gués et aux membres des sous-commissions nationales. 

M. J. Neuberg salue l'assemblée au nom des mathématiciens 
belges et insiste sur l'importance des travaux de la Commission. 

Liste de présence. — On procède ensuite à l'établissement de la 
liste de présence et à l'appel des représentants des divers pays. 
Etaient présents : 

Allemagne : MM. Klein (Gœttingue) et Treutlein (Carlsruhe), dé- 
légués, et MM. End (Munich), Poske (Berlin), H. Schnell (Darm- 

stadt), Thaer (Hambourg!. 
Belgique: M. J. Neuberg (Liège), délégué, et M. H. Ploumen 

(Bruxelles). 
Danemark: M. P. Heegaard (Copenhague), délégué. 
Espagne: M. Z.-G. de Galdeano (Saragosse), délégué. 
Etats-Unis : M. Cl.-Br. Upton (New-York), par délégation spéciale. 
France: M. Bourlet, délégué. M"" Amieux (Paris), et MM. Marotte 

(Paris), RoLLET (Paris), et Vogt (Nancy). 
Hollande : M. Cardinaal (Delft), délégué, et M. J.-A. Barrau (Delft). 
Hongrie: M. E. Beke (Budapest), délégué. 
Iles Britanniques: Sir George Greexhill (Londres), délégué, et 

M. Jackson (Londres). 
Russie: MM. Michelson (St-Pétersbourg) et D. Sintzov (Kharkov). 
Suisse : M. H. Fehr (Genève), délégué, et MM. Brandexbkrgkr 

(Zurich), Crelier (Bienne-Berne), Lalive (La Chaux-de-Fonds), 

Scherrer (Kussnacht-Zurich), et Stœcklin (Liestal-Bàle). 

L'assemblée comprenait en outre quelques professeurs belges 
et étrangers. 



.s- !•: A NC K I) E S I) E I. E G U E S :Jôy 

Keprenant ensuite l'ordre du jour, le président l'appelle que le 
principal objet de la séance est de passer en revue et de discuter 
létal et l'ori^anisation des tiavaux dans les pays participants. En 
même temps les déléi^iM's sont appelés à présenter les rapj)orts 
partiels déjà terminés. Pour les pays n'ayant pas de représentants 
à la séance, les renseignements sont fournis par le secrétaire- 
i^-eneial. 

Nous résumci'ons ici la situation actuelle en rappelant la liste 
des rapports annoncés et publiés dans la Circulaire n" 2 dont un 
exemplaire est remis à chacun des assistants. 



Etat de l'organisation des travaux en août 1910. 

A.lleniag'ne. — M Kueix rapporte. I^a sous-commission allemande 
a adopté deux sortes de publications : [,es Berichte iind Mitteilungen el les 
Ahkandlungen ùher den inathematischen Unterricht in Deutschland. 

Les Berichte und Mitteilungen, veranlasst durch die Internationale Ma- 
lliematische Unterricht.skonunission sont destinés à donner des renseigne- 
ments généraux, ainsi que des rapports spéciaux de peu d'étendue. Ils sont 
rédigés par le secrétaire de la sous-commission allemande, M. ^^ . Lietz- 
.MA.\N Jusqu'ici il a paru quatre fascicules. Le premier et le troisième donnent 
le texte allemand du Rapport préliminaire du Comité central et de la Cir- 
culaire n" 1. Le second fascicule est consacré au rapport de M. le Prof. 
G. XooDT (Berlin) sur les mathématiques dans le plan d'études des écoles 
supérieures déjeunes lilles en Prusse {Ueber die Stelliing der Mathematik 
ini Lehrplaii der hôheren Mudchenschule s'ur und hach der Neuordnung des 
hùheren Mddchenschulwesens in Preussen (22 p.). Le qualrième fascicule 
contient : 1. La traduction de la Circulaire n° 2, complétée jusqu'au moment 
de la publication (juin 1910) ; 2. Une Note de quatre pages intitulée Mat/ie- 
matiker und Zeichenlehrer im Linearzeichenunterricht der pieussischen 
Kealanstalten. par M. Zuhlke (Berlin). 

Les Ahkandlungen iiher den mathematischen Unterricht in Deutschland. 
veranlasst durch die Internationale Mathematische Unterrichts-Komniission 
comprendront des monographies sur l'enseignement mathématique dans les 
divers types d'établissements en Allemagne ou sur des questions générales. 
La publication est dirigée par M. Klein; elle comprendra cinq volumes, 
chacun de ceux-ci débutant par une introduction générale. 

Le volume I sera consacré aux établissements secondaires supérieurs du 
Nord de l'Allemagne ; 

Le volume II, aux établissements secondaires supérieurs de lAllemague 
du Centre et du Sud ; 

Le volume III. à des rapports sur des questions générales; 

Le volume IV, aux m;ilhématiques dans les établissements techniques: 

Et le volume V, à renseignement primaire. 

Voici la division adoptée pour chacun des quatre premiers volumes qui 
sont édités parles soins de la .Maison Teubner (Leipzigl: 

I. Band. Die hOheren Schulen in Norddeutschland. Mit einem Kinfiih- 
runçrswort von F. Ki.i:in. 



360 COMMISSION INTERNATIONALE 

* 1. Heft. W. LIETZMA^^■. Stolf uiid Méthode im matheniatischen Unter- 
richt der norddeulschen liôhereu Soluilen atif Gruiid der vorhandeiien Lehr- 
bucher (XII iind 102 S.) 1909. Geh. 2 Mk. 

* 2. Heft. W. LiETZMAMv, Die Organisalioii des matheniatischen Unter- 
richts an den hôhereii Knabenschulen in Preussen (204 S.). 

3. Heft. W. Lorry, Die Entwicklung der matheniatischen Ansbildnna^ der 
Lehranitskandidateii an den norddeutschen L'niversitateu und Hochschulen. 
In Vorbereitung. 

4. Heft. A Thaer, Der niathematische Unierricht an den hoheren Schulen 
der Ilansastadte. In Vorbereitung. 

\N (itère Hefle bleiben vorbehalten. 

II. Band. Die huheren Schulen in Miltel- und Suddeutschland. Mit eiuem 
l'^infùhrungswort von P. Treutlein. 

* 1. Heft. H. WiELEiTNER, Der niathematische Unierricht an den hoheren 
Schulen iiach Organisation, LehrstoITund Lehrverfahren und die Ausbildung 
der Lehramtskandidaten im Konigreich Bayern (XI u. 85 S.). 

2. Heft. A. WiTTiNG, Der raathematische Unierricht an den Gymnasien 
und Realanstalten nach Organisation, Lehrstoff und Lehrverfahren und die 
Ausbildung der Lehramtskandidaten im Konigreich Sachsen (X u. 76 S.). 

3. Heft. E. Geck, Der malhematische Unierricht an den hoheren Schulen 
iu Kfinigreich Wùrttemberg. 

4. Heft. H. Cramer, Der malliematische Unierricht an den hoheren 
Schulen im Grossherzogtum Baden. 

* 5. Heft. H. ScHNELL, Der niathematische Unierricht an den hoheren 
Schulen im Grossherzogtum Hessen 

6. Helt. Hossfebl, Dei- malhematische Unterriciit an den hoheren Schulen 
in den thiiringischen Staaten. In Vorbereitung. 

7. Heft. Der malhematische Unierricht an den hoheren Schulen in den 
Reichslanden. Berichterstatler noch unbestimmt. 

Weitere Helte bleiben vorbehalten. 

III. Band. Berichte allgemeinerer Art iiher den matlieniatischen Unier- 
richt. Mil einem Einfùhrungswort von F. Klein. 

1. Heft. R. ScHi.M.MACK. Bericht ùber das Forlschreite)i der Reformbewe- 
gungim matheniatischen l'nterricht an den hoheren Schulen. Unler der Presse. 

* 2. Heft F.-H.-E. Ti.merding, Das Malliematische in den Lehibiichern dei- 
Physik. 

3. Heft. P. ZuHi.KE, Das Linearzeichnen an den deutsclien Realanstalten. 
In ^'orbereilung. 

4. Heft. W. LoREV. Uber den inneren Betrieb des wissenchaftlichen nia- 
themalischen Unlerriclils an den Universiliiten. In Vorbereitung. 

Wcitero Hefle bleiben vorbehalten. 

IV. Band. Die Mathematih an den technischen Schulen. Mit einem Ein- 
fùhrungswort von P. Stackel. 

1. Heft. H. Grunbau.m, Die Malhematik an den technischen Mittelschulen : 
Reine Malhematik. (XVI und 99 S.) 

2. Heft. Ott, Die .Malhematik an den technischen Mittelschulen : Ange- 
wandle Malhematik. In Vorbereitung. 

3. Heft. C. Schilling nnd H. Meldau, Die Mathèniatik an den Seefahrls- 
schulen. In Vorbereitung. 

4. Heft. Th. FuKTWANGLEK, Uber die Ausbildung der Feldmesser. 

5. Heft. P. Stackel, Die niathematische Ausbildungder Archileklen, Che- 



SEANCE DES D E I. E G U É S 361 

niikcr iind Inufcnieure an deii doiilsclit'ii (eihnischeii Hochsclniloii. Iii \'or- 
b(M-eitiiiig 

(), Hefl. K. Jahnke, I)er ni;tlliem;ilisclie Uiiteniclit an Hocliscliuleii tin- 
bfsondere Karlipjebiote. In Vorhereilung. 

\\'('ilere Hcfte l)leiben vorbelialtcn. 

Aussi-rdeni sind gegenwiirlig nocb Berichtf iiber folgende Gegenslande 
g('|)laMl : 

1. Die Melhodik dos Recbnens auf der Unleistufe, nach den Lehrljiicbei'M 

2. Die Methodik der Raumlcbre anf der Unlerstufe nach den Lehrbii- 
chei'n. 

3. Der matheniatische L'nterrichl in den gewubniichen und gehobenen 
Volksschulen sowie an den Lebrerseminaren. 

4. Die Malhemalik in den Forlbildungsschulen. 

5. Der matheniatische Unterricht ira Bereich der katholischen Orden 
Deulschlands und seiner Nachbarliinder. 

6. Der mathetnatische Unterricht in den deutschen Auslandschulen. 
Grâce au concours inlassable d'excellents collaborateurs, les travaux sont 

en très bonne voie et M. Klein a l'avantage de pouvoir déjà présenter neuf 
lie ces monographies ; ce sont celles de MM. Lietzmann (2 rapports), Wie- 
LF.iTNER, WiTTiNG, Geck, Ckamer, Schn'ell, Timerding et Grcnbaum (elles 
sont marquées d'une astérisque dans la liste ci-dessus). Les autres sont 
sous presse ou en préparation. 

A.utrîelie« — Les rapports de la sous-commission autrichienne sont 
publiés sous le titre Rerichte iiher den mathematischen Unterricht in Oes- 
terreich, veranlasst durch die Internationale Matheniatische Unterrichts- 
Kontmission. Ils seront joints comme suppléments aux périodiques autri- 
chiens : Zcitschrift fur die œsterreichischen Gymna sien e{ Zeitschrift fur das 
Realschuhiesen, et édités à part par la maison Hôlder (Vienne). 

Trois fascicules ont paru : 

Le premier (81 p.) contient, après une Introduction de M. Czuber, les 
rapports sur les écoles réaies, par Fr. Bergmann, et les écoles primaires et 
primaires supérieures, par M. K. Kraus. 

Le fascicule 2 |52 p.) rapports concernant les écoles normales d'institu- 
teurs et d'institutrices, par Th. Konrath, les écoles de commerce, par M. 
DoLiNSKi, et l'Ecole forestière de Eeichsiadt. par M. Adamicka. 

Le fascicule 3 (VIII et 79 p ) donne le rapport sur l'enseignement mathé- 
mulliique dans les gymnases, par Ern. Dintzl. 

Viendront ensuite les rapports concernant les autres types d'établisse- 
ments : 

Universités, par G. de Escherich. 

Ecoles polytechniques, par E. Czuber et E. Muller. 

Ecoles supérieures de l'agriculture, par O. Simony et Th. Tapla. 

Ecoles supérieures des mines, par K. Kobald. 

Lycées de jeunes filles, par Th. Ko.nkath. 

Musée technologique, par V. Ri:icn. 

Ecoles professionnelles, par W. Rui.f. 

Il y aura en outre un rapport sur les manuels de mathématiques, par 
Fh. Fhkld. 

Rel^ique- — M- J- Neibeko annonce que la sous-commission belge 
prévoit cinq rapports (|ui seront jjubliés an printemps de 1911 : 



362 COMMISSION I X T E R X A T I O N A L E 

Les niathémaiif/ues dans les écoles primaires et les écoles normales d'ins- 
tituteurs, par M. Dock. 

Les matliéiiiati(/ues dans les Athénées, collèges et écoles moyennes, par M. 
Ploumen. 

Les mathématiffues dans les écoles industrielles, par M. Rombaut. 

Sur l enseignement du dessin dans les écoles primaires et moyennes et dans 
les Athénées et collèges, par M. Montfort. 

L enseignement des mathématiques dans les Universités et les écoles supé- 
rieures, par M. Neubekg. 

Danemark. — M. Heecaard, délégué, rapporte. Les travaux prépara- 
toires sont lei'iniués et le rapport d'ensemble sur l'enseignement mathéma- 
tique en Danemark sera publié dans le courant de l'automne 1910. 

£spag'ne. — M. G. de Galdeano, délégué, a trouvé le meilleur accueil 
auprès de son Gouvernement et auprès de ses collègues pour la constitu- 
tion de la sous-commission nationale. Il parle des difficultés que rencon- 
trent les partisans des progrès de l'enseignement scientifique en Espagne, 
où les études littéraires occupent une place prépondérante. D'importantes 
réformes sont à l'étude et semblent favorables aux mathématiques. 

La Circulaire N° 2, a déjà signalé les publications concernant la sous- 
commission espagnole. M. de Galdeano, présente un nouvel opuscule dans 
lequel il expose la situation actuelle des mathématiques dans les écoles en 
Espagne. 

Etats-Unis. — La délégation a entrepris une enquête complète sur 
l'enseignement mathématique aux Etats-Unis suivant une méthode de travail 
dont nous avons donné un aperçu dans un précédent rapport (Cire. N° 2). M. 
Upton fait un tableau de l'organisation qui comprend 15 comités, divisés 
en sous-comités. Leurs rapports préparatoires sont terminés et ont été exa- 
minés par les délégués américains au cours de 1 été 1910. Ils seront repro- 
duits, tout au moins partiellement, dans différentes revues et feront l'objet 
d'un Rapport général publié par les soins du Bureau of Education des Etats- 
Unis. 

France. — M. Bourlet ra|)porte. — En France l'organisation des tra- 
vaux a subi quelque retard, principalement par le fait que les divers types 
d'établissements se répartissent sui- plusieurs ministères. Aujourd hui la 
sous-commission est bien organisée, les travaux sont en bonne voie. Plu- 
sieurs rapports sont terminés ; les autres devront être remis en octobre 1910. 
La méthode employée est celle d'exposition générale et non de monogra- 
phies. Les travaux seront répartis sur cin(/ volumes, d'environ deux à trois 
cents pages chacun, et publiés par la maison Hachette. 

Le premier volume traitera des mathématiques dans Venseignement supé- 
rieur: il sera dirigé par M. de Saint-Germai.n. 

2* volume, L'Enseignement mathématique dans les lycées et collèges de 
garçons, publié sous la direction de M. .Marotte. 

5« volume, L.es mathématiques darrs l enseignement primaire, publié sous 
la directian de M. Lefebvre, Inspecteur général. 

i"= volume, L enseignement mathématique dans les écoles techniques des 
différents degrés, publié sous la direction de M. Rollet. 

5" volume. L'enseignement des mathématiques dans les écoles de jeunes 
filles (écoles primaires, lycées, écoles professionnelles), publié sous la di- 
rection de .M"e Amieux. 



.V E A N CE DE S I) É I. É G U È S \\<n\\ 

Orèee. — (Sans nouvelles récentes.) 

ïlullande. — M- Cakdinaal expose que les rii|)|)()rls sont leiinincs . 
ils vont être traduits en français et feront 1 objet d'un volume qui sera pièl 
à la lin de l'hiver. 

Le (lOuverneinent hollandais vient de publier un rapport général siii- la 
réforme de l'enseignement en Hollande. Cette étude, qui est le résultat des 
travaux d'une Commission officielle, nommée en 1903, donnera lieu à un rap- 
port supplémentaire, rédigé par M. Barrau. 

Huiigrie. — M- E- Bekk rappelle qu'il a déjà eu Ihonneur, à Rome, 
d'annoncer que la Société des maîtres de l'enseignement moyen avait chargé 
une commission d'examiner les réformes à introduire dans l'enseignement 
mathématique. Les travaux ont été publiés depuis en hongrois et vont élre 
édités également en allemand. Il s agit d un volume d'environ 250 pages. 
Après un aperçu du développement historique des plans d éludes mathéma- 
tiques en Hongrie, il traite des différentes branches des mathématiques, 
du mouvement de réformes, de la représentation graphique en arithmétique 
et en algèbre, de la notion de fonction, des éléments du calcul différentiel et 
intégral, ainsi que du problème si difDcile de la préparation du personnel 
enseignant. On y trouve aussi un aperçu du mouvement de réformes <i 
1 étranger. 

A la suite du Congrès de Rome, une sous-commission a été constituée 
sous les auspices du Gouvernement et sous la présidence de M. le prof. 
J. KoMG. La Cire. ? en a donné la composition ainsi que la liste des douze 
rapports à élaborer; ce sont les suivants : 

Ecoles primaires. Par V. Szuppan. 

Ecoles primaires supérieures |4 à 6 classes) ( Biïrgerschule). Par J. Wo- 

LENSZKY. 

Lycées de jeunes filles. Par A. Visnya. 

Ecoles secondaires. Par E. Beke. 

Ecoles de Commerce. Par >L Hwas. 

Ecoles industrielles. Par A. Arany. 

Ecoles supérieures de Commerce. Par S. Bogyo. 

Ecoles normales d'enseignement primaire. Par Ch. Goluziher. 

Ecoles normales supérieures. Par .1. Kurschack. 

Universités. Par E. Beke- 

Polylechnicums. Par G. Rados. 

Lycées pour les études pratiques de candidats. Par P. Szabo. 

Huit de ces rapports sont déjà terminés et vont être traduits. Le mode de 
publication n'est pas encore arrêté. 

Des essais partiels dans le sens des réformes proposées ont pu être faits 
dans plusieurs établissements, gymnases, écoles réaies et écoles de jeunes 
tilles, notamment dans le gymnase dirigé par .VI. Ratz, l'un des délégués. 

Iles Britanniques. — Sir George Greenhii.l fait remarquer les dif- 
ticultés que présente la tâche de la sous-commission anglaise, étant donné 
qu il n'exisie pas encore d'organisation officielle. Le Board of Educalicn. qui 
suit avec intérêt les travaux de la Commission internationale, a désigné les 
délégués et les membres de la sous-commission; il se charge de la publica- 
tion des travaux. 

La délégation anglaise se compose de Sir George Greemiill, .M. Hobson, 
professeur à l'Université de Cambridge, et M. Godfrey. 



364 COMMIS SIOX INTERNATIONALE 

La sous-commission comprend les membres ci-dessus et M. Ashford, Sir 
G. -H. Dakwin. m. g. -H. Hardy, M. C.-S. Jackson, Sir Joseph Lakmok. 
M. Love et M. Gibson. 

M. Jackson a été désigné comme secrétaire. 

Le travail de la sous-comniission comprendra une série de rapports, dont 
les premiers seront publiés au commencement de 1911. 

Italie. — Quatre des rapports annoncés dans la cire. n° 2 sont déjà 
entre les mains des délégués italiens. Ce sont les suivants : 

Sur renseignement des mathématiques dans les écoles classif/ues, par 
MM. Fazzari et Sc.arpis. 

.S'«/- l'enseignement des mathématiques dans les écoles commerciales et 
professionnelles, par M. Lazzeri. 

Sur les cours de mathématiques pour les élèves ingénieurs, par M. Somi- 
cliana. 

Sur le doctorat et la préparation des candidats à l'enseignement, par 

]\L PiNCHERLE. 

Les autres rapports concernent notamment l'enseignement élémentaire 
(M. Co.NTi), les écoles norniales (^L Conti), et les écoles techniques 
(M. Scorza). 

Le mode de publication sera fixé dans le courant de cet automne. 

IVorvèg'e. — (Sans nouvelles récentes.) 

Portug'al. — Les travaux se poursuivent conformément aux indications 
générales publiées dans la cire. n° 2. 

Roumanie. — (Sans nouvelles récentes.) 

Russie. — MM. Sintzov et Michelson parlent de l'organisation des 
travaux qui se préparent sous la présidence de M. Somn. Les rapports 
doivent être prêts en octobre 1910 et seront examinés dans une réunion que 
la sous-commission tiendra en novembre. Ils seront publiés en français. 

Suède. — Les rapports sont publiés sous le titre de Berichte und Mit- 
teilungen verunlasst durch die scluvedische Abteilung der internationalen 
mathematischen Unterrichtskommission. Ils sont dirigés par MM. H. von 
KocH, délégué, et E. Gôransson, secrétaire, et paraissent dans la Pedago- 
gis/x Tidskrift, à Stockholm. 

Trois rapports ont déjà été publiés : 

Die Mathcmatik an den schnedischen Universitdten, von A. Wima>- (18 p.). 

Die Mathematifi an den schn^edischen liealschulen, von E. Hallgren u. 
E. GoRAxssox (28 p.). 

Die Mathematik an den technischen Lehranstalten in Schweden, von 
H. von KocH u. O. Gai.lander (21 p.). 

Les autres rapports, qui sont presque achevés, ont pour objets : 

Les mathématiques dans les lycées de jeunes filles, par M"e A. R6nstr<)m; 
la préparation des maîtresses de ces établissements, par M. Josephson ; les 
lycées de garçons ; les écoles primaires et les écoles normales d'instituteurs ; 
les écoles professionnelles primaires. La sous-commission compte en outre 
obtenir un rapport sur la préparation des maîtres de dessin, surtout parce 
que ces professeurs sont chargés de l'enseignement de la Géométrie des- 
criptive. 

Suisse* — M. H. Feur rapporte. En Suisse l'instruction publique dé- 
pend des cantons et demi-cantons, sauf pour ce qui concerne l'Ecole poly- 



SEANCE DES I) E I. È G U É S 365 

technique lédérale: elle présente une grande variété d'organisation. La tàclie 
des rapporteurs est donc particulièrement didicile. 

La sous-commission, composée de 21 membres, a réparti le travail entre 
des comités, suivant les groupes d'établissements a. h,... énumérés par le 
Rapport préliminaire. Ces comités ont adressé un questionnaire aux direc- 
teurs et aux professeurs ;. après examen des réponses, des programmes et 
règlements, les rapporteurs ont été choisis comme suit : 

Ecoles primaires, M. Stœcklin (Liestal-Bàle|. 

Ecoles primaires supérieures ( Mittelschulenf. ^L Badektscher (Berne(. 

Enseignement secondaire supérieur, >L C. Brandk.nberger | Zurich |. 

Ecoles supérieures de jeunes filles. M. Glbler | Zurich). 

Ecoles techniques moyennes, par L. Crelier |Bienne|. 

Ecoles de commerce, d'administration, de chemin de fer. par L. Morf 
(Lausanne). 

Ecoles normales d instituteurs et d'institutrices des écoles primaires, par 
M. Schkrrer (Kùsnacht-Zurich). 

Les mathématiques dans les universités suisses, par M. J.-H. Graf (Berne), 
et dans l'enseignement technique supérieur en Suisse, par M. Gross.man.n 
(Zurich). 

Ces rapports seront réunis sous le titre L'Enseignement mathématique en 
Suisse. Rapports de la sous-commission suisse publiés sous la direction de 
H. Fehr. 

Un premier fascicule a paru en janvier 1909; il comprend, après une 
courte introduction, le Rapport préliminaire du Comité central, en allemand 
et en français, et les questionnaires adressés aux directeurs et aux proles- 
seurs. 

Pays associés. — M. le président rappelle qu en dehors des pays 
ci-dessus, les autres pays possédant un ensemble d'établissements d'ins- 
truction publique ont été invités à se faire représenter dans la Commission ; 
leur participation aux travaux est facultative. 

Jusqu'à ce jour seuls les pays ci-après ont répondu à l'appel du Comité 
central : 

Australie, Prof. Carlslaw. Sidney ; suppléant en Europe : Prof. Bragg, 
Leeds. 

Canada. Prof. Bovey, recteur du Collège impérial technique de Londres. 

Colonie du Cap, M. Hough. de l'Observatoire royal de Capetown. 

Japon. M. FujisAWA, de l'Université de Tokio. 

Mexique, M. Valentin Ga.ma, professeur à l'Ecole nationale des ingé- 
nieurs, Tacuyaba. 

Cela porte à 23 le nombre des pays représentés dans la Commission in- 
ternationale. 

M. le président résume brièvement ces rapports qui montrent 
que la situation est très favorable dans la plupart des pays. Pen- 
dant l'hiver prochain le travail se poursuivra très activement, et, 
d'ici au printemps, de nombreux rapports pourront être distribués 
aux membres de la Commission. 

Il s'agira ensuite de faire une étude comparée de ces rapports 
pour chacune des catégories d'établissements et d'en dégager les 
idées directrices des tendances modernes. Dans ciuelle mesure 



366 COMMISSfO.Y INTERNATIONALE 

cela ost-il possible ? Ce ser.a là précisément l'une des principales 
questions quauia à examiner la Commission dans sa prochaine 
réunion. 

Réunion de lUll. — Dans le Rapport préliminaire il est question 
de réunir la Commission en 1911 pendant les vacances de Pâques. 
Ce devait être la première conférence. Le Comité central estime 
qu il est nécessaire de laisser un intervalle d'au moins un an 
entre les deux réunions et propose que la prochaine conférence 
ait lieu en Italie, où les professeurs de l'enseignement secondaire 
et supérieur témoignent tant d'intérêt aux progrès de l'enseigne- 
ment mathématique. Les séances auraient lieu au commencement 
doctobre dans une ville du Nord de l'Italie sur l'invitation de la 
délégation italienne. Les délégués présents se déclarent favorables 
en principe ; quelques-uns dentre eux expriment le vœu que la 
date soit choisie de préférence en septembre. 

Le (Comité central tiendra compte dans la mesure du possible 
des vœux émis après entente avec la délégation italienne^. 

Les notions de calcul infinitési.mal dans l'enseignement secon- 
daire. — M. Beke demande dans quels pays ces notions sont in- 
ti'oduites officiellement dans l'enseignement secondaire. 11 s'agit, 
bien entendu, d'un enseignement d'initiation. 

D'après les renseignements fournis par les membres présents 
ce sont : la France (dès 19021, la Suisse (dans 6 gymnases, calcul 
différentiel et intégral ; dans 6 autres gymnases, selon le calcul 
différentiel ; depuis longtempsi ; la Russie; lAutriche; et pour le 
duché de Bade, la Bavière, et Hambourg dans les écoles réaies 
supérieures. 

En France, dit M. Marotte, ces notions sont complètement en- 
trées dans la pratique de l'enseignement et donnent d'excellents 
résultats ; les élèves s'y intéressent beaucoup et trouvent ces 
leçons faciles. 

Dans la plupart des autres pays cette question est à l'étude et 
ne tardera sans doute pas à recevoir une solution favorable. Du 
reste, dans beaucoup d'établissements, on laisse généralement une 
certaine latitude aux professeurs pour le choix de matières des 
plans d'études. 

.\près quelques renseignements sur le programme des journées 
suivantes, la séance est levée à midi. Elle a donné à tous les par- 
ticipants la conviction qu'il s'accomplit dans tous les pays culti- 
vés un travail qui contribuera dans une large mesure aux progrès 
de l'enseignement des mathématiques. 



' Une première entrevue a eu lieu à ce sujet entre M. Castki.nuovu et le seerétaire-général, 
à Genève, le \" septembre 1910. En raison du climat, la rencontre ne pcmrrait avoir lieu avant 
les derniers jours de septembre. Le choix se portera probablement sur Milan ou sur Côme. 



DISCOURS DE M. Kf.O.MPERS 367 



Séance Gknkiiai.e Publique 
du mercredi 16 août. 

\a\ séance est ouverte à 4 heures, à la Salle Kavenslein, devant 
une nombreuse assistance. Aux membres des sous-commissions 
nationales s'étaient joints un <>rand nombre de professeurs bel^^cs 
et étrangers de l'enseignement universitaire et de l'enseignement 
secondaire public ou privé, ainsi que des représentants de sciences 
techniques, ainsi que le jjrésident, M. Discailles, le secrétaire 
M. WiTTMAxx et plusieurs membres de la Fédération belge de 
l'enseignement moyen. 

M. F. Klein, président, ouvre la séance et donne la parole à. 
M. Klompehs, délégué du Ministère belge des Sciences et des Arts. 

Discours d'ouverture. 

Allocution de M. T. Klompers, Directeur général 
au Ministère des Sciences et des Arts, à Bruxelles. 

^Mesdames et Messieurs, 

Je suis particulièrement heureux de pouvoir, au nom de 
Monsieur le Ministre des Sciences et dés Arts, qui m'a dé- 
légué pour le représenter à cette séance générale, vous sou- 
haiter la bienvenue et remercier chaleureusement votre Co- 
mité central de l'honneur qu'il nous a fait en organisant, à 
Bruxelles, une réunion de la Commission internationale de 
l'enseignement mathématique. 

Messieurs, le Gouvernement suit vos travaux avec un vif 
intérêt. Préoccupé d'adapter aussi exactement que possible 
l'enseignement moyen aux conditions vitales du développe- 
ment de la nation, il soumettait naguère, à l'examen appro- 
fondi d'une commission spéciale, tous les problèmes que 
soulève la rédaction d'un programme rationnel d'études se- 
condaires, répondant aux nécessités si diverses de notre 
temps. Et ce n'est pas une témérité d'aflirmer, tant les pro- 
grès des mathématiques sont rapides et leurs applications 
multiples, (jue le programme de demain accordera à cet en- 
seignement une importance prépondérante. Nombreux sont 



368 COMMISSION INTERNATIONALE 

d'ailleurs les avantages qu'il procure; autant, et peut-être, à 
certains points de vue, plus que nul autre, il apprend à pen- 
ser juste et donne sûrement à notre raison « la première 
habitude et le premier pli du vrai », il force Tattention, pro- 
voque Tesprit de recherche, fortifie la volonté et contribue, 
par conséquent, de la façon la plus efiicace à cette formation 
générale, à ce développement des facultés que se propose 
d'abord l'enseignement secondaire. 

Que si certains prétendent que les mathématiques « faus- 
sent l'esprit », nous leur demanderons, avec l'un des émi- 
nents directeurs de la Revue qui est votre organe ofliciel, 
« comment il pourrait se faire qu'en s'efForçant à raisonner 
juste, on arrivât à fausser l'esprit? La mathématique pure est 
un modèle d'impeccable logique; elle ne se-trompe jamais 
parce qu'elle opère sur des êtres de raison et parce que ces 
opérations sont liées et coordonnées entre elles d'une ma- 
nière rigoureuse ». 

Et si l'on va plus loin, si reprenant cette vieille accusation 
qui indignait Arago, l'on veut que les mathématiques dessè- 
chent le cœur, nous déclarerons bien haut que jamais une 
science dont les applications permettent à l'homme de hanter 
les régions de l'air où l'oiseau n'atteint pas et de donner à 
son vol l'envergure^la plus téméraire, que jamais cette science 
n'a comprimé les battements d'un (;œur qui a le sentiment 
du ofrand, du beau et du vrai. Au contraire, elle suscite des 
enthousiasmes ardents et vous tous. Messieurs, représen- 
tants les plus autorisés de ces études qui nous sont chères, 
en avez fait la réconfortante expérience. Pourrait-on, d'ail- 
leurs, rester indifférent devant celte puissance du calcul qui, 
selon les paroles d'un écrivain français, ancien élève de 
l'Ecole polytechnique, « pèse les astres et annonce leurs 
mouvements plusieurs années d'avance, non pas à la minute, 
ni à la seconde, mais par dixième de seconde; qui, sur l'im- 
perceptible frémissement d'un astre, affirme qu'il y a un astre 
invisible à un milliard de lieues de nous, qui inquiète celui 
que l'on voit ; qui, [enfin, calculant le sens et l'amplitude du 
frémissement, dénonce le lieu et l'heure où l'on apercevra 
l'astre inconnu » ? 



niscorns de m. k i.om pk iîs 369 

Mais, Messieurs, pas n'est besoin de ni'arrèter à cette 
démonstration de l'importance des mathématiques. En tous 
lés pays, elle a été comprise et de très louables initiatives 
ont contribué, en ces dernières années, à l'amélioration des 
parties fondamentales de leur enseignement : l'étude de la 
géométrie élémentaire s'est laite plus intuitive et accorde 
une large place au dessin, la géométrie analytique a été sim- 
plifiée, l'analyse mathématique s'est développée, l'algèbre 
financière est devenue l'objet d'un enseignement plus solide 
et, conséquemment, plus éducatif. 

La lâche est loin d'être achevée, toutefois : des questions 
très difficiles appellent encore un examen attentif et il im- 
porte aussi de coordonner les efforts de tous ceux qu'inté- 
resse la dift\ision des études mathématiques. 

Vous l'avez compris, Messieurs, et lors du Congrès des 
mathématiciens tenu à Rome, en 1908, vous avez décidé la 
création d'une Commission internationale ayant pour objet 
de faire un examen comparé des méthodes et des plans 
d'étude de l'enseignement mathématique dans les écoles se- 
condaires des différentes nations. 

Votre comité central s'est rapidement mis à l'œuvre: il a 
organisé la commission, établi le plan général de ses tra- 
vaux, constitué les sous-commissions qui, en chaque pays, 
sont appelées à faire connaître les tendances actuelles de leur 
enseignement; déjà plusieurs rapports sont publiés : d'Alle- 
magne, d'Autriche, de France nous sont parvenus des travaux 
remarquables, d'autres, en très grand nombre, sont annoncés 
(|ui compléteront l'œuvre si heureusement commencée. 

Laissez-moi vous féliciter. Messieurs, de la précision toute 
mathématique avec laquelle votre travail se poursuit et per- 
mettez moi également de vous dire que si des occupations 
absorbantes ont empêché la sous-commission belge de ré- 
pondre aussi complètement qu'elle l'aurait voulu à l'appel 
que vous lui avez adressé, elle ne tardera pas à suivre votre 
exemple et elle vous promet aujourd'hui son concours le plus 
dévoué. 

Bientôt, j'en ai l'intime conviction, car le succès de votre 
entreprise est assuré, l'enseignement mathématique j)uisera 

L"i;iiS(M(rii<'nic-iit iiKitlu'iii., 12'iinm<;; l'.MO. :i6 



370 C O MM ISSIO N I N TE li NA TIC) NA L E 

en tous pays, aux mêmes sources vivifiantes, les idées direc- 
Irices et les principes généraux. Nous vous serons redevables 
de ce bienfait, Messieurs, et c'est pourquoi nous vous réité- 
rons nos félicitations el nos remerciements. 

Discours de M. F. Klein, président. — INI. Klein remercie le 
représentant du Gouvernement belge des souhaits de bienvenue 
et des excellentes paroles qu'il vient d'adresser à l'assemblée, puis, 
dans un discours très goûté, il développe, en allemand, le rôle et les 
aspirations do la Commission internationale de l'enseignement ma- 
thématique. Nous résumons très brièvement les principaux points. 

Les mathématiques ne forment pas quelque chose de fini ; comme 
toutes les sciences elles progressent aussi bien par leur côté pure- 
ment scientifique que par leurs applications les plus variées. Leur 
importance dans l'enseignement n'a cessé de croître. Il est donc 
indispensable que les méthodes et les plans d'études soient adaptés 
aux conditions actuelles. C'est ce qu'a compris le 4'"" Congrès 
international des mathématiciens en chargeant une Commission 
de faire une étude des tendances modernes de l'enseignement 
mathématique dans les principales nations. 

Le président indique les grandes lignes de l'organisation de la 
Commission et des sous-commissions nationales. Dès le printemps 
1909 le travail effectif a pu commencer dans la plupart des pays 
afin d'élaborer des rapports demandés par le Rapport préliminaire 
établi par le Comité central et traduit dans les principales langues. 
L'enquête se poursuit actuellement avec entrain et donnera lieu à 
des études d'un grand intérêt, ainsi que cela ressort de la séance 
des délégués qui a précédé cette réunion. 

Par la forme de leur exposition et la méthode suivie, les rapports 
peuvent se répartir en trois catégories. Les uns suivent la méthode 
d'exposition systématique, c'est par exemple le cas pour la France ; 
dans d'autres pays, par exemple aux Etats-Unis, on suit la méthode 
statistique, par voie d'enquête complète à l'aide de comités et de 
sous-comités, tandis qu'en Allemagne on a préféré l'exposé par 
monographies pour lesquelles toute liberté est laissée aux auteurs. 

Les travaux de la Commission ne manqueront pas d'exercer une 
heureuse influence sur l'enseignement et plus particulièrement 
sur celui des mathématiques. Mais ils ont dès maintenant pour 
effet de produire une certaine émulation entre les divers Etats, 
puis, dans chacun d'entre eux, de faire mieux connaître sa propre 
organisation, chose assez difficile surtout dans les pays où l'en- 
seignement n'est pas centralisé. On pourra ensuite se livrer à des 
comparaisons basées sur des documents établis avec beaucoup de 
soin sur un plan uniforme pour autant (jue cela est possible, et 
tirer parti des expériences et des progrès faits ailleurs. 



DISCOURS DE M. F E // H 371 

La C.()nimissi(»n iio s"()ccuj)0 pas sculeinont des malhéniatiques 
j)ures, mais aussi des liiaiu'hes connexes de reiiseinneiiienl seien- 
ti(i(jue et de renseli^nenienl leehni(|ue. M. Klein voit précisément 
un symbole de ces liens dans la suite des conférences or<ranisées 
à Bruxelles du 10 au 16' août. Les mathématiques jouissent du 
privilège de pouvoir être examinées pour elles-mêmes en dehors 
des passions que soulèvent des (jueslions de théories passagères, 
de dogmes ou de sentiments. C'est pour celte raison aussi qu'une 
œuvre internationale telle que celle à laipielle nous collaborons, 
est plus facile dans ce domaine de la science. Peut-être trouvera-t- 
elle cependant des imitateurs dans d'autres branches? 

Rapports nu Secrétaire-Général. ^- M. Fehr résume le dis- 
cours présidentiel en français en entrant dans quelques dévelop- 
pements destinés à donner un aperçu de l'état actuel des travaux. 
11 rappelle tout d'abord comment la Commission a pris naissance', 
puis il signale les travaux préparatoires du Comité central qui 
s'est réuni successivement à Cologne (septembre 1908), à Carls- 
ruhe (avril 1909), à Bàle (décembre 1909), à Gœttingue (avril 1910) 
et enfin le 9 août à Bruxelles. 

Passant rapidement en revue le travail accompli dans chaque 
pays, il fait ressortir la difficulté de la tâche dans les pays qui 
n'ont pas une organisation unique. JMais grâce à l'appui des gou- 
vernements et des autorités scolaires et au concours empressé de 
mathématiciens, les délégations réunissent- en ce moment des 
documents qui donneront une forte impulsion à la réalisation de 
nouveaux progi'ès. Ces documents permettront de pénétrer dans 
l'organisation et les méthodes d'enseignement des nations culti- 
vées. Il s'agira ensuite de dégager les idées directrices des ten- 
dances modernes et de coordonner les efforts qui se font de toutes 
parts en faveur de l'enseignement scientifique. 

Les premiers rapports publiés permettent déjà de constater la 
diversité des organisations et des méthodes suivant les traditions 
et les qualités de chaque nation. INlais si les plans d'études et les 
méthodes varient d'un pays à l'autre, les aspirations de tous pré- 
sentent une belle unité dans l'efï'ort commun de rendre l'ensei- 
gnement toujours plus vivant et de l'adapter toujours mieux aux 
besoins de chaque établissement. 

Le compte rendu de la séance des délégués donné plus haut 
nous dispense d'entrer dans le détail de l'exposé au cours duquel 
le rapporteur a présenté les principales publications concernant 
la Commission et dont une seconde série d'exemplaires avait été 
exposée dans la salle. 



1 Voir VEnseign. mathéin., t. VII, p. 382 et p. 471, 1905; et le Rapport piélirniiiaire. Intro- 
duction. ih'Eiiseign. mathém., X, p. 446, 1908). 



372 COMMISSION INTERNATIONALE 



La pénétration réciproque des mathématiques pures et des ma- 
thématiques appliquées dans l'enseignement secondaire. 

Conférence de M. Carlo Bourlet, 
Professeur au Conservatoire national des Arts et Métiers, 

à Paris. 

Messieurs, 

Permettez-moi, avant tout, d'adresser en votre nom nos 
plus vifs remerciements à notre Comité central ; 

et d'abord à notre éminent président, M^ le professeur 
Félix Klein, qui, avec tant de bonne grâce et d'autorité, à la 
fois, a conduit ce matin nos importantes discussions, et dont 
le nom illustre suffît à lui seul pour garantir par avance 
l'ampleur et la portée de nos travaux ; 

ensuite, au professeur Sir George Greenhill, notre vice- 
président, dont le grand talent brille au premier rang dans 
le monde savant et qui, par sa présence assidue, est venu 
nous apporter la preuve de l'intérêt qu'il porte à notre 
grande enquête ; 

enfin à notre dévoué Secrétaire-général, M. le professeur 
H. Fehr, la cheville ouvrière de notre vaste organisation, 
qui a si parfaitement préparé ces réunions et qui, depuis 
deux ans, travaille sans relâche à assurer le succès de notre 
entreprise. ( Applaudissements .) 

Vos applaudissements. Messieurs, me prouvent que je 
viens d'être l'interprète fidèle de nos sentiments à tous. 

Messieurs, 

Notre président et notre secrétaire vous ont, l'un et l'autre, 
rappelé tout à l'heure que le Congrès de Rome, en avril 1908, 
n'avait tout d'abord voulu instituer qu'une vaste enquête sur 
les mathématiques dans ce que nous appelons en France 
l'Enseignement secondaire et qui porte ic;i en Belgique le 
nom d'Enseignement moyen. 



CONFERENCE DE M. UOURLET \MZ 

Ce n'est cjne devant l'impossibilité de liniitei" le champ 
des investigations, d'une part à cause de la niultiplicilé des 
l'oi'mes que revêt cet enseignement dans nos divers pays, 
d'autre part à cause de ses ramifications aussi bien infé- 
rieures que supérieures, que l'on décida de ne mettre au- 
cune borne à nos travaux. 

Leur objet n'en est pas moins, en fait, assez nettement 
circonscrit, et c'est de cet objet que je voudrais vous entre- 
tenir aujourd'hui, en vous priant, toutefois, de vouloir bien 
mexcuser si je choisis de préférence mes exemples dans 
rEnseignement secondaire français qui, bien évidemment, 
m'est mieux connu que tout autre. 



L'enseignement des mathématiques, dans nos lycées, col- 
lèges et gymnases de tous pays, passe actuellement par ce 
que d'aucuns nomment une crise et qui n'est, en somme, 
qu'une fièvre de croissance, un malaise né de la rapidité 
même de l'évolution du savoir humain. 

Par un labeur formidable, le XIX® siècle, siècle qui sera 
sans éoal dans l'Histoire du monde, nous a lég-ué un trésor 
de matériaux scientifiques qui se sont accumulés avec une 
soudaineté et une abondance inimaginables. Brusquement, 
les professeurs se sont trouvés placés devant ce double pro- 
blème à résoudre : non seulement acquérir eux-mêmes les 
connaissances nouvelles au fur et à mesure de leur écio- 
sion, mais encore les faire pénétrer dans leur enseignement. 
Tandis que les limites de la science reculent de plus en plus 
loin, le nombre des heures dont nous disposons pour l'en- 
seigner à la jeunesse de nos écoles reste, hélas, invariable. 
Il faut donc élaguer, simplifier l'enseignement ancien pour 
faire une place à l'enseignement nouveau. Telle matière qui. 
il y a vingt ans, n'était professée qu'à l'Université, doit au- 
jourd'hui descendre à l'échelon secondaire. Pour que les fils 
j)uissent aller [dus avant que leurs pères, il faut que nous 
aplanissions et que nous rectifions poui- eux la route qui 
conduit aux frontières de nos connaissances acluelles. 



374 COMMISSION INTERNATIONALE 

Notre rôle, Messieurs, est terriblement lourd, il est capital, 
puisqu'il s'agit de rendre possible et d'accélérer les progrès 
de l'Humanité tout entière. Ainsi conçu, de ce point de vue 
général, notre devoir nous apparaît sous un nouvel aspect. 
11 ne s'agit plus de l'individu, mais de la société ; et, lorsque 
nous recherchons la solution d'un problème d'enseignement, 
nous devons choisir une méthode non pas suivant sa valeur 
éducative pour l'élève isolé, mais uniquement suivant sa 
puissance vulgarisatrice pour la masse. 

Un enseignement moderne ne saurait se contenter de 
cultiver les facultés de l'esprit, il doit savoir le meubler de 
faits, nombreux et précis. Nous n'avons pas à former des 
philosophes qui vivront en savants ermites, mais des hommes 
d'action qui devront contribuer, pour leur part, au progrès 
humain. Et voici pourquoi il ne nous est plus permis main- 
tenant de présenter à nos élèves la science mathématique 
sous un aspect purement spéculatif et qu'il nous faut, coûte 
que coûte, plus encore pour rendre service à la société dans 
son ensemble, qu'à chacun de nos étudiants en particulier, 
nous efforcer de faire plier les abstractions mathématiques 
aux nécessités de la réalité. 

Ce n'est d'ailleurs là qu'un juste retour; car, s'il est vrai 
que les mathématiques sont indispensables à la science 
appliquée, nous ne saurions méconnaître que c'est dans la 
Nature qu'elles ont trouvé leurs sources les plus fécondes. 
Que les mathématiques soient redevables à l'observation des 
éléments mêmes qui les constituent, que leurs plus beaux 
problèmes aient pris naissance dans l'étude des phénomènes 
du monde physique, cela ne fait de doute pour personne. 
Cependant, avouons-le, nous avons été souvent tentés de 
l'oublier. 

La notion expérimentale de collections d'objets distincts, 
de leur association, de leur répétition, de leur partage, nous 
a fourni celle du nombre et de ses opérations élémentaires. 
Les formes de la nature, idéalisées, régularisées par notre 
imagination, nous ont conduit à concevoir ces figures ir- 
réelles qu'envisage le géomètre. Les mouvements que nous 
exécutons nous-mêmes ou ceux que nous voyons accomplis 



CONIIIRENCE DE M. li OURLET 875 

SOUS nos yeux nous ont lait comprendre la possibilit*' de 
rapprocher, de comparer, crassenihler ces figui-es. Ainsi, sur 
ces hases d'observation, le mathématicien, par h> seule force 
de son raisonnement logique, a construit un édilice immense. 
Peu à peu, s'éloignaht de plus en plus de cette origine expé- 
rimentale, il la perdue de vue, ou, ce qui est plus grave, il 
a souvent voulu la perdre de vue ; il a essayé de la masquer 
sous un appareil verbal, croyant ainsi avoir dégagé sa science 
de tous les liens matériels c[ui la faisaient réelle. 

C'était là, Messieurs, j'ose le dire, une manifestation 
néi'aste de Toi-gueil humain. C'est pour avoir voulu tout tirer 
de lui-même, c'est pour s'être regardé en quelque sorte 
comme un dieu omniscient qui se suffit, c'est pour s'être 
isolé au milieu de l'univers en mouvement que l'homme, 
pendant des siècles, est resté dans une si grande ignorance 
des lois naturelles. Et. dans cette nuit obscure du passé, les 
seuls noms qui brillent sont ceux des Ptolémées, des Archi- 
mèdes,de ces génies précurseurs qui ont toujours puisé leur 
inspiration aux sources inépuisables de la Nature. 

Les grands mathématiciens de nos joiirs ont heureusement 
renoué cette tradition, et, par la diversité des domaines qu'ils 
abordent, ils nous donnent l'exemple à suivre. Tandis que 
les uns assouplissent le calcul au service des sciences expé- 
rimentales, les autres reprennent patiemment l'étude philo- 
sophique des principes mêmes de notre science et nous font 
connaître la vanité des prétentions de ceux qui ont cru ou 
qui croient peut-être encore pouvoir la séparer de la ma- 
tière. 

En partant de la notion ordinale des nombres entiers, 
considérés comme d-es symboles déduits les uns des autres 
par des règles imposées à priori, il est possible de construire 
une Mathématique purement symbolique qui concorde for- 
mellement avec celle que nous avons tirée de l'observation. 
Cette concordance n'est pas fortuite, nous l'avons voulue; 
mais suffît-elle pour que nous puissions légitimement affir- 
mer que nous avons ainsi libéré notre science de l'expé- 
rience ? De quel droit idenlilierions-nous ces symboles ordi- 
naux, créés arbitï-airement, avec ces entités cardinales natu- 



376 COMMfSSION INTERNATIONALE 

relies fjui sont les iioml)res entiers ? Dans quelle mesure les 
équations, auxquelles nous avons donné des noms de figures 
géométriques, représentent-elles réellement les objets maté- 
riels que Texpérience nous a permis de concevoir? Autant 
de questions qui. lorsqu'on les a résolues, précisent et dé- 
nombrent les données expérimentales qui sont à la base des 
mathématiques. 

Ainsi, Messieurs, deux courants, l'un parlant de l'obser- 
vation, l'autre du symbolisme pur, convergent tous deux au 
même point. L'un et l'autre nous ont donné une idée plus 
juste de ce qu'est notre scien(;e, de ce qu'elle peut être et de 
l'usage que l'on doit en faire. Ces deux tendances, la première 
tournée vers l'application, la seconde vers l'abstraction, ne 
sont contradictoires qu'en apparence ; et j'aimerais à vous 
convaincre de l'entente possible et désirable entre ces deux 
modes. 

Analysons donc la question. 



11 y a un premier point, au(juel je faisais allusion à l'ins- 
tant, sur lecjuel l'accord est parlait : c'est la nécessité d'har- 
moniser notre enseignement avec les besoins de la vie. 

L'industrie, fille de la science du XIX" siècle, règne au- 
jourd'hui en maîtresse dans le monde; elle a transformé tous 
les procédés anciens, elle a absorbé en elle presque toute 
l'activité humaine. Le pauvre paysan (jui se sert de machines 
agricoles et d'engrais chimiques n'échappe pas lui-même à 
son omnipotence. Notre devoir impérieux est donc de pré- 
parer les jeunes gens, dont on nous a confié l'éducation, à 
connaître, à pratiquer età faire progresser les sciences expé- 
rimentales oii cette industrie puise ses forces. 

La conclusion qui en découle est inéluctable : Dans nos 
classes secondaires, le professeur de mathématiques, sou- 
cieux, non pas à orner les esprits de ses élèves, mais de 
rendre service à sa race et à l'humanité, doit résolument 
écarter de son enseignement tout ce qui n'aura j)as une uti- 
lité plus ou moins dii-ecte dans les applications. 



CONFERENCE DE M. BOilU.ET 'ill 

Ceci clétinit un prooramme et liniile ses matières. 

Je sais I)ieii <|ue (|U('l((iies esprits ehaorins on routiniers 
(Ic'plorenl la disparition de certaines (|uestions de luxe, sans 
utilité prati(|ue, et aux(|uelles ils attrii)uent une valeur éduca- 
tive exagérée. Dès qu'on l'ait un tableau complet des connais- 
sances mathématiques strictement indispensables à un ingé- 
nieur ordinaire, on s'aperçoit aussitôt (|ue le champ ainsi 
borné est encore immense. 

L'oblioation de ne pas charoer nos élèves d'un bao^aare 
inutile et encombrant, de leur laciliter l'acquisition des con- 
naissances pratiques qui leur permettront de faire leur che- 
min de la vie, nous trace le programme des matières que 
nous devons leur enseigner. C'est là le premier point à pro- 
pos duquel nous avons, en général, su nous accorder. 

Ces matières ainsi définies, comment les enseigner ? Quels 
pi'océdés, quels moyens pédagogiques devons-nous préco- 
niser ? 

Ici, l'entente est moins complète, et il me faut signaler une 
confusion fâcheuse qui s'est malheureusement souvent pro- 
duite, au moins chez nous en France, même dans l'esprit 
d hommes de grand talent. 

Dès qu'il fut établi que l'enseignement des mathématiques, 
tel (|u'il avait évolué dans nos écoles secrondaires, était peu 
apte à préparer les esprits aux sciences appliquées, quelques 
réformateurs pressés et irréfléchis accusèrent aussitôt les 
méthodes elles-mêmes. Ayant acquis dans leur jeunesse une 
certaine somme de connaissances mathématiques, leur esprit 
se refusa de prime abord à admettre que l'une quelconque de 
ces connaissances, ac(|uises parfois au prix de grands etYorts, 
|)uisse être reléguée au rang des objets sans emploi. Tandis 
qu'il fallait, avant tout, émonder les programmes, suppi'imer 
les parties inutiles en pratique, introduire des parties nou- 
velles indispensables, ils s'ingénièrent uniquement à accom- 
moder les anciens plais à une sauce nouvelle ! 

Et quelle sauce, grands dieux! 

Nous en avons vu t|ui, pour faciliter soi-disant l'acquisition 
de rarithm<Mi((ue, ont. avec une ingéniosité digne d'un 
meilleur sort, inventé les appareils les plus compliqués pour 



378 CO.VMrSS/O.X INTERNATIONALE 

expliquer les choses les plus simples. Nous en avons vu qui, 
avant posé en principe qu'en toutes choses l'exemple parti- 
culier doit toujours précéder la théorie générale, poussant à 
l'excès ce principe excellent en soi. exposent la théorie des 
déterminants par approximations successives en promenant 
les élèves à travers le dédale ellVayant des formules géné- 
rales de résolution des équations du premier degré à deux, 
trois et quatre inconnues, résolues par la méthode de subs- 
titution. Nous en avons vu qui. sous prétexte de renouveler 
l'enseignement de la géométi'ie. se sont contentés d'y sup- 
primer au hasard quelques démonstrations pour les rempla- 
cer par une explication vague ou une expérience de menui- 
sier. 

Et c'était toujours au fond la même arithmétique, la même 
algèbre, la même géométrie que l'on enseignait, et dans le 
même esprit. Les élèves apprenaient toujours que «la suite 
des nombres premiers est illimitée », ils avaient simplement 
cessé d'en connaître la raison. L'unité dans la méthode, la 
rigueur dans la démonstration, ces qualités essentielles et 
fondamentales d'un enseignement mathématique, avaient 
sombré dans ce chaos. 

Est-ce à dire cependant qu'après avoir revisé avec soin 
nos programmes, il n'y ait pas lieu de rénover les méthodes 
d'enseignement ? Certes, non ; mais cette rénovation, si elle 
est utile ou même nécessaire, doit présenter, à mon avis, un 
tout autre caractère que celui dont je viens de parler. 

Avant tout, une modification pédagogique quelconque ne 
saurait être limitée à une partie seulement de notre enseigne- 
ment, au risque d'en rompre l'unité et la continuité. Si, par 
exemple, nous transformions le mode d'exposition de la géo- 
métrie, il serait nuisible de ne faire ce changement que dans 
les basses classes, comme on l'a proposé, en laissant subsis- 
ter dans les hautes classes les anciens procédés. Il ne faut 
pas que ce qui est un axiome aujourd'hui devienne demain 
une vérité démontrable, et inversement. Toute transforma- 
tion dans nos méthodes doit donc porter à la fois sur l'en- 
semble des classes dont le programme comporte l'enseigne- 
ment modifié. 



CONFERENCE DE M. B O U H f. E T 379 

Cette condition essentielle étant remplie, il nous sera facile 
(le trouver un guide sur pour ("aire notre choix entre les di- 
vers moyens dont nous disposons, car il nous sullira de nous 
rappeler sans cesse le but que nous poursuivons. Un même 
fait mathématique peut être démontré et présenté de diverses 
manières; mais, parmi ces procédés différents, les uns sont 
d'élégants artifices et les autres des moyens naturels, les uns 
sont dénués de toute représentation concrète et les autres, 
quoique aussi rigoureux, ont une image tangible, les uns 
sont susceptibles d'extensions et de généralisations et les 
autres sont bornés à leur propre sphère d'action, les uns ou- 
vrent de larges horizons aux jeunes esprits et les préparent 
à des connaissances ultérieures et les autres ne suggèrent 
aucune idée nouvelle. Est-il besoin de dire quel est celui qui 
aura notre [)référence ? Ce sera celui qui suivra la voie la 
plus naturelle, qui sera le plus tangible, le plus général et le 
plus fécond. 

C'est dans cet esprit. Messieurs, que depuis plusieurs an- 
nées nous luttons patiemment pour le rajeunissement de 
notre enseignement secondaire en France ; c'est aussi dans 
cet esprit que je vous propose d'en examiner aujourd'hui le 
détail. 



Les programmes de mathématiques dans nos lycées et 
gymnases comprennent d'une part l'arithmétique et l'al- 
gèbre, d'autre part la géométrie et la trigonométrie. On 
pourrait y ajouter parfois la mécanique, car dans certains 
pays cet enseignement est aux mains des professeurs de 
mathématiques, tandis que dans d'autres, et non sans raison, 
il est confié aux professeurs de physique. 

Les anciennes barrières factices que l'on avait dressées 
entre l'arithmétique et l'algèbre ont heureusement disparu 
en même temps que celles qui séparaient l'algèbre de l'ana- 
lyse. Il est passé le temps où l'on proscrivait l'emploi des 
lettres en arithmétique et oii, sous prétexte de simplicité, 
on l'orçait les élèves à cette gymnastique intellectuelle ter- 
rible qui consiste à traduire en langage vulgaire tout ce qui 



380 COMMISSION INTERNATIONALE 

est condensé dans une équation. Depuis vingt ans, ren- 
seignement de raritlimétique et de l'algèbre a l'ait dans nos 
écoles françaises d'admirables progrès dus uniquement aux 
nécessités de son adaptation aux sciences appliquées. 

Résumons-les et essayons de noter au passage les amélio- 
rations possibles et désirables. 

Il n'est pas, dans tout le programme de nos classes secon- 
daires, de parlie [)lus délicate que les théories de l'arithmé- 
tique. Par un contraste étrange et déconcertant, ce sont pré- 
cisément ces quatre opérations, rudiments indispensables 
qui constituent la base des connaissances mathématiques, ce 
sont les fractions ordinaires et décimales et tout leur cortège 
dont la théorie est ce que notre enseignement élémentaire 
présente de plus diflicile. Pour bien en saisir les démonstra- 
tions synthétiques, il faut un esprit ayant une certaine matu- 
rité. Aussi, depuis quelque temps déjà, est-on entré résolu- 
ment dans la voie rationnelle qui consiste à ne faire apprendre 
aux jeunes enfants que le mécanisme du calcul et à rejeter 
à la fin l'exposé de ces théories, après l'étude élémentaire de 
l'algèbre. 

Nous n'avons même pas encore été assez hardis dans ce 
triage heureux. X quoi bon fatiguer les cerveaux d'enfants 
de dix à treize ans par des variations sans fin sur le plus 
grand coniniun diviseur et le plus petit commun multiple, 
par des j)ropositions fort élégantes, mais parfaitement inuti- 
lisables en pratique, sur les nombres premiers et les frac- 
tions décimales périodiques ? Que nos élèves apprennent les 
opérations fondamentales du calcul des nombres entiers, 
dé(;imaux et fractionnaires, qu'ils sachent manier impertur- 
bablement le système métrique, et le maître trouvera dans 
des problèmes de pratique courante matière suffisante pour 
exercer leur raisonnement. A quoi cela servira-t-il à quatre- 
vingt-dix-neuf élèves sur cent de savoir que la décomposi- 
tion d'un nombre entier en facteurs premiers n'est possible 
que d'une seule manière ? et même de savoir réduire une 
fraction à sa plus simple expression ? On pourrait compter 
sur les doigts les cas pratiques exceptionnels où cette con- 
naissance pourra être utilisée, comme par exemple le pro- 



CONFERENCE DE M. li O U I{ I. E T 381 

blême du choix du train d'engrenages né('essaire pour exécu- 
ter sur un tour parallèle une vis de pas donné. Xe sera-t-il 
pas infiniment plus profitable au jeune étudiant de posséder, 
au lieu de ce bagage pédantesque, des notions pratic|ues 
d'algèbre et de géométrie (|ui auront, en outre, l'avantage 
appréciable de l'intéresser? Je ne désespère pas. Messieurs, 
de voir bientôt toutes les théories sur les diviseurs et les 
nombres premiers définitivement reléguées dans la dernière 
des classes de la section scientifique de nos écoles secon- 
daires. 

Nous avons presque tous connu le temps où l'algèbre 
occupait cette place réduite et élevée que je voudrais voir* 
réserver aujourd'hui au plus grand commun diviseur et au 
crible d'Eratosthène. Nous avons assisté à sa descente, par 
gradins successifs, dans toutes les classes supérieures de 
nos établissements. Ce lut d'abord l'emploi timide de lettres 
en arithmétique, l'introduction des équations du j)remier 
degré venant enfin détrôner les procédés baroques, les trucs 
arithmétiques dignes de la scholastique du moyen âge. En 
même temps les élèves de la classe de Mathématiques Elé- 
mentaires, la dernière classe scientifique dans nos hcées, 
recevaient quelques notions — combien réduites et impar- 
faites ! — sur la variation des fonctions simples. 

Je me souviens qu'en 1895, il y a quinze ans, j'eus la har- 
diesse insigne — qui n'avait pour excuse que mon jeune âge 
— d'écrire pour les candidats au baccalauréat es sciences des 
«Leçons d'Algèbre» qui étaient alors révolutionnaires. Non 
seulement j'avais débuté par l'exposé direct des nombres 
négatifs avec des exemples concrets choisis dans les applica- 
tions usuelles, non seulement j'avais semé d'un bout à l'autre 
du volume la notion de fonction et de sa représentation gra- 
phique, mais j'avais eu l'audace inouïe d'y parler de limites, 
de continuité et de dérivées ! Si mon éminent maître, M. Gas- 
ton Darboux, alors doyen de la Faculté des Sciences de Paris, 
n'avait pas eu la bienveillance de patronner mon ouvrage et 
de le couvrir de sa haute autorité, j'eusse vraisemblablement 
été fort maltraité par bon nombre de critiques de ce temps-là. 



382 COMMIS sroy INTERNATIONALE 

Or, il y a un an, mon é(iiteur me priait avec insistance de 
remettre au point ce volume et, à l'appui de sa demande, il 
m'envovait des lettres de jeunes prol'esseurs qui lui écri- 
vaient : « l'Algèbre de Bourlet est encore — encore — un 
bon ouvrage, mais elle a vieilli l » Et je suis certain que ces 
jeunes collègues, qui ne me connaissent pas, s'imaginent 
(jue l'auteur de ce livre préhistorique est un vieillard à che- 
veux blancs. Si je me permets de citer cet exemple person- 
nel, ce n'est pas pour en tirer vanité, mais uniquement pour 
constater, avec joie, la rapidité avec laquelle, dans ce domaine 
au moins, notre enseignement a progressé en France. Ce ne 
sont d'ailleurs ni moi ni aucun des nombreux auteurs qui ont 
suivi le même chemin que moi, qui avons été les promoteurs 
de ce progrès : c'est la nécessité même, c^est l'influence do- 
minante des sciences appliquées dont nous n'avons été que 
les premiers serviteurs. 

La notion de fonction est à la base de toute étude des 
phénomènes naturels. Du jour où l'enseignement de la 
physique et de la mécanique quitta l'Université pour péné- 
trer dans nos écoles secondaires, il fut implicitement décrété 
que les rudiments de la théorie des fonctions devraient les 
accompagner. Lorsqu'il y a quinze ans, — après d'ailleurs en 
avoir lait l'essai sur mes élèves, — j'aflîrmais que les candi- 
dats au baccalauréat apprendraient sans peine le calcul des 
dérivées, lorsque je réclamais la suppression des spécula- 
tions inutiles et l'introduction de tout ce qui sert dans l'ap- 
plication, bien des « sages » d'alors levèrent les bras au ciel. 
Aujourd'hui, nos futurs bacheliers apprennent la notation 
différentielle et font déjà quelques quadratures; et nos élèves 
de Première et de Seconde scientifiques jonglent avec les 
dérivées. 



Un progrès est d'autant plus facile à réaliser qu'il ne 
heurte aucune habitude acquise. Si, en moins de vingt ans, 
nous avons pu donner une aussi large place à l'Algèbre et à 
l'Analyse dans nos lycées, c'est que le champ était libre. En 



C ONFE R EN C E D E M. BOVRI.ET 38:i 

ai'ithin(>li(|ue, nous avons éU' moins heureux, car il s'agissait 
de niodider un état de choses l'ort ancien et de décider le 
corps des professeurs, non pas à introduire des matières 
nouvelles, ce qui est assez facile, mais à faire d'amples cou- 
pures dans ce que, jusque là, ils avaient coutume de consi- 
dérer comme FA B C fondamental de leur enseignement. 

En géométrie (-'est j)is encore. 

Pendant des siècles, des générations successives de ma- 
thématiciens ont étudié, complété, perfectionné celle dont 
Euclide nous a donné le plan; et peu à peu l'œuvre du savant 
grec a pris cette forme définitive qui, semhle-t-il, assure la 
pérennité. Cepemlant, lorsque, poussés par la nécessité, nous 
avons voulu initier à (^ette science des enfants de onze et 
douze ans, lorsque surtout nous avons voulu leur enseigner 
une géométrie pratique qui se plie à des applications immé- 
diates au dessin, à la mécanique, aux arts industriels, il nous 
a fallu constater que la méthode rigide et dogmatique d'Eu- 
clide mancjuait de la souplesse désirable et répugnait à ces 
jeunes cerveaux. 

Ce fut le désarroi. Les uns déclarèrent simplement que cet 
essai malheureux prouvait que la compréhension de la géo- 
métrie exigeait beaucoup de maturité d'esprit et proposèrent 
de revenir au « statu quo ante » ; les autres, plus persévérants 
et plus confiants dans les capacités de nos étudiants, émirent 
l'avis que le coupable était non pas l'élève, mais le profes- 
seur, et qu'il était temps de rechercher le moyen de rendre 
la géométrie accessible aux enfants. 

L'intention était louable, malheureusement les procédés 
employés pour la réaliser ne méritent peut-être pas toujours 
les mêmes éloges. En hâte, car le temps pressait, on a, trop 
souvent, inconsidérément taillé, coupé, rapiécé et recousu 
notre géométrie classique. Qu'un théorème paraisse trop 
difficile, on le supprime ou on le transforme en axiome; 
qu'une proposition utile en pratique soit trop lente à venir, 
on lui fait faire un bond en avant dans la suite logique. Ce 
fut là ce qu'on décora du nom de géométrie expérimentale 
(|ui prétendait modestement se contenter de faire connaître 
aux jeunes enfants des faits géométriques, dans un ordre 



384 COMMISSION I N T E li N A T I O N A L E 

arbitraire, jusqu'au jour où ils atteindraient les classes supé 
rieures et où on redresserait tout cela d'un seul coup. 

Il faut n'avoir jamais enseigné à des enfants pour ne pas 
savoir quelle trace profonde laisse en eux la première initia- 
tion et ([uel trouble on jetterait dans leurs esprits en supei- 
posant deux procédés aussi radicalement o[)posés. Comme 
je l'ai dit plus haut, et je le répèle ici avej plus do force, une 
modification pédagogique ne saurait être limitée à une partie 
seulemen' de notre enseignement, au riscpie d'en rompre 
l'unité et la continuité. Il faut ou reviser l'ensemble ou se 
résoudre à ne rien changer. 

Permettez-moi, Messieurs, une comparaison vulgaire qui 
précisera ma pensée. 

Une formule d'art, l'art gothique, par exemple, étudiée, 
perfectionnée par des générations d'architectes de talent, 
nous a livré des chefs-d'œuvre incomparables. \'oici un édi- 
fice admirable légué par nos pères, parfait dans ses propor- 
tions harmonieuses, exactement adapté au but pour lequel il 
a été élevé et dans lequel chaque partie concourt, pour sa 
part, à assurer un équilibre judicieux et élégant. Mais, hélas, 
ce bijou historique ne répond plus aux besoins de notre vie 
moderne : les vitraux coloriés laissent passer un jour insulTi- 
sant, les escaliers tortueux et étroits sont fatigants, les salles 
sont trop vastes et on y gèle en hiver. Allons-nous remplacer 
les verreries par des glaces de Saint-Gobain, installerons- 
nous un ascenseur dans la tour ciselée et diviserons- 
nous les grandes salles par des cloisons en briques pour y 
aménager un chauffage à vapeur? Ce serait un scandale; et 
l'architecte moderne, soucieux à la fois de respecter une 
œuvre d'art et de se rendre utile à ses contemporains, lais- 
sera intact le vieux monument, dont il fera un musée, et 
construira plus loin, suivant une formule nouvelle, un palais 
moderne luxueux et confortable. 

Il en est de même pour la géométrie. 

Classons l'antique édifice d'Euclide, admirable d'harmonie 
et de perfection, au rang des monuments historiques, et 
bâtissons, suivant un plan nouveau, une œuvre homogèn-e 
conforme aux nécessités du jour. 



CONFÉ n E y c /■: d k m . n o u n l e t 385 

Voici, Messieurs, une tà(^he imf)ortanl(> à la(|uelle nous 
devons tous travailler. Je suis certain f|ue nos elt'oi'ts peuvent 
aboutir et permettez-moi, en terminant, d'esquisser la voie 
dans la(|uelle, à mon avis, nous pouvons nous engager réso- 
lument. 

Deux notions ex[)érimentales sont à la base de toute eréo- 
inétrie : celle des figures idéales que nous envisageons et 
celle de leur déplacement sans changement de forme. « S'il 
n'y avait pas de corps solide, a dit Henri Poincaré, il n'y 
nuiait pas de géométrie ». Nous pouvons ajouter qu'il n'v en 
aurait pas non plus s'il n'y avait pas de mouvement qui per- 
mette de raf)[)ro{dier et de comparer ces cor[)S. La possibilité 
du déplacement étant la condition primordiale de l'existence 
même de la géométrie, n'est-il pas naturel de faire de ce 
déplacement le moyen principal de recherche et de démons- 
tration dans notre nouvelle méthode ? Nous réaliserons, du 
coup, deux progrès notables; car, d'une part, nous institue- 
rons un mode d'exposition plus concret et plus accessible, 
quoique parfaitement rigoureux, et, d'autre part, nous pré- 
parerons les voies à l'enseignement de la cinématifpie (|ui se 
présentera ainsi comme le prolongement ou le complément 
naturel de la géométrie. Au lieu, suivant les errements d'Eu- 
clide, de placer en tète des cas d'égalité de triangles destinés 
à supprimer le plus tôt possible les déplacements de toutes 
les démonstrations, nous aurons soin, au contraire, de met- 
tre ces déplacements en évidence et, alliant sans cesse 
l'exercice graphique à la démonstration théorique, nous les 
réaliserons sous les yeux des élèves avec les instruments 
du dessin. La théorie et l'application marcheront ainsi de 
Iront. 

Mais il y a plus. 

Puisque dorénavant le déplacement sera pour nous l'ins- 
trument fondamental de démonstration, c'est lui qu'il nous 
faudra étudier tout d'abord, de même qu'un bon ouvrier ap- 
prend avant tout à connaîtie l'outil dont il doit se servir. 
Or, — et ce n'est pas là l'un des résultats les moins surpre- 
nants de cette nouvelle méthode, — notre géométrie, ainsi 
conçue, prendra une envergure inattendue. Qu'est-ce. en 

L'Enseignement niathéni., I'J« année;: lillO. 27 



386 COMMfSS/O.y 1 y T K li N A T 1 O X A I. E 

somme, que dire qu'on peut déplacer une figure invariable 
et que deux figures égales à une troisième sont égales entre 
elles, si ce n'est aHirmer que les déplacements forment 
//// £^roupe, au sens que Gallois et Sophus Lie ont attaché a 
ce mot? Parmi eux nous étudierons d'abord les plus simples : 
les rotations et les translations, et nous constaterons Texis- 
tence de sous-groupes invariants. Placés sur ce terrain, nous 
nous apercevrons aloi-s que ce qui caractérise la géométrie 
dite Euclidienne, c'est le lait que les translations y forment 
un sous-groupe invariant. C'est donc là le postulat qui pourra 
remplacer celui auquel on attache le nom d'Euclide. 

Il est inutile, Messieurs, que j'insiste sur ce sujet devant 
un auditoire de mathématiciens; car vous concevez sans 
peine les conséquences multiples de cette nouvelle méthode 
d'exposition de la géométrie pure. Présentant les faits sous 
une forme plus naturelle, elle est plus intuitive et plus ac- 
cessible aux débutants; mais, d'autre part, se rattachant à la 
plus vaste des théories modernes, elle ou\re des horizons 
nouveaux à l'élève curieux. Comme je l'ai dit ailleurs, « cette 
Géométrie descend plus bas, mais elle monte aussi plus 
haut ». Certes, les travaux faits dans cette nouvelle voie sont 
loin d'avoir un caractère définitif; mais les premiers essais 
sont si encourageants que j ose affirmer que le doute n'est 
j)lus guère permis sur la réussite finale. 

Unissons donc nos efforts en un labeur commun. De l'en- 
quête que nous avons entreprise jailliront de nouvelles 
lumières qui illumineront la route (|ue nous suivons. Sans 
rien sacrifier des qualités de rigueur, de logique et de pré- 
cision qui sont l'apanage des mathématiques, nous saurons 
y discerner l'essentiel, y mettre en évidence les moyens les 
plus propres à préparer les élèves à la compréhension des 
sciences expérimentales. 

La limite entre les mathématiques pures et les mathéma- 
tiques appliquées n'existe pas, car ces deux sciences, loin 
d'être séparées, doivent sans cesse s'entr'aider et se com- 
pléter. Cette pénétration réciproque est le gage d'un progrès 
certain. Elle empêchera les mathématiciens de perdre leurs 
efforts dans des travaux de spéculation pure, de faire une 



SECTIO X A I. 1. E M A NDE 387 

œuvre stérile oomme le fut jailis, pour une bonne part, celle 
des philosophes grecs; elle arrêtera les expérimentateurs 
sur la voie de l'empirisme et les obligera à se soumettre au 
contrôle sévère de TAnalyse. 

Ainsi, Messieurs, appliquant cà notre usage la belle devise 
de notre hôtesse, la nation belge, nous trouverons ensemble 
la Force dans l'Union. 



DEUXIEME PARTIE 

Conférence sur l'enseignement scientifique en Allemagne. 

Jeudi il août. 



Aux séances de la Commission internationale de renseignement 
mathématique viennent faire suite les conférences organisées dans 
la section allemande d'enseignement par la Société pour le pro- 
grès de l'enseignement des sciences mathématiques et naturelles 
(Verein ziir Fôrderung des mathematischen iiiid naturwissenschaf- 
lichen Lnterrichfs) sous le patronage du Ministère prussien de 
l'Instruction publique. 

La séance est ouverte par M. le Prof. Thaer, président, direc- 
teur de l'Ecole réale supérieure de Holstentor à Hambourg, devant 
une nombreuse assistance, dans la salle des Conférences du Pavil- 
l(Mi allemand. Cette salle est pourvue des derniers perfection-, 
nements techniques pour tout ce qui concerne les conférences 
scientifiques et les projections lumineuses. 

M. le Dr. A. Matthias, wirkl. Geh. Oberregierungrat, prend la 
parole au nom du Ministère prussien de l'Instruction publique. Il 
a suivi avec intérêt les progrès des écoles en Prusse où l'ensei- 
gnement scientifique a fait tant de progrès depuis que les élèves 
ont été appelés à prendre une part active aux leçons. Le véritable 
rôle des sciences dans l'enseignement moyen a été longtemps 
méconnu sous l'influence prépondérante des études classiques. 
Aujourd'hui on reconnaît leur valeur éducative. Les élèves et les 
maîtres y apportent un intérêt et un entrain tout particuliers 
depuis l'introduction des travaux pratiques dans les différentes 
branches scientiliques. 

M. le Prof. RouMEN ^Anvers;, salue l'Assemblée au nom de la 
Fédération de l'enseignement moyen officiel belge, et Sir Gueen- 



388 CONFÉRENCES DE BRUXELLES 

HiLL exprime les vœux de la Commission internationale de l'ensei- 
gnement mathématique pour la réussite des conférences qui vont 
avoir lieu dans les sections allemandes et françaises. 

M. le Dr. Mosch, Commissaire de TKxposition allemande d'en- 
seignement, donne un aperçu du but de cette exposition et des 
dispositions adoptées. Tandis qu'à l'Exposition universelle de 
Saint-Louis, l'enseignement supérieur était largement représenté, 
on a préféré cette fois accorder plus de place à renseignement 
élémentaire et secondaire supérieur et représenter en détails ren- 
seignement dans les différentes branches. Ainsi on trouve d'une 
manière complète tout ce qui concerne les différents types d'éta- 
blissements représentés chacun par une école (Ecole réale. Ecole 
réale supérieure, Gymnase réal. Gymnase et ses différentes va- 
riétés). On pourra consulter les plans et photographies des bâti- 
ments scolaires, des classes et des laboratoires, ainsi que les plans 
d'étude, manuels, procès-verbaux des conférences des maîtres, 
des séances d'examens, etc.' M. le Dr. Mosch estime que c'est à la 
grande initiative laissée aux maîtres qu'il faut attribuer les pro- 
grès réalisés dans l'enseignement. 

Le Président remercie les orateurs et ouvre ensuite le série des 
conférences en donnant la parole à M. le Prof Treutleix (Carls- 
ruhe). 

Conférence de M. Treutlein 
sttr l'enseignement de la Géométrie. 

C'est en quelque sorte un complément de la conférence faite la 
veille par M. Bourlet. M. Treutlein a derrière lui une longue expé- 
rience de l'enseignement. Ses efforts ont constamment porté à 
développer chez l'élève de l'intuition et de l'expérience géomé- 
triques. Aujourd'hui, on ne songe plus à enseigner la géométrie en 
se bornant uniquement au texte d'Euclide. On attribue une place 
à l'intuition des élèves et on y parvient en ayant recours à des 
modèles, au dessin, au pliage, surtout au début. 

L'enseignement doit être à la fois expérimental et logique. 
M. Treutlein développe sa méthode en présentant une série de 
nouveaux modèles qui vont être édités par la maison Teubner, à 
Leipzig. 

Dans une seconde séance, qui a eu lieu le lendemain à 4 heures, 
M. Treutlein a montré comment les nouveaux modèles doivent être 
utilisés à l'Ecole. 



» L'Enseignement mathématique » déjà signalé (N» de juillet lillO, p. 315) le catalogue spé- 
cial de l'oxposilion allemande d'enseignement; 2vol.de 3ii(i et 170 p.; librairie Wtidmann, 
Berlin. 



SECTION ALLEMANDE 389 

CONFÉBEXCE DE M. GlUMSEHL 

.s7//" les exercices pratiques de physique. 

La seconde conférence est consacrée à la question des exercices 
pratiques de physique, qui est d'une grande actualité. 

M. Grimsehl montre comment on peut organiser des exercices 
pratiques même dans des locaux relativement petits et avec un 
matériel très limité. Il donne d'abord une description des exei-- 
cices pratiques commencés, il y a dix ans, dans des conditions peu 
favoiablcs, ii IKcole réale de L hlenhorst, dont il est le directeur. 
Après d heureuses translormations leur organisation passe aujour- 
d'hui pour un modèle d'installation en Allemagne. 

On commença d'abord les exercices en attendant d'avoir les 
locaux nécessaires et l'enseignement de la physique et de la chi- 
mie fut donné dans un petit auditoire. Le cours d'exercices pra- 
tiques de physique de NI. Xoack était le seul livre pouvant servir 
de guide pendant la piemière période de travaux pratiques. I>es 
élèves n'avaient à leur disposition que dt!S appareils destinés aux 
démonstrations; on en augmenta le nombre par quelques appa- 
reils inventés par M. Xoack, Il n'existait toutefois qu'un seul 
modèle de chaque appareil, aussi les élèves ne pouvaient-ils être 
occupés simultanément aux mêmes exercices qui consistaient 
presque exclusivement en répétitions. Pour le maître ces travaux 
praticjues étaient très fatigants et Ion se vit obligé à recourir à une 
autre organisation permettant d'occuper plusieurs groupes d'élè- 
ves à un même exercice ou à des exercices semblables. Afin d'ob- 
tenir des appareils à un très bas prix, les élèves furent chargés de 
les construire eux-mêmes, c'est-à-dire que les exercices de physi- 
que se transformèrent en un enseignement manuel. De cette ma- 
nière les élèves ont construit avec beaucoup de zèle et non moins 
de succès des appareils qui sont encore employés aujourd'hui. 

On abandonna cependant bientôt cette façon de procéder, car 
le ten)ps et la peine qui y étaient consacrés n'étaient pas com- 
pensés par les connaissances acquises. L'enseignement manuel de 
la physique fut abandonné au bout d'un an.' 

Sur ces entrefaites un agrandissement de locaux permit d'éta- 
blir une salle spéciale pour les exercices de physique. L'installa- 
tion est très simple et ne consiste (ju'en tables avec les conduites 
faciles à déplacer pouvant amener l'eau, le gaz ou lélectiicité. Ln 
même temps on inventa des appareils plus simples et aujourd'hui 
l'école possède une dizaine de modèles de la plupart des appareils. 
En général, deux élèves travaillent ensemble avec un appareil, ce 
qui permet à un seul professeur de surveiller les travaux d'une 



390 CONFERENCES DE BRUXELLES 

vinufaine délèves. Les exercices sont considérés comme un com- 
plément des leçons de démonstrations ou de théorie. Ils sont 
presque toujours le point de départ de discussions ou de dévelop- 
pements théoriques. Quelquefois aussi ils servent à déterminer 
la valeur d'une constante de piiysique dont on a besoin dans la 
leçon. Les appareils (jui sont aujourd'hui en usai(C à lOberreal- 
schule d'Uhlenhorst sont presque tous dûs à M. Grimsehl. On 
peut en voir une grande partie à l'Exposition dans la section alle- 
mande d'enseignement. Ils ont été exécutés dans les ateliers 
Kruss. à Hambourg. 

Signalons quelques-uns des appareils et des projets d'expé- 
riences que M. G. a présentés h cette conférence : pistolet à res- 
sort et cible pour la démonstration des lois sur le jet horizontal. 
Appareils pour la démonstration de la loi de Mariotte, pour la 
détermination du nombre des vibrations en acoustique, pour la 
mesure de l'allongement dans la dilatation de corps solides. Divers 
appareils pour l'optique. Mesure de résistance en électricité, etc. 

Dans une séance de démonstration qui a eu lieu le même jour, 
à 4 heures, M. Grimsehl a examiné en détail l'emploi de quelques- 
uns de ses appareils. 

Conférence de M. Schoenichen 
sur l'enseignement des Sciences biologiques. 

Cette conférence a pour but de montrer comment on organise 
les cours et les laboratoires de sciences naturelles dans les écoles 
allemandes. Le maître doit avoir recours à la participation per- 
sonnelle des élèves; il doit chercher à développer les facultés 
d'initiative et d'observation dans ses leçons théoriques et les tra- 
vaux pratiques consacrés aux sciences naturelles. On peut y par- 
venir, notamment, en faisant construire des dessins, des modèles, 
du modelage, etc., et faire des expériences. 

Le même jour, à 4 ^'j heures, MM. Schônichen et B. Schmidt 
ont fait des démonstrations à l'exposition biologique. 

Conférence de M. Driesen. 
La i'ie scolaire en Allemagne. 

.Jeudi soir, à 6 heures, M. Driesen a présenté à un nombreux 
public le tableau cinématographique et gramophonique de la 
vie scolaire de la ville de Charlottenbourg. C'est là une intéres- 
sante innovation dans le domaine des recherches et de la propa- 
gande pédagogiques. M. Driesen n'y est parvenu qu'après avoir 



>• ECTIO S A I. I. E MA \ D E :j9 1 

surmonté des diiriciiltrs tcchnicjiies i-onsidciahlos afin de r(''unii" 
le ciiKMualonraphe au i^i-aniophonc j)ar le chioiiojihone. 

I.e principe est le même cjue celui de la reproduction des con- 
certs, mais son application à l'école est nouvelle et présente de 
nombreuses dilïicultés. Il faut arriver à une concordance complète 
entre les paroles et les mouvements. 

Le but est d'obtenir des tableaux complets et vivants de l'acti- 
vité scolaire donnant l'illusion de la réalité. Les auditeurs ont pu 
suivre la vie, l'enseignement et les tendances des écoles de Char- 
lottenbours^ par l'entremise de M. Driesen, leur représentant, et 
cela dans l'ordre suivant : Jardins d'enfants, leçons de calcul dans 
une classe B (classe d'enfants anormaux), travaux pratiques en 
physique, leçon de françaisavec la méthode directe; puis les éta- 
blissements d'enseii^nement supérieur avec la « ^Valdschule » de 
Charlottenburg et enfin, pour la gymnastique, des exercices d'en- 
semble avec accompagnement de musi((ue, que le conférencier a 
obtenu au moyen d'un grand orchestre par gramophone, essai qui 
devrait être imité. 

En résumé, la conférence donnait un aperçu des multiples ré- 
formes scolaires introduites à Charlottenbouro-. 



Vendredi 11 août. 
Conférence de M. F. Klein. 

Le programme annonçait une conférence de M. Schwerinc, Di- 
recteur de Gymnase à Cologne, avec le titre Ist Mathematik Hexe- 
rei ? Empêché par la maladie, M. Schwering n'a pu se rendre à 
Bruxelles. M. le Prof. Klein, qui veut bien le remplacer, regrette 
que le distingué mathématicien et pédagogue qu'est M. Schwering 
n'ait pu venir développer devant cette assemblée les idées que ren- 
ferme l'intéressante brochure, qu'il a publiée sous l'anonymat 
avec le même titi-e', et dans laquelle on trouvera d'utiles directions 
pédagogiques''. 

M. Klein parle d'abord des travaux qui ont été entrepris en Al- 
lemagne sur l'initiative de la Commission internationale de l'ensei- 
gnement mathématique et présente les monographies déjà pu- 
bliées. La liste a été donnée plus haut, dans la première partie. 

L'objet principal de la conférence est l'emploi de modèles géo- 
métriques en mathémati([ues supérieures. Après avoir rappelé 
l'influence de Monge et d'Olivier, il présente les modèles les plus 



' Ist Mathematik Hcxerei'f Von cinom preussischen Soliiilnieister. Vcrlao; Herdor, Freiburg 
i. B. 

* Dans le second nippori intitulé. Die Organisation der math, i'nterriihts an de/n hôheren 
Knaben-Schulen in Preussen. NL Liet/.maDn reproduit précisément une leçon qu'il a entendue 
dans une classe de M. Schwering. (v. p. 64 et suiv.l. 



392 CONFÉliENC ES DE li li U X E L f. E S 

ieniaiqual)l('s construits en Allemaiiii(\ notamment les collections 
Brill et Schillinij relatifs à la Gconu'tiie des courbes et des sur- 
faces. 

Dans une seconde séance, qui a eu lieu l'après-midi à 4 heures, 
MM. Theutleix et Klein apportent quelques développements sur 
remploi des modèles exposés. 

CoXKÉHEXCE DE M. PoSKE, 

sur renseii^nenicnt de la Physique. 

M. PosKK Berlin , parle des problëmes de renseignement de ht 
Phf/sique (\\\\ sont aujourd'hui d'une grande actualité en AUema- 
tjne. Un premier problème est celui des rapports entre l'enseione- 
ment des mathématiques et celui de la physique. Cette dernière 
ne peut pas se passer du secours des mathématiques, et comme l'a 
naontré M. Timerding dans son rapport destiné à la Commission 
internationale, elle ne peut procéder exactement sans avoir re- 
cours au calcul inhnitésimal. Les notions fondamentales de ce 
calcul doivent être fournies par l'enseignement mathématique. M. 
Hofler a réuni en 4 pages les formules de la physique qui reposent 
sur le calcul infinitésimal, il les a données dans le supplément de 
sa « Xaturlehre ». 

Un second problème est celui de la place à accorder à la tech- 
nique. Ici il faut un ct)mpromis établi avec beaucoup de soins et 
de tact. 

Un choix convenable des matières constitue un troisième pro- 
blème. On ne doit pas aller trop loin dans la délimitation du 
champ en faveur d'une étude méthodique trop approfondie, tandis 
que d'impoitants chapitres seraient laissés de côté. Le but doit 
être de donner un tableau d'ensemble du monde physique. 

A ce problème se rattache celui de la méthode d'enseignement. 
Doit-elle être uniquement heuristique? Le conférencier recom- 
mande une combinaison de la méthode heuristique et de l'ensei- 
gnement de l'exposition. Quant au manuel, il ne doit pas suivre 
l'enseignement, mais ])résenter les matières groupées dans leur 
ordre logique. 

D'autres problèmes concernent les travaux pratiques d'élèves. 
M. Poske montre les différentes directions que l'on peut suivre et 
termine en présentant une série d'appareils de MM. Noack et 
Hahn, qui viennent ainsi compléter les démonstiations qui ont été 
faites dans une séance précédente par M. Grimsehl. 

L'après-midi à 4 heures et demie a eu lieu une visite à l'Exposi- 
tion des instruments de Physique, sous la direction de MM. Poske. 
MoscH et Dhosiex; à cette occasion des expéi'iences ont été faites 
par les représentants des dillerentes maisons. 



.s ECTION l' /{ A Ne A I SE 393 

CoM KIIKNCK l)i: M. BaSTIAN SciIMlU 

sur l'enseignement de la Biologie, son but et son o/ganisa(ion. 

M. Sc'hmid exaniiiie d'ahoid la question par son côté hisloii<jue 
en rappelant le rôle utile (ju'a joué la section d'enseignement par 
ses importants ra])p{)rts présentés aux congrès des médecins et 
naturalistes allemands, notamment à Meran. 11 indique les diffi- 
cultés qui restent encore à vaincre, puis il fait un tableau de l'état 
actuel. Les biologistes allemands s'efToicent à donner un ensei- 
gnement bien approprié au but de linstruction secondaire supé- 
rieure. Dans certaines branches telles que l'anatomie, la physio- 
logie, l'anthropologie, etc., on peut tirer un grand parti des 
exercices pratiques en ayant recours au microscope et à quelques 
préparations. En outre, le professeur peut, en passant, aborder 
des questions dordre philosophique. 

Le même jour, à heures, .M. Schmid a fait dérouler sur l'écran 
une série de vues cinématographicpies représentant les élèves au 
travail et il mit en circulation des photographies et des prépara- 
tions faites parles élèves du Realgymniasum de Zwickau dont il 
est professeur. 



TROISILME PARTIE 

Conférences sur l'enseignement technique moyen en France. 

Samedi 13 août l'.l LO. . 



Sous le pat louage du Ministère du Commerce et de l'Industrie 
de France, jNL Carlo Bouhlet avait organisé une série de confé- 
rences sur l'Enseignement technique en Fiance, qui eurent lieu 
dans la Salle du Cinématograjihe des Chemins de fer français. 

M. Chapsai,, Commissaire général du Gouvernement français à 
l'Exposition de Bi tutelles, en avait accepté la présidence effective. 

La première de ces conférences faite par M. Bourlet sur « Les 
progrès de l'aviation en France, les écoles d'aviation », eut lieu le 
samedi 13 août, à î) h. \ 2 ^^^ matin. Dans l'assistance se trouvaient 
au premier rang M. le professeur Félix Ki.eix, Sir Georges Gueen- 
HiLi., M. le professeur Feiiii, M. le professeur E. Discailles, prési- 
dent de la Fédération belge de l'Enseignement moyen, et M. Witt- 



39*^ co\Fh:Ri:ycEs de bb uxe li.e s 

mann. secrétaire de cette Fédération, MM. les professeurs 
D' Ihaer, D'' Bode, D"" Grimsehl, M. de Geynst, directeur houo- 
l'aire d'Kcole normale, etc. 



Allocution de M. Ciiapsal 

M. Ciiapsal prend d'abord la parole. Il dit qu'il est heureux de 
présider la séance d'ouverture de cette série de conférences à un 
double titre, d'abord comme représentant à l'Exposition du Gou- 
vernement de la République française, ensuite comme directeur 
au Ministère du Commerce, où il a collaboré à la grande œuvre de 
réorganisation de l'Enseignement technique en France dont il 
sera parlé dans la suite. 

Cet Enseignement technique comprend trois degrés : 

1° Les Ecoles pratiques de commerce et (Tifidiistrie et les Ecoles 
professionnelles qui constituent le degré primaire et primaire supé 
rieur. Elles ont spécialement pour but de faire apprendre aux 
enfants de 12 à 1(> ans un métier, et ainsi de remédier à la crise 
de l'apprentissage cjui sévit partout depuis le développement du 
machinisme. Ces écoles forment non seulement de bons ouvriers, 
mais aussi des chefs monteurs, chefs d'équipe, chefs d'atelier et 
contremaîtres. 

2" Les Ecoles d'arts et métiers (Angers, Aix-en-Provence, Chà- 
lons, Cluny, Lille et bientôt Pai'is) qui sont le degré secondaire. 
Elles avaient primitivement pour but de former de bons contre- 
maîtres, mais peu à peu le niveau de leur enseignement s'est 
élevé et actuellement, elles délivrent aux meilleurs élèves des di- 
plômes d'ingénieur, fort appréciés. 

3'' \j Ecole centrale des arts et manufactures qui est la grande 
pépinière française d'ingénieurs de toutes catégories, et le Co?i- 
servatoire national des arts et métiers, où les professeurs font des 
cours publics sur les sujets les plus nouveaux et les plus élevés de 
l'art industriel, constituent enfin l'Enseignement supérieur tech- 
nique. ' 

M. Chapsal félicite M. Carlo Bourlet d'avoir choisi comme sujet 
les '( Progrès de l'Aviation » qui, par les efforts des hommes de 
science et des techniciens français, est devenue une œuvre essen- 
tiellement française. Les résultats d'ailleurs se montrent en ce 
moment même, et l'orateur, faisant allusion au circuit de l'Est, 
dont deux des étapes avaient déjà été franchies par les aviateurs 
Aubrun, Leblanc et Legagneux, dit que cette grande épreuve met 
en évidence les deux qualités principales du tempérament fran- 
çais : l'ingéniosité dans l'invention e.t la hardiesse devant le 
danger. 

Le commissaire général termine en exprimant l'espoir que les 



.s EC T l () y F H A NC A I SE 395 

aéroplanes, en annihilant les fVontièies et en facilitant encore la 
pénétration réciprocpie des penples, soient des instruments de 
paix et de civilisation dans riinnianité. 

11 donne la parole n M. Hourlel cpii, après avoii- remercié 
M. Chapsal et l'assistance, commence aussitôt un href histori([iie 
de 1 Aviation. 



CoXl-ÉliENCE DE M. BoL lîLKT 

sfir les progrès de T a\>ialion en France et les écoles d'aviation. 

ï.e premier savant qui posa correctement le problème du " plus 
lourd que l'air » lut un Anglais, George Cayley, qui, en 1809, 
publia une étude tort bien faite sur le vol artificiel. Cette étude 
resta ignorée; ce n'est qu'en 1872 qu'un Français, Penaud, la dé- 
couvrit et la prit comme point de départ d'un travail très remar- 
quable qui fut couronné par l'Académie des Sciences de Paris. 

Penaud avait complètement prévu les aéroplanes actuels et avait 
d'ailleurs déjà montré comment un tel appareil pourrait planer 
sans moteur pourvu qu'il ait assez de vitesse acquise. Il mourut 
malheureusement fort jeune et c'est à un Allemand, Lilienthal, 
auquel plus tard on élèvera des statues dans le monde entier, que 
revint l'honneur d'avoir